二次函数解析式习题及详解
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
--求二次函数解析式专项练习60题（有答案)１．已知二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4)，且与y轴交于点(0,﹣3)，求此二次函数的解析式．2．已知二次函数y=x２＋bｘ+c的图象经过点Ａ(﹣1,1２），B(2，﹣3).(1)求这个二次函数的解析式.(２)求这个图象的顶点坐标及与ｘ轴的交点坐标．3.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线ｌ与二次函数y=x2+bx+２图象的一个交点为（m,3),试求二次函数的解析式.4.已知抛物线ｙ=ax２+bｘ＋c与抛物线形状相同,顶点坐标为（﹣2，4)，求ａ,b，c的值.５．已知二次函数y=aｘ２＋bx＋ｃ,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式;（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．x …﹣2 0 ２…y …﹣１１１１…6.已知抛物线y=x2+(m+1)x+ｍ,根据下列条件分别求m的值.(1）若抛物线过原点；（２)若抛物线的顶点在ｘ轴上；(3）若抛物线的对称轴为x=2．7.已知抛物线经过两点Ａ（1,０）、Ｂ(0，3)，且对称轴是直线x=２,求其解析式.8．二次函数y=ax2+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题:（1)写出y>０时,x的取值范围_＿__＿__＿_ ；(２）写出y随x的增大而减小的自变量ｘ的取值范围_＿＿__＿__＿；(3)求函数y=ax2+bx＋ｃ的表达式.９.已知二次函数y=x2+bx+ｃ的图象经过点A(﹣2，5），B（1，﹣4）.（1）求这个二次函数解析式；(2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（３)画出这个函数的图象.1０．已知:抛物线经过点Ａ(﹣1,7)、Ｂ（2,１)和点C(０，1).(1)求这条抛物线的解析式;（2)求该抛物线的顶点坐标.１1．若二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c的图象与y轴交于点Ａ（0,3),且经过B(1,0)、C（2,﹣1）两点,求此二次函数的解析式．12.二次函数y=x2＋ｂx+ｃ的图象过Ａ(2，3)和Ｂ(﹣1，0)两点，求此二次函数的解析式．13.已知：一抛物线y=aｘ2+ｂx﹣2（a≠０）经过点(3，4)和点（﹣1,0）求该抛物线的解析式，并用配方法求它的对称轴.１4．二次函数y=2ｘ2＋bx＋c的图象经过点(０，﹣6)、(３,0），求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标．１5．如图,抛物线y＝﹣x２+5x+m经过点A(1，０）,与ｙ轴交于点B，（1)求m的值;（2)若抛物线与x轴的另一交点为C，求△ＣAB的面积；（3）P是ｙ轴正半轴上一点，且△PAＢ是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.16．如图，抛物线ｙ=﹣ｘ2+ｂｘ+c与ｘ轴的两个交点分别为Ａ(１，0）,B(3,0).(1）求这条抛物线对应函数的表达式;（2)若Ｐ点在该抛物线上,求当△PAB的面积为8时，点P的坐标．１７.已知二次函数的图象经过点（0,﹣１)、（1，﹣3）、（﹣1，3）,求这个二次函数的解析式.并用配方法求出图象的顶点坐标．18.已知:二次函数的顶点为A(﹣１,4）,且过点B（２，﹣5），求该二次函数的解析式.19.已知一个二次函数y=x２＋bx＋c的图象经过(1,2)、（﹣1，6）,求这个函数的解析式．２0．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2,０）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与ｘ轴的另一个交点.21.已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线ｘ=﹣1,且过点（1,﹣5）,求其解析式.22.已知二次函数图象顶点坐标为（﹣２,3），且过点（1,0),求此二次函数解析式．２3．已知抛物线y=﹣x2＋bｘ+c,它与x轴的两个交点分别为（﹣1，０），(3,0)，求此抛物线的解析式.24．一个二次函数的图象经过点（0，0）,（﹣1,﹣１），(１,9）三点,求这个函数的关系式．25．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点Ａ(２,﹣３)，B（１,﹣４)．（1)求这个函数的解析式;(２)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．2６.已知二次函数ｙ=ax２+bx﹣3的图象经过点A(2,﹣3）,B(﹣1,0）．求二次函数的解析式．27．已知二次函数y＝ａx2+ｂx+c,当ｘ=0时，函数值为5,当x＝﹣１或﹣5时,函数值都为0，求这个二次函数的解析式．2８．已知抛物线的图象经过点A（１,0),顶点P的坐标是.(l)求抛物线的解析式；(2）求此抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积.２９．如图为抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分,它经过A(﹣１,0）,Ｂ（0,3)两点.(1）求抛物线的解析式；(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移１个单位,求平移后的抛物线的解析式.30．已知二次函数y=﹣x２+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣１，0），与ｙ轴的交点坐标为（0,３)．（１）试求二次函数的解析式;(2)求y的最大值;（3）写出当ｙ＞0时，x的取值范围.31．已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x＋1上，并且图象经过点（２，1），求二次函数的解析式．３2．抛物线y=﹣ｘ２+bx+ｃ的对称轴是x=l，它与x轴有两个交点，其中的一个为（3，０)，求此抛物线的解析式.33．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3)，且顶点坐标为（﹣1,﹣４）.（1）求该二次函数的解析式；(2）设该二次函数的图象与ｘ轴的交点为A、B，与ｙ轴的交点为C，求△ABＣ的面积．34．如图,直线y=ｘ+ｍ和抛物线y＝x２+ｂｘ+c都经过点A(2，0),B(５，３)．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+ｍ的解集(直接写出答案)；(3）若抛物线与y轴交于C,求△ＡBＣ的面积．35．二次函数的图象经过点(１，2)和(0,﹣1）且对称轴为ｘ=2，求二次函数解析式.36．如图所示,二次函数y=﹣x２+bx+c的图象经过坐标原点O和A(４，0).（1)求出此二次函数的解析式；（2）若该图象的最高点为B,试求出△AＢＯ的面积；（3）当1<x＜4时,y的取值范围是____＿____ ．3７．已知：一个二次函数的图象经过(﹣1,10),(1,4）,（2,7）三点．(1)求出这个二次函数解析式;(２）利用配方法,把它化成ｙ=a（x+h)２+k的形式,并写出顶点坐标和y随ｘ变化情况．38.已知抛物线ｙ=x2﹣2(k﹣2）x+1经过点A(﹣１,２)(1）求此抛物线的解析式；(2）求此抛物线的顶点坐标与对称轴．39.根据条件求下列抛物线的解析式：(1）二次函数的图象经过(0，1)，（２，1）和(3，4）;(2）抛物线的顶点坐标是（﹣2,１）,且经过点(1,﹣2）．40.已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,﹣2）且与ｙ轴交于（0，)（1）求函数的解析式;（２)当x为何值时,ｙ随x增大而增大.41．已知二次函数的图象经过点(0,﹣2)，且当ｘ=1时函数有最小值﹣３．（1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点（﹣2，y1),（1，ｙ2）和（3，y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2，y3的大小.4２．已知二次函数y=x2+bｘ＋c的图象经过点(０,3）、（4,3)（1）求二次函数的解析式,并在给定的坐标系中画出该函数的图象(不用列表）；（2)直接写出x２+bx＋ｃ＞3的解集.43.不论m取任何实数，ｙ关于x的二次函数y=x２+2mｘ+m2＋2m﹣１的图象的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式．44.抛物线ｙ=ax2+bx+c过点A（﹣2,１），B(2,3），且与ｙ轴负半轴交于点C，S△ABＣ=12，求其解析式.45．直线ｙ＝kx+b过x轴上的A(2，0)点,且与抛物线y=ax２相交于B、Ｃ两点,已知B点坐标为（1,1),求直线和抛物线所表示的函数解析式,并在同一坐标系中画出它们的图象．46．已知二次函数y=x２+ｂx＋c的图象经过点P（2，7）、Q（０，﹣5)．（1)试确定b、c的值;（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（其中点A在点Ｂ的左侧),试求△PＡB的面积．４7．抛物线y=ａｘ2﹣3ａx+b经过A（﹣1，0），C（3,﹣２）两点．（１）求此抛物线的解析式;（２)求出这个二次函数的对称轴和顶点坐标.4８．已知二次函数ｙ=ｘ2+bx+ｃ的图象经过点A(０,4），且对称轴是直线x=﹣2，求这个二次函数的表达式.４9.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，３），且图象过点（ｌ,﹣2)．(1）求这个二次函数的关系式;（２）写出它的开口方向、对称轴．５0．如图，A(﹣1,０)、B(2，﹣３)两点在一次函数y1＝﹣x＋ｍ与二次函数y2=ａx２+ｂx﹣3的图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2)二次函数交y轴于C,求△AＢC的面积．51．若二次函数的图象的对称轴是直线ｘ=1.5,并且图象过A(０，﹣４)和Ｂ(4，０）（1）求此二次函数的解析式；(2）求此二次函数图象上点Ａ关于对称轴对称的点A′的坐标.52．若二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c中，c=3,图象的顶点坐标为（２,﹣1),求该二次函数的解析式.５3.过点A(﹣1，4）,B（﹣3,﹣8)的二次函数ｙ1=ax2＋bｘ+c与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，只是位置不同，求这个函数的解析式及顶点坐标．54.二次函数的图象与x轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点(﹣3，8).求:（１）这个二次函数的解析式；（２)试判断点A(﹣１,２)是否在此函数的图象上．5５．已知二次函数y=aｘ2＋bx+c的图象经过点（０，﹣９)、（1,﹣8）,对称轴是y轴．(1）求这个二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与ｙ轴的交点为C,顶点为P，求△POC的面积．５６.如图，抛物线ｙ=aｘ２+bx经过点Ａ(４,０)、B(2，2）,连接OＢ、ＡB.（1）求抛物线的解析式；（2)求证：△OＡB是等腰直角三角形.57．如图，抛物线ｙ=x2+ｂｘ﹣２与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于C点,且A（﹣１,０）.（１）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2）若将上述抛物线先向下平移３个单位,再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.5８.已知二次函数y=﹣x2+ｂx+c的图象经过Ａ(２,0）,B(０,﹣６）两点.(１）求这个二次函数的解析式;（2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△AＢC的面积和周长.５9．如图,已知二次函数y=aｘ2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．6０.已知函数y=x2+bx+c过点A(2,２），B（5,2）．（1)求b、c的值;（2）求这个函数的图象与ｘ轴的交点C的坐标;(３)求S△ＡBC的值．二次函数解析式60题参考答案:1.∵顶点坐标是(１，﹣4）因此,设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x﹣１)2﹣4，∵抛物线与ｙ轴交于点(０，﹣3)把（0，﹣３）代入解析式:﹣3=a(0﹣１）2﹣4解之得：a=1(１４分）∴抛物线的解析式为:y＝x2﹣2x﹣3．2.（１）把点A（﹣1，12)，B(2,﹣3）的坐标代入ｙ=x２+bｘ＋c 得得∴y=ｘ2﹣6x+５.(2）ｙ=x2﹣6x＋5,ｙ=（ｘ﹣３)2﹣4，故顶点为（３，﹣４)．令x2﹣6ｘ＋５＝０解得ｘ1=1，x２=5.与x轴的交点坐标为（1，0）,（5，0)．3．由题意，直线l的解析式为y=x,将（ｍ，3）代入直线l的解析式中，解得m＝3.将（３,3)代入二次函数的解析式，解得,∴二次函数的解析式为4．抛物线ｙ=ax2+bx+c 与抛物线形状相同,则a ＝±. 当a ＝时，解析式是:y=(ｘ+2）２+4=ｘ2＋x＋5.即ａ=,b=１，ｃ=５；当a ＝﹣时，解析式是：y=﹣（x+2)2+４=﹣x２﹣x+3.即a=﹣,b＝﹣１,c=3.５．（1)依题意,得,解得;∴二次函数的解析式为：y=ｘ2＋３x+1．(２)由（1）知:y＝x2＋３x+１＝(x+）2﹣,故其顶点坐标为（﹣,﹣）6．(1）∵抛物线过原点,∴０=02+(m+1）×0+m．解得m＝０;（2)∵抛物线的顶点在x轴上.∴△=(ｍ＋1)2﹣4m＝０. 解得：m=１;（3）∵抛物线的对称轴是ｘ=2,∴﹣=２．解得ｍ＝﹣５７．∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（１，0) 由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点（３，0）设抛物线的解析式为y＝a(ｘ﹣x1)(x﹣ｘ２）(a≠0）即:y=a(ｘ﹣1)(ｘ﹣3）把Ｂ（0,3)代入得:３＝3ａ∴a=1∴抛物线的解析式为：y＝x２﹣4x+3．8．（１)抛物线开口向下，与x轴交于(1,0)，（３,0), 当y>０时,x的取值范围是：1<x<3；(２）抛物线对称轴为直线x=2,开口向下,y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是ｘ>2; （３)抛物线与ｘ轴交于(１，0），（3,0),设解析式y=ａ(x﹣1）(x﹣3），把顶点（２，2）代入, 得2=ａ(２﹣１）(２﹣3）,解得a＝﹣2，∴y=﹣2（ｘ﹣1)(x﹣3),即ｙ=﹣2ｘ２+8ｘ﹣6．9.（1）把A(﹣2，5），B(１，﹣４)代入y=x2+ｂx+c, 得,解得b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3．（２）∵y=x2﹣2x﹣３,∴﹣＝1，=﹣4，∴顶点坐标（1,﹣4)，对称轴为直线x=1；又当ｘ＝0时,y＝﹣3，∴与ｙ轴交点坐标为(0，﹣3）；y=0时,x=3或﹣1，∴与ｘ轴交点坐标为（3，0),（﹣1，0）．（３）图象如图.10．(1)设所求抛物线解析式为ｙ＝aｘ2+bｘ+c．根据题意，得,解得．故所求抛物线的解析式为y＝2x２﹣4x+1．（2）∵,∴该抛物线的顶点坐标是（1,﹣1）11.∵二次函数ｙ=ａx2+bx+c的图象与y轴交于点A（０，3）, ∴ｃ=3．又∵二次函数y=ａｘ2+bx＋ｃ的图象经过B（１,0）、Ｃ(2，﹣１)两点,∴代入y＝aｘ2+ｂx+c得：a+b+c=0，①4a+2b＋ｃ=﹣１，②由①②及c=3解得∴二次函数的解析式为y=ｘ2﹣4x+312．由题意得解得,．此二次函数的解析式为ｙ=ｘ2﹣1.13.把点（3,４)、（﹣１,0）代入y＝ax２+bx﹣2得:解得:则抛物线的解析式是y＝x2﹣ｘ﹣2=(x ﹣）2﹣则抛物线的对称轴是：ｘ＝１４.由题意得,解得．∴这个二次函数的解析式是ｙ=2x2﹣4x﹣6．y＝2(x2﹣2x)﹣6=2(ｘ2﹣2x+1)﹣２﹣6（1分）＝2(x﹣１)2﹣8.（1分）∴它的图象的顶点坐标是（1,﹣８).15.（１）根据题意,把点A的坐标代入抛物线方程得:0=﹣1+５+m，即得m=﹣4；（２）根据题意得：令y=0,即﹣x2＋5x﹣４=0,解得x１＝1，ｘ2＝4,∴点Ｃ坐标为（4，0）；令x=0,解得y=﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；∴由图象可得，△CＡＢ的面积Ｓ=×ＯB×AＣ=×4×3=6;(3)根据题意得：①当点O为PB的中点,设点P的坐标为(0，y），(ｙ＞０)则y﹣4＝0，即得ｙ=４,∴点P的坐标为(０,４）．②当AB＝BP时，AB=,∴OP的长为:﹣4,∴P（0,﹣4）,∴P(0，﹣4），或（0，4）16．（1）点（1,０）,(3,0）在抛物线y=﹣x2+ｂx＋c上．则有解得:则所求表达式为y=﹣ｘ2+４x﹣3．（2)依题意，得AＢ＝3﹣1=2.设P点坐标为（a，ｂ）当b＞０时,×２×ｂ=8.则b=8．故﹣ｘ２+4x﹣3=8即ｘ２+4ｘ＋1１＝0△=(﹣４)２﹣４×1×1１=16﹣44=﹣２8<0,方程﹣x2+4x＋11＝0无实数根.当b＜0时，×2×（﹣b)=８,则b=﹣8故﹣x２+4x﹣3=﹣8 即﹣x2＋４x﹣５=0．解得x1＝﹣１，ｘ２=5所求点P坐标为(﹣1,﹣8），(5,﹣8)17．设二次函数的解析式为y=ax２+bx+c,由题意得，解得．故二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣1;ｙ=x2﹣3x﹣1=x2﹣3x+()2﹣（)2﹣1=（x ﹣)２﹣,所以抛物线的顶点坐标为（，﹣)．１8．设此二次函数的解析式为y=a（x+1）2+４.∵其图象经过点（２,﹣5)，∴a(2+１）２+4=﹣５,∴a=﹣1，∴y=﹣(ｘ+1)２+4=﹣x２﹣2x＋3.故答案为:y=﹣x2﹣2x+31９. ∵二次函数ｙ=ｘ2+bx+c的图象经过（1，2)、(﹣１，6)，∴，解得，∴所求的二次函数的解析式为y=ｘ２﹣２x+３.20.(1）把Ａ（2,０)、B（0，﹣6)代入y=x２+ｂx+c得,4+2ｂ+c=０,c＝﹣6,∴b=１,c＝﹣6,∴这个二次函数的解析式y=x2+x﹣6；（2）令y=0，则x2+x﹣6=0，解方程得x１=2,ｘ2=﹣3,∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣3,０).21.∵已知抛物线最大值为3,其对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，３）设抛物线的解析式为:y＝a(ｘ+1）2+３, ∵(1,﹣5)在抛物线y=a（x+1）2＋３上，∴解得a=﹣2，∴此抛物线的解析式ｙ=﹣2(x+1）2+322．设二次函数式为y=k(ｘ+2)2+3．将（１，0)代入得9k+３=０,解得k=.∴所求的函数式为 y=（x+２)２+323．根据题意得，,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋3；或:由已知得，﹣１、3为方程﹣x２+bx+c=0的两个解,∴﹣１+３=b,(﹣1)×３=c,解得b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣ｘ2+2x＋３．2４. 设二次函数的关系式为y=aｘ2+bx+ｃ(a≠0），∵二次函数的图象经过点(0，0),(﹣１,﹣１），(1，９)三点，∴点(０，0），（﹣1,﹣1),(1，9）满足二次函数的关系式，∴，解得,所以这个函数关系式是:y＝4x２+5ｘ２５.(1)由题意,将A与B 代入代入二次函数解析式得：，解得：,则二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣３；(2）令y=0，则ｘ2﹣２x﹣3＝0，即(x＋1)(x﹣3)=0，解得:ｘ１=﹣1，ｘ2=3，∴与x轴交点坐标为(﹣1,０）,(3，０);令x=0,则y＝﹣3，∴与y轴交点坐标为（0，﹣３）26．根据题意，得,解得,;∴该二次函数的解析式为:y=x2﹣２x﹣3.27．由题意得，二次函数y=ａｘ2+bx+ｃ,过（0，５)(﹣1，0)（﹣５，0）三点，∴,解得a=1,b=6，c=５，∴这个二次函数的解析式y＝x２＋6x＋５２8．(1）由题意,可设抛物线解析式为y=a(ｘ﹣)2＋,把点A(１，０）代入,得a(1﹣）2+=0，解之得a=﹣1,∴抛物线的解析式为ｙ=﹣(x ﹣）２+,即y=﹣ｘ2+５x﹣4；(2）令x=0，得y＝﹣4,令y＝0,解得x１=4，x2=1,Ｓ=×（4﹣１）×4=６.所以抛物线与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为６. ２9.(1)∵抛物线经过Ａ（﹣１，0）,Ｂ(0,3)两点∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x２+２x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x＋３可化为y＝﹣(x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣ｘ2+2ｘ+3的顶点坐标为（1,4)，又∵此抛物线向左平移3个单位,再向下平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,３)．∴平移后的抛物线的解析式为ｙ=﹣(x＋2）2＋3=﹣x2﹣4x﹣１．30.(1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,０)，与y 轴的交点坐标为(0,3）,∴x=﹣1，y=０代入y=﹣x２+bx+ｃ得:﹣1﹣b＋c=0①,把ｘ=０,y=3代入y＝﹣x2+bx+ｃ得：c=3，把ｃ＝３代入①,解得b=2，则二次函数解析式为y=﹣x２+2x+3;（2）∵二次函数y=﹣x2+2x+3的二次项系数a=﹣1＜０，∴抛物线的开口向下，则当x ＝﹣=﹣=1时，ｙ有最大值,最大值为＝４;（３)令二次函数解析式中的y=０得：﹣x２＋2x＋3=0，可化为:（x﹣3)(x+1)＝0，解得:x1=3,x2=﹣1,由函数图象可知：当﹣1＜ｘ＜３时,y＞03１．∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2, 又顶点在ｙ=x+1上，那么顶点的横坐标是1,设此函数的解析式是y=ａ(x﹣1）2+２,再把(２,１）代入函数中可得a（2﹣１）2＋２＝1，解得a＝﹣１,故函数解析式是y=﹣x2+2x+1．３2.∵﹣=﹣=1,∴ｂ＝2,又∵点（3,0)在函数上,∴﹣9＋６+c＝0，∴c＝３,∴函数的解析式是y=﹣x2＋２x＋3．33．（1)设y=a(x+1)２﹣４,把点(０，﹣３)代入得:a=１，∴函数解析式y＝（x＋１)２﹣4或y＝ｘ2＋2ｘ﹣３；(2）∵x2+2ｘ﹣３=0，解得x1=1，ｘ2=﹣3，∴A（﹣3，0)，Ｂ（1,0），Ｃ(０,﹣3）,∴△AＢC的面积=.34.（1）解:∵直线y＝ｘ＋m经过A点,∴当x＝2时，ｙ＝０，∴m+2=0，∴ｍ=﹣2,∵抛物线ｙ=x2+bx+ｃ过Ａ(2，０）,B（５，3)，∴,解得，∴抛物线的解析式为y＝ｘ2﹣6ｘ+8；(2)由图可知,不等式ax２+bx+c≤ｘ＋m的解集为2≤x≤５; (3）解：设直线AB与y轴交于D,∵A（2，０)B(５,3）,∴直线AＢ的解析式为y=x﹣2，∴点D(０,﹣2）,由(１)知Ｃ(0,8),∴S△BCD =×10×５＝２５，∵Ｓ△ＡＣD =×10×２=10,∴S△AＢC=S△BＣＤ﹣Ｓ△ＡCD＝25﹣10=15．35.设二次函数的解析式为y=aｘ2＋ｂx+ｃ,由题意得，二次函数的图象对称轴为ｘ=2且图象过点（1，2），(0,﹣１)，故可得：,解得:.即可得二次函数的解析式为:y=﹣x2+4x﹣1３6.(1）由条件得解得所以解析式为ｙ＝﹣x2+4x，(2)∵该图象的最高点为B,∴点B的坐标为（2,４),∴△ABO的面积=×4×4＝8,（３)∵当ｘ=1时,y=3,∴当1＜x＜4时,ｙ的取值范围是0<y<4．故答案为:0<ｙ＜4．３7．(１）这个二次函数解析式ｙ＝ax２+bｘ+c(ａ≠0）,把三点(﹣1，１0），(1,４)，(2,7)分别代入得：,解得：,故这个二次函数解析式为：y＝2x2﹣３x+5;（2）y=２x2﹣3x+5=2(ｘ２﹣x+﹣）+5=2(x ﹣)2﹣＋5=２(x ﹣）２+,则抛物线的顶点坐标是（,）, 因为抛物线的开口向上，所以当x>时，ｙ随ｘ的增大而增大，当x时,ｙ随x的增大而减小.3８.（1）将A（﹣１，２)代入y=x2﹣２(k﹣2)x+1得：2=1﹣２（k﹣2)＋１,解得:k＝2，则抛物线解析式为ｙ=x２+1；（2）对于二次函数y=x2+1，a=1，b=0,c=1，∴﹣＝0,＝1，则顶点坐标（0,1）;对称轴为直线x=0(y轴)３9．（1)设抛物线的解析式是ｙ=ax2＋ｂx+ｃ,把(0，1),(2，1）,(3,4）代入得：，解得：，∴y=x2﹣２x+1.（２）设抛物线的解析式是:ｙ=ａ(ｘ+2)２+1，把(1，﹣2）代入得:﹣2=a（1+2)2+1，∴a=﹣，∴y ＝﹣（ｘ＋2）2＋1,即y=﹣ｘ2﹣x ﹣.4０．(１)设函数的解析式是：ｙ=ａ(x﹣３）2﹣２根据题意得：9ａ﹣２=,解得:a ＝;∴函数解析式是:y=﹣2；(２)∵a=>0∴二次函数开口向上又∵二次函数的对称轴是x=3.∴当x＞3时,y随ｘ增大而增大．41．(1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由于抛物线过点(０,﹣２)，则有:ａ(０﹣1)2﹣3=﹣２，解得a=1;因此抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3.(2)∵ａ=１＞0,∴故抛物线的开口向上;∵抛物线的对称轴为ｘ=１,∴（１,ｙ２)为抛物线的顶点坐标,∴y２最小.由于(﹣２,y1）和（4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(４，ｙ1）和(3,y3)来比较y1,y3的大小,由于在ｙ轴的右侧是增函数,所以y１>y3.于是y2＜y3＜y1．42.(１)由于二次函数y=x2+bｘ+c的图象经过点(0,3)、（4,３），则，解得:，∴此抛物线的解析式为:y=x2﹣4ｘ+3．函数图象如下:（2）由函数图象可直接写出ｘ2+bx+c＞3的解集为:ｘ＜0或x＞４.4３．二次函数可以变形为y=（x+m）2＋2m﹣1,抛物线的顶点坐标为（﹣m,2m﹣1)．由，消去m,得y=﹣２x﹣１.所以这条直线的函数解析式为ｙ=﹣2ｘ﹣144．设直线AＢ的解析式为y=ｋx＋ｂ,∴，解得,直线AＢ的解析式为ｙ=x＋2,令x=0，则ｙ＝2，∴直线AＢ与y轴的交点坐标（0,2），∵S△ABC=１２,∴C(0，﹣４),∵抛物线y=aｘ2+ｂx+c过点A（﹣２，1)，Ｂ(2，3）,且与ｙ轴负半轴交于点C,∴，解得,∴抛物线的解析式为y=ｘ2+x﹣445.∵直线ｙ=kx+b过点A（2，0)和点Ｂ(1，1)，∴，解得，∴直线AB所表示的函数解析式为ｙ=﹣x+２，∵抛物线ｙ=ax2过点B（1,1),∴ａ×１2＝1，解得a＝1，∴抛物线所表示的函数解析式为ｙ＝x2.它们在同一坐标系中的图象如下所示：46.(1)∵二次函数ｙ=x2+bx+c的图象经过点P(2，７）、Ｑ（0,﹣5）,，解得b=４,c=﹣5．∴b、c的值是4,5；（2）∵二次函数的图象与ｘ轴交于A、B两点,（其中点A在点B 的左侧)，∴A(1，0），B（﹣5，0）,∴ＡB＝６，∵P点的坐标是:（2,７）,∴△PAＢ的面积=×6×7=21４７．（1）根据题意得,解得,所以抛物线的解析式为ｙ=﹣x﹣２；（2)y=﹣ｘ﹣2＝(x ﹣）2﹣,所以抛物线的对称轴为直线x ＝,顶点坐标为（,﹣）48.∵二次函数的图象过A(0，4），∴ｃ=４，∵对称轴为x=﹣１，∴x=﹣＝﹣2，解得b=４；∴二次函数的表达式为ｙ=x２+４ｘ+4．４9.（1)∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣４，3）, ∴设该二次函数的关系式为：y=a（x+4）２+３(a≠0）；又∵图象过点（ｌ，﹣2）,∴﹣２=a(1＋4）2+３，解得，a=﹣;∴设该二次函数的关系式为：y=﹣(x+4）2＋3;(2）由（１）知，该二次函数的关系式为：y ＝﹣（x＋4）2+3，∴a ＝﹣＜0,∴该抛物线的方向向下;∵关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(﹣4,3），∴对称轴方程为:x=﹣4.50．（1）把Ａ（﹣1，0）代入y１=﹣x+m得﹣(﹣1）＋ｍ＝0,解得ｍ=1,把A（﹣1,0）、Ｂ(2，﹣3)代入y2＝ax2+bｘ﹣3得,解得.故二次函数的解析式为y2=ｘ２﹣﹣2x﹣3;(2）因为Ｃ点坐标为(0,﹣3)，Ｂ（2，﹣3)，所以ＢＣ⊥y轴，所以Ｓ△ABC =×2×3=３．51．(1)设此二次函数的解析式为ｙ=aｘ2＋bx+c，把Ａ(0，﹣４）和B(4,０）,即对称轴x=1．5代入解析式得：，解得:故ｙ=x2﹣3x﹣4；(2)∵Ａ(０，﹣４),对称轴是ｘ=1.５，∴A′(３,﹣4）５2．∵二次函数y=ax2+bx＋ｃ的顶点坐标为(﹣，), 二次函数y＝ax２+ｂx+c中,c=3,图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴﹣=2,=﹣１，解得a=1,ｂ=﹣4，∴二次函数的解析式y=x2﹣４x+353.∵二次函数ｙ1=aｘ２+bx+c 与二次函数的图象的形状一样,开口方向相同，∴a=﹣2,将点A（﹣1,４）,Ｂ(﹣３，﹣8)代入y１＝﹣2x2＋ｂx+c，得,解得，∴y１=﹣2ｘ2﹣２x+4;∵y1=﹣2x2﹣2x+４＝﹣2(x2+ｘ)+４=﹣2（x ＋）２＋，∴顶点坐标为(﹣,)．故这个函数的解析式为ｙ１=﹣2x2﹣2x+4，顶点坐标为(﹣,).5４.（1)∵二次函数的图象与ｘ轴的两交点的横坐标为１和﹣7，且经过点（﹣3,8),∴两交点的横坐标为：(1，0）,(﹣7，０）,且经过点(﹣3,８), ∴代入解析式:y=a（ｘ﹣１)（x＋7),8＝a(﹣3﹣1）×(﹣3+７）,解得：a=﹣，∴ｙ=﹣（x﹣1）（x+7);(2）∵将点A(﹣1，2)此函数的解析式，∴左边=2，右边=﹣（﹣１﹣１）(﹣1+7)=6；∴左边≠右边,∴点A(﹣1,2）不在此函数的图象上.55．(1）∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，∴b=0，即二次函数解析式为y=ａx2+c，又二次函数的图象经过点（０,﹣9）、(１,﹣8)，∴,解得：,则二次函数的解析式为y=ｘ2﹣9；(2）由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣9，即y=x2﹣４x﹣5,令x=0，解得：y=﹣5,∴C（0,﹣５）,即OＣ=5，又平移后抛物线的顶点Ｐ的坐标为（2,9）,即Ｐ的横坐标为２,则S△ＰＯC =ＯＣ•x P的横坐标=×5×2=5．56.1）解：由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x;（2）证明:过点B作BC⊥ｘ轴于点Ｃ，则OＣ＝ＢC=AC=２;∴∠BＯC＝∠OBC=∠ＢAＣ＝∠ABC=45°;∴∠OＢA=９0°,OＢ=ＡＢ;∴△ＯＡB是等腰直角三角形；５7.(１)将A(﹣1，0）代入抛物线y ＝x2＋bx﹣2得,×(﹣1）2﹣b﹣2=0,解得,b ＝﹣,则函数解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣2．配方得，y=（x ﹣)2﹣,可见,顶点坐标为(，﹣).(2)将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位,可得,y=(x ﹣﹣2)2﹣﹣3=（ｘ﹣）2﹣=ｘ2﹣x.５8．（1）把(2,0)、(０,﹣6）代入二次函数解析式，可得,解得,故解析式是ｙ=﹣x2+4ｘ﹣6；（２）∵对称轴x=﹣=4,∴C点的坐标是（4,0),∴ＡC=2，OB=6，ＡB=2，BＣ=2，∴Ｓ△AＢＣ=AC•OＢ=×2×6=6，△ＡBＣ的周长＝ＡＣ+AB+ＢC=２＋2＋２.59．（１)A坐标是(﹣1,﹣１）,B点的坐标是(3,﹣９）, 代入y=ax2﹣4x+c 得：解得：a=1,c=﹣6．则二次函数表达式是：y＝x２﹣4x﹣6（2)ｙ=x2﹣4ｘ﹣6=(ｘ﹣２)2﹣10,因此对称轴为直线x＝２,顶点坐标为（2,﹣１0)６0.(1)把Ａ(2，2），B（5,2)分别代入y=ｘ２+bx+c,可得,解得；（2)由b=﹣7,c=１2，知ｙ=ｘ2﹣７x+1２令y=0，得x2﹣7x+１2=0,∴x=３或x=4，∴C（3,0)或Ｃ(4,０)；（3）∵A（2，２)B（5，２）∴AB=|２﹣5｜＝3，且△ＡBＣ的ＡB边上的高h=2,∴Ｓ△ABC =ＡB•h=×３×２=3。
二次函数解析式习题及详解
二次函数解析式习题及详解二次函数是高中数学中的重要内容之一、它的解析式可以用一般形式y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
解析式中的x 是自变量，y 是因变量，表示二次函数的图像上的点的坐标。
下面我们来看一些关于二次函数解析式的习题及详解。
1.求解一元二次方程3x^2+4x-1=0的解。
解：这是一个一元二次方程，可以写成 3x^2 + 4x - 1 = 0。
按照二次方程求解的步骤，我们可以先计算出Δ（delta），再根据Δ 的值来分类讨论。
首先计算Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 3 × (-1) = 16 + 12 = 28根据Δ的值可以得出以下结论：-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数解。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
我们计算得到Δ=28>0，所以方程有两个不相等的实数解。
接下来，我们可以继续使用求根公式：x=(-b±√Δ)/2a来求解方程的解。
x1=(-4+√28)/(2×3)≈0.236x2=(-4-√28)/(2×3)≈-1.570。
所以方程3x^2+4x-1=0的解为x≈0.236和x≈-1.570。
2.求解二次函数y=x^2+4x-5的图像与x轴交点的坐标。
解：要求解二次函数与x轴交点的坐标，就是求解方程y=x^2+4x-5=0的解。
我们可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。
这里我们使用求根公式：将方程y=x^2+4x-5=0转化为一元二次方程的标准形式，即x^2+4x-5=y=0。
根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√Δ)/2a，我们可以计算出方程的解。
a=1,b=4,c=-5；Δ = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36；x1=(-4+√36)/(2×1)=1x2=(-4-√36)/(2×1)=-5所以方程y=x^2+4x-5=0的解为x=1和x=-5因此，该二次函数图像与x轴交点的坐标为（1,0）和（-5,0）。
初中求解二次函数的解析式及答案
初中求解二次函数得解析式一.填空题(共18小题)1.(2015•河南一模)二次函数得图象如图所示,则其解析式为.2.如图,根据图形写出一个符合图象得二次函数表达式:.3.(2012春•贺兰县校级月考)二次函数得图象如图所示,则a0,b0,c 0.4.(2009秋•南京校级期末)二次函数y=x2﹣4x得图象得顶点坐标就是.5.(2009•福州质检)二次函数y=(x﹣2009)2图象得对称轴就是x=.6.(2014秋•费县校级期中)已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)与(0,2)三点,则该函数图象得关系式就是.7.(2010•常熟市校级二模)某二次函数得图象如图所示,则它关于x轴对称得抛物线得解析式为.8.二次函数y=ax2得图象过(2,1),则二次函数得表达式为.9.(2013•城西区校级一模)二次函数y=x2+a得图象过点(1,4),则a=.10.(2014秋•宁波期中)图象得顶点为(﹣2,﹣2 ),且经过原点得二次函数得解析式就是.11.(2013秋•富阳市校级月考)函数图象过点(0,4),顶点坐标就是(﹣2,3)得二次函数解析式.12.已知二次函数得图象过点(﹣2,0)(6,0),最大值为32,函数表达式为.13.(2012秋•江东区期末)一个二次函数得图象顶点坐标为(4,3),形状与开口方向与抛物线y=﹣2x2相同,这个函数解析式为.14.如果二次函数y=(x﹣h)2+k得图象经过点(﹣2,0)与(4,0),那么h得值为.15.(2011春•全椒县月考)已知二次函数得图象经过原点,顶点为(﹣1,﹣1),则该二次函数得解析式为.16.(2010•宝山区校级模拟)在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x2得图象向上平移2个单位,所得图象得解析式为.17.(2014•义乌市校级模拟)一个二次函数得图象顶点坐标为(2,1),形状与抛物线y=﹣2x2相同,试写出这个函数解析式.18.(2004•丽水)已知二次函数y=x2+2x+c得图象经过点(0,1),则c=.二.解答题(共12小题)19.已知二次函数得图象如图所示,求它得解析式.20.(2011春•罗定市月考)已知某二次函数得图象如图所示,求这个二次函数得表达式.21.已知二次函数得图象如图所示,求此抛物线得解析式.22.(2010•泸县模拟)已知一个二次函数得图象过点(2,0)、(0,﹣2)与(﹣2,3),求这个二次函数得解析式.23.已知二次函数得图象经过(4,0),(0,﹣4),与(﹣2,3)三点,求二次函数得解析式.24.(2007秋•石景山区期末)二次函数得图象经过点(1,2)与(0,﹣1)且对称轴为x=2,求二次函数解析式.25.二次函数y=ax2+k图象与坐标轴交于点(0,2)与(1,0),求该函数得关系式.26.(2013秋•顺义区期末)已知二次函数y=﹣x2+bx+c得图象如图所示,求此二次函数得解析式与抛物线得顶点坐标.27.已知二次函数得图象经过点(0,2)、(1,0)与(﹣2,3),求这个二次函数得表达式.28.(2010秋•怀宁县校级期中)已知二次函数得图象经过(﹣1,3)、(1,3)、(2,6)三点.(1)求二次函数得解析式.(2)写出二次函数图象得对称轴与顶点坐标.29.已知二次函数得图象经过A(0,2)与B(5,7)两点,且它得顶点在直线y=﹣x上,求函数解析式.30.(2014秋•鹿城区校级期末)已知二次函数得图象经过点(0,﹣3),且顶点坐标为(1,﹣4).求这个解析式.初中求解二次函数得解析式答案一.填空题(共18小题)1.(2015•河南一模)二次函数得图象如图所示,则其解析式为y=﹣x2+2x+3.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】根据图象可知,抛物线对称轴就是直线x=1,与y轴交于(0,3),与x轴交于(﹣1,0),设出一般式,列出方程组求出系数即可.【解答】解:由图象可知,抛物线对称轴就是直线x=1,与y轴交于(0,3),与x轴交于(﹣1,0)设解析式为y=ax2+bx+c,,解得.故答案为:y=﹣x2+2x+3.【点评】本题考查得就是待定系数法求二次函数得解析式,根据题意找出特殊点、列出方程组就是解题得关键,解答时,要认真审题,找准特殊点,才能得到正确得方程组.2.如图,根据图形写出一个符合图象得二次函数表达式:y=﹣2x2(答案不唯一).【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】开放型.【分析】本题中得图象开口向下,顶点就是原点,因而只要写出一个顶点就是原点,二次项系数小于0得二次函数就可以.【解答】解:如y=﹣x2或y=﹣2x2等都可以.本题答案不唯一.【点评】根据对于函数图象得描述能够理解函数得解析式得特点,就是解决本题得关键. 3.(2012春•贺兰县校级月考)二次函数得图象如图所示,则a＜0,b＜0,c＞0.【考点】二次函数图象与系数得关系.【分析】由抛物线得开口方向判断a与0得关系,根据对称轴来推理b与0得关系,由抛物线与y轴得交点判断c与0得关系.【解答】解:根据图象得开口方向向下推知a＜0.∵对称轴x=﹣＜0,即＞0,∴a、b同号,即b＜0.∵抛物线与y轴交与正半轴,∴c＞0.故答案就是:＜,＜,＞.【点评】本题考查了二次函数图象与系数得关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴得交点抛物线与x轴交点得个数确定.4.(2009秋•南京校级期末)二次函数y=x2﹣4x得图象得顶点坐标就是(2,﹣4).【考点】二次函数得性质.【专题】常规题型.【分析】用配方法将抛物线得一般式转化为顶点式,确定顶点坐标即可.【解答】解:∵y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4∴抛物线顶点坐标为(2,﹣4).故本题答案为:(2,﹣4).【点评】本题考查了抛物线解析式与顶点坐标得关系,求顶点坐标可用配方法,也可以用顶点坐标公式.5.(2009•福州质检)二次函数y=(x﹣2009)2图象得对称轴就是x=2009.【考点】二次函数得性质.【分析】根据题意直接写出抛物线得对称轴方程.【解答】解:因为二次函数y=(x﹣2009)2得顶点坐标就是(2009,0),故对称轴就是x=2009.填:2009.【点评】本题考查由抛物线得顶点坐标式写出抛物线对称轴得方程,比较容易.6.(2014秋•费县校级期中)已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)与(0,2)三点,则该函数图象得关系式就是y=x2﹣3x+2.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】求函数得解析式得方法就是待定系数法,可以设函数得解析式就是y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)与(0,2)三点得坐标代入就得到一个关于a、b、c得方程组,就可以求出函数得解析式.【解答】解:设:函数得解析式就是:y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)与(0,2)三点得坐标代入得到:,解得:,因而函数得解析式就是:y=x2﹣3x+2.【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式得方法,同时还考查了方程组得解法等知识,难度不大.7.(2010•常熟市校级二模)某二次函数得图象如图所示,则它关于x轴对称得抛物线得解析式为y=﹣x2+4x﹣3.【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数得图象.【分析】由二次函数得图象过点(1,0)、(3,0)、(0,3),然后用待定系数法求出函数得解析式. 【解答】解:设函数得解析式为:y=ax2+bx+c,∵函数过点(1,0)、(3,0)、(0,3),∴a+b+c=0…①,9a+3b+c=0…②,c=3…③由①②③解得,a=1,b=﹣4,c=3;∴抛物线得解析式为:y=x2﹣4x+3.∴它关于x轴对称得抛物线得解析式为:y=﹣x2+4x﹣3.故答案为y=﹣x2+4x﹣3.【点评】此题主要考查二次函数得基本性质,及用待定系数法求函数得解析式,计算时要仔细.8.二次函数y=ax2得图象过(2,1),则二次函数得表达式为y=x2.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】待定系数法.【分析】由题意二次函数y=ax2得图象过(2,1),把点(2,1)代入函数得解析式求出a值,从而求出二次函数得解析式.【解答】解:∵二次函数y=ax2得图象过(2,1),∴a×4=1,a=,∴二次函数得表达式为:y=x2.【点评】此题考查二次函数得基本性质及用待定系数法求函数得解析式.9.(2013•城西区校级一模)二次函数y=x2+a得图象过点(1,4),则a=3.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】根据二次函数图象上得点与二次函数解析式得关系可知,把点(1,4)代入解析式即可求得a得值.【解答】解:把点(1,4)代入解析式y=x2+a4=1+a解得a=3.【点评】主要考查了二次函数图象上得点与二次函数解析式得关系.当一个点在二次函数图象上时它必满足二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数).10.(2014秋•宁波期中)图象得顶点为(﹣2,﹣2 ),且经过原点得二次函数得解析式就是(或).【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】开放型.【分析】已知了抛物线得顶点坐标,适合用二次函数得顶点式y=a(x﹣h)2+k来解答.【解答】解:根据题意,设抛物线得解析式为y=a(x+2)2﹣2,由于抛物线经过原点,则有:0=4a﹣2,a=;这个二次函数得解析式为y=(x+1)2﹣2.故答案为:(或).【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式得方法,在已知抛物线顶点坐标得情况下,通常用顶点式设二次函数得解析式.11.(2013秋•富阳市校级月考)函数图象过点(0,4),顶点坐标就是(﹣2,3)得二次函数解析式y=(x+2)2+3.【考点】二次函数得三种形式.【分析】根据顶点坐标设二次函数得顶点式解析式,然后把经过得点得坐标代入求解即可. 【解答】解:设二次函数解析式为y=a(x+2)2+3,∵函数图象过点(0,4),∴a(0+2)2+3=4,解得a=,故二次函数解析式为y=(x+2)2+3.故答案为:y=(x+2)2+3.【点评】本题考查了二次函数得三种形式,根据顶点坐标设顶点形式就是解题得关键.12.已知二次函数得图象过点(﹣2,0)(6,0),最大值为32,函数表达式为y=﹣2x2+8x+24. 【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】根据题意确定出顶点横坐标,表示出顶点纵坐标,确定出顶点坐标,设出顶点形式,把(﹣2,0)代入求出解析式即可.【解答】解:根据题意得:顶点横坐标为2,纵坐标为32,即(2,32),设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+32,把(﹣2,0)代入得:16a+32=0,即a=﹣2,则抛物线解析式为y=﹣2(x﹣2)2+32=﹣2x2+8x+24.故答案为:y=﹣2x2+8x+24【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.13.(2012秋•江东区期末)一个二次函数得图象顶点坐标为(4,3),形状与开口方向与抛物线y=﹣2x2相同,这个函数解析式为y=﹣2(x﹣4)2+3.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】设抛物线得解析式为y=a(x+h)2+k,由条件可以得出a=﹣2,再将定点坐标代入解析式就可以求出结论.【解答】解:设抛物线得解析式为y=a(x+h)2+k,且该抛物线得形状与开口方向与抛物线y=﹣2x2相同,∴a=﹣2,∴y=﹣2(x+h)2+k,∴y=﹣2(x﹣4)2+3,∴这个函数解析式为y=﹣2(x﹣4)2+3,故答案为:y=﹣2(x﹣4)2+3.【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数得解析式得运用,再解答时运用抛物线得性质求出a值就是关健.14.如果二次函数y=(x﹣h)2+k得图象经过点(﹣2,0)与(4,0),那么h得值为1.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】由于已知抛物线与x轴得两个交点坐标,所以设其解析式为交点式y=(x+2)(x﹣4),再利用配方法化为顶点式,从而得到h得值.【解答】解:∵二次函数y=(x﹣h)2+k得图象经过点(﹣2,0)与(4,0),∴y=(x+2)(x﹣4),∴y=x2﹣2x﹣8=(x﹣1)2﹣9,∴h=1.故答案为1.【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数得解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定得条件,选择恰当得方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线得顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.15.(2011春•全椒县月考)已知二次函数得图象经过原点,顶点为(﹣1,﹣1),则该二次函数得解析式为y=(x+1)2﹣1.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】常规题型.【分析】本题已知了抛物线得顶点坐标,适合用二次函数得顶点式y=a(x﹣h)2+k(a≠0)来解答. 【解答】解:根据题意,设抛物线得解析式为y=a(x+1)2﹣1(a≠0),由于抛物线经过原点,则有:0=a﹣1,a=1;这个二次函数得解析式为y=(x+1)2﹣1.故答案为:y=(x+1)2﹣1.【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式得方法,在已知抛物线顶点坐标得情况下,通常用顶点式设二次函数得解析式.16.(2010•宝山区校级模拟)在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x2得图象向上平移2个单位,所得图象得解析式为y=2x2+2.【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】易得新抛物线得顶点,根据顶点式及平移前后二次项得系数不变可得新抛物线得解析式.【解答】解:原抛物线得顶点为(0,0),向上平移2个单位,那么新抛物线得顶点为(0,2);可设新抛物线得解析式为y=2(x﹣h)2+k,代入得:y=2x2+2.【点评】抛物线平移不改变二次项得系数得值,解决本题得关键就是得到新抛物线得顶点坐标.17.(2014•义乌市校级模拟)一个二次函数得图象顶点坐标为(2,1),形状与抛物线y=﹣2x2相同,试写出这个函数解析式y=﹣2(x﹣2)2+1或y=2(x﹣2)2+1..【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单.【解答】解:图象顶点坐标为(2,1)可以设函数解析式就是y=a(x﹣2)2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同则|a|=2因而解析式就是:y=﹣2(x﹣2)2+1或y=2(x﹣2)2+1,故这个函数解析式y=﹣2(x﹣2)2+1或y=2(x﹣2)2+1.【点评】利用待定系数法求二次函数解析式,如果已知三点坐标可以利用一般式求解;若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单.18.(2004•丽水)已知二次函数y=x2+2x+c得图象经过点(0,1),则c=1.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】可直接将点(0,1)代入二次函数y=x2+2x+c中,即可求得c得值.【解答】解:已知抛物线过点(0,1),则有:c=1.【点评】主要考查了二次函数图象上得点与二次函数解析式得关系.要求掌握二次函数图象得性质,并会利用性质得出系数之间得数量关系进行解题.二.解答题(共12小题)19.已知二次函数得图象如图所示,求它得解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】从图上可知道顶点坐标与与x轴得交点坐标,设成顶点式利用待定系数法求解即可. 【解答】解:∵抛物线顶点坐标为(1,4),代入抛物线顶点式y=a(x﹣h)2+k(a≠0),得:y=a(x﹣1)2+4,∵该抛物线又过点(﹣1,0),∴4a+4=0,解得a=﹣1,∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3.【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式与二次函数得图象得作图及其性质.20.(2011春•罗定市月考)已知某二次函数得图象如图所示,求这个二次函数得表达式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】综合题.【分析】根据函数图象知,该函数经过点(2,0)(﹣1,0)(0,2).所以利用待定系数法可求得该二次函数得解析式.【解答】解:设所求得二次函数得解析式就是y=ax2+bx+c(a≠0),由图象可得出图象过点(2,0)、(﹣1,0)、(0,2),把各点代入得,,解得.∴二次函数得解析式为:y=﹣x2+x+2.【点评】本题主要考查了二次函数得解析式得求法与与几何图形结合得综合能力得培养,要会利用数形结合得思想把代数与几何图形结合起来.21.已知二次函数得图象如图所示,求此抛物线得解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】先利用抛物线得对称性确定抛物线与x轴得另一个交点坐标为(﹣3,0),则可设交点式为y=a(x+3)(x﹣5),然后把(0,3)代入求出a得值即可.【解答】解:∵抛物线得对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴得一个交点坐标为(5,0),∴抛物线与x轴得另一个交点坐标为(﹣3,0)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5),把(0,3)代入得a×3×(﹣5)=3,解得a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x+3)(x﹣5)=﹣x2+x+3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数得解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定得条件,选择恰当得方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线得顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数得性质.22.(2010•泸县模拟)已知一个二次函数得图象过点(2,0)、(0,﹣2)与(﹣2,3),求这个二次函数得解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0)、(0,﹣2)、(﹣2,3)三点坐标代入求得a、b、c得值即可.【解答】解:设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0)、(0,﹣2)、(﹣2,3)三点坐标代入, 得:,解方程组得:∴这个二次函数得解析式为:.【点评】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式得方法,代入联立方程组进行求解. 23.已知二次函数得图象经过(4,0),(0,﹣4),与(﹣2,3)三点,求二次函数得解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】设抛物线得解析式为y=ax2+bx+c,把(4,0),(0,4),(﹣2,3)分别代入求出a,b,c即可. 【解答】解:设抛物线得解析式为y=ax2+bx+c (1分)把(4,0),(0,4),(﹣2,3)分别代入得(2分)解得:(2分)∴y=﹣2x﹣4 (1分).【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数得解析式,列三元一次方程组就是解此题得关键.24.(2007秋•石景山区期末)二次函数得图象经过点(1,2)与(0,﹣1)且对称轴为x=2,求二次函数解析式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】待定系数法.【分析】设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,根据函数图象过点(1,2)与(0,﹣1)且对称轴为x=2,可得出关于a、b、c得方程组,联立求解即可.【解答】解:设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,由题意得,二次函数得图象对称轴为x=2且图象过点(1,2),(0,﹣1),故可得:,解得:.即可得二次函数得解析式为:y=﹣x2+4x﹣1.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式得知识,属于基础题,解答本题得关键就是掌握二次函数对称轴得表达式,注意待定系数法得运用.25.二次函数y=ax2+k图象与坐标轴交于点(0,2)与(1,0),求该函数得关系式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】把点(0,2)与(1,0)直接代入y=ax2+k得到关于a、k得方程组,然后解方程组即可.【解答】解:根据题意得,解得,所以二次函数解析式为y=﹣2x2+2.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数得解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定得条件,选择恰当得方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线得顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.26.(2013秋•顺义区期末)已知二次函数y=﹣x2+bx+c得图象如图所示,求此二次函数得解析式与抛物线得顶点坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数得性质.【专题】计算题.【分析】由图象可知:二次函数y=﹣x2+bx+c得图象过点(0,3)与(1,0),将两点坐标代入求出b 与c得值,确定出二次函数解析式,即可确定出顶点坐标.【解答】解:由图象可知:二次函数y=﹣x2+bx+c得图象过点(0,3)与(1,0),∴将两点坐标代入得:,解得:,∴二次函数得解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x2+2x+1)+4=﹣(x+1)2+4,∴抛物线得顶点坐标为(﹣1,4).【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数得性质,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.27.已知二次函数得图象经过点(0,2)、(1,0)与(﹣2,3),求这个二次函数得表达式.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】设一般式y=ax2+bx+c,再把三个点得坐标代入得到关于a、b、c得三元一次方程组,然后解方程组求出a、b、c,从而得到二次函数解析式.【解答】解:设这个二次函数得表达式为y=ax2+bx+c,根据题意得,解得,个二次函数得表达式为y=﹣x2﹣x+2.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数得解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定得条件,选择恰当得方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线得顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.28.(2010秋•怀宁县校级期中)已知二次函数得图象经过(﹣1,3)、(1,3)、(2,6)三点.(1)求二次函数得解析式.(2)写出二次函数图象得对称轴与顶点坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数得性质.【专题】计算题.【分析】(1)设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,把(﹣1,3)、(1,3)、(2,6)三点坐标代入,列方程组求a、b、c得值,确定函数解析式;(2)根据二次函数解析式可知抛物线得对称轴及顶点坐标.【解答】解:(1)设二次函数得解析式为y=ax2+bx+c,把A(﹣1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得∴抛物线解析式为y=x2+2;(2)由(1)可知,抛物线对称轴为直线x(或y轴),顶点坐标为(0,2).【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式得方法.关键就是根据条件确定抛物线解析式得形式,再求其中得待定系数.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);顶点式y=a(x﹣h)2+k,其中顶点坐标为(h,k);交点式y=a(x﹣x1)(x﹣x2),抛物线与x轴两交点为(x1,0),(x2,0).29.已知二次函数得图象经过A(0,2)与B(5,7)两点,且它得顶点在直线y=﹣x上,求函数解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】根据题意设抛物线解析式为y=a(x﹣m)2﹣m,将A与B坐标代入求出a与m得值,即可确定出解析式.【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x﹣m)2﹣m,将x=0,y=2;x=5,y=7代入得:,解得:a=或1,m=﹣或2,则函数解析式为y=x2+x+2或y=x2﹣4x+2.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.30.(2014秋•鹿城区校级期末)已知二次函数得图象经过点(0,﹣3),且顶点坐标为(1,﹣4).求这个解析式.【考点】二次函数得性质.【分析】可设解析式为顶点式,根据图象经过点(0,﹣3)求待定系数,即可得解. 【解答】解:根据题意,设函数解析式为y=a(x﹣1)2﹣4.∵图象经过点(0,﹣3),∴﹣3=a﹣4,a=1.∴解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.【点评】此题考查了运用待定系数法求函数解析式.。
补充求二次函数解析式(2课时)
(1)过点A(1,3)求c
(2)顶点在X轴上求c (1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解析式 求得 c=6 (2)顶点在X轴上解析式特点 （完全平方式） （或根据顶点的纵坐标为0）求得:c=4
2,若抛物线 y=ax2+2x&函数的最大值是 -3,求 a,c 分析:实质知道顶点坐标(2,-3)且 为最高点抛物线开口向下
2 2 1 2a a2 2 解得 4ac - 2 c -5 -3 4a a0
解:
3.图象与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3 分析:函数最小值:-3即顶点纵坐标 但隐藏着抛物线开口向上这个条件 可设一般式来解.但比较繁 可设交点式来解 求得的解析式为:y=12x2-60x+72
解法2：（顶点式） ∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ 1=(-1+3)/2 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4 = -x2+2x+3
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0） （2，0）（-1，0） （-4，0）（-6，0） (x1,0),( x2,0)
交点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
若抛物线与x轴的两个交点的横坐标分 别为x1、x2，那么对称轴方程为： x=(x1+x2)/2
小结(1)二次函数解析式的三种表示形式 (1)一般式
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
二次函数求解析式专题练习题
1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．10．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．12．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；14．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( )A ．4和－3B ．5和－3C ．5和－4D ．－1和415．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么a （ ）0，b （ ）0，c （）016．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜317．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )18.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ）A.2,4B.-2,-4C.2,-4D.-2,019、已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ）（A ）0,0,0a b c >>>（B ）0,0,0a b c <<= （C ）0,0,0a b c <<> （D ）0,0,0a b c >>=20．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝12的是（ ） （A ） ｙ＝12ｘ2（B ）ｙ＝ｘ2＋2ｘ（C ）ｙ＝ｘ2＋ｘ＋2（D ）ｙ＝ｘ2－ｘ－2 21．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53， 求这条抛物线的解析式；。
二次函数练习题及解析4
专题：配方法。
分析：（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y=（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
21、小明在学习二次函数时，总结了如下规律：
（1）请帮助小明补全此表①y轴②（h，k）③直线x= ；
（2）根据此表判断，如何将抛物线y=﹣2x2经过适当的平移得到抛物线y=﹣2x2+4x+1．
22、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．
点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3、用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
（5）若自变量x满足：﹣3≤x≤1，则对应的函数值中，最大值为：0．
24、已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中：
（2）观察第（1）问表中的有关的数据，猜一猜：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论．
二次函数解析式的求法练习题
二次函数解析式的求法练习题例1.一条抛物线经过点与。
求这条抛物线的解析式。
y x mx n =++142()032，(432，例2. 4.已知：抛物线的对称轴为()20y ax bx c a =++≠与轴交于两点，与轴交于点C 其中1x =-，x A B ，y 、()30A -，()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得的周长最PBC △小．请求出点P 的坐标．例3.已知抛物线经过A ，B ，C 三点，当y ax bx c =++2时，其图象如图所示。
求抛物线的解析式，写出顶x ≥0点坐标。
例4.：如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5子的最低点距地面的距离为多少米？例5.. 有这样一个问题：已知：二次函数的图象经过A （0，a ），B（1，2），，求证：y ax bx c =++2这个二次函数图象的对称轴是直线，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法x =2辨认的文字。
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
米根据下列条件，求二次函数的解析式1、图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6）2、抛物线顶点坐标为（－1，9），并且与y 轴交于（0，－8）3、抛物线的对称轴是直线，与x 轴的一个交点为（－2，0），与y 轴交于点x =1（0，12）4、图象顶点坐标是（2，－5），且过原点5、图象与x 轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5。
6、当x ＝2时，函数的最大值是1，且图象与x 轴两个交点之间的距离为2。
7、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式8、已知抛物线经过点（-1，0），(2,3),并与y 轴交于点（0，3） ，请求出此抛物线解析式。
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求二次函数解析式练习题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正
确的是（）
A．abc＞0 B a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b
【答案】D
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a+b<0；
③ 4a－2b+c=0；④a︰b︰c=－1︰2︰3.其中正确的是( )
(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
【答案】D
3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．
4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．
解：设y=a(x-8)^2+9 且a<0 图象过点（0，1）,所以有：1=64a+9 解得：a=-1/8 则这个二次函数的关系式; y=-1/8(x-8)^2+9
5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
6.6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．
7.7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
8.(3,0)是二次函数的一个零点对称轴x=1 则另一零点是 1-(3-1)=-1 (-1,0)
设二次函数 y=a(x-3)(x+1) 代入(2,-3) -3=a(2-3)(2+1) a=1
y=(x-3)(x+1) y=x²-2x-3
9.8.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与x轴交于点C。
若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式
记原点为O,
1、当A在O的左边,C在O的上方时,由勾股定理得AB=25.设│OB│=a,则│OA│=25-a,
因为OC是两个小直角三角形的公共边,所以20²-（25-a）² =15²-a².解得a=9,则25-a=16.
于是可得三点坐标为A（-16,0）B（9,0）C（0,12）,利用顶点式得
y=-1/12·(x+16)(x-9).
2、当A在O的右边,C在O的上方时,比较（1）的结论得
y=-1/12·(x-16)(x+9).
3、当A在O的左边,C在O的下方时,比较（1）的结论得 y=1/12·(x+16)(x-9).
4、当A在O的右边,C在O的下方时,比较（1）的结论得 y=1/12·(x-16)(x+9).
9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
10.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；
（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；
（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）
1）设y=ax^2,代入点（2,8),8=a*4,得：a=2,故y=2x^2
2) 设y=a(x+1)^2-2,代入点（1,10）,10=4a-2,得：a=3,故y=3(x+1)^2-2
3) 设y=ax^2+bx-2
代入（1,0）得：a+b-2=0,得：a+b=2
代入(2,3)得：4a+2b-2=3,得：2a+b=2.5
解得：a=0.5,b=1.5
故y=0.5x^2+1.5x-2
10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
11.如图，在平面直c bx ax y ++=2角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2
经过A （-2，-4），O （0，0），B (2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM +OM 的最小值．
【答案】 解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）
三点代入c bx ax y ++=2中，得
⎪⎩
⎪⎨⎧==++-=+-0024424c c b a c b a ………………3分 解这个方程组，得21-=a ，b =1，c =0. 所以解析式为x x y +-=22
1 （2）由x x y +-=221=2
1)1(212+--x ，可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB ．
∴OM =BM ，OM +AM =BM +AM
连接AB 交直线x =1于M ，则此时OM +AM 最小．
过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中， AB =24442222=+=+BN AN
因此OM +AM 最小值为24
11.如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.
（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰
三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO ＝90°.
∵∠AOB ＝120°，∴∠BOC ＝60°.
又∵OA ＝OB ＝4
∴OC ＝12OB ＝12
×4＝2，BC ＝OB ·sin60°＝4×32＝23. ∴点B 的坐标是(－2，－23).
（2）∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx..
将A (4，0)，B (－2，－23)代入，
得1640422 3.a b a b +⎧⎪⎨--⎪⎩＝，＝解得3623.3a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝-，＝ ∴此抛物线的解析式为y ＝－232363
x x +. （3）存在.
如图，抛物线的对称轴是x ＝2，直线x ＝2与x 轴的交点为D .
设点P 的坐标为(2，y )
①若OB ＝OP ，
则22+| y
|2＝42，解得y ＝±23. 当y ＝23时，在Rt △POD 中，∠POD ＝90°，
sin ∠POD ＝23342
PD OP ＝＝. ∴∠POD ＝60°.
∴∠POB ＝∠POD +∠AOB ＝60°+120°＝180°， 即P ，O ，B 三点在同一条直线上，
∴y ＝23不符合题意，舍去. ∴点P 的坐标为(2，－23). 方法一：②若OB ＝PB ，则42+| y
+23|2＝42，解得y ＝－23. ∴点P 的坐标是(2，－23).
③若OB ＝PB ，则22+| y |2＝42+| y +23
|2，解得y ＝－23. ∴点P 的坐标是(2，－23).
综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－23). 方法二：在△BOP 中，求得BP ＝4，OP ＝4，又∵OB ＝4， ∴△BOP 为等边三角形.
∴符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－23).。