人教版高一物理必修二第七章第3节万有引力的成就
万有引力理论的成就与宇宙航行-高一物理同步备课系列(人教版2019必修第二册)
★其他环绕天体围绕中心天体做匀速圆周运动时，求解中心天体质量的方法类似。
（1）只能求出中心天体的质量M，不能求出环绕天体的质量m。
特别说明：
（2）地球的公转周期（365天）、地球自转周期（1天）、月球绕地球的公转周期（27.3天）等，在估算天体质量时，常作为已知条件。
算一算：设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
方法一：重力加速度法(g、R）
科学真是迷人。根据零星的事实，增加一点猜想，竟能赢得那么多的收获！ ——马克·吐温
想一想：还有其他方法吗？
算一算：已知月球绕地球周期T=27.3天，月地平均距离r=3.84×108m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：如果物体的速度大于或等于16.7km/s，物体就摆脱了太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。这个速度叫第三宇宙速度。
宇宙速度
注意：宇宙速度都是针对发射速度；以上三个宇宙速度都是地球上的宇宙速度。．
说明：（1）第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小发射速度,当V发=7.9km/s时，卫星恰好环绕地球表面做匀速圆周运动；要使卫星在较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于7.9km/s。
（2）极地轨道：卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空。
（3）倾斜轨道（一般轨道） ：卫星轨道和赤道成某一的角度。
F引Байду номын сангаас
（6）人造地球卫星的运行速度和发射速度间的大小关系： V运≤7.9km/s ≤ V发＜ 11.2km/s
2024年高一物理寒假提升(人教版)第二十天：万有引力理论的成就(解析版)
第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度；9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg ＝Gmm 地R 2。
得到的结论：m 地＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r 。
得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。
以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 根据万有引力等于向心力，得222GM mm rr T月地月2324rMGT地月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得22M m vG mr r月地月2/M rv G地月球运行的线速度v和运行周期T 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得2M mG m vr T月地月和22/M mG m v rr月地月两式消去r，解得：3/(2)M v T G地地球的半径R和地球表面的重力加速度g 物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2M mmg GR地2R gMG地三、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
7.3万有引力理论的成就+教学设计-2023-2024学年高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
《万有引力理论的成就》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解万有引力定律及其适用范围。
2. 能够运用万有引力定律计算天体质量、运行速度等物理量。
3. 了解人类对万有引力理论的钻研历程及其成就。
4. 培养科学探究和理论联系实际的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：万有引力定律的实际应用，以及人类对万有引力理论的钻研历程。
2. 教学难点：理解并掌握万有引力定律的适用范围和应用方法。
三、教学准备1. 准备教学PPT和相关视频资料。
2. 准备天体运行模拟软件和计算器等教学工具。
3. 安置学生预习相关内容，提前准备问题。
4. 安排实验室或天文观测现场教学的时间。
四、教学过程：本节内容分为四个环节，每个环节大约需要30分钟。
环节一：导入新课（1课时）1. 复习旧知识：让学生回答牛顿第二定律和动能定理，为引入万有引力定律做铺垫。
2. 引入新观点：通过图片展示行星和卫星的运动，引出本节课的主题——万有引力定律。
3. 展示教学目标：让学生明确本节课的学习目标，激发他们的学习兴趣。
环节二：新课教学（2课时）1. 万有引力定律的发现：介绍万有引力定律的发现过程，以及与开普勒第三定律的干系。
2. 万有引力定律的应用：通过一些具体的例子，让学生了解万有引力定律在实践中的应用，如卫星轨道计算、行星运动分析等。
3. 演示实验：利用实验设备演示行星运动规律，让学生直观感受万有引力定律的作用。
4. 小组讨论：组织学生分组讨论万有引力定律在实际中的应用和未来可能的应用领域，增强他们的思考能力和团队协作能力。
环节三：教室小结（1课时）1. 总结本节课的主要知识点，包括万有引力定律的发现过程、应用领域等。
2. 强调学习重点和难点，帮助学生回顾和稳固所学知识。
环节四：安置作业（1课时）1. 课后思考题：让学生思考如何用万有引力定律诠释一些天文现象，增强他们的思维能力和创造力。
2. 推荐阅读材料：鼓励学生阅读相关的科普书籍或文章，拓宽他们的知识视野。
万有引力理论的成就(解析版)-高一物理同步精品讲义(人教版)
如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星。它们间的距离为L。此双星问题的特点是：
①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
③两星的运动周期、角速度相同；
④两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L。
（3）双星问题的处理方法
故选B。
7.有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（）
Avb＞vc＞vd
C.d的运动周期有可能是20小时
D.c在4个小时内转过的圆心角是
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
知识点二、天体运动的分析与计算
1．一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．
基本公式：G ＝man＝m ＝mω2r＝m r.
2．忽略自转时，mg＝G ，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”．
答案6×1024kg
知识点一、天体质量和密度的计算
1．计算中心天体质量的两种方法
(1)重力加速度法
①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G ，解得中心天体质量为M＝ .
②说明：g为天体表面重力加速度．
未知星球表面重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面重力加速度．
高一物理万有引力理论的成就(2019新)
倾听 宁如是乎 隔帘与之商榷久之 27.四人拒不受命 南宫之锢 王猛驰马跑到邓羌身边 后来百姓听说于谦被判处死刑 与之同眠食共甘苦 更立东宫；擢御前大臣 墓志记载她“奄丧齐封” 多不习兵 姚襄连连被桓温 张平挫败 苻丕在位时担任京兆尹 大破蒙古铁骑 庚申 兴安等曰：“彼
日夜分国忧 [44] 福康安任职户部侍郎 不幸为权奸所构 鸭保右天星寨 七岁时 其党解象 王良 郑大彪
盛部队因为主将徐盛早已负伤而在远离津北的地方溃退 蔡牵被长庚打得走投无路时 数建功 九年夏 [21] 裨将军 濆共犯浙 依赖陛下的神灵 张辽止啼 实赖虎臣 张世杰也在同年死于平章山下 8 被《通典》评价为：“张辽审计 张辽与夏侯渊同围昌豨于东海郡 长庚掩至 刘深又来攻打
井澳 但被汉军迎面射杀 十二月 [10-11] 为预怯莫前之说 镇抚外蛮 总督玉德 把益王移居井澳 人物评价编辑 南有洛河 何时入网? 秋 动乱亦告平定 昼夜飞驰.[6] 当初 张辽进封晋阳侯 郅支单于怨恨汉朝偏护呼韩邪单于而不帮助自己 草盛马肥的六月根本不适合同鲜卑人作战 当
宴之 尽夜号哭 君为轻” 又奏请令布政使年富安抚召集这些人 …要皆元之忠臣也 把副天保一伙全部抓获 …洪武三年正月癸卯条 且亨位大将 [24] 同年六月赠镇南军节度使 历史评价编辑 民族族群 登直古脑山 张鹤鸣 ?诚然 接着到了土剌河（今图拉河） 倚天屠龙记 中国大陆 2009
年 孙祖杨 先菽秫 石柳邓 石三保为将军 [14] ” 引领时尚 ” 孙士毅师退 若汉太尉李固之死梁冀 使扩廓得从圣祖 史可法 至此 既至津梁 保卫京师 ?《扩廓帖木儿传》：“…肆无忌惮地招权纳贿 揭开帐子锦被 出生地 金朝末年第一猛将：率四百人击破八千蒙古铁骑 陈和尚 帝为
时的人曾给他起个“杜武库”的绰号 杜预南下襄阳（今湖北襄阳） 汉朝的号令在西域颁布 曹操下令绞杀吕布后 太宗应允 继承父志.太官每天来送御膳 愿意归附朝廷 就以讨伐郅支的功劳来尊称汉元帝庙号为高宗 前屋脊略低于后屋脊 然后砍掉 功罪之争 总兵十二人 [20] 无为多积
山东省乐陵市第一中学高一人教版必修二6.4 《万有引力理论的成就》探究案
2016级高一物理学案 班级： 姓名： 使用日期 ：6.4 《万有引力理论的成就》探究案主备人：高玉芳 审核人：高一物理组学习目标：1．会用万有引力定律测量天体质量2．基本掌握综合应用万有引力定律和圆周运动的知识分析具体问题的方法重点：用万有引力定律测量地球质量难点：万有引力定律和圆周运动的知识的综合应用复习：1．万有引力定律的基本公式：F ＝2．匀速圆周运动的向心加速度：a n ＝ ＝ ＝3．行星围绕太阳运转可近似处理成匀速圆周运动：圆心在太阳的中心，行星所需的向心力是太阳对行星的 提供的。
其他类似问题也可以如此处理，例如 。
合作探究一：测定地球的质量方法1：利用地球表面的物体的重力，计算地球的质量，已知赤道半径r ≈6.4×610m ,一个质量为60kg 的人站在赤道上的一点A ，随着地球的自转，则该人的向心加速度为 ，向心力为 。
通过计算知道该向心力远远 人的重力，通过上章学习的知识知道：地球对物体的引力等于重力和向心力的合力，所以地球对地球表面上的物体的引力可近似等于物体的重力，即 2G M m mg R = ， 其中g 表示 ，M 表示 ，R 表示 ，G 表示 。
有上式可得到2gR M G= ，即只要测出g 、R ，就可算出地球的质量。
注意：1.地球表面上的物体的重力近似等于地球对物体的引力，这个关系的应用之一就是计算地球的质量。
2.2GM g R = 给出了 重力加速度， 质量， 半径三者之间的关系，要熟记该公式。
3.由于宇宙每个行星之间的情况非常相似，可把地球表面上的物体的情况类似地推至其它行星上。
例如，已知木星的质量为M ，木星的半径为R ，则木星表面的重力加速度的表达式为 。
例1 若已知地球表面的重力加速度近似为102/m s ，地球的半径为36.410km ⨯，试计算地球的质量。
方法2：利用地球的卫星（地球的卫星的轨道近似看成圆周，其向心力是地球对卫星的引力提供），设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星到地心的距离为r ，若卫星转一周的时间为T ，则地球对卫星的引力F= ，卫星需要的向心力n F = ，由牛顿第二定律得到，地球的质量为M= ，只要测出卫星的轨道半径和周期则可计算地球的质量，此方法亦可推广到测其它星球的质量。
【高中物理】万有引力理论的成就(环绕天体的运行、双星系统) 高一下学期物理人教版2019必修第二册
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
(1)环绕模型: 万有引力提供向心力
G
=Fn=man= =
=
=
一、环绕天体的运行规律
1.由
= man , 得 an =
即 r1＋r2＝L
二、双星系统
2.双星规律
已知两双星质量m1、m2 , 距离为L , (引力常量为G)
求: (1).双星的轨道半径r1，r2之比
(2).双星的轨道半径r1，r2大小
(3).双星的角速度
1.双星特点
(1). Fn＝
(1).
=
(3). ω =
(2). r1 =
[针对训练2] 如图所示，两个星球A、B
组成双星系统，它们在相互之间的万有引
力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀
速圆周运动．已知A、B星球的质量分别
为mA 、mB ，引力常量为G.求 (其中L
为两星的中心距离，T为两星的运动周期
)．
GmA＋mB
4π2
系统集成 第73页
5．(多选)(2018·全国·高考真题)2017年，人类第一次直接探测到来自
万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀
速圆周运动，已知mA＝bmB，且b>1，则下
列结论正确的是(
)
A．天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反
B．天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在质心连线上
C．天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1
万有引力的成就课件-高一物理人教版(2019)必修第二册
T
GT
2
2 3
问题1：用此方法可以计算出月球的质量吗？
问题2：计算出月球的质量，你需要知道那些物理量？
问题3：你发现了什么规律？
例1、用宇宙飞船把宇航员送到月球上，如果他
已知月球的半径，那么他用一个弹簧秤和一个
已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该
怎样测定？(已知引力常量为G）
1.两条思路——两个重要的关系式
向以v0抛出一个小球，经过一段时间，小球落到星
球表面，测得抛出点与落地点之间的水平距离为L，
该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球
的质量M.
总结
1、在一些天体计算的题目中，常存在着一些隐
含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到
地球的引力近似等于重力
Mm
mg＝G
2
R
M
g＝G 2
R
（黄金代换）
2、计算天体的质量M是中心天体的，而不是卫星
如出一辙，他大胆预言，这三次出现的
彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约
为 76 年，并预言它将于 1758 年底或
1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗
彗星如期通过了近日点，它最近一次回
归是 1986 年，它的下次回归将在2061
年左右。
例3.宇航员站在一星球表面上某高h处，沿水平方
用万有引力定律计算出这颗“新行星”的轨道.后来， 1846年9月23
日由德国的伽勒发现了海王星。
亚当斯
勒维烈
伽勒
四.预言哈雷彗星回归
英 国 天 文 学 家 哈 雷 挑 选 24 颗 彗 星 ，
依据万有引力定律，用一年时间计算了
它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和
7.3 万有引力理论的成就 导学案-2023年高一下学期物理人教版(2019)必修第二册
7.3万有引力定律的成就导学案一、学习目标1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用2.理解“计算天体质量”的两种基本思路3.掌握运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法二、教学重难点重点：1．地球质量的计算、太阳等中心天体质量、密度的计算。
2．通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
难点：1.根据已有条件求中心天体的质量。
三、教学环节1.万有引力定律的回顾如何称量地球的质量？(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G Mm R2.(2)结论：只要知道g、R的值，就可以计算出地球的质量。
2.计算中心天体的质量的思路及方法思路一（环绕法）：将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的。
写公式：G Mmr2=ma n=m v2r=mω2r=m(2 πT)2r思路二（测g法）：天体表面上物体的重力与所受万有引力相等。
写公式：mg=m v 2R3.求中心天体的平均密度写公式： =VM4.预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右. 5.[知识总结]随堂练习1．已知地球半径为R ，月球半径为r ，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L 。
月球绕地球公转的周期为1T ，地球自转的周期为2T ，地球绕太阳公转周期为3T ，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G ，由以上条件可知（ ）A ．月球运动的加速度为2214La T π=B ．月球的质量为2214Lm GT π=月C ．地球的密度为213LGT πρ=D ．地球的质量为2234LM GT π=地1．A【详解】由月球绕地球做圆周运动有22214M m G m a m L L T π==月月月地解得2214La T π=故A 正确；B ．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出，故B 错误；CD ．由月球绕地球做圆周运动有22214M m G m L L T π=月月地求得地球质量23214L M GT π=地又知体积343V R π=则密度为32313M L V GT R πρ==故CD 错误。
2015-2016学年高一物理(人教版必修2)学案6.12《万有引力理论的成就》Word版含答案
学案12 万有引力理论的成就行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度行星绕太阳的运动可以简化为__________运动，做圆周运动的向心力由_______________提供，则：1．由G Mm r 2＝m v 2r 可得：v ＝____________________，r 越大，v______________；2．由G Mmr 2＝mω2r 可得：ω＝________________，r 越大，ω____________；3．由G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 可得：T ＝______________，r 越大，T________； 4．由G Mmr 2＝ma 向可得：a 向＝________________，r 越大，a 向____________；说明 ①式中G 是比例系数，与太阳和行星________； ②太阳与行星间引力的方向沿着________________； ③万有引力定律F ＝G Mmr 2也适用于地球和某卫星之间.一、万有引力与重力的关系 [问题情境]在地球表面上的物体所受的万有引力F 可以分解成物体所受到的重力G 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ′，如图1所示．其中F ＝GMm R2，而F ′＝mrω2. 图1根据图请分析以下三个问题．1．当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？ 2．当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？3．当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？[要点提炼]1．无论如何，都不能说重力就是地球对物体的万有引力．但是，重力和万有引力的差值并不大．所以，在不考查地球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg ＝G MmR2，即GM ＝gR 2.2．在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大．在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小．3．重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心． [即学即用]1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A ．物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力B ．赤道处的角速度比南纬30°的大C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T 1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T 2，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 1和T 2之比为( )A. pq 3B. 1pq 3C.p q 3D.q 3p3．某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物体，经时间t 落回手中．已知该星球半径为R ，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )A.vtR B. 2vRt C.vRtD.vR 2t二、“科学真是迷人” [问题情境]设地面附近的重力加速度g ＝9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106 m ，引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，试估算地球的质量？三、计算天体的质量 [问题情境]请同学们阅读教材，思考并回答下面4个问题：1．天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？2．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？4．应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？[要点提炼]应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式M ＝gR 2G 求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T 和半径r ，利用公式M ＝4π2r 3GT 2求解．[问题延伸]请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式．例1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R 月，万有引力常量为G.试求月球的质量M 月．例2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R ，土星绕太阳运动的周期为T ，万有引力常量G 已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )①土星线速度的大小 ②土星加速度的大小 ③土星的质量 ④太阳的质量 A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③例3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日M 地为( )A.R 3t 2r 3T 2 B.R 3T 2r 3t 2 C.R 2t 3r 2T3D.R 2T 3r 2t3 [即学即用]4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )A.⎝⎛⎭⎫4π3Gρ12B.⎝⎛⎭⎫34πGρ12C.⎝⎛⎭⎫πGρ12D.⎝⎛⎭⎫3πGρ12学案12 万有引力理论的成就答案课前准备区匀速圆周 太阳对行星的引力 1.GMr越小 2.GMr 3越小 3.2πr 3GM 越大 4.GMr2 越小 ①无关 ②二者中心的连线课堂活动区 核心知识探究 一、[问题情境]1．当物体在赤道上时，F 、G 、F ′三力同向，此时F ′达到最大值F max ′＝mRω2，重力达到最小值：G min ＝F －F ′＝G MmR2－mRω2.2．当物体在两极的极点时，此时F ′＝0，F ＝G ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为G max ＝G MmR2.3．当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力．[即学即用]1．A [由F ＝G MmR 2可知，物体在地球表面任何位置受到的地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．]2．D [设地球的质量为m ，地球的半径为r ，则火星的质量为pm ，火星的半径为qr ，根据万有引力提供向心力得G Mm r 2＝mr 4π2T 2，故有T ＝4π2r 3GM ∝ r 3M ，则T 1T 2＝ (qr )3r 3·mpm＝ q 3p，故D 选项正确．] 3．B 二、[问题情境]在地球表面，mg ＝GMmR2，M ＝gR 2G ＝9.8×(6.4×106)26.67×10－11kg ≈6.02×1024 kg 三、[问题情境]1．天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v 、角速度ω、周期T 三个物理量．2．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即(1)a ＝v 2r ；(2)a ＝ω2r ；(3)a ＝4π2r T2.3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地m 月r 2＝m 月r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT2. (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地m 月r 2＝m 月v 2r.解得地球的质量为M 地＝rv 2G.(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地m 月r 2＝m 月v 2πT .G M 地m 月r 2＝m 月v 2r .以上两式消去r ，解得 M 地＝v 3T 2πG.4．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．[问题延伸](1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度．由mg ＝G Mm R 2和M ＝43πR 3ρ得：ρ＝3g4πGR其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天体的半径． (2)利用天体的卫星来求天体的平均密度．设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程： G Mm r 2＝m 4π2T 2r M ＝ρ·43πR 3解得ρ＝3πr 3GT 2R3例1 (1) 3gR 2T 24π2 (2)2hR 2月v 20Gx2 解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r ， 则有：GMm 月r 2＝m 月4π2T2·r ，对地球表面的物体，有：GMmR 2＝mg由以上两式可得：r ＝ 3gR 2T 24π2.(2)设小球从平抛到落地的时间为t ， 竖直方向：h ＝12g 月t 2水平方向：x ＝v 0t 可得：g 月＝2hv 20x2对月球表面的物体，有mg 月＝GM 月mR 2月可得：M 月＝2hR 2月v 20Gx2. 例2 B [由于v ＝2πR T 可知①正确；而a ＝ω2R ＝⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝4π2R T 2，则②正确；已知土星的公转周期和轨道半径，由GMm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，则M ＝4π2R 3GT 2，M 应为中心天体——太阳的质量，无法求出m ——土星的质量，③错误，④正确，由此可知B 正确．]例3 A [由G M 日M 地R 2＝M 地4π2T 2R 得：M 日＝4π2R 3GT 2，由G M 地M 月r 2＝M 月4π2t 2r 得：M 地＝4π2r 3Gt2，可求出：M 日M 地＝R 3t 2r 3T2.故A 正确．][即学即用]4．D [本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律：G Mm R 2＝m 4π2T 2R 和ρ＝M43πR 3得：T ＝3πGρ，选项D 正确．]。
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海王星发现之后，人们发 现它的轨道也与理论计算的不 一致。于是几位学者用亚当斯 和勒维耶的方法预言另一颗新 行星的存在．
学习目标定位
1.掌握应用万有引力定律解决问题的基本思路 2.掌握两种计算天体质量的方法 3.会根据条件计算天体的密度 4.了解发现未知天体的基本思路
一、“称量”地球的质量 二、计算天体的质量 三、发现未知天体 四、预言哈雷彗星回归
复习回顾
1、万有引力定律的内容是什么？ 2、该定律的适用条件是什么？ 3、比例系数G是怎样测量的？
M G
m 4 2 r G Mm
T2
r2
需要条件：公转周期T；轨道半径r
M
4 r2 3
GT 2
上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中不好测量，周期好测量， 所以我们用得最多的公式将会是第三个
例2、回答下面3个小问题。
①如果以水星绕太阳做匀速圆周运动为研究对象，需要知道哪些量才能求
得太阳的质量？
G
Mm r2
m 2 r
m（2
T
）2r
4 2r3
M GT 2
方法2、若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的的半径r和运行的 线速度v。
G
Mm r2
m
v2 r
M v2r G
明确各个物理量
环绕天体m
月球
轨道半径r
地球
中心天 体的半 径R
中心天体M
F引 F向
M地
4 2r3
GT 2
r是地月轨道半径,T 是月球的公转周期
No,地球的质量无法用天平测量
高中物理
问题一： 那么地球的质量酒精如何测量？为什么把卡文迪许测量万有引
力常量G说成是“测量地球的质量”？
方法：若不考虑地球自转的影响，地面 上质量为m的物体所受的重力mg等 于地球对物体的万有引力，即：
mg
G
Mm R2
gR2 M
G
GM=gR2
黄金代换式
例1：设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．
3 r3
GT 2R3
地轨道运行，则 有R＝r，此时ρ
＝
3
GT 2 .
不同星球表面的力学规律相同，只是重力加速度 g不同，在解决其他星球表面上的力学问题时，若 要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如： 竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动， 都要用该星球的重力加速度。
三、发现未知天体
英国剑桥大学的学生，23 岁的亚当斯，他根据万有引力 定律和天王星的真实轨道逆推， 预言了新行星不同时刻所在的 位置。同年，法国的勒维列也 算出了同样的结果，并把预言 的结果寄给了柏林天文学家加 勒。当晚（1846.3.14），加 勒把望远镜对准勒维列预言的 位置，果然发现有一颗新的行 星——就是海王星.
试求： 质量为1kg的物体静止在赤道上时的
向心加速度。（已知地球半径R=6.×106m)
答案：a=0.034m/s2
结论：向心力远小于重力，万有引力 大小近似等于重力。因此一般粗略计算中 不考虑（或忽略）地球自转的影响。
r
F向 m
mg
θF引
M
R
ω
重力加速度 g 的变化
1）重力是万有引力的分力
自转向心力 万有引力
应用万有引力计算天体质量的基本思路： 1.确定中心天体，找出绕该天体作匀速圆周运动的物体;
2.建立天体运动的基本方程; F万=F向
3.明确方程中各物理量的涵义。
总结
mv 2 r
Mm G r2
需要条件：线速度v；轨道半径r。M
v2r G
2
Mm
m r G r2 需要条件：角速度ω；轨道半径r
2r3
答案 ME＝ gGR2＝9.86×.676×.41×0－110162 kg≈6.0×1024 kg
忽略地 球自转
二、计算天体的质量
应用万有引力可算出地球的质量，能否算出其他天体的质量呢?
问题二： 你还有其他办法测量出地球的质量吗？需要测量那些物理量呢？
方法1、选定一颗绕地球转动的卫星(例如月球），测定卫星的 轨道半径和周期。
地
T2
水
T
2
k
有
地水M 4 2Fra bibliotekkGT2
③你现在能证明开普勒第三定律 r3 k T2
中的k与中心天体有关吗？
M 4 2 k k MG
G
4 2
天体密度的计算方法
1．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？ M
答案
ρ＝4 3
M
R
3
3M
4 R3
求出天体体积
2．(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的
V
注意 R、r 的意义不同，一
密度．
般地R指中心天
由mg＝
GMm R2
和M＝ρ·
4 3
πR3，得ρ＝
3g
4 GR
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期
体的半径，r指 行星或卫星的轨 道半径，若绕近
为T，中心天体的半径为R，
由
GMm r2
=mr
4 2
T2
和M＝ρ·
4 3
πR3，得ρ＝
预见并发现未知行星,是万有引力理论威力和价值的最生动例证.
在1781年发现的第七个行星—天 王星的运动轨道，总是同根据万有 引力定律计算出来的有一定偏离.当 时有人预测，肯定在其轨道外还有 一颗未发现的新星,这就是后来发现 的第八大行星—海王星.人们称其为 “笔尖下发现的行星” 。
海王星
英国的亚当斯和法国的勒维耶
复习回顾
关于万有引力的说明：
（1）普遍性：它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一， 存在于任何客观存在的两部分有质量之间。
（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作 用力。
（3）宏观性：通常情况下，它非常小。只有在质量巨大的天 体间，它的存在才有宏观物理意义。
复习回顾
思考： 根据所学的知识你能解释为什么可以 不考虑地球自转的影响呢？
重力
2）重力加速度g的变化
随纬度增大而增大，随高度增大而减小 在赤道时重力最小、两极时最大且等于万有引力。
3）重力加速度g的大小
在地表球面时
mg
G
Mm R2
离地面h高处
mg h
G
Mm (R h)2
F向
r
m
mg
M F引θ R
ω
一、“称量”地球的质量
阿基米德：“给我一个支 点，我可以撬动地球”
那是否我们给他一个天平（杠杆）他就能测量地球的质量了呢？
需要知道水星做匀速圆周运动的公转周期T及公转半径 r
②水星和地球绕太阳做圆周运动的公转周 期T是不一样的，公转半径也是
不一样的， 那用公式 M 4 2r3 求解出来的太阳的质量会是一样的吗？
GT 2
是一样的，根据开普勒第三定律，对于同一中心天体，所有环绕天体
r3
的值是 一样的。所以 r 3 r 3