组合数学第一章习题
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学第一章习题
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解 由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千 位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一 个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
N1
1
7! 4!2!
105.
然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解 先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间 隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
是什么?
3.用组合分析的方法证明恒等式
n
2n
n k (1)k C(n,k)3k 的值是( (-2)n ).
k 0
5.设n为正整数,则
n
C(n, 2k)
等于 ( 2n-1
).
6.用组合分析法证明 k0
n l
C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解 令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
6.用组合分析法证明
n l
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。
（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。
所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。
如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。
求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
《组合数学》第二版(姜建国著)-课后习题答案全
习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
《组合数学》第二版 姜建国著 课后习题答案全
只需证明 f 是满射函数即可。又因为 f 是定义在两个有限且基数相等的函
数上，因此如果能证明 f 单射，则 f 必是满射。
假设 f 不是单射，则存在 (am1, am2 ,, a2 , a1), (bm1, bm2 ,, b2 , b1) M ， (am1, am2 ,, a2 , a1) (bm1, bm2 ,, b2 , b1) ，且有 K0 N ，使得 K0 f (am1, am2 ,, a2 , a1) f (bm1, bm2 ,, b2 , b1) 由于 (am1, am2 ,, a2 , a1) (bm1, bm2 ,, b2 , b1) ，故必存在 j m 1 ，使得 a j bj 。不妨设这个 j 是第一个使之不相等的，即 ai bi (i m 1,, j 1) ， aj bj 且 aj bj ，
2．比 5400 小并具有下列性质的正整数有多少个？ （1）每位的数字全不同； （2）每位数字不同且不出现数字 2 与 7； 解：（1）比 5400 小且每位数字全不同的正整数； 按正整数的位数可分为以下几种情况： ① 一位数，可从 1～9 中任取一个，共有 9 个； ② 两位数。十位上的数可从 1～9 中选取，个位数上的数可从其余 9 个数 字中选取，根据乘法法则，共有 9 9 81个； ③ 三位数。百位上的数可从 1～9 中选取，剩下的两位数可从其余 9 个数 中选 2 个进行排列，根据乘法法则，共有 9 P92 648 个； ④ 四位数。又可分三种情况： 千位上的数从 1～4 中选取，剩下的三位数从剩下的 9 个数字中选 3 个进行排列，根据乘法法则，共有 4 P93 2016 个； 千位上的数取 5，百位上的数从 1～3 中选取，剩下的两位数从剩 下的 8 个数字中选 2 个进行排列，共有 3 P82 168 个； 千位上的数取 5，百位上的数取 0，剩下的两位数从剩下的 8 个数 字中选 2 个进行排列，共有 P82 56 个； 根据加法法则，满足条件的正整数共有：9 81 648 2016 168 56 2978 个；
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学第一章课后习题部分答案
n
1.6
i i ! 1.1! 1.1! n n! 1.1!
i 1
= 2.1! 2.2! 1.1! = 3.2! 3.2! 1.1! =(n+1)!-1 1.8 (10 , 20 ) = (2 5 ,2 5 ) = 2 5 （包括 1） 公因数共有 41·31=1271 个。 1.14 2!*3! =12 1.15 488895 1.16
C
k 2 n 1
按照以上字典序法、递增进位制数、递减进位制数法和邻位对换法四种算法，分别求出 83674521 之后第 1013 个排列。 中介数 7244221 7442221 1222447 1012120 1012 中介数 122021 122021 3005 3005 新中介数 7411320 7604320 1230454 1020125 新排序 85237614 87543126 47683215 32741865
已知 6 个球里有 3 个白球，那么最后一个球是白球的概率为 1/2
2 2 C2 60 −6C 10 −10C 6
1.24 (1)
2
= 675
60 个点中任取 2 点，除去 2 点共线的情况，对应一条矩形的对角线（正方形也是一类 特殊的矩形） ，除以 2 是因为矩形有两条对角线 (2)
2 2 2 3 2 2 C2 +C3 +C4 +C5 + 5C6 = 115
同理，也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 1.25 (1) 1 + C5 C10 + C10 = 96 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里，每个盒子里放 k 个球，然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个
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• 5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的 次序两排交错开来，试求从一特定引擎 开始点火有多少种方案。解 • 6.试求从1到1000000的整数中，0出现了 多少次？解 • 7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试 问有多少种不同的方案？若围成一圆桌 坐下，又有多少种不同的方案？解 • 8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒 子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为
5
• 7.解：把n个男、n个女分别进行全排列，然后
按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 2 再乘2,即方案数为2· (n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 2 根据圆排列法则，方案数为2 · (n!) /(2n)个.题
• 8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一
个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r个小 球放入r个不同的盒子，每个盒子可以放任意个 球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有 C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。 根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。 证毕。题
m m-2 +…+ n n-2
( )( ) ( )
m-n n m 0 =2 n
• 21.对于给定的正整数n,证明当 n-1 , n+1 若n是奇数 2 2
若n是偶数 时，C(n,k)是最大值。解 (2n)! (3n)! • 22.(a)用组合方法证明 2n 和 2n·3n都是整数. (n2)! (b)证明 (n!) n+1 是整数. 解 • 23.(a)在2n个球中,有n个相同,求从这2n个 球中选取n个的方案数。 (b)在3n+1个球中，有n个相同，求从 这3n+1个球中选取n个的方案数。解
• 11.(续前页)根据图论知识，每个对角线 交点有4个度，每个顶点去掉与相邻两个 顶点的连线还有7个度，可以得到 210 ·4 + 10 ·7 ——————— = 455条边 题 2 • 12.证：根据第9题的结论， a1 a2 al n= p1 p2 …pl , 能被(a1+1)· (a2+1)·…·(al+1) 2a1 2a2 2al 2 个数整除，而n = p1 p2 … pl ,能被 (2a1+1)· (2a2+1)·…·(2al+1)个数整除， 2ai+1为奇数(0≤i≤l) ，所以乘积为奇数。 证毕。题
k= n 2
• 24.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中. n 3 +1 (a)0出现偶数次的字符串有—— 个； 2
解 • 25. 5台教学机器m个学生使用，使用第1 台和第2台的人数相等，有多少种分配方 案？解
n n-1 n (b) 2 + 2 2 +…+ q n 其中q=2 — . 2
再证表示的唯一性： k k 设n=∑ai· i!=∑bi· i!, i=1 i=1 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi} a j· j!+aj-1· (j-1)!+…+a1· 1! =bj· j!+bj-1· (j-1)!+…+b1· 1!, j-1 j-1 (aj-bj)· j!=∑(bi-ai)·i!≥j!＞∑i· i! j-1 i=1 i=1 j-1 ≥∑|bi-ai|·i!≥∑(bi-ai)· i! i=1 i=1 另一种证法：令j=min{i|ai≠bi} ∑ ai· i!=∑bi· i!, i≥j i≥j 两边被(j+1)!除,得余数aj· j!=bj· j!,矛盾.
• 4.解：设取的第一组数有a个,第二组有b个,而
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从m个数中取第一组数共有 m-1中取法。 n n-1 总的方案数为∑( m-1)C(n,m)=n· 2 +1. 题 m=2
a1 a2
alBiblioteka • 13.统计力学需要计算r个质点放到n个盒 子里去,并服从下列假定之一，问有多少 种不同的图象。假设盒子始终是不同的。 (a)Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同 的，任何盒子可以放任意数个. (b)Bose-Einstein假定：r个质点完全相同， 每一个盒子可以放任意数个. • (c)Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同， 每盒不超过一个.解
合意义。解
• 17.证明：解
m m m 0 n + 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
m-1 m n-1 + 2
• 18.从n个人中选r个围成一圆圈，问有多少种 不同的方案？解 • 19.分别写出按照字典序由给定排列计算其 对应序号的算法及由给定序号计算其对应排 列的算法。(解略) • 20.(a)按照第19题的要求，写出邻位对换法 (排列的生成算法之二)的相应算法。 (b)写出按照邻位对换法由给定排列生成 其下一个排列的算法。(解略)
• 13.解： 题 (a) 每个质点放入盒子都有n种选择，r个 质点共有r n 种不同的图案。 (b) 可重组合，共有C(n+r-1,r)种图案。 (c) 一般组合问题，共有C(n,r)种图案。 • 14.解：题 其中有2个母音可构成C(21,4)C(5,2)6!个 字。 其中有2个母音可构成C(21,3)C(5,3)6!个 字。
• 15.解：题 如图： A(-1,m)
…… C(-r-1,0) -r-1
y m ……
B(m-n,m)
可看作是格路问题：左边第i项为从点C 到点(-1,i)直接经过(0,i)的路径,再到点B 的所有路径数。左边所有项的和就是从 点C到B的所有路径数即为右边的意义。
-1 0
m-n
x
• 16.解：C(n+1,r+1)是指从n+1个元素a1, a2,…,an+1中任取r+1个进行组合的方案数。 左边：若一定要选an+1,则方案数为C(n,r). 若不选an+1,一定要选an,则方案数为C(n-1,r). 若不选an+1,an,…ar+2,则方案数为C(r,r).题 所有这些可能性相加就得到了总方案数。 • 17.证：组合意义,右边：m个球,从中取n 个,放入两个盒子,n个球中每个球都有两 种放法,得到可能的方案数。左边：第i项 的意义是一个盒子中放i个,另一个盒子放 n-i个,所有的方案数相加应该等于右边。
习题解答
• 1.证：对n用归纳法。题 先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k· k! 由假设对n-k!,命题成立， k 设n-k!=∑ a i· i!，其中ak≤k-1, i=1 k n=∑ a i· i!+k!，命题成立。 i=1
n
• • • •
18.解：圆排列:共有P(n,r)/r种不同的方案。 19.(略) 18题 20.(略) 21.证：取C(n,k)和C(n,k-1)进行比较。 C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k。 当k>n/2时,(n-k+1)/k<1,即C(n,k)<C(n,k-1) 当k<n/2时,(n-k+1)/k>1,即C(n,k)>C(n,k-1) 得到当k为最接近n/2的数时，C(n,k)取到 最大值。题
999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 5 了6· 10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 5 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 4 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 3 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 2 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 1 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 0 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。 另外1000000的6个0应该被加上。 题 所以0共出现了 5 5 4 3 1 0 2 6· 10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。
第一章习题
• 1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式： n=∑aii!,0≤ai≤i,i＝1,2,…。 解 i≥1 • 2.证 nC(n-1,r) = (r+1)C(n,r+1).并给出组合 意义。解
• 3.证∑kC(n,k)=n2 。解
n-1
i≥1
k
• 4.有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第一组数里的最小数大于第二组的 最大数。问有多少种方案？解
• 2.证：题
(n-1)! (r+1)· n! nC(n-1,r) = n ———— = ——————— r!· (n-r-1)! (r+1)· r!· (n-r-1)! (r+1)· n! = —————— = (r+1)C(n,r+1). (r+1)!· (n-r-1)!
组合意义： 等式左边：n个不同的球，先任取出1个， 再从余下的n-1个中取r个； 等式右边：n个不同球中任意取出r+1个， 并指定其中任意一个为第一个。 显然两种方案数相同。
• 9.解：每个能整除尽数n的正整数都可以 选取每个素数pi从0到ai次，即每个素数有 ai+1种选择，所以能整除n的正整数数目 为(a1+1)· (a2+1)·…·(al+1)个。题 • 10.解：相当于把n个小球放入6个不同的 盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n) 中方案，即C(n+5,n)中方案。题 • 11.解：根据题意,每4个点可得到两条对 角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个 的方案有C(10,4)中,即交于210个点。