组合数学第一章习题解答
组合数学-卢开澄
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{{1,6},{2,7},{3,8},…,3,8},…,3,8},…,{45,50} {45,50} ) (b) 45´5+(4+3+2+1) = 235 ( 1®2~6, 2®3~7, 3®4~8, …,45®46~50, 46®47~50, 47®48~50, 48®49~50, 49®50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2´5´P(8,2)+3´4´P(8,2). 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。
用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41´31. 9. 设有素数因子分解设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k nk k , 则n 2的除数个数为的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1)…(…(2n 2n k +1). 10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
验证等式成立。
组合答案第一章
1.35凸10 边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10 边形的对角线交于多少个点？解：根据题意,每4 个点可得到两条对角线,1 个对角线交点,从10 个顶点任取4 个的方案有C(10,4)中,即交于210 个点。
1.36试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
证：设,p1、p2、…、p l是l个不同的素数，每个能整除尽数n的正整数都可以选取每个素数p i从0到a i次，即每个素数有a i+1种选择，所以能整除n的正整数数目为(a1+1)·(a2+1)·…·(a l+1)个。
而,能被(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2a l+1)个数整除，2a i+1为奇数(0≤i≤l)，所以乘积为奇数。
证毕。
1.37给出的组合意义.解：如图：可看作是格路问题：左边第i项为从点C到点(-1,i)直接经过(0,i)的路径,再到点B的所有路径数。
左边所有项的和就是从点C到B的所有路径数即为右边的意义。
1.38给出的组合意义。
解：C(n+1,r+1)是指从n+1个元素a1, a2,…,a n+1中任取r+1个进行组合的方案数。
左边：若一定要选a n+1,则方案数为C(n,r).若不选a n+1,一定要选a n,则方案数为C(n-1,r).若不选a n+1,a n,…a r+2,则方案数为C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。
1.39证明:证：组合意义,右边：m个球,从中取n个,放入两个盒子,n个球中每个球都有两种放法,得到可能的方案数。
左边：第i项的意义是一个盒子中放i个,另一个盒子放n-i个,所有的方案数相加应该等于右边。
证毕。
1.40 从n个人中选r个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？解：圆排列:共有P(n,r)/r种不同的方案。
1.43对于给定的正整数n,证明当时，C(n,k)是最大值。
证：取C(n,k)和C(n,k-1)进行比较。
组合引论第一章作业答案docx
组合数学引论第一章习题解答3. 任意一个整数除以n的余数最多只可能有n种情况：0，1，2…n-1. 所以n+1个整数除以n，必有至少两个数的余数相同，那么它们的差是n的倍数。
4.令b1，b2，…，b77分别为这11周期间他每天下棋的次数，并作部分和a1=b1，a2=b1+b2，…，a77=b1+b2+ … +b77.依题意，b i≥1 (1 ≤ i < j ≤77)，b i+b i+1+ … +b i+6 ≤ 12 (1 ≤ I ≤71)，故有 1 ≤ a1 < a2 < … < a77≤ 12∙11= 132，当1 ≤ k ≤ 21时，考虑数列a1，a2，…，a77；a1+k，a2+k，…，a77+k，它们都在1与132+k之间，共有154项。
由鸽巢原理，必有两项相等。
由于a1，a2，…，a77这77项互不相等，a1+k，a2+k，…，a77+k这77项也互不相等，所以一定存在1 ≤ i < j ≤77，使得a j = a i + 21.故而k= a j - a i .而选手不一定能在连续的一些天里下22盘。
类似如上证明，我们可以构造出a1，a2，…，a77；a1+k，a2+k，…，a77+k这154项均不相等的情形。
但同时，如果该棋手每天下一盘，则可轻易看出是可能的。
6. 首先，运用抽屉原理将整数1至200按照1*2n，3*2n，5*2n，…，197，199的形式分成100个抽屉，从1到200中任取100个，其中有一数a小于16，假设没有两个构成整除关系，首先按抽屉原理，这100个数必须为每个抽屉中仅取且必取1个数，否则假设不成立，其次，1、当a为小于16的奇数时（比如15），显然有数与其构成整数关系（比如抽屉15*11=165）结论成立2、当此数为1*2n时，显然n≤3,考虑抽屉3*2n1，9*2n2，27*2n3，81*2n4，显然若不存在整除关系，则n4 < n3 < n2 < n1 < 3，即四个数只能在0、1、2三个数中选择，此时产生矛盾，必存在两数整除关系;3、更一般的，当此数为非2的幂的偶数时，可写成b*2n，b为奇数，且1<b≤7，n≤2，考虑抽屉3b*2n1,9b*2n2,27b*2n3(因b≤7,27b<200), n3<n2<n1<2，即三个数只能在0、1两个数中选择，此时产生矛盾，综上，假设不成立，必存在两数整除关系。
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学-卢开澄-习题答案
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 48→49~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2).6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41⨯31. 9. 设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k n k k , 则n 2的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1) …(2n k +1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(1010-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kk nx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk k n n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。
（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。
所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。
如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。
求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
《组合数学》第二版(姜建国著)-课后习题答案全
习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
组合数学习题解答
10! 种方式。 10
9! ,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！ 。 9
1.14. 求 1 到 10000 中，有多少正数，它的数字之和等于 5？又有多少数字之和小于 5 的整 数？ 解：(1)在 1 到 9999 中考虑，不是 4 位数的整数前面补足 0， 例如 235 写成 0235,则问题就变为求： x1+x2+x3+x4=5 的非负整数解的个数，故有 F（4，5）
1/2
2.5. 在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。
解：每列着色的方式只可能有 2 2 4 种，现有 5 列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式 相同。 �����������������������������������������������
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1.1,从{1,2,...,50}中找一双数{a,b},使其满足：
(1), a b 5 (2), a b 5
求这样的一对数的组合数。 解：1 分三部分，1-5，6-45，46-50 [C(5,1)+C(40,1)×2+C(5,1)]/2 解：2 分三部分，1-5，6-45，46-50 [5+6+7+8+9+C(40,1)×10+9+8+7+6+5]/2
000000到000999左数第4位的0出现了102次, 000000到000099左数第5位的0出现了10次, 000000到000009左数第6位的0出现了1次。
因此不合法的0的个数为105+104+103+102+101+1=111111， 不合法的应该去掉，再加整数1000000中的6个0，这样，从1到 1000000的整数中0出现的次数为6×105-111111+6=488895。
问题：在去掉多余的零的过程中，多减去了一部分，例如： 000000这种情况在每次减的过程中都出现。
1.16、n个完全一样的球放到r个有标志的盒中，无一空盒， 试问有多少种方案？
取r个球每盒放一个，然后n-r个放入r个不同盒中，同充许空盒 的放法。
C(r+n-r-1,n-r)=C(n-1,n-r)=C(n-1,r-1)
(b)把n个女生作为一个整体来看待。n!(m+1)! (c)男生A与B作为一个整体，(m+n-1)!*2
1.5,求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解： C(5,1)C(10,1)C(10,1)C(5,1)=2500
C(3,1)C(4,1)C(8,1)C(7,1)+ C(2,1)C(5,1)C(8,1)C(7,1) =672+560=1232 1.6,计算1×1!+2×2!+3×3!+n×n! 解： (n+1)!-1,迭代。 1.7,试证(n+1)(n+2)...(2n)能被2n除尽。 解： =(2n)!!(2n-1)!!/n!=2nn!(2n-1)!!/n! =2n(2n-1)!!
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最 小数大于另一组的最大数。
设取的第一组数有a个,第二组有b个,而要求第一组数中最小 数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从 大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 总的方案数为
组合意义： 从n个不同的球中取出的r+1个，要求指定第一个球，有两种
方式：
1、等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-
1个中取r个；
2、等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任
意一个为第一个。 显然两种方案数相同。
1.12 试证等式：
n
kC(n, k) n2n1
k 1
用多项式(1+x)n证明，求导
再证表示的唯一性： 设n=∑ai·i!=∑bi·i!,
令j min{ i ai bi}
aii! bii!
i j
i j
两边同时除以( j 1)!, 得余数a j j! bj j!
也就是a j! bj!,矛盾。
1.11 证明下式，并给出组合解释
nC(n 1, r) (r 1)C(n, r 1)
1.18、8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒 最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
5!×6×5×4
1.19、n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试问 不存在两个1相邻的符号串的数目？
(m+1)*m*...*(m-n+2)/n!=C(m+1,n)
1.20、甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同 志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单 位占4人，面且7人中男同志5位，试问有多少种方案？
n
(m 1)C(n, m) 要求引擎的点火的次序两 排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。
解： ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙
第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法； 第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法； 第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法； 剩下的每边1个取法固定。所以共有 C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。
1.8、求1040和2030的公因数数目。 解：
等价于求(2×5)40和(2×2×5)30 的公因数数目。 C(40,1)+C(40,1)C(30,1)+C(30,1)+1=40+1200+30=1271 C(41,1)C(31,1)=1271
1.9、试证n2的整除数的数目是奇数。
n p1a1 p2a 2 ... pm am n2 p12a1 p2 2a 2 ... pm 2am
1.3,m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若 (a)男生不相邻（m≤n+1)； (b)n个女生形成一个整体； (c)男生A与女生B排在一起。
解： (a)首先女生的全排列有n!个，那么第一个男生有n+1个位置 可选第二个男生有n个位置，...，第m个男生有n-m+2个位置可选。 男生不相邻的排列数有n!(n+1)!/(n-m+1)!
习题：1.15试求从1到1000000的整数中，0出现的次数。 解：先将1到999999的整数都看作6位数,例如2就看作是
000002，这样从000000到999999。0出现了多少次呢？ 6×105，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000000到999999中最左1位的0出现了105次， 000000到099999中左数第2位的0出现了104次， 000000到009999左数第3位的0出现了103次,
所有的组合数都是偶数，最后再加上1，偶数加1是奇数
1.10 证明任一正整数n可惟一地表示成：
n a1i!,0 ai i, i 1 i 1
先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k! 由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑ai·i!，其中ak≤k-1, n=∑ai·i!+k!，命题成立。