特征值模态
关于对模态概念的理解
第43卷第2期力学与实践2021年4月关于对模态概念的理解陈立群D(上海大学力学与工程科学学院力学系，上海200444)摘要通过分析模态的性质并与复模态和非线性模态比较以加强对模态概念的理解。
固有模态的基本性质是模态振动的同频性、对初始条件的不变性、模态的正交性和系统响应的叠加性。
复模态仍具有模态振动的 同频性，但没有对初始条件的不变性，正交性和叠加性仅在状态空间中成立。
非线性模态仅保留了同频性或不 变性，不具有正交性和叠加性。
关键词教学，模态，复模态，非线性模态，振动中图分类号：0312 文献标识码：Adoi: 10.6052/1000-0879-20-430ON THE CONCEPT OF MODESC H E N L i q u n 1)(D ep artm en t of M echanics, School of M echanics and Engineering Science, Shanghai University, Shanghai 200444, C hina)A b s t r a c t In order to better understand the concept of m o d e s , the characteristics of m o d e s are analyzed a n d c o m p a r e d with those of c o m p l e x m o d e s or nonlinear m o d e s . T h e connotation of a m o d e includes the synchronic - ity of the m o d a l vibrations , the invariance to the initial conditions , the orthogonality a m o n g m o d e s , a n d the superposition of the m o d a l vibrations into the response . A c o m p l e x m o d e concerns with the synchronicity but not the invariance , while the orthogonality a n d the superposition hold only in the state space . A nonlinear m o d e concerns bot h with the synchronicity a n d the invariance , but not the orthogonality nor the superposition .K e y w o r d s teaching , m o d e , c o m p l e x m o d e , nonlinear m o d e , vibration17世纪，人们开始对模态有所认识。
特征值和标准值
特征值和标准值特征值和标准值是数学和统计学中常用的概念，它们在数据分析和模型建立中起着重要的作用。
特征值是一个矩阵经过线性变换后，变换矩阵与原矩阵方向相同的非零向量所对应的实数λ，称为矩阵的特征值。
而标准值则是指在统计学中，将原始数据转化为具有特定均值和标准差的数值，以便进行比较和分析。
特征值和标准值在不同领域有着不同的应用，下面将分别对其进行详细介绍。
特征值在线性代数中有着重要的地位，它可以用来描述线性变换过程中的特征和性质。
在矩阵的特征值分解中，矩阵可以分解为特征向量和特征值的乘积形式，这种分解在很多数学和工程问题中都有着重要的应用。
例如，在物理学中，特征值可以用来描述量子力学中的物理量，它们是算符的本征值，可以用来描述量子态的性质和演化规律。
在工程学中，特征值可以用来描述振动系统的固有频率和振动模态，对于结构动力学和振动控制有着重要的应用。
在机器学习和模式识别中，特征值可以用来描述数据的特征和结构，是模型建立和数据分析的基础。
而标准值在统计学中有着广泛的应用，它可以用来对原始数据进行标准化处理，使得不同数据之间具有可比性。
在正态分布的情况下，标准值可以用来描述数据的相对位置和离散程度。
在质量管理和过程控制中，标准值可以用来描述产品质量和过程稳定性，是质量管理和过程改进的重要工具。
在心理学和教育学中，标准值可以用来描述测试成绩和学生表现，是评价和比较的基础。
在金融学和经济学中，标准值可以用来描述资产收益和风险水平，是投资决策和风险管理的重要指标。
总的来说，特征值和标准值在数学和统计学中有着重要的地位，它们是描述数据和模型的重要工具，对于理论研究和实际应用都具有重要的意义。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的特征值和标准值，合理应用它们来描述和分析数据，从而得到准确的结论和有效的决策。
在实际应用中，我们需要注意特征值和标准值的计算方法和应用条件，避免盲目使用和错误解释。
特征值和标准值的选择和应用需要结合具体问题和数据特点，合理分析和判断，从而得到可靠的结果和有效的结论。
模态分析的目的和意义
模态分析的目的和意义模态分析是关于寻找特征值和特征向量。
特征值是关于知道对应于结构的一些基本振动模式的频率。
实践中，为了避开这些基频，防止共振，有时需要加强振动。
根据实际需要，基本固有频率可以给我们一个判断我们结构变形快慢的准则，基本固有频率也可以代表整个结构的刚度:频率低说明结构刚度很低(结构很软)，反之频率高。
该结构的硬度根据需求而变化。
比如刚性的高层设计虽然不会晃动太大，但是不容易吸收地震能量。
相反，高层建筑的柔性设计往往可以吸收很多地震能量，虽然会晃动很多。
振动模式有什么实用价值？从振动状态的形状可以知道结构在某一固有共振频率下的变形趋势。
要加强结构的刚性，可以从这些薄弱部位加强。
举个例子，在高层建筑的设计中，如果模态分析显示最低频率的振动状态是在整个高层建筑的扭转方向，那就说明这个方向的刚度是首先要加强的部分。
模态截断理想情况下，我们希望得到结构的完整模态集，这在实际应用中既不可能也没有必要。
实际上，并非所有模式对响应的贡献都相同。
对于低频响应，高阶模态的影响较小。
就实际结构而言，我们往往对它的前几个或十几个模态感兴趣，高阶模态往往被丢弃。
虽然这样会造成一点误差，但是频响函数的矩阵阶次会大大降低，工作量也会大大减少。
这种处理方法称为模态截断。
实例解释模态分析简单地说，模态分析是根据用结构的固有特征，包括频率、阻尼和模态振型，这些动力学属性去描述结构的过程。
那只是一句总结性的语言，现在让我来解释模态分析到底是怎样的一个过程。
不涉及太多的技术方面的知识，我经常用一块平板的振动模式来简单地解释模态分析。
这个解释过程对于那些振动和模态分析的新手们通常是有用的。
考虑自由支撑的平板，在平板的一角施加一个常力，由静力学可知，一个静态力会引起平板的某种静态变形。
但是在这儿我要施加的是一个以正弦方式变化，且频率固定的振荡常力。
改变此力的振动频率，但是力的峰值保持不变，仅仅是改变力的振动频率。
同时在平板另一个角点安装一个加速度传感器，测量由此激励力引起的平板响应。
屈曲分析实例解析
屈曲分析屈曲分析- 分析内容屈曲分析主要用于研究结构在特定载荷下的稳定性以及确定结构失稳的临界载荷,屈曲分析包括：线性屈曲和非线性屈曲分析。
线弹性失稳分析又称特征值屈曲分析；线性屈曲分析可以考虑固定的预载荷，也可使用惯性释放；非线性屈曲分析包括几何非线性失稳分析，弹塑性失稳分析，非线性后屈曲(Snap-through)分析。
欧拉屈曲buckling结构丧失稳定性称作（结构）屈曲或欧拉屈曲。
L.Euler从一端固支另一端自由的受压理想柱出发．给出了压杆的临界载荷。
所谓理想柱，是指起初完全平直而且承受中心压力的受压杆。
设此柱是完全弹性的，且应力不超过比例极限，若轴向外载荷P小于它的临界值，此杆将保持直的状态而只承受轴向压缩。
如果一个扰动(如—横向力)作用于杆，使其有一小的挠曲，在这一扰动除去后。
挠度就消失，杆又恢复到平衡状态，此时杆的直的形式的弹性平衡是稳定的。
若轴向外载荷P大于它的临界值，柱的直的平衡状态变为不稳定，即任意扰动产生的挠曲在扰动除去后不仅不消失，而且还将继续扩大，直至达到远离直立状态的新的平衡位置为止，或者弯折。
此时，称此压杆失稳或屈曲(欧拉屈曲)。
屈曲分析- 分析分类线性屈曲：是以小位移小应变的线弹性理论为基础的，分析中不考虑结构在受载变形过程中结构构形的变化，也就是在外力施加的各个阶段，总是在结构初始构形上建立平衡方程。
当载荷达到某一临界值时，结构构形将突然跳到另一个随遇的平衡状态，称之为屈曲。
临界点之前称为前屈曲,临界点之后称为后屈曲。
侧扭屈曲：梁的截面一般都作成窄而高的形式，对截面两主轴惯性矩相差很大。
如梁跨度中部无侧向支承或侧向支承距离较大，在最大刚度主平面内承受横向荷载或弯矩作用时，荷裁达一定数值，梁截面可能产生侧向位移和扭转，导致丧失承载能力，这种现象叫做梁的侧向弯扭屈曲，简称侧扭屈曲。
理想轴向受压直杆的弹性弯曲屈曲：即假定压杆屈曲时不发生扭转，只是沿主轴弯曲。
但是对开口薄壁截面构件，在压力作用下有可能在扭转变形或弯扭变形的情况下丧失稳定，这种现象称为扭转屈曲或弯扭屈曲。
AMESim 线性分析
现在得到线性系统 :
k P k a பைடு நூலகம்k P P 1 2 1 3 S
with
k1
f B 2 1 1 Cq a10 a 20 P V ρ 2 Ps 0 P0 2 P0
k2
k3
f B 2 PSO P0 Cq u V ρ
f B 2 1 Cq a10 Ps V ρ 2 PSO PO
系统的自由响应 :
k P P 1
k1t
分析解：
Pt P0e
k1 = - 1/RC 为时间常数，由容积(C) 和阻力 (R) 构成
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线性分析 – 第一个例子 : 一阶研究
线性分析 – 第一个例子 : 一阶研究
B Cq 2 a u P P a P P 1 s 2 V
与前一个表达式相关
代入 :
f P, u P
0 P
进行线性分析首先要找到平衡点，即是说
0
B 2 Cq a1 u Ps P a2 P V
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线性分析 根轨迹:
根轨迹主要用来分析系统的稳定性并且代表了复数坐标下的特征 值
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线性分析 – 第一个例子 : 一阶研究
例子 : 液阻 – 一个一阶系统
O1 Ps O2
Volume V Pression P
AMESim 线性分析工具
Training AME2
AMESim Rev9
内容
模态分析中的几个基本概念
模态分析中的几个基本概念物体按照某一阶固有频率振动时，物体上各个点偏离平衡位置的位移是满足一定的比例关系的，可以用一个向量表示，这个就称之为模态。
模态这个概念一般是在振动领域所用，你可以初步的理解为振动状态，我们都知道每个物体都具有自己的固有频率，在外力的激励作用下，物体会表现出不同的振动特性。
一阶模态是外力的激励频率与物体固有频率相等的时候出现的，此时物体的振动形态叫做一阶振型或主振型；二阶模态是外力的激励频率是物体固有频率的两倍时候出现，此时的振动外形叫做二阶振型，以依次类推。
一般来讲，外界激励的频率非常复杂，物体在这种复杂的外界激励下的振动反应是各阶振型的复合。
模态是结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
有限元中模态分析的本质是求矩阵的特征值问题，所以“阶数”就是指特征值的个数。
将特征值从小到大排列就是阶次。
实际的分析对象是无限维的，所以其模态具有无穷阶。
但是对于运动起主导作用的只是前面的几阶模态，所以计算时根据需要计算前几阶的。
一个物体有很多个固有振动频率（理论上无穷多个），按照从小到大顺序，第一个就叫第一阶固有频率，依次类推。
所以模态的阶数就是对应的固有频率的阶数。
振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一阶固有频率都对应一种振型。
振型与体系实际的振动形态不一定相同。
振型对应于频率而言，一个固有频率对应于一个振型。
按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。
此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。
在实验中，我们就是通过用一定的频率对结构进行激振，观测相应点的位移状况，当观测点的位移达到最大时，此时频率即为固有频率。
实际结构的振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。
模态扩展是为了是结果在后处理器中观察而设置的，原因如下：求解器的输出内容主要是固有频率，固有频率被写到输出文件Jobname.OUT及振型文件Jobnmae.MODE中，输出内容中也可以包含缩减的振型和参与因子表，这取决于对分析选项和输出控制的设置，由于振型现在还没有被写到数据库或结果文件中，因此不能对结果进行后处理，要进行后处理，必须对模态进行扩展。
模态相关概念
弹性力弹性物体因外力产生形变后的恢复力。
简称弹力。
形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。
弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。
物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。
一定范围内弹性力和变形程度成正比，这个范围称弹性限度。
在限度内，撤去外力，物体能恢复原状；超过这限度，变形程度不再和外力成正比，撤去外力后物体也不能恢复原状。
对弹簧来说，弹性力为F=－kx，x表示弹簧终端的位移，k 为弹性力和位移值之比，称刚度系数，负号表示弹性力的方向与位移的方向相反。
弹性力也是保守力，弹性力作功可用弹性势能表示，其值为，x为位移的值。
在外力作用下弹性物体形变后所产生的一种恢复力。
弹性力的特点是它在变形体上所做的功并不转化为热，但可转化为势能。
弹性力是一种保守力。
物体中任何两个质点相对位置的变化，称为物体变形。
当物体的形变很小时，弹性力F和物体中质点M开平衡位置时的位移成正比,其方向指向力图使质点复到平衡位置的方向。
固有振动固有振动是指物质系统在不受到与时间有关的外界作用而阻尼又可忽略的情况下所发生的振动。
又称自由振动、自然振动、本征振动（是天文学专有名词）。
固有振动的振幅决定于振动起始时系统所具有的能量。
固有振动的频率称为固有频率，只与振动系统的固有条件有关（如弹性和惯性，电容和电感等，见振动）。
物理系统（包括机械、电磁或其它类型的振动）从外界取得一定的能量开始振动以后，不再受外界作用而阻力又可忽略的情况下，仅在内部弹性力或准弹性力作用下，以固有频率而保持振幅恒定的振动状态叫“固有振动”。
固有振动的振幅决定于系统开始振动时所具有的能量，但频率则完全取决于系统本身的性质。
例如被击动后鼓膜的振动，弹簧振子偏离平衡位置后无外力作用下的振动等都是“自由振动”。
自由振动在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。
模态阶数介绍
模态阶数物体按照某一阶固有频率振动时，物体上各个点偏离平衡位置的位移是满足一定的模式的，可以用一个整体模型的向量表示，这个就称之为对应于该固有频率的模态。
模态这个概念一般应用于振动领域，它代表一种振动状态。
每个物体都有自己的固有频率，在外力的激励作用下，物体会表现出不同的振动特性。
一阶模态是物体发生共振的最低频率，当外力激励的频率与该频率相等时发生，此时物体的振动模式叫做一阶振型或主振型；二阶模态是外力的激励频率等于物体最低共振频率的两倍时候出现，此时的振动模式叫做二阶振型，以依次类推。
一般来讲，外界激励的频率是非常复杂的，物体在这种复杂的外界激励下的振动反应是各阶振型的复合叠加。
模态属于结构的固有特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
固有频率、阻尼比、振型可以由计算或试验分析取得，计算或试验分析过程被称为模态分析。
从原理上讲，数值计算中模态分析的本质是求矩阵的特征值问题，所以“阶数”就是指特征值的个数。
将特征值从小到大排列就是阶次，理论上一个矩阵是有无限个特征值的，所以其模态具有无穷阶。
但是对于运动起主导作用的只是前面的几阶模态，所以计算时根据需要只计算前几阶即可。
矩阵的特征值求解中，每个特征值都对应着一个特征向量，特征向量就是模态，因此特征值的阶数就是模态的阶数。
每个特征向量反应在实际物体上就代表着一种振型。
每一个特征值都对应着一个固有频率，每个特征频率都对应着一种振型。
此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动模式，由矩阵的特征值求解可知，特征值越大，对应的特征向量就越小，因此，反应在实际物体上，频率越高则振动周期越小。
在模态分析的实验中，使用一定频率的激励施加在结构上，观测整个物体的位移情况，当物体的振动位移达到最大时，此时频率即为固有频率。
与数值计算不同的是，试验得到的振动模式并不完全是对应于该激励频率（对应于该激励频率对应的特征值）的特征向量，而是所有特征向量的叠加。