质点与质点组.ppt

n
2a
mg


解：选柱坐标，抛物线方程r 2 4az，约束力N 与z轴夹角，
arctg dz arctg r ,
dr
2a
tg dz 2r 1， ，mu2 mgtg (见图），u2 2ag.
dr 4a
4 2a
此时m对z轴的角动量Lz mu 2a 2ma 2ga （1） 总机械能1 mu2 mgz 1 m 2ga mga 2mga （2）
,
才演变成上述情景。
2
2
z轴方向角动量守恒，即mr2 Lz 2ma 2ga (6)
设质点沿着子午线的速度为V，V 2 r2 z2 ,
由（5）（6）式消去，利用r 2 4az，得
V 2 2a2g 2gz 5ga (7) z
为什么要求V，注意V是沿子午线经线，只有这个方向 才涉及上下运动。当V 0时上式（7）变为
到达z 2a时，r 8a,由（5）得r ga,
由（8）得tg 2 8a 2，
4a
代入（8）需用r 4ga，ga 4ga,小球必下落。
注意：初始时刻，冲击前m满足匀速圆周运动条件，m不上升也不下降。
冲击后使m的速度由u
2ga变为v
ga

ue
（2）.同样，沿铅直z方向外力矩 M，Z 角0动量在z方向分 量也是守恒的。（铅直方向有重力、支持力，但位矢沿xy 面，则力矩沿 xy面）
（3）.体系的动能不守恒，初始都不动，人走动后动能显 然不为0，因为人走动过程中人盘间内力作功。故能量也 不守恒。
这样，水平面的动量守恒，铅直方向角动量守恒，一共给 出三个方程，而确定圆盘的运动只需三个独立变量（即盘 心运动轨迹、速度、绕盘心的角速度），圆盘运动确定后， 人的运动随之确定。
质点组动能、内势能和外势能的总和在运动中保持不变。
2、克尼希定理
T TC T
3、质心动能定理
dT dW e dW i
§2．5牛顿定律的内在随机性、相图
§2．6变质量物体的运动
变质量体运动微分方程式
d mv dm u F
dt
dt
或
m dv dm u v F
Co M v0 CA m (v0 oA u) 0 (2)
M质心o对c角动量+绕质心o的角动量+m对c的角动量
（1）式取
v0
方向的分量方程
（2）式M取v0
m(v0 R u) 0 (3)
方向的分量方程（垂直纸面向里为正）

ue
是垂直的，
故v

v0

u


v0

ue
,v2

v02

u2 ,动能增加了1 2
mv02

1 2
mga,
机械能增加，变为：1 mv2 mgz 3 mga mga 5 mga (4)

2
2
2
冲击后，N不作功，机械能守恒，柱坐标下
1 m(r2 r 22 z2 ) mgz 5 mga (5)
z 2a时，r 2 4az 8a2, r 8a
而z a / 2时，由（8）式tg 2 2a 2 ,
4a 2
代入（8）得圆周运动需要的速度r ga,显然 4ga ga,
即由（5）机械能守恒得到的实际横向速度要比（8）圆周运动所需的速度大， 因此m必上升。
A1 A2
解：人A与圆盘中心o的连线绕固定点c的绝对转角是 人对c的角动量是
mcA2 ( ) m( M )2 R2 ( )
M m
圆盘对其自身质心o的角动量是


规定逆时针方向为正
圆盘质心o对c点的动量矩 M ( m )2 R2( )
M m
故圆盘对c的角动量为 M ( m )2 R2( )
设人走动后，盘心o绕c点作圆周运动的速度为 人相对于静止坐标系的速度是
v，0 则
v

v0



oA

u

牵连速度

相对速度
于是体系在水平面内的总动量守恒表示为

Mv0

m
v0



oA

u
0
(1)
体系对c点（静系中固定点）的铅直方向总角动量守恒：





Mv0
mR mM

m(v0
R u)
MR M m

0
(4)
解（3）（4）式得
2m u
3m M R
(u R)m mu
v0
mM
3m M
结果表明，人走动之后，盘心o
以速率
mu 3m M
绕c（体
系质心在空间不动）作圆周运动；圆盘又以角速度
2m u 转动。
M m
人、盘对c的总角动量为
m( M )2 R2 ( ) M ( m )2 R2 ( ) 0
M m
M m
利用初始条件

0，

0积分得：

MmR2 MmR2 (M


m)
1. u ，是人走过的相对角度， 才是人相对静系转过的绝对角度。
质点与质点组动力学
第一次习题课
一、质点力学
§1.1位矢、位移、速度、加速度在坐标系中表示
§1.2平动参照系与牛顿时空观
§1.3质点运动定律
§1.4质点运动微分方程
mr

F
§1.5质点动力学基本定理和守恒定律
1、动量定理与守恒定律
dP

F
dt


F 0 P P0
2、角动量定理与守恒定律
m(r) 2
圆周运动应满足 r

mgtg
(8)
tg

dz dr

2r 4a
瞬时成立，当m运动到z a 时，由（5）式r 0, z 0, 2
得r 4ga即横向水平速度
z a / 2时，r 2 4az 2a2 , r 2a；
R
是盘的任一半径对静系（地面）的转角， 是盘心o对质心c的转角。
v0 mu M m M m u d
oc 3m M mR 3m M R dt
u u 2m u M m u v0
R
R 3m M R 3m M R oc
冲击作用之2 后，质点动量2 改变了，受到一个沿（子午线，经线）冲击，
但此力对z轴的力矩为0，重力mg , 约束力N对z轴的力矩恒为0, 故冲击前后，角动量守恒，仍为Lz 2ma 2ga （3）
冲击后动能变化了，注意v0

v0与u

0
P P0
2、质心 MVc
i
M
dVc

F
e
dt
§2.3角动量定理与角动量守恒定律
1、角动量定理与角动量守恒

dL dt

n i 1
ri

Fi
e


M (e)
M (e) 0
L L0
2、对质心的角动量定理
dt dt
例1：一均匀圆盘，质量M，半径R，静止地放在一光滑水 平面上，圆盘中心不固定，质量为m的人原来静止地站在 圆盘边缘上，求当人以相对速率u沿圆盘边缘走动后圆盘的 运动。
m
M R
u
u
OC
A
V0

1、分析
（1）.体系（M和m）在水平面内没有受到外力作用（人与 盘之间的作用力是内力），在xy平面内动量分量是守恒的。
2z2 5az 2a2 0, 解方程z a / 2和z 2a. 对于一般的Ｖ，z的取值在a / 2 z 2a成立， 即质点运动轨迹限制在两个水平面z a / 2与z 2a之间。
在 a 与2a之间，机械能守恒与z轴方向上角动量守恒（5）（6）式成立， 2
此时速度有r, r, z分量，
2、求解
初始时刻M，m静止，体系质心c静止。m 走动后由于水平面
内无外力，质心c仍保持不动，始终在盘心o与人所在A点的
连线上。
OC mR M m
CA MR M m
注意c不是圆盘上的固定点，c是静止坐标系中的固定点， 因体系动量守恒。
反另向一转方动面，，具人有获角得速相度对速度u ，人对圆盘有作用力使圆盘 角总速之度，从转静动止，坐人标则系绕上c作看圆，周o运绕动c作，圆从周圆运盘动上，看同人时沿圆圆盘盘以作 速率u的运动。
例二：质量为m的质点运动在光滑旋转抛物面x2 y2 r2 4az的内表面，
如果它以匀速u沿半径为2a的水平圆周运动时，受到一个冲击，使它沿
1
抛物面子午线切向获得一个附加速度v0 (ag)2，证明在其后的运动中， 质点的轨迹被限制在z=a / 2与z=2a两个水平面之间。
V
0 2a
u
3m M R
3、讨论
• 设人绕盘心的相对角速度为 ,则 u
盘绕盘心o自转的角速度为 R
有
d 2mu 2m d
dt (3m M )R 3m M dt
如人绕盘若 M走一周 ，即盘则很重，人轻，3m2m0，M圆2盘基本不3 动4M m
L L LC
L