应用组合数学第二章答案
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学(第四版)课后习题答案
第2章 鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。
能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数若正好有i a =k ,则命题得证。
若不然,如下：∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有 771≤≤i ，且13217721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有kk a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：ka k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。
□当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。
ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵2222>+i a ，771≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，771≤≤i则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
小学奥数7-5-2 组合的基本应用(二).专项练习及答案解析
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数nm P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；知识要点教学目标7-5-2.组合的基本应用（二）第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m mn n mP C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn nC C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．模块一、组合之几何问题【例 1】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题．由组合数公式：⑴ 可画出221010221094521P C P ⨯===⨯(条)直线段． ⑵ 可画出331010331098120321P C P ⨯⨯===⨯⨯(个)三角形． 例题精讲⑶ 可画出44101044109872104321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯(个)四边形． 【答案】⑴21045C = ⑵310120C = ⑶410210C =【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，由组合数公式，2101094521C ⨯==⨯，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．【答案】45【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选出3个点的选法，等于3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．【答案】3735C =【例 2】 平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴ 分三类：①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯个； ②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯(个)； ③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯个．根据加法原理，可确定909020200++=个三角形．⑵ 两点可以确定两条射线，分三类：①共线的6点，确定10条射线；②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2665223021C ⨯⨯=⨯=⨯(条)射线；③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272⨯⨯=(条)射线． 根据加法原理，可以确定103072112++=(条)射线． 【答案】⑴200 ⑵112【巩固】 如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？ ⑵ 图2中，共有多少个角？54321...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 在线段AB 上共有7个点（包括端点A 、B ）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而27C 表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有27C 条线段． 由组合数公式知，共有227722762121P C P ⨯===⨯(条)不同的线段； ⑵ 从O 点出发的射线一共有11条，它们是OA ， 1OP ，2OP ，3OP ，，9OP ，OB ．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有211C 种不同的取法，所以，可组成211C 个角．由组合数公式知，共有2211112211105521P C P ⨯===⨯(个)不同的角． 【答案】⑴2721C = ⑵21155C =模块二、组合之应用题【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．由组合数公式知，26651521C ⨯==⨯(次)．所以一共握手15次． 【答案】15【巩固】 某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 220201919021C ⨯==⨯(次)． 【答案】220190C =【例 4】 学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．由组合数公式知，3665420321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．所以共有20种不同的选法．【答案】3620C =【例 5】 有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出 种不同的质量。
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1.2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12...3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。
证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。
题中的数10能换成更小的数吗？4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？5，i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。
ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。
iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n.6，下列各数各有多少互异正因子？i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11ii）620iii）10的10次方7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。
i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。
ii）顺牌（5张点数相连的牌）。
iii）同花（5张一样花色的牌）。
iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。
v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。
vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。
8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。
如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学第二章习题解答
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k =1
n+1
1+ 4x + x2 ∞ = ∑(n +1)3 xn (1− x)4 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+ (1+ 23)x + (1+ 23 + 33)x2 +... + (1+ 23 +... + (n +1)3)xn +... G(x) = (1+ x + x2 +...) + 23 x(1+ x + x2 +...) +...(n +1)3 xn (1+ x + x2 +...) +...
227求下列递推关系的一般解4an1特解为两端同除以代入得特解为因此一般解为特解为两端同除以代入得特解为227求下列递推关系的一般解4an1一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为按叠加原理228lnlnlnln10lnlnlnlnln代入特征根为两边求对数230lnlnlnlnln12ln代入特征根为两边求对数231是常数因此233f0f1f2是费卜拉契序列求解
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G(x) =1+ 4x +10x2 +... + C(n + 3,3)xn +... =1+ 4x +10x2 +... + C(4 + n −1 n)xn +... , = 1 (1− x)4
组合数学 第四版 (Richard A[1].Brualdi 著) 机械工业出版社作业答案
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解法 1 因此，
对任意非负整数 n 和 k， (k 1) 即 ， ， (n 1) k k k 1 k 1 k 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n 2 1 3 2 4 3 n 1 n
k 1 k 1 k n 1 k 1 n 1 (1) k 0 n
w.
k 0
da
(1) k n 1 1
n 1 k 1
课
后
2n (3 (1)) n
n n nk n nk k 3 ( 1 ) k (1)k k 3 k 0 k 0
a1 , a 2 , , a 37 和 a1 13, a 2 13,, a 37 13 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
co
m
③ 考虑 6 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P(7, 5) 个。 ④ 考虑 5 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P (7, 4) 个。 ⑤ 考虑 4 位整数。若千位数字大于 5，有 3 P(7, 3) 个。若千位数字等于 5，则百位数字 必须大于等于 4，有 4 P(6, 2) 个。
至少已拿出 12 个相同种类的水果。因此，需要 45 分钟。 17. 证明：在一群 n 1 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没 有人与他/她自己是熟人） 。
w.
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从 0 到 n 1 的整数。若 有两个人的熟人的数目分别是 0 和 n 1 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不 可能的。因此，这 n 个人的熟人的数目是 n 1 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
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7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman
Answers to Selected Exercises1
Chapter 2
Section 2.1 . 1. yes: 263 < 20, 000; 2. yes: 263 · 103 > 5, 000; 3(a). 31 + 32 + 33 ; 3(b). 31 + 32 + 33 + 34 ; 3(c). 2 · 33 ; 4. 83 × 105 ; 8 × 2 × 10 × 83 × 105 ; 5. n = 5 since 21 + 22 + 23 + 24 = 30 and 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62. 6. 2mn ; 7. (2 · 2 · 2 · 2 · 3) − 1; 8. 106 − 96 ; 9. Bit string x S1 (x) S2 (x) S3 (x) S4 (x) 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 1 1 11 0 1 0 1 Bit string x S9 (x) S10 (x) S11 (x) S12 (x) 00 1 1 1 1 10 0 0 0 0 10 0 0 1 1 11 0 1 0 1 10. 22
2n
S 5 ( x) S 6 ( x) S 7 ( x) S 8 ( x) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 S13 (x) S14 (x) S15 (x) S16 (x) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1
1 More solutions to come. Comments/Corrections would be appreciated and should be sent to: Barry Tesman (tesman@) or Fred Roberts (froberts@).
6 9. 5! · 5! vs. 10!. Section 2.4 . 1. 25! · 2. 25! ·
1 109 1 1011
Answers to Selected Exercises
· ·
1 3.15×107 1 3.15×107
≈ 4.9 × 108 years. ≈ 4.9 × 106 years.
7
7(a). 28 . There are 23 = 8 subsets of A and each subset can be assigned a 0 or 1; 7(b). 22 ; 8(a). 22 ; 8(b). 22 . Section 2.7 . 1. C (10, 5); 2. C (50, 7); 3(a). 3(b). 3(c).
6! 3!(6−3)! 7! 4!3! 5! 1!4!
n 3 n
= 20;
= 35; = 5;
3(d). 0; 4. 5.
n! 1!(n−1)! 5! 2!3!
= n;
= 10; {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e};
6! 6. 2!4! = 15; {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {a, f }, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {b, f }, {c, d}, {c, e}, {c, f }, {d, e}, {d, f }, {e, f };
7(a). C (7, 2) =
Answers to Selected Exercises 3(d). 1 · 6 · 5 · 1; 4. P (20, 5); 5(a). 9 × 9 × 8 × 7; 5(b). 4088. There are 1 × 9 × 8 × 7 extensions if the first digit is 1 and there are 8 × 8 × 8 × 7 extensions if the first digit is 2 - 9; 6. 403 = 64, 000. Section 2.6 . 1. {}, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}; 2. 235 ; 3. 27 ; 5. 210 −ted Exercises 11. 22
n−1
5
;
12. 2p ; 2p − 1; 13(a). 2m 2p−m ; 13(b). 2m−1 2p−m ; 13(c). (2m − 1) · 2p−m ; 14(a). 3 · 2 · 3; 14(b). 23·2·3 . Section 2.2 . 1. 23 + 24 + 25 ; 2. (8 · 7) + (8 · 12) + (7 · 12); 3. 55 + 45 ; 4. Yes: 1015 > 10, 000, 000; No: 215 < 10, 000, 000; 5. 264 + 255 ; 6. 2 + 3; 7. (7 · 3)30 ; 8. 33 + 3 · 43 . Section 2.3 . 1(a). 123, 132, 213, 231, 312, 321; 1(b). 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321; 2. 1 · 4 · 3 · 2 · 1; 3. 1 · n − 2 · n − 3 · · · · · 2 · 1 · 1; 4(b). s6 ≈ 710 vs. 6! = 720; 5. 2 · 3 · 2 · 1 = 12; 6(a). 4 · 1 · 3 · 2 · 1; 6(b). n − 2 · 1 · 1 · n − 3 · n − 4 · · · · · 2 · 1; 7. 1 · 3 · 2 · 1 · 1; 8(a). 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1; 8(a). n · n · n − 1 · n − 1 · · · · · 2 · 2 · 1 · 1;
3. There are n! schedules. Each committee in each schedule must be checked to see if it received its first choice - this takes n steps per schedule. The computational complexity is f (n) = n · n!; 5. We will start (and end) at 1. Total cost Order 1 2 3 4 1 1+ 3+ 11+8 = 23 12431 1+ 6+ 2+ 4 = 13 8+ 9+ 6+ 8 = 31 13241 1 3 4 2 1 8+ 11+ 3+ 16= 38 1 4 2 3 1 11+ 3+ 3+ 4 = 21 1 4 3 2 1 11+ 2+ 9+ 16= 38 6. best order is 2, 3, 1; 7(a). n × 3 × 10−9 . 7(b).
= 21, C (6, 4) =
6! 4!2!
= 15, C (6, 5) =
6! 5!1!
11(a). C (8, 4); 11(b). C (8, 4)/2; 11(c). 28 − 2; 12. C (6, 3) + C (6, 2) + C (6, 1) + C (6, 0); 13(a). C (10, 5); 13(b). 210 − 2; 14. C (21, 5)C (5, 3)8! + C (21, 4)C (5, 4)8! + C (21, 3)C (5, 5)8!; 15. Calculate the sum of those odd numbers with distinct digits with no 0’s, a 0 in the tens place, or a 0 in the hundreds place. No 0’s: 5 choices for the ones place, then 8 · 7 · 6 choices for the other three places; 0 in the tens place: 5 choices for the ones place and 1 choice for the tens place, then 8 · 7 choices for the other two places; 0 in the hundreds place: 5 choices for the ones place and 1 choice for the hundreds place, then 8 · 7 choices for the other two places; (5 · 8 · 7 · 6) + (5 · 1 · 8 · 7) + (5 · 1 · 8 · 7) = 2240; 16(a). C (7, 3) · C (4, 2); 16(b). C (7, 1) · C (4, 1) + C (7, 2) · C (4, 2) + C (7, 3) · C (4, 3) + C (7, 4) · C (4, 4); 16(c). C (10, 3); 16(d). C (7, 2) · C (4, 2) − C (6, 1) · C (3, 1); 17(a)(i). C (9, 4); 17(a)(ii). 6; 17(a)(iii). 2; 17(a)(iv). 1; 17(b). JAVA, JAVA, JAVA, JAVA, JAVA, C++, C++, C++, C++; 17(c)(i). 9!; 17(c)(ii). 6 · 4! · 5!; 17(c)(iii). 2 · 4! · 5!; 17(c)(iv). 5 · 4 · 4 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1;