射影几何简介

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笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
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他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
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为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
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B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
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那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
′ B′ C
B . A′ D′ A
C
O
D
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引入了无穷远点和无穷远线后，笛沙格证明了著名的笛沙格定理：若两个三角形对应顶点连 线共点，则对应边交点共线．不管两个三角形是否在同一平面，定理都是成立的，逆定理也 同样成立． 笛沙格在书中对二维和三维的笛沙格定理及其逆定理都作了证明．
O
A B C R C′ A′ Q P
笛沙格
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射影几何的创始人是法国的建筑师笛沙格． 1639 年，笛沙格发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》 ，推动了 19 世纪射影几 何的蓬勃发展，被公认为这一学科的经典． 但它在发表之初，却没有受到数学家们的重视．笛沙格把书印了 50 份，分送给他的朋友，不 久便全部散失了． 直到 1845 年，沙勒才偶然发现了一个手抄本，由波德加以复制，使笛沙格的射影几何成果 复明于世．1950 年左右，这部书的一个原版本终于蒂在 1435 年写成的《论绘画》一书中阐述了这样的思想：在 眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这 些线叫投影线． 他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物 本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板 (实际是画布) 上作出一个真正的截景．
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例如，人眼在 O 处观察平面上的矩形 ABCD 时，从 O 到矩形各点的连线形成一投影棱锥， 其中 OA，OB，OC，OD 是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条 线与平面的交点 A′ ，B′ ，C′ ，D′ ，则四边形 A′ B′C′ D′ 为矩形 ABCD 的截景． 由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景 和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．
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笛沙格数学思想的出色之处，首先在于他引进了无穷远点和无穷远直线．阿尔贝蒂曾指出， 画面上的平行线应画成交于一点，除非它们平行于玻璃板． 例如，图中的 A′ B′ 和 D′C′ 便相交于某点 O′ ，这一点不和 AB 或 DC 上任何普通的点对应， 所以叫影消点，而除 O′ 外的直线 A′ B′ 或 D′C′ 上的任何点，都对应着 AB 或 DC 上某个确定 的点． 为了使 A′ B′ 与 AB 上的点以及 D′C′ 与 DC 上的点有完全的对应关系，笛沙格在 AB 及 DC 上 引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看作两平行线的公共点. O′
射影几何简介
数学与统计学学院 August 1, 2016
一、历史背景
透视法
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射影几何起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的． 在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界 逐渐成为绘画的目标了． 为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到 二维的画布上．
′ B′ C
B . A′ D′ A
C
O
D
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所有平行于 AB 的直线都交于这一点，方向不同于 AB 的另外一组平行线则有另外一个公共 的无穷远点． 由于平行线组的数目是无穷的，笛沙格实际是在平面上引入了无穷多的新点．他假定所有这 些点都在同一直线上，而这直线则对应于截景上的影消线． 以这种新规定为前提，我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了，因为不平行线 交于普通点而平行线交于无穷远点． O′
B′ .
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在深入研究投影性质的基础上，笛沙格终于回答了阿尔贝蒂早就提出的问题：同一实物的两 个截景间有什么数学关系？这实质是一个投影下的不变性问题． 笛沙格发现：交比在投影下是不变的．所谓交比，是指直线上的四点 A，B，C，D 所形成的 BA DA 诸线段的特定比 (A, C; B, D) = BC : DC ，帕普斯早就引入过这个比。
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帕斯卡
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帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献。 1641 年，他发现了一条定理： “内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。 ”这条定理 叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。 1658 年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。 和笛沙格的一些定理一样，帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质 (长度、 角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意 识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系 —射影几何。他们所用的是综合法。 随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。