数学选修一第一章 章末总结
数学选修1 1知识点总结
数学选修1 1知识点总结
集合与逻辑：
集合的基本概念和运算，包括并集、交集、补集等。
集合间的包含关系，如A是B的充分条件或B是A的必要条件。
逻辑联结词，如“且”（and）、“或”（or）等，以及它们的真假判断规则。
互逆命题的概念，即一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。
圆锥曲线：
椭圆：定义：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|），这个动点的轨迹叫椭圆。
焦点的位置判定：根据椭圆方程中的项判定焦点在哪一条轴上。
椭圆的几何性质：包括顶点、轴长、焦距、离心率等。
双曲线：定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹称为双曲线。
焦点的位置及双曲线的几何性质。
量词与命题：
全称量词和存在量词的概念，如“所有的”、“任意一个”表示全称量词，“存在一个”、“至少有一个”表示存在量词。
全称命题和特称命题的构成及其否定形式。
真命题和假命题的定义和判断。
这些知识点构成了数学选修1-1的主要内容，涵盖了集合、逻辑、圆锥曲线以及命题与量词等基本概念和原理。
掌握这些知识点，有助于学生深入理解数学的基本理论和应用，为后续的数学学习和研究打下坚实的基础。
请注意，具体的知识点可能会因教材版本或教学要求的不同而有所差异。
因此，在实际学习过程中，建议学生结合教材和教师的讲解，系统地梳理和总结这些知识点，以确保学习的全面性和准确性。
人教版高中数学选修1-1知识点汇总总结
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的条件， 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
对一个命题 全盘否定，得到一个新命题，记作 ．
若 是真命题，则 必是假命题；若 是假命题，则 必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对 中任意一个 ，有 成立”，记作“ ， ”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
．
3、函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率．曲线 在点 处的切线的斜率是 ，切线的方程为 ．若函数在 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为 ．
4、若当 变化时， 是 的函数，则称它为 的导函数（导数），记作 或 ，即 ．
5、基本初等函数的导数公式：
若 ，则 ； 若 ，则 ；
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性；
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆 的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
第三章：导数及其应用
知识点：
1、若某个问题中的函数关系用 表示，问题中的变化率用式子
表示，则式子 称为函数 从 到 的平均变化率．
2、函数 在 处的瞬时变化率是 ，则称它为函数 在 处的导数，记作 或 ，即
高中数学选修1-2(人教A版)第一章统计案例1.2知识点总结含同步练习及答案
为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果 如表所示．根据所选择的
193
个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？ 有效 口服 注射 合计
58 64 122
无效
40 31 71
合计
98 95 193
解：提出假设
H 0 ：药的效果与给药方式没有关系．
） 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂
以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂
0.01 = 1% 1%
的机会错误，即有
99%
以上的把握认为“爱好这项运动与性别有
关”．同时，在犯错误的概率不超过
的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案： C 解析： 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 0.01 = 1% 的机会错误，即有 99% 以上的把握认为“爱好这项运 动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
≈ 7.8
附表：
P (K 2 ⩾ k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ A．在犯错误的概率不超过 B．在犯错误的概率不超过 C．有 D．有 解：C 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 99% 99% 0.1% 0.1%
答案： A
B．①③
C．②③
D．①②③
3. 分类变量 X 和 Y 的列联表如下：
则下列说法中正确的是 (
【精编】人教A版高中数学选修1-1课件章末总结2课件-精心整理
章末总结
知识框图
热点问题透析
知识框图
(学生用书P46)
热点问题透析 (学生用书P46)
专题一 求圆锥曲线的方程
【例1】
(2010·天津)已知双曲线
x2 a2
－by22＝1(a>0，b>0)的
一条渐近线方程是y＝ 3 x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的
焦点相同，则双曲线的方程为______．
专题三 考查圆锥曲线的综合应用
【例4】
(2010·辽宁)设F1，F2分别为椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两
点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2 3.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果A→F2＝2F→2B，求椭圆C的方程．
【例3】
设F1，F2是双曲线x2－
y2 24
＝1的两个焦点，P是
双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
()
A．4 2
B．8 3
C．24
D．48
[解析] 由P是双曲线上的一点可知，|PF1|－|PF2|＝2， 且3|PF1|＝4|PF2|，
解得|PF1|＝8，|PF2|＝6. 又|F1F2|＝2c＝10， ∴三角形PF1F2为直角三角形． ∴△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24，故选C. [答案] C
∴y1＋3bb4 2.
②
∵A→F2＝2F→2B，所以－y1＝2y2. 代入①②可得
－y2＝－3a42＋3bb22，
③
制作不易 尽请参考
－2y22＝3－a2＋3bb4 2.
高中数学选修1知识点总结
高中数学选修1知识点总结1. 两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之间的距离可以通过以下公式计算：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2. 圆的方程2.1 标准方程设圆心为C(h, k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²2.2 一般方程设圆的方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中D、E、F为实数常数，则圆的一般方程为上述形式。
3. 对数函数3.1 定义对数函数以常数b（b > 0且b ≠ 1）为底的对数函数定义为：y = logₓ(b)其中x为自变量，y为函数值。
3.2 基本性质•logₓ(1) = 0•logₓ(x) = 1•logₓ(x * y) = logₓ(x) + logₓ(y)•logₓ(x / y) = logₓ(x) - logₓ(y)•logₓ(x^a) = a * logₓ(x)4. 幂函数4.1 定义幂函数定义为：y = a^x其中a为常数且a > 0。
4.2 基本性质•幂函数的定义域为全体实数。
•当a > 1时，幂函数呈现增长趋势；当0 < a < 1时，幂函数呈现下降趋势。
•幂函数的图像经过点(0, 1)。
•幂函数在底数为1时，始终为1。
5. 三角函数5.1 正弦函数正弦函数以周期2π为基础，定义为：y = sin(x)5.2 余弦函数余弦函数以周期2π为基础，定义为：y = cos(x)5.3 正切函数正切函数的定义为：y = tan(x)5.4 基本性质•三角函数的周期都为2π。
•正弦函数和余弦函数的取值范围为[-1, 1]。
•正切函数的定义域为全体实数，值域为(-∞, +∞)。
6. 反三角函数与三角函数相对应，反三角函数常用的包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
人教版高中数学选修1-1第一章知识点
人教版高中数学选修1-1第一章知识点一、本章知识概述嘿，咱来说说人教版高中数学选修1-1 的第一章哈。
这一章那可是相当重要呢。
这一章主要讲的啥呢，它围绕着一些特定的数学概念展开。
这一章在整个高中数学知识体系里的位置那可不一般。
就好比一栋大楼的重要基石，没有这一章的知识，后面好多内容你都搞不明白。
高中数学那是一个庞大的知识体系，这第一章就像是给你打开一扇新的大门。
它为后面更复杂的数学学习打下坚实的基础。
比如说，后面学到的一些更难的章节，可能就会用到这一章的概念和方法。
要是这一章没学好，那后面可就抓瞎啦。
这一章的知识能让你对数学有更深入的理解，不再觉得数学只是一堆枯燥的数字和公式。
它能让你看到数学的美和实用性。
就拿生活中的例子来说吧，很多实际问题都能通过这一章的知识来解决。
比如一些经济问题、物理问题等等。
所以啊，可得好好学这一章，为高中数学的学习铺好路。
二、重要概念解析命题，啥是命题呢？简单说，就是能判断真假的陈述句。
比如说“今天是晴天”，这就是个命题，因为可以判断它是真还是假。
但“你吃饭了吗？”这就不是命题，因为没法判断真假。
命题有个特点，要么是真的，要么是假的，不能模棱两可。
它的应用场景可不少呢，在数学证明里，我们经常要判断命题的真假，通过已知条件去推导结论是不是正确的命题。
再说说逻辑连接词。
“且”这个连接词，就是两个命题都得是真的，整个复合命题才是真的。
比如说“小明学习好且小明品德好”，只有当小明学习确实好，品德也确实好的时候，这个复合命题才是真的。
“或”呢，两个命题只要有一个是真的，整个复合命题就是真的。
像“小明喜欢数学或小明喜欢语文”，只要小明喜欢其中一门课，这个命题就是真的。
“非”就是对一个命题的否定。
比如命题“今天是晴天”，它的非命题就是“今天不是晴天”。
逻辑连接词在实际问题中的应用也很多。
比如在电路设计里，“且”门就相当于两个开关都闭合电路才通，“或”门就是只要有一个开关闭合电路就通。
高中数学选修一第1章-直线方程-知识点
1高中数学选修一第1章-直线方程-知识点1、倾斜角：直线在x 轴上方的部分，与x 轴正半轴的夹角，范围是[0,π)。
倾斜角θ= 0 时，表示与x 轴平行或重合的直线；θ= 90°时，表示与x 轴垂直的直线。
2、直线的斜率K= tan θ ，当θ=0时，斜率k= 0 ；当θ∈(0，π/2)时，斜率k ＞0，且k 随θ的增大而增大 (从 0+逐渐增大到 +∞)；当θ=π/2时，斜率不存在；当θ∈（π/2，π），斜率k ＜0，且k 随θ的增大而 增大 (从 -∞ 逐渐增大到 0- )。
特殊地，k=1时，θ=45°，k=-1时，θ=135°，k=3时，θ=60°，k=3-时，θ=120°，k=33时，θ=30°，k=33-时，θ=150°。
若已知直线上不同的两点A(x 1,y 1)、A(x 2,y 2)，则斜率k= 2121x x y y -- 。
3、熟记常见的直线方程注意：①截距是坐标值，可正，可负，也可以是0，与距离有区别。
②待定系数 求直线方程时，若选用 点斜式/斜截式 时，需要补充 斜率 不存在的情况；若选用 两点式 ，需要补充θ＝ 0 和＝ π/2 的情况；若选用 截距式 ，需要补充θ＝ 0 和＝π/2 以及直线 过原点 的情况。
③已知一般式ax+by+c=0，则斜率为 ba - ，法向量为 ),b a n （=，方向向量为 )-a b d ，（= 或 )-a b ，（ 。
4、直线系方程：①已知直线ax+by+c=0，平行直线可设ax+by+m=0 ；垂直直线可设5、找含参数直线方程的必过点。
例:直线2x-my-4+3m=0,必过定点(2,3)。
方法是：将方程中含参数m的项合并，不含参数的项合并，令它们分别等于0 即可求得。
6、关于直线与一次函数：一次函数的图像是直线，但直线不一定表示一次函数。
当斜率k=0时，直线方程表示为y=c ，是常值函数；当斜率不存在时，直线方程表示为x=m ，此时不是函数，当k存在且≠0时，此时表示一次函数。
「精品」人教A版高中数学选修1-1课件章末总结3-精品课件
[规律技巧] 利用导数可以判断函数的单调性，求函数 的单调区间，注意含参数的问题要进行分类讨论.
专题三 利用导数求极值、最值
【例3】
已知函数f(x)＝ax3－
3 2
(a＋2)x2＋6x＋b在x＝2
处取得极值．
(1)求a的值及f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈[1,4]，不等式f(x)<b2恒成立，求b的取
(2)由(1)知f(x)＝x3－92x2＋6x＋b，
f′(x)＝3(x－1)(x－2)，
f(x)极大值＝f(1)＝52＋b，
f(x)极小值＝f(2)＝2＋b，f(4)＝16＋b.
比较知f(4)>f(1)>f(2)，若不等式f(x)<b2恒成立，
只需f(4)<b2，即16＋b<b2，b2－b－16>0，
D．a＝－1，b＝－1
[解析] y′＝2x＋a，∵曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处 的切线方程是x－y＋1＝0，
∴切线l的斜率k＝1＝y′|x＝0. ∴00＋－ab＝＋11，＝0， ∴ab＝＝11.， 故选A.
[答案] A
[规律技巧] 本题主要考查导数的几何意义，直线与曲 线相切的条件，导数的几何意义就是函数在某点处的导数是 它在这个点处的切线的斜率.利用这一几何意义可以求切线方 程.
升汽油大约能跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一 千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程 为200千米．
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更 经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长 时间省出的钱等于改装设备花费的钱．
[解] (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为 W元，耗费的液化气费为W′元，
高二选修一数学全章知识点
高二选修一数学全章知识点数学是一门基础学科，对于高中生来说，学好数学是非常重要的。
在高二选修一的数学课程中，涵盖了许多重要的知识点。
本文将对高二选修一数学的全章知识点进行详细介绍。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 一次函数：函数的概念、斜率与截距的关系、函数图像、应用问题等。
3. 二次函数：标准形式与一般形式、顶点、对称轴、判别式、函数图像、应用问题等。
4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质、函数图像、解三角方程等。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与常见数列：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
2. 数列的通项公式与求和公式。
3. 数学归纳法的原理与应用。
三、二次函数与三角函数的综合应用1. 二次函数与三角函数的复合函数。
2. 二次函数与三角函数的图像叠加问题。
3. 综合应用题：包括角度问题、最值问题、优化问题等。
四、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与性质：向量的表示、向量的运算、向量共线与垂直等。
2. 向量的数量积与向量的夹角。
3. 直线与圆的方程：点斜式、一般式、圆的标准方程、一般方程等。
五、概率论1. 随机事件与样本空间。
2. 概率的基本概念与性质：事件的概率、互斥事件、相互独立事件等。
3. 排列组合与概率：排列、组合、二项式定理等。
4. 条件概率与贝叶斯定理。
六、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式。
2. 三角恒等式与比值恒等式。
3. 三角函数的和差化积。
七、导数与微分1. 函数的导数与导数的基本运算法则。
2. 极限与连续性。
3. 函数的极值与最值。
4. 曲线的凸凹性与拐点。
5. 函数的图像与导数关系。
八、不等式与线性规划1. 解不等式的基本方法。
2. 线性规划的基本概念与步骤。
以上就是高二选修一数学全章知识点的概要介绍。
在学习数学的过程中，要理解每个知识点的概念与性质，并能够熟练运用到解题中。
只有通过反复练习和思考，才能真正掌握这些知识点，为高考打下坚实的基础。
苏教版高中数学选修1-1第3章章末总结.docx
章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二 导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2＋sin x ； (2)f (x )＝x (x －a )2.知识点三 导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四 导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.例2 解 (1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0， 解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )， 令12＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )， 因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a 3，x 2＝a . ①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a 3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3 解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0， 所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ， 所以－32a ＝－62，所以a ＝63.例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2. 要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即2x 3－a x 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727； 当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72. 又f (－1)＝112，f (2)＝7， 因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7.要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。
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第一章 章末总结
知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间
的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和
否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考
的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示
就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命
题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用
原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果
能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p：－2
例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5 设命题p：函数f(x)＝lgax2－x＋116a的定义域为R；命题q：不等式2x＋1<1
＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的
取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观
题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就
行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，
则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－12，－12－2＝52<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0也为真．
例2 解 若a＝－1，b＝12，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，
故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，
且0
于是0<－a<2,0
例3 解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，∴ a≤－4a<0或 3a≥－2a<0，
解得－23≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪－23，0.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p：由ax2－x＋116a>0恒成立得
a>0
Δ＝1－4×a×
a
16
<0
，∴a>2.
q：由2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝2x＋1>1，则x＝t2－12，
∴t<1＋a·t2－12，
∴2(t－1)
∴2
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．