射影几何入门(李建华著)思维导图
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几何中的射影与相似比
形成投影。
射影变换与几何变换的关系
射影变换：通过投影产生的几何变换，不改变图形间的相对位置和大小关系
几何变换：图形在空间中的刚性变换，包括平移、旋转和缩放等
关系：射影变换是几何变换的一种特殊形式，是保持图形间相对关系不变的一种变换
Part Two
射影几何中的相似 比
相似比的定义
相似比是两个相似图形对应边的长度之比 相似比是两个相似图形对应角大小的比值 相似比是两个相似图形对应角平分线长度的比值 相似比是两个相似图形对应高线长度的比值
Part Four
射影几何中的交比
交比的定义
交比是射影几何中 的一个基本概念， 用于描述两条直线 上四个点的相对位 置关系。
交比的定义基于交 叉比的符号，表示 为四个点的顺序排 列。
交比的性质包括交 换律、结合律和分 配律等，这些性质 在射影几何中有着 广泛的应用。
交比的概念在射影 几何中非常重要， 是研究几何图形和 空间结构的基础。
相似比的应用
确定物体间的比 例关系，用于测 量和计算。
在建筑设计中的 应用，通过相似 比可以设计出符 合比例要求的建 筑。
在摄影中，利用 相似比可以调整 焦距和拍摄角度， 获得更好的拍摄 效果。
在物理学中，利 用相似比可以模 拟实验，研究物 理现象的规律。
Part Three
射影几何中的投影
投影的定义
透视的性质
透视变换：通过透视变换将三维物体投影到二维平面上 灭点：透视变换中，平行线在无穷远处汇聚到一点，称为灭点 透视比：物体在透视变换中的大小比例关系 透视失真：由于透视变换导致的物体形状失真现象
透视的应用
建筑学：用于设计和构图，使建筑物看起来更加立体和真实 绘画艺术：通过透视技巧，使画面呈现出深度和立体感，增强视觉效果 游戏开发：在3D游戏中，利用透视技术创建逼真的场景和角色，提高游戏体验 虚拟现实：通过模拟透视效果，增强虚拟环境的真实感，提高沉浸式体验
射影变换与几何变换的关系
射影变换：通过投影产生的几何变换，不改变图形间的相对位置和大小关系
几何变换：图形在空间中的刚性变换，包括平移、旋转和缩放等
关系：射影变换是几何变换的一种特殊形式，是保持图形间相对关系不变的一种变换
Part Two
射影几何中的相似 比
相似比的定义
相似比是两个相似图形对应边的长度之比 相似比是两个相似图形对应角大小的比值 相似比是两个相似图形对应角平分线长度的比值 相似比是两个相似图形对应高线长度的比值
Part Four
射影几何中的交比
交比的定义
交比是射影几何中 的一个基本概念， 用于描述两条直线 上四个点的相对位 置关系。
交比的定义基于交 叉比的符号，表示 为四个点的顺序排 列。
交比的性质包括交 换律、结合律和分 配律等，这些性质 在射影几何中有着 广泛的应用。
交比的概念在射影 几何中非常重要， 是研究几何图形和 空间结构的基础。
相似比的应用
确定物体间的比 例关系，用于测 量和计算。
在建筑设计中的 应用，通过相似 比可以设计出符 合比例要求的建 筑。
在摄影中，利用 相似比可以调整 焦距和拍摄角度， 获得更好的拍摄 效果。
在物理学中，利 用相似比可以模 拟实验，研究物 理现象的规律。
Part Three
射影几何中的投影
投影的定义
透视的性质
透视变换：通过透视变换将三维物体投影到二维平面上 灭点：透视变换中，平行线在无穷远处汇聚到一点，称为灭点 透视比：物体在透视变换中的大小比例关系 透视失真：由于透视变换导致的物体形状失真现象
透视的应用
建筑学：用于设计和构图，使建筑物看起来更加立体和真实 绘画艺术：通过透视技巧，使画面呈现出深度和立体感，增强视觉效果 游戏开发：在3D游戏中，利用透视技术创建逼真的场景和角色，提高游戏体验 虚拟现实：通过模拟透视效果，增强虚拟环境的真实感，提高沉浸式体验
SS射影平面.ppt
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为
的连线,记做AB. AB BA.
若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合
称为平面.此平面称为P和l的连面,记作Pl或者lP.
四
即: 平面Pl lP PL | L在集合l上
条
公
I'.两个不同平面 , 恰好在一条直线上,此直线称为 理
二者的交线,记为 .
E.一条直线上至少有三个不同的点.
E'.一条直线上至少有三个不同的平面.
约定：大写的英文字母如A，B，C表示点.小写的英文
字母如a，b，c表示线.希腊字母如，， 表示平面.
定理1:射影空间中至少有一条直线,三个点和三个平面.
定理2:如果A, B,C不在同一条直线上,则它们是互不 同的,AB, BC,CA,并且都在平面A(BC)上,且A(BC) ( AB)C.
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来. 完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
注:对平面，性质I'是有例外的。
射影平面：设 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在 中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， 四
I'两个不同的线恰好在一个点上,
条
E每一条直线上至少有三个不同的点, 公
E '在每一个点上至少有三条直线.
几何图形初步(1)
锐角之间的大小关系
能度量两点间的距离
角相等的性质
6.理解角的概念，能比较 角的大小
本章课标要求
4~6学段
4.能用量角器量指定角的 度数，能画指定度数的角， 会用三角尺画30 °,45 °,60 °,90 °的角
5.能辨认从不同方向（前 面、侧面、上面）看到的 物体的形状图 6.通过观察、操作，认识 长方体、正方体、圆柱和 圆锥，认识长方体、正方 体和圆柱的展开图
这样的点有多少个？ 你能从运动的观点描述这些点吗？
教学建议
线:直线、射线、线段（关注抽象过程） 1、概念：注意与生活中概念之间的联系与差异 （直线、射线、上、距离） 2、数学语言与图形语言的互化---关注作图技能与语言表达 3、两个基本事实：两点确定一条直线（射线、线段）是确定 位置的---是作图的主要依据---直线的符号表达 两点之间线段最短是比较数量的大小---求最小值 4、补充延长线的概念(书后129页习题4.2第2题） 5、点与直线、射线、线段的位置关系 6、直线、射线、线段间的位置关系 7、尺规作图（补充等量代换）
。。。。。。。
平面上点的位置
平面直角坐标系---结合小学内容在方格纸上用数对表示位置 （限于正整数）
方位角---利用角度与距离
特殊位置 特殊性质
1、直线上点的位置---任意两个点表示直线
射线----起点的
线段----起点与终点位置特殊---对应表示
2、特殊性质
解线段的和、差，以及线 算，并会计算角
段中点的意义
的和、差
2.体会两点间所有连线中 线段最短，知道两点间的 距离
3.掌握基本事实：两点确 8.理解余角、补
定一条直线
角等概念探索并
4.掌握基本事实：两点之 掌握同角（等角）
21 射影直线和射影平面精品PPT课件
1、一维基本形 (1) 点列
同一直线上点的集合
(1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
底
元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
线束中心
元素
2、二维基本形 (2) 点场
同一平面上点的集合
(2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 其上的点称为元素.
直线l与l分别交三直线于A, B,C与A, B,C，
并使 OA OB 且 OA OB ， 于是， ( ABC) AC OA ，
BC OB ( ABC) AC OA ，
BC OB 所以， ( ABC) 1， ( ABC) 1
即， ( ABC) ( ABC)
A
A a
O
CB l
C
B l
b c
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P,
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
添加无穷远直线后的平面称为仿射平面; 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面）
同一直线上点的集合
(1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
底
元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
线束中心
元素
2、二维基本形 (2) 点场
同一平面上点的集合
(2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 其上的点称为元素.
直线l与l分别交三直线于A, B,C与A, B,C，
并使 OA OB 且 OA OB ， 于是， ( ABC) AC OA ，
BC OB ( ABC) AC OA ，
BC OB 所以， ( ABC) 1， ( ABC) 1
即， ( ABC) ( ABC)
A
A a
O
CB l
C
B l
b c
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P,
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
添加无穷远直线后的平面称为仿射平面; 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面）
SS射影平面
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为 的连线,记做AB.⇒ AB = BA. 若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合 称为平面.此平面称为P和l的连面, 记作Pl或者lP.
即 : 平面Pl = lP = U{ PL | L在集合l上}
四 条 公 理
I' .两个不同平面α , β 恰好在一条直线上,此直线称为 二者的交线,记为α β . ⇒ α β = β α
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 不能得出矛盾个的结论
独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来.
完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
线把中的直线称作‘点’ 面把中的平面叫作‘直线’
•
线把
•
面把
用不过O点的平面π 去截把
如பைடு நூலகம்我们不考虑把中和π 平行的直线和平面，那 么π 和线把中的‘点'截出真正的点，和面把中的 ‘直线’截出真正的直线.
把(平面)中的点和线有下面四条性质.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上, E每一条直线上至少有三个不同的点, E ' 在每一个点上至少有三条直线.
注:对平面，性质I是有例外的。
'
射影平面：设π 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在
π中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则π 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上,
射影几何入门
本书介绍了射影几何的基本概念，包括点、直线、平面等基本元素，以及射 影变换、对合等基本运算。这些基本概念是射影几何的基础，对于后续的学习和 理解至关重要。
本书详细阐述了射影几何的基本定理，包括帕斯卡定理、布列安桑定理等。 这些定理是射影几何的核心，它们揭示了射影几何中各种元素之间的关系和性质。 通过学习和理解这些定理，读者可以深入了解射影几何的原理和方法。
《射影几何入门》这本书的目录结构清晰、完整，由浅入深地引导读者逐步 进入射影几何的世界。通过本书的学习，读者不仅可以掌握射影几何的基本理论 知识和方法，还能提高数学思维和解决问题的能力。
作者简介
作者简介
这是《射影几何入门》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
感谢观看
本书还介绍了投影变换的概念和方法，包括中心投影、平行投影等。这些变 换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到 二维平面上，从而方便我们分析和研究。
本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这 些性质是射影几何中的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。
内容摘要
这些变换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到二维平面 上，从而方便我们分析和研究。 本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这些性质是射影几何中 的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。 《射影几何入门》这本书是一本很好的入门书籍，它可以帮助读者了解和掌握射影几何的基本原 理和方法。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影几何的基础知识，为进一步的学习和研究打 下坚实的基础。
《射影几何入门》是一本非常优秀的教材，它不仅介绍了射影几何的基础知 识，还提供了许多有趣的例子和难题。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影 几何的本质和应用，提高自己的数学素养和能力。
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！用正确的思维模式去梳理解决问题好多同学一面对数学知识就头疼，不能全面清晰地去分析解决问题，那是因为你没有用正确的思维方法去分析解决这个问题。
初中数学的学习，最重要的就是建立自己的知识体系，学会全局思考的思维模式！下面这些数学知识点的思维导图，将初中重要的知识点都整理出来了，相信一定能帮助同学们们提升数学成绩！我们一起来看看吧！1、全等三角形思维导图经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
2、相似三角形思维导图三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形3、几何初步和三角形思维导图4、投影与视图思维导图5、圆思维导图在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
6、实数思维导图7、代数式思维导图这样用全局思维模式梳理出所学内容重点，然后逐一掌握学习，是不是看起来很容易，思路瞬间清晰起来！同学们在学习过程中一定要养成正确学习的好习惯，善于发现思考！下面这十条小建议希望能在你的学习过程中起到帮助。
【Tip】1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
7、数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。
8、数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。
9、数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。
10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。
射影几何的故事PPT课件
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
20
21
22
23
如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
24
地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
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如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
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地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。