射影几何入门(李建华著)思维导图
几何中的射影与相似比
射影变换与几何变换的关系
射影变换：通过投影产生的几何变换，不改变图形间的相对位置和大小关系
几何变换：图形在空间中的刚性变换，包括平移、旋转和缩放等
关系：射影变换是几何变换的一种特殊形式，是保持图形间相对关系不变的一种变换
Part Two
射影几何中的相似 比
相似比的定义
相似比是两个相似图形对应边的长度之比 相似比是两个相似图形对应角大小的比值 相似比是两个相似图形对应角平分线长度的比值 相似比是两个相似图形对应高线长度的比值
Part Four
射影几何中的交比
交比的定义
交比是射影几何中 的一个基本概念， 用于描述两条直线 上四个点的相对位 置关系。
交比的定义基于交 叉比的符号，表示 为四个点的顺序排 列。
交比的性质包括交 换律、结合律和分 配律等，这些性质 在射影几何中有着 广泛的应用。
交比的概念在射影 几何中非常重要， 是研究几何图形和 空间结构的基础。
相似比的应用
确定物体间的比 例关系，用于测 量和计算。
在建筑设计中的 应用，通过相似 比可以设计出符 合比例要求的建 筑。
在摄影中，利用 相似比可以调整 焦距和拍摄角度， 获得更好的拍摄 效果。
在物理学中，利 用相似比可以模 拟实验，研究物 理现象的规律。
Part Three
射影几何中的投影
投影的定义
透视的性质
透视变换：通过透视变换将三维物体投影到二维平面上 灭点：透视变换中，平行线在无穷远处汇聚到一点，称为灭点 透视比：物体在透视变换中的大小比例关系 透视失真：由于透视变换导致的物体形状失真现象
透视的应用
建筑学：用于设计和构图，使建筑物看起来更加立体和真实 绘画艺术：通过透视技巧，使画面呈现出深度和立体感，增强视觉效果 游戏开发：在3D游戏中，利用透视技术创建逼真的场景和角色，提高游戏体验 虚拟现实：通过模拟透视效果，增强虚拟环境的真实感，提高沉浸式体验
SS射影平面.ppt
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为
的连线,记做AB. AB BA.
若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合
称为平面.此平面称为P和l的连面,记作Pl或者lP.
四
即: 平面Pl lP PL | L在集合l上
条
公
I'.两个不同平面 , 恰好在一条直线上,此直线称为 理
二者的交线,记为 .
E.一条直线上至少有三个不同的点.
E'.一条直线上至少有三个不同的平面.
约定：大写的英文字母如A，B，C表示点.小写的英文
字母如a，b，c表示线.希腊字母如，， 表示平面.
定理1:射影空间中至少有一条直线,三个点和三个平面.
定理2:如果A, B,C不在同一条直线上,则它们是互不 同的,AB, BC,CA,并且都在平面A(BC)上,且A(BC) ( AB)C.
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来. 完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
注:对平面，性质I'是有例外的。
射影平面：设 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在 中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， 四
I'两个不同的线恰好在一个点上,
条
E每一条直线上至少有三个不同的点, 公
E '在每一个点上至少有三条直线.
几何图形初步(1)
锐角之间的大小关系
能度量两点间的距离
角相等的性质
6.理解角的概念，能比较 角的大小
本章课标要求
4~6学段
4.能用量角器量指定角的 度数，能画指定度数的角， 会用三角尺画30 °,45 °,60 °,90 °的角
5.能辨认从不同方向（前 面、侧面、上面）看到的 物体的形状图 6.通过观察、操作，认识 长方体、正方体、圆柱和 圆锥，认识长方体、正方 体和圆柱的展开图
这样的点有多少个？ 你能从运动的观点描述这些点吗？
教学建议
线:直线、射线、线段（关注抽象过程） 1、概念：注意与生活中概念之间的联系与差异 （直线、射线、上、距离） 2、数学语言与图形语言的互化---关注作图技能与语言表达 3、两个基本事实：两点确定一条直线（射线、线段）是确定 位置的---是作图的主要依据---直线的符号表达 两点之间线段最短是比较数量的大小---求最小值 4、补充延长线的概念(书后129页习题4.2第2题） 5、点与直线、射线、线段的位置关系 6、直线、射线、线段间的位置关系 7、尺规作图（补充等量代换）
。。。。。。。
平面上点的位置
平面直角坐标系---结合小学内容在方格纸上用数对表示位置 （限于正整数）
方位角---利用角度与距离
特殊位置 特殊性质
1、直线上点的位置---任意两个点表示直线
射线----起点的
线段----起点与终点位置特殊---对应表示
2、特殊性质
解线段的和、差，以及线 算，并会计算角
段中点的意义
的和、差
2.体会两点间所有连线中 线段最短，知道两点间的 距离
3.掌握基本事实：两点确 8.理解余角、补
定一条直线
角等概念探索并
4.掌握基本事实：两点之 掌握同角（等角）
21 射影直线和射影平面精品PPT课件
同一直线上点的集合
(1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P)
底
元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p)
线束中心
元素
2、二维基本形 (2) 点场
同一平面上点的集合
(2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 其上的点称为元素.
直线l与l分别交三直线于A, B,C与A, B,C，
并使 OA OB 且 OA OB ， 于是， ( ABC) AC OA ，
BC OB ( ABC) AC OA ，
BC OB 所以， ( ABC) 1， ( ABC) 1
即， ( ABC) ( ABC)
A
A a
O
CB l
C
B l
b c
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P,
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
添加无穷远直线后的平面称为仿射平面; 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面）
SS射影平面
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为 的连线,记做AB.⇒ AB = BA. 若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合 称为平面.此平面称为P和l的连面, 记作Pl或者lP.
即 : 平面Pl = lP = U{ PL | L在集合l上}
四 条 公 理
I' .两个不同平面α , β 恰好在一条直线上,此直线称为 二者的交线,记为α β . ⇒ α β = β α
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 不能得出矛盾个的结论
独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来.
完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
线把中的直线称作‘点’ 面把中的平面叫作‘直线’
•
线把
•
面把
用不过O点的平面π 去截把
如பைடு நூலகம்我们不考虑把中和π 平行的直线和平面，那 么π 和线把中的‘点'截出真正的点，和面把中的 ‘直线’截出真正的直线.
把(平面)中的点和线有下面四条性质.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上, E每一条直线上至少有三个不同的点, E ' 在每一个点上至少有三条直线.
注:对平面，性质I是有例外的。
'
射影平面：设π 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在
π中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则π 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上,
射影几何入门
本书介绍了射影几何的基本概念，包括点、直线、平面等基本元素，以及射 影变换、对合等基本运算。这些基本概念是射影几何的基础，对于后续的学习和 理解至关重要。
本书详细阐述了射影几何的基本定理，包括帕斯卡定理、布列安桑定理等。 这些定理是射影几何的核心，它们揭示了射影几何中各种元素之间的关系和性质。 通过学习和理解这些定理，读者可以深入了解射影几何的原理和方法。
《射影几何入门》这本书的目录结构清晰、完整，由浅入深地引导读者逐步 进入射影几何的世界。通过本书的学习，读者不仅可以掌握射影几何的基本理论 知识和方法，还能提高数学思维和解决问题的能力。
作者简介
作者简介
这是《射影几何入门》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
感谢观看
本书还介绍了投影变换的概念和方法，包括中心投影、平行投影等。这些变 换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到 二维平面上，从而方便我们分析和研究。
本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这 些性质是射影几何中的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。
内容摘要
这些变换是射影几何中重要的工具，它们可以帮助我们将三维空间中的几何形状映射到二维平面 上，从而方便我们分析和研究。 本书还讨论了二次曲线的射影性质，包括椭圆的性质、双曲线的性质等。这些性质是射影几何中 的重要应用，它们可以帮助我们更好地理解和研究二次曲线。 《射影几何入门》这本书是一本很好的入门书籍，它可以帮助读者了解和掌握射影几何的基本原 理和方法。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影几何的基础知识，为进一步的学习和研究打 下坚实的基础。
《射影几何入门》是一本非常优秀的教材，它不仅介绍了射影几何的基础知 识，还提供了许多有趣的例子和难题。通过阅读这本书，读者可以深入了解射影 几何的本质和应用，提高自己的数学素养和能力。
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！
初中数学知识体系，7张图教你全局思考模式！用正确的思维模式去梳理解决问题好多同学一面对数学知识就头疼，不能全面清晰地去分析解决问题，那是因为你没有用正确的思维方法去分析解决这个问题。
初中数学的学习，最重要的就是建立自己的知识体系，学会全局思考的思维模式！下面这些数学知识点的思维导图，将初中重要的知识点都整理出来了，相信一定能帮助同学们们提升数学成绩！我们一起来看看吧！1、全等三角形思维导图经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。
2、相似三角形思维导图三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形3、几何初步和三角形思维导图4、投影与视图思维导图5、圆思维导图在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
6、实数思维导图7、代数式思维导图这样用全局思维模式梳理出所学内容重点，然后逐一掌握学习，是不是看起来很容易，思路瞬间清晰起来！同学们在学习过程中一定要养成正确学习的好习惯，善于发现思考！下面这十条小建议希望能在你的学习过程中起到帮助。
【Tip】1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
7、数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。
8、数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。
9、数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。
10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。
射影几何的故事PPT课件
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2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
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这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。
请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。
象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。
下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
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如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
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地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。
人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
第三章一维射影几何学
k 3 k1 k 4 k 2 k 4 k1 k 3 k 2
O
tg Q 2 tg Q 2
A x
ab, cd
tg Q 3 tg Q 1 tg Q 4 tg Q 4 tg Q 1 tg Q 3
2
2
5 8
作业：
P5 4
1，4，5，6
§3.3线束的交比
设a,b,c,d为一线束中的四直线，取a和b作为基线，把它们的齐次坐 标依次表示为 a , b , c a 1b , d a 2 b （a,b既代表直线，又代表它 们的坐标向量）
设以一直线S截此四线于点A，B，C，D，则这四点的坐标顺序为：
AC BD
交比可由简比求得
AD BD
ABC ABD
定理1 ：设取A和B为基点，将这四点的齐次坐标顺序表达为：
a , b , a 1b , a 2 b
则
AB CD
1 2
定理2： 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+ i q i 1, 2, 3, 4
s in a c s in
bd
例1：试证一角的两边与其内外角平分线的交比等于-1。 证明：如图，设角的两边为a,b，内外角平分线分别为c,d.
a b , cd
sin a c sin sin a d
sin Q 3 sin Q 1 c o s Q 3 c o s Q1
sin Q 4 sin Q 2 cos Q 4 cos Q 2
射影几何入门
(一) 1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 2523. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 7595. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79 103. 射影相关的极点与极线80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82 (七) 圆锥曲线的度量性质83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83 109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84 111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85 113. 关于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方法101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107 (九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109 143. 二重点的存在 110 144. 二重射线的存在 112 145. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118 155. 抛物线的情况 119 156. 抛物面反射镜 119 157. 准线．主轴．顶点 119158. 圆锥线的另一种定义120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121 (十) 综合射影几何的历史123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues时代的保守性127170. Desargues的写作风格128171. Desargues工作缺乏欣赏129172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130 175. De La Hire和他的工作131176. Descartes和他的影响132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136 183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作137185. Von Staudt和他的工作138186. 近期的发展 139附录 140参考文献148索引 151第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。