组合数学第一章习题
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学第一章习题
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解 由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千 位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一 个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
N1
1
7! 4!2!
105.
然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解 先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间 隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
是什么?
3.用组合分析的方法证明恒等式
n
2n
n k (1)k C(n,k)3k 的值是( (-2)n ).
k 0
5.设n为正整数,则
n
C(n, 2k)
等于 ( 2n-1
).
6.用组合分析法证明 k0
n l
C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解 令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
6.用组合分析法证明
n l
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≢n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。
（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。
所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。
如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。
求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学第一章习题
• 5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的 次序两排交错开来，试求从一特定引擎 开始点火有多少种方案。解 • 6.试求从1到1000000的整数中，0出现了 多少次？解 • 7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试 问有多少种不同的方案？若围成一圆桌 坐下，又有多少种不同的方案？解 • 8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒 子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为
5
• 7.解：把n个男、n个女分别进行全排列，然后
按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 2 再乘2,即方案数为2· (n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 2 根据圆排列法则，方案数为2 · (n!) /(2n)个.题
• 8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一
个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r个小 球放入r个不同的盒子，每个盒子可以放任意个 球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有 C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。 根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。 证毕。题
m m-2 +…+ n n-2
( )( ) ( )
m-n n m 0 =2 n
• 21.对于给定的正整数n,证明当 n-1 , n+1 若n是奇数 2 2
若n是偶数 时，C(n,k)是最大值。解 (2n)! (3n)! • 22.(a)用组合方法证明 2n 和 2n·3n都是整数. (n2)! (b)证明 (n!) n+1 是整数. 解 • 23.(a)在2n个球中,有n个相同,求从这2n个 球中选取n个的方案数。 (b)在3n+1个球中，有n个相同，求从 这3n+1个球中选取n个的方案数。解
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6.单词“MISSISSIPPI”中的字母有多少种不同的排列方法？
如果两个S不相邻，又有多少种排列方法？
解 这是可重全排列问题. (1) 这相当于重集B={1·M,4·I,4·S,2·P}的全排列,故全排列数
为
N 11! 34650.
1 4! 4! 2!
§ 1.2 排列
(2) 先对重集B`={1·M,4·I,2·P}的做全排列,故全排列数为
§ 1.2 排列
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解 由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千 位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一 个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
2.求在1000和9999之间各位数字不相同且由奇数构成的整数 个数.
解 由于它们之间的数都是4位数且要求各位都是奇数,故所 求整数个数为 P45 5 4 3 2 120.
§ 1.2 排列
3.10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式?如果其中有两个 人不愿坐在一起,又有多种就坐方式?
解 这是全排列问题. (1) 所有就坐方式为: P(10,10)=10! (2) 所有就坐方式为: P(10,10)-2×P(9,9)=8×9! 4.10个人围园桌而坐,若两人不愿坐在一起,问有多少种就坐 方式所?若以1由0乘人法是规5男则5得女所且求交奇替数就个坐数,有为多少5种×8就×坐8×方7式=2?240个. 解 这显然是园排列问题. (1) 所有就坐方式为: 10!/10-2×9!/9=9!-2×8!=7×8!. (2) 先让5男围围桌就坐有 5!/5=4!=24;
y1 1 y2 1L yn 1 r
即
y1 y2 L பைடு நூலகம் yn r n
上式的非负整数解的个数等于原方程的正整数解的个数,故原方
程正整数解的个数为
F
(n,
r
n)
n
r r
n n
1
r r
1 n
r n
11.
解 这是属于重集
B { 1分, 2分, 5分, 1角}
的6-组合数问题,故有
F
(4,
6)
4
6 6
1
9 6
9 3
=84.
§ 1.5 组合恒等式
1.用二项式定理展开 (2x 7)7.
2.在 (3x 2 y)18展开式中, x5 y13的系数是什么? x8 y10的系数
N1
1
7! 4!2!
105.
然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解 先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间 隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
再让5女人就坐共有 5!=120; 故由乘法规则得5男5女交替就坐方式数为 24×120=2880.
§ 1.2 排列
5.在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中,有多少个数含 有数字1?又有多少个数不含数字1?
解 (1) 先计算不含数字1的个数.
不考虑10,000,000,000本身,把任何一个小于该数的不含1的 正整数看作10位数,但全是0除外.相当于从{0,2,3,…,9} 9个数中 选取,共有10个位置,故共有 910-1个. (2) 含1的数共有 1010-(910-1)+1 个.
C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解 令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
§ 1.3 组合
1.空间中有30个点,这30个点无四个点共面,问它们能确定多 少三角形?能确定多少四面体?
解 由于任意三点可确定一个三角形,故有C(30,3)=4060个. 又由于无四点共面每四点可确定唯一一个四面体,故有 C(30,4)=22405个.
2.从整数1,2,…,1000中选取三个数使得它们的和是4的倍数, 求这样的选法有多少种?
4.有纪念章4枚,纪念册6本,分送给10位同学,问有多少种分法? 如果限制每人得一件物品,则又有多少种分法?
解 (1) 由于没有限制每一个同学可得纪念册和纪念章的本数和 枚数,故此问题属于可重组合问题.
将4枚纪念章分给10位同学的方法有F(10,4)=C(13,4);
§ 1.3 组合
将6本纪念册分给10位同学的方法数为 F(10,6)=C(15,6);
解 依据余数分别为[0],[1],[2],[3]把1000个数的集合分成四个 子集B,C,D,E,且各为250个数.
(1) 从同一集合中选三个数只有B符合,有C(250,3)种; (2) 从两个集合中选三个数,C或E中选2个数,D中选1个数,或B中 1个,D中2个共有3C(250,2)C(250,1)种; (3) 从三个集合中各选1个数,从B,C和E中各选三个数,有
于是由乘法规则得所有的分法数为 N=C(13,4) C(15,6). (2) 由于每个人限制得一件物品,故此问题属于可重全排列问题.
它是重集B={4·纪念册,6 ·纪念章}的可重全排列,排列数为
M 10! C(10, 4). 4! 6!
5.为数众多的一分、二分、五分、一角硬币中有多少种方法选 出六枚硬币？
24×5=120(种). 8. 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子 最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案?
解 如果_O_O_O_O_O_,3个空盒可插在两个球之间,共有 C(6,3)=20种, 又5个有标志的球共有 5!=120种排法 , 故由乘法规 则得所求排列数为 20×120=24 0(种).