组合数学第二章
组合数学课件第二章第四节整数的拆分
2.8：整数的拆分
定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数， 等于拆分成奇正整数的拆分数？
对比7拆分成不同正整数之和的拆分数和拆分成奇 数和的拆分数。
解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下：
7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种
解：7拆分成奇数和的所有形式如下： 7，5+1+1， 3+3+1， 3+1+1+1+1，
任何一个奇数都可表示成 2n+1这种形式。
每一个奇数都及右图这样的自 共轭费勒斯图像一一对应。
n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+…+(2nk+1)
第三十一页，共35页。
2.9 费勒斯（Ferrers)图像
例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭 费勒斯图像。
首先将9写成2×4+1,按此构造自共轭费 勒斯图像。
第二行，第二列各n2+2格，对应于 2n2+1。
以此类推。由此得到的Ferres图像是自共 轭的。
第三十三页，共35页。源自2.8：整数的拆分例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各 一枚，问能称出几种可能的重量。
允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的 母函数可构造为：x+x2+ …+xn+…
其它盒也有同样的情况，共m个盒子。
G (x)(xx2...x)x (2...)x .x .2. (...) 第一第 盒二第 盒 m 盒
第二十二页，共35页。
2.8：整数的拆分
xm (1 x ) m
组合数学第二章鸽巢原理
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
应用组合数学第二章答案
7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman
组合数学第二章二章六节
应用举例：斐波那契数列求解
• 斐波那契数列定义：$F_0 = 0, F_1 = 1, Fn = F{n-1} + F_{n-2} (n \geq 2)$
应用举例：斐波那契数列求解
生成函数求解
设斐波那契数列的生成函数为$F(x) = sum_{n=0}^{infty} F_n x^n$
根据递推关系和初始条件，得到$F(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + cdots$
05
生成函数与递推关系
生成函数定义及性质
乘积性质
两个生成函数的乘积对应于序列 的卷积。
线性性质
生成函数的线性组合对应于序列 的线性组合。
微分性质
生成函数的微分对应于序列的差 分。
定义
生成函数是一种将离散数学中的 序列通过幂级数形式表示出来的 函数，常用于组合数学中的计数
问题。
积分性质
生成函数的积分对应于序列的部 分和。
04
容斥原理与错排问题
容斥原理表述与证明
容斥原理的表述
对于两个集合A和B，它们的并集元素个数等于各自元素个数之和减去它们的交 集元素个数，即∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
容斥原理的证明
通过分类讨论和数学归纳法可以证明容斥原理的正确性。
应用举例：错排问题求解
错排问题的定义
在n个元素的全排列中，不是其自然排列（即每个元 素都不在其原来的位置上）的排列称为错排。
递推关系建立与求解方法
02
01
03
建立递推关系 通过组合问题的具体背景，分析问题的递推结构。 利用已知的初始条件和边界条件，建 Nhomakorabea递推关系式。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
卢开澄组合数学--组合数学第二章
(1 9x)B(x) xA(x) 1
故得关于母函数 A(x) 和 B(x) 得连立方程组：
{ (1 9x) A(x) xB(x) 8 xA(x) (1 9x)B(x) 1
§2.2 递推关系
C(n,0)C(m,0)
(2 -1- 3)
正法如下：
(1 x)n (11/ x)m xm (1 x)mn
§2.1 母函数
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn ] [C(m,0) C(m,1)x1 C(m, m)xm]
xm[C(m n,0) C(m n,1)x C(m n,2)x2 C(m n, m n)xmn
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
的关系时所起的作用。对其他序列也有同样 的结果。现引进母函数概念如下：
定义：对于序列 a0, a1, a2,, 构造一
函数：
G(x) a0 a1x a2x2 ,
称函数G(x)是序列a0, a1, a2,的母函数
§2.1 母函数
(1 x)n
例如
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
如若已知序列 a0 , a1, a2,,则对应的母函
数G(x)便可根据定义给出。反之，如若以求得 序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。
序列 a0, a1, a2,, 可记为{an}。
§2.2 递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法 分析中经常用到，举例说明如下：
A
B
C
§2.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
组合数学第二章习题解答
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k =1
n+1
1+ 4x + x2 ∞ = ∑(n +1)3 xn (1− x)4 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+ (1+ 23)x + (1+ 23 + 33)x2 +... + (1+ 23 +... + (n +1)3)xn +... G(x) = (1+ x + x2 +...) + 23 x(1+ x + x2 +...) +...(n +1)3 xn (1+ x + x2 +...) +...
227求下列递推关系的一般解4an1特解为两端同除以代入得特解为因此一般解为特解为两端同除以代入得特解为227求下列递推关系的一般解4an1一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为hnhn一般解为代入替推关系的特解为按叠加原理228lnlnlnln10lnlnlnlnln代入特征根为两边求对数230lnlnlnlnln12ln代入特征根为两边求对数231是常数因此233f0f1f2是费卜拉契序列求解
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G(x) =1+ 4x +10x2 +... + C(n + 3,3)xn +... =1+ 4x +10x2 +... + C(4 + n −1 n)xn +... , = 1 (1− x)4
组合数学 第四版 (Richard A[1].Brualdi 著) 机械工业出版社作业答案
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解法 1 因此，
对任意非负整数 n 和 k， (k 1) 即 ， ， (n 1) k k k 1 k 1 k 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n 2 1 3 2 4 3 n 1 n
k 1 k 1 k n 1 k 1 n 1 (1) k 0 n
w.
k 0
da
(1) k n 1 1
n 1 k 1
课
后
2n (3 (1)) n
n n nk n nk k 3 ( 1 ) k (1)k k 3 k 0 k 0
a1 , a 2 , , a 37 和 a1 13, a 2 13,, a 37 13 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间
co
m
③ 考虑 6 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P(7, 5) 个。 ④ 考虑 5 位整数。最高位不能为 0，因此 8 位整数有 7 P (7, 4) 个。 ⑤ 考虑 4 位整数。若千位数字大于 5，有 3 P(7, 3) 个。若千位数字等于 5，则百位数字 必须大于等于 4，有 4 P(6, 2) 个。
至少已拿出 12 个相同种类的水果。因此，需要 45 分钟。 17. 证明：在一群 n 1 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没 有人与他/她自己是熟人） 。
w.
证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从 0 到 n 1 的整数。若 有两个人的熟人的数目分别是 0 和 n 1 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不 可能的。因此，这 n 个人的熟人的数目是 n 1 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
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课堂中的“空白”艺术
所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。
在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。
那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。
现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。
走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。
而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。
特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。
在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。
教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。
[片段一]
课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。
师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。
）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。
学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下：
第一种用符号表示：……
第二种用画图表示：……
第三种用实物表示：小棒、学具卡片……
第四种用数字表示：1、2、3、……
第五种用“正”字表示。
学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。
[评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。
因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。
]
[片段二]
课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？
学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？
师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？
生：因为有一双鞋就等于有一个人。
师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？
生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。
生2：你们应该做文明的好孩子。
生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。
[评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。
]
以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动
发展，这不正是新课程理念的生动体现吗？可见，只要课堂空白留得恰当，不仅不用担心学生理解不了，而且学生的理解还会在这个过程中不断得到提高。
从心理学角度对上述两个片段进行分析结论如下：
1、整堂课都是知识的传授，极易导致学生产生生理和心理的疲劳，引起学生的“分心”现象；而留下空白点，学生可以从中得到积极地休息，由听转为思。
2、从记忆原理看，“满堂灌”的教法，学生并不容易记住，因为缺乏学生自己的理解；而留下空白点的课，学生由被动的接受者成为了主动的参与者，实际记忆效果好。
3、从创造和想象原理来说，留下空白点的课更容易使学生荡起想象的浪花，激起好奇的涟漪。
总之，画家作画巧妙布白，给欣赏者以遐想的空间；教师上课在细针密线处留有余地，会引发学生去思考、去探究、去发现。
在课堂上学生不再是观众，而是积极的参与者；不再是被动接受知识，而是一位思想活跃的探索者。
在“空白”中，学生有浮想联翩，有思潮如涌，有顿悟感叹，在思维运动中训练着思维，于是乎，“空白”艺术变成了训练思维的“体操”。