第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
一维波动方程的解
一维波动方程是描述一维波动现象的偏微分方程，其一般形式为：
∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²
其中，u(x,t)是波动的位移或振幅，c是波速。
解一维波动方程的一般步骤是将其转化为一个简单的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通过求解这个方程得到波动的解析表达式。
这里介绍两种求解方法：
分离变量法
假设u(x,t) 可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)，代入原方程得到：
X''(x)/X(x) = (1/c²) T''(t)/T(t)
由于左边的方程只涉及x，右边的方程只涉及t，因此两边必须都等于一个常数k²，即：X''(x)/X(x) = k²
T''(t)/T(t) = k²c²
分别解上面两个方程，得到：
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
T(t) = C sin(ckt) + D cos(ckt)
其中，A、B、C、D 是待定常数，可以根据边界条件和初值条件确定。
将上述两个函数代回原方程，得到波动的解析表达式：
u(x,t) = Σ[An sin(nπx/L) + Bn cos(nπx/L)] sin(ncπt/L)
其中，An、Bn 是待定常数，L 是波动区间的长度，n 为正整数。
复变函数第7章
(7.2) (7.3) (7.4)
分离变量法 求解步骤：
1、分离变量： 2、求解特征值问题 3、求解定解问题
1、分离变量
i）分离变量形式解：设形式解为u(x,t)＝T(t)X(x).
ii) 分离方程：将形式解代入泛定方程(7.2)得 TX = a2TX T X （为一常数） 即 2 a T X
r1 r2 r1 r2 r r i
二阶常系数微分方程的通解：
y C1e r1x C2e r2 x rx rx y C1e C2 xe y e x (C cos x C sin x) 1 2
X X 0 2、求解特征值问题 X (0) X (l ) 0
3、求解定解问题
由叠加原理得，方程(7.2)满足边界条件(7.3)的解为
n at n at n x u ( x, t ) (Cn cos Dn sin )sin l l l n 1
n x ( x) u ( x, 0) Cn sin l n 1 ( x) u ( x, 0) D n a sin n x t n l l n 1
X X 0 故得特征值问题 X (0) X (l ) 0
注：① 的值为该常微分方程边值问题的特征值（或本征值或固有值） ② 相应的非平凡解称为特征函数（或本证函数或固有函数） ③ 求特征值和特征函数的问题称为特征值问题（或本证函数问题或固有函数问题）
补充：
特征值问题是二阶常系数微分方程的求解问题， 所以考虑二阶常微分方程：y"+py'+qy=0的通解. 特征方程：r2+pr+q=0 的根分三种情况：
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
数学物理方法课件第七章-----行波法
变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x
第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律Fmr连续体力学弦2u(r,t)弹性体力学杆振动：22波动方程);au(r,t)0(2t(弹性定律)膜流体力学：质量守恒律：(v)0;t热力学物态方程：v1(v)vpf0(Eulereq.).tII.麦克斯韦方程DddD;EdlBdsEB;Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.Eu,BA,u,A满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理热传导方程：扩散方程：Ttt2kT2D0;0.特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：2u2.iuVut2m2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程2u 12u22at双曲线输运方程能量：热传导质量：扩散ut20ku抛物线1稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立1.弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。
复变函数第二部分课后答案
⎧ utt = a 2u xx (1 < x < 2, t > 0) ⎪ ⎪ u (0, t ) = u (l , t ) = 0(t ≥ 0) ⎪ (0 ≤ x ≤ 1) ⎧ hx ⎨ ⎪ u ( x, 0) = ⎨ h(2 − x) (1 ≤ x ≤ 2) ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ut ( x, 0) = 0
1
2
解：其付氏解为：
∞ u (r ,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + B n sin nθ )r n 2 n =1
，
α sin ϕ An = 1 n ∫02π f (ϕ )cos nϕdϕ = 1 2π A cos nϕ dϕ = nA π −α π ∫0 πl 其中：
= 2 A sin nα nπ
u rr + r u r + r uθθ = 0 。
⎧ + 1u + 1 u =0 ⎪u rr r r r 2 θθ ⎪ ⎨ ⎧ A, θ < α , (− π ≤ θ ≤ π ) ⎪u (1,θ ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, θ ≥ α ⎪ ⎩ ⎩ 2、 求解狄利克雷问题 ， 其中 A，α 为
已知常数。
∞
0
2 ∞ − a 2 µ 2t e π ∫0
sin x π dx = x 2。 sin µ cos( µ x)d µ µ
u ( x, t ) = u (0, 0) =
2 sin µ e0 cos(0) d µ = 1 ∫ π µ ，
即：
2 ∞ sin µ dµ =1 π ∫0 µ
2 ∞ sin x ∫0 x dx = 1 令 x = µ ，则有： π ∞ sin x π dx = ∫ 0 x 2 得证。 即：
波动方程
x at 0 0; 1 x at d x at / 2a; 0 x at 1 2a 1 / 2a; x at 1
%ex602; (p159) 无限长弦波动的解析解(初位移为0, 初速不为0) clear; M=100; N=80; a=1.0; L=10; T1=8; dx=L/M; dt=T1/N; x=-L:dx:L; t=0:dt:T1;[X,T]=meshgrid(x,t); xp=X+a*T; xp(find(xp<=0))=0; xp(find(xp>=1))=1; xm=X-a*T; xm(find(xm<=0))=0; xm(find(xm>=1))=1; S=(xp-xm)/(2*a); figure(1); h=plot(x,S(1,:),'linewidth',3); axis([-L L 0 .6]); set(h,'erasemode','xor'); for k=2:N+1; pause(0.01); set(h,'ydata',S(k,:)); drawnow; end;
2l Bn 2 2 cos3nπ / 7 cos4nπ / 7 nπa An 0;
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第二篇 数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ⎧⎧∂⎪⎪-∇=⎨⎪∂⎪⎪⎩⎪∂⎪+∇⋅=⎨∂⎪∂-⎪+⋅∇=+=⎪∂⎪⎪⎩弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ⎧⋅=⇒∇⋅=⋅=⋅⇒∇⨯=⎪⎪⎪⋅=⇒∇⋅=⋅=+⋅⇒∇⨯=+⎨⎪=-∇=∇⨯⎪⇒⇒⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 满足波动方程。
Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。
III. 热力学统计物理220;0.T k T t D t ρρ∂⎧-∇=⎪⎪∂⎨∂⎪-∇=⎪∂⎩热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ∂=∂）:20ρ∇= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程：22.2u i u Vu t m∂=-∇+∂稳态方程 Laplace equation 20u ∇= 椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立7.1.1 弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。
表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从而速度为t u ，加速度为tt u .（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又tan u x αα∂=≈∂，1<<∂∂∴xu ；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，重力不计。
（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。
质量微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 222≈⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变化，另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我们把它们分别记为()x ρ和)(x T .（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ 即，),(t x f u Tu xx tt =-ρ，其中ρ),(),(t x F t x f =是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρT a =为弦振动的传播速度，则自由振动(0f ≡): 20tt xx u a u -=(齐次方程)。
小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：22tt u a u =∇（齐次方程）其中a 为振动的传播的速度。
当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：22tt u a u f =∇+（非齐次方程）7.1.2 定解问题第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：泛定方程& ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩初始条件边界条件定解条件衔接条件自然条件。
1. 初始条件00(,)()(,)().t t t u x t x u x t x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩，即已知初位移)(x ϕ和初速度)(x ψ 2. 边界条件i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。
ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：(,)(,)000x u t hu t -=Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点(0)x c c l =<<拉开使之与平衡位置的偏离为h （l h <<），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0u t u l t ==由点c x =的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：(0)(,0)()() ()h x x c c u x x h l x c x l l c ϕ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪-⎩， ， 显然，初速度为零：(,0)0t u x =第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解——分离变量法 本征值问题Abstract ：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。
分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题分离变量法：把二元函数(,)u x t 表示为两个一元函数相乘(,)()()u x t X x T t =⋅；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20tt xx u a u -=，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I ：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):()20000 0,0; 0,(); ().tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ϕψ====⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 注意这里的边界条件。
第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
设)()(),(t T x X t x u =[取此特解形式，可得驻波解：()T t 是振荡函数，而与x 无关，()X x 是幅度函数，与t 无关],将此)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程，即得2()()()().X x T t a X x T t ''''=等式两端除以)()(2t T x X a ，就有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''. 注意在这个等式中，左端只是t 的函数，与x 无关，而右端只是x 的函数，与t 无关。
因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x 无关、又与t 无关的常数。
令这个常数为λ-(参数)，即，λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T . 由此得到两个常微分方程：0)()(2=+''t T a t T λ （7.1）0)()(=+''x X x X λ （7.2）第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。
将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ，转化为()X x 的边界条件：0)0(=X ，0)(=l X [因为)(t T 不可能恒为0，否则),(t x u 恒为0] （7.3）这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。
在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(t T x X t x u =，导出了函数)(x X 应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(t T 所满足的常微分方程。
分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题上面得到的函数)(x X 的常微分方程定解问题，称为本征值问题。