高中数学：第二章1.5平面直角坐标系中的距离公式 课时训练 (北师大必修2))
2021年高中数学第二章2.1.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式知识点一 两点间的距离公式[填一填](1)公式：两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，如图所示．(2)文字叙述：平面直角坐标系内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[答一答]1．两点间的距离公式中点A ，B 的位置有先后之分吗？提示：点A ，B 的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离． 知识点二 点到直线的距离公式[填一填]点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，如图所示．[答一答]3．点到直线的距离公式中，直线l 的方程是哪种形式？如果是斜截式方程，如何求？提示：在点到直线的距离公式中，直线l 的方程是一般式．若直线l 的方程为y ＝kx ＋b (斜截式)，则可化为kx －y ＋b ＝0，故P (x 1，y 1)到直线l 的距离d ＝|kx 1－y 1＋b |k 2＋1.4．点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0或P 0在直线l 上的特殊情况是否还适用？ 提示：仍然适用．①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C ||B |，适合公式；②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式；③当P 0点在直线l 上时，有Ax 0＋By 0＋C ＝0， d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝0，适合公式．知识点三 两条平行直线间的距离[填一填](1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫作这两条平行直线间的距离．(2)求法：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离公式为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.特别地，若两条直线的方程为l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，那么两平行线间的距离d ＝|b 1－b 2|1＋k 2. [答一答]5．l 1与l 2之间的距离公式是如何推导的？提示：在直线l 1上任取一点P (x 0，y 0)，则Ax 0＋By 0＝－C 1.点P 到直线l 2的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.6．两条平行线x ＋y －1＝0,2x ＋2y ＋5＝0之间的距离是d ＝|－1－5|12＋12＝32吗？提示：不是．虽然两条平行直线的方程均为一般式方程，但是两直线方程中x ，y 的系数不满足分别相等．所以应把两方程系数统一，即2x ＋2y ＋5＝0化为x ＋y ＋52＝0，再求距离d ＝|－1－52|12＋12＝724.1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；(2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a (a ≠0)的距离d ＝|y 0－a |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 2．对两条平行直线间的距离的理解(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距离的最小值． (3)在使用公式|C 1－C 2|A 2＋B 2时，必须有两个前提条件：一是两条直线的方程都是一般式；二是x ，y 的系数分别对应相等，否则必须先化为对应相等才能套用公式.类型一 两点间的距离公式【例1】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)． (1)求BC 边上的中线AM 的长； (2)求证：△ABC 为等腰直角三角形．【思路探究】 (1)已知A 点的坐标，欲求中线AM 的长，只需求出点M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可．(2)利用两点间距离公式结合勾股定理来证明．【解】 (1)设点M 的坐标为(x ，y )， ∵点M 为BC 的中点，∴x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2， 即点M 的坐标为(2,2)，由两点间的距离公式得： |AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26， ∴BC 边上的中线AM 的长为26.(2)证明：证法一：∵|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， ∴|AC |＝|AB |，又∵A ，B ，C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形． ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．证法二：∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法 中点的坐标公式经常用到，要牢牢记住．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题，根据题目条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解：设点P 的坐标为(x,0)，于是|P A |＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， |PB |＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11.由|P A |＝|PB |，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以点P 的坐标为(1,0)， 则|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2. 类型二 点到直线的距离公式【例2】 若点(－2,2)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3，求c 的值． 【思路探究】 直接利用点到直线的距离公式列方程，解出c 的值． 【解】 由点(－2,2)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3， 得d ＝|3×(－2)＋4×2＋c |32＋42＝|2＋c |5＝3. 解得c ＝13或c ＝－17.规律方法 熟记点到直线的距离公式，一定不要忽略分子中的绝对值符号，否则容易漏解．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)3x －4y ＋3＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴；(4)x 轴． 解：(1)d ＝|3×3－4×(－2)＋3|32＋(－4)2＝205＝4.(2)解法一：∵直线y ＝6与x 轴平行，∴d ＝|6－(－2)|＝8. 解法二：将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0， ∴d ＝|0×3＋(－2)－6|02＋12＝8. (3)d ＝|3－0|＝3. (4)d ＝|－2－0|＝2.类型三 两条平行直线间的距离【例3】 求两条平行线l 1：6x ＋8y ＝20和l 2：3x ＋4y －15＝0的距离． 【思路探究】 由题目可获取以下主要信息： ①l 1与l 2是两定直线；②l 1∥l 2.解答本题可先在直线l 1上任取一点A (2,1)，然后再求点A 到直线l 2的距离即为两直线的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【解】 解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即为所求的平行线间的距离，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1.如图所示．解法二：直接应用两条平行线间的距离公式， l 1：3x ＋4y －10＝0，l 2：3x ＋4y －15＝0， ∴d ＝|－10－(－15)|32＋42＝1. 规律方法 针对这个类型的题目一般有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②直接用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，但要注意两直线方程中x ，y 的系数必须分别相同．若两条平行直线3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求ac ＋2的值．解：由题意知36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，∴6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两条平行直线间的距离公式，得|c2＋1|32＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或c ＝－6， 当c ＝2时，a c ＋2＝－42＋2＝－1； 当c ＝－6时，ac ＋2＝－4－6＋2＝1.类型四 解析法的应用【例4】 △ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用解析法证明：|AE |＝|CD |.【证明】 如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 、c ，则A (－a,0)、C (c,0)、D (－a 2，32a )、E (c 2，32c )，则|AE |＝[c 2－(－a )]2＋(32c －0)2 ＝a 2＋ac ＋c 24＋3c 24＝a 2＋ac ＋c 2， |CD |＝ (－a 2－c )2＋(32a －0)2 ＝a 24＋ac ＋c 2＋3a 24＝a 2＋ac ＋c 2. ∴|AE |＝|CD |.规律方法 解析法的步骤：①建立坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D ，B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.用解析法证明：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )，又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形． 类型五 距离公式的应用【例5】 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8，求f (x )的最小值，并求取得最小值时x 的值．【解】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2.它表示点P (x,0)与点A (1,1)的距离加上点P (x,0)与点B (2,2)的距离之和，即在x 轴上求一点P (x,0)，使其与点A (1,1)、B (2,2)的距离之和最小．由图可知，转化为求两点A ′(1，－1)和B (2,2)间的距离，其距离为函数f (x )的最小值．所以f (x )的最小值为(1－2)2＋(－1－2)2＝10.再由直线方程的两点式得A ′B 方程为3x －y －4＝0，令y ＝0，得x ＝43.故当x ＝43时，f (x )取得最小值，且最小值为10.规律方法 将函数表达式变形为f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2，可以看作P (x,0)到点A (1,1)与到点B (2,2)的距离之和，即在x 轴上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小．巧用对称、数形结合，使解法直观、简捷且准确．在函数y ＝4x 2的图像上求一点P ，使点P 到直线4x ＝y ＋5的距离最短，并求这个最短的距离．解：直线方程可化为4x －y －5＝0，设P (a,4a 2)，则点P 到直线的距离为d ＝|4a －4a 2－5|42＋(－1)2＝⎪⎪⎪⎪－4⎝⎛⎭⎫a －122－417＝⎪⎪⎪⎪4⎝⎛⎭⎫a －122＋417.当a ＝12时，点P ⎝⎛⎭⎫12，1到直线的距离最短，最短距离为41717.——多维探究系列—— 数形结合在平行线间距离中的应用【例6】 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和点B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．【思路分析】 先分别作出过A ，B 两点的两条平行直线，由于直线的其他几何要素不知道，我们发现平行直线的倾斜角不同，则两条平行直线间的距离不同，然后用函数思想与数形结合思想去分析．【精解详析】 (1)当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，此时d ＝|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310；当两条平行直线各自绕点A ，B 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即d 的变化范围是(0,310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行直线都垂直于AB ， 所以k ＝－1k AB ＝－12－(－1)6－(－3)＝－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法，根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而求出两条平行直线间的距离的范围．求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程．解：如图所示，设l 是过点A (3,5)的任意一条直线，过O 作OH ⊥l ，垂足为H ，则有|OH |≤|OA |.当H 与A 点重合时，O 点到直线l 的距离最大，d max ＝|OA |＝32＋52＝34. 此时，直线l 与OA 垂直．由k OA ＝53，得l 的斜率k ＝－1k OA ＝－35.所以l 的方程为y －5＝－35(x －3)，即3x ＋5y －34＝0.一、选择题1．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( D ) A.32 B.52 C.52D. 5解析：2x －y ＝0，d ＝|0－5|22＋(－1)2＝ 5.2．已知点A (a,2)(a >0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 为( C ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：由|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍去)．3．经过点(－4,3)且与原点的距离等于3的直线方程是( D ) A ．3x ＋4y ＝0 B ．24x ＋7y ＋75＝0 C ．y ＝3或3x ＋4y ＝0 D ．y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0解析：由题可知，设直线方程为y －3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＋3＝0. ∴|4k ＋3|1＋k 2＝3，解得k ＝0或－247.∴所求直线方程为y ＝3或24x ＋7y ＋75＝0. 二、填空题4．与直线7x ＋24y ＝5平行且距离等于3的直线方程是7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0.解析：设直线方程为7x ＋24y ＋C ＝0. ∵|C ＋5|72＋242＝3，∴C ＝－80或70.∴直线方程为7x ＋24y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0. 三、解答题5．在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离等于它到直线x ＋3y －10＝0的距离． 解：直线x ＋3y ＝0与x ＋3y －10＝0的距离为 |0＋10|12＋32＝10.设所求点为(－3m ，m )，则(－3m )2＋m 2＝10. ∴m ＝±1，故所求点为(－3,1)或(3，－1)．。
北师大版必修2练习2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 Word版含解析
．平面直角坐标系中的距离公式时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．点(－)到直线－＝的距离为( )．．答案：解析：直线－＝的方程可化为＝，所以点(－)到该直线的距离为＝＝.．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是()，则的长为( )．．．．答案：解析：设()，(，)，则＝，＝，即()，()，所以＝＝＝.．已知两点()和(－)到直线＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－或．－或．－或．或答案：解析：＝，即＋＝－，解得＝－或.．到直线－＋＝的距离为，且与此直线平行的直线方程是( )．－＋＝．－＋＝或－－＝．－＋＝．－＋＝或－－＝答案：解析：在直线－＋＝上取点()．设与直线－＋＝平行的直线方程为－＋＝，则＝，解得＝或＝－，即所求直线方程为－＋＝或－－＝.．过点()且和()，(，－)距离相等的直线的方程是( )．＝．＋－＝．＝或＋－＝．＋－＝或＋＋＝答案：解析：∵＝＝－，过与平行的直线方程为－＝－(－)，即：＋－＝：又的中点()，∴的方程为＝.．若实数，满足＋－＝，则＋的最小值是( )．．．．答案：解析：实际上就是求原点到直线＋－＝的距离的平方．二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知()，(－)，＝，则实数的值为．答案：或－解析：依题意及两点间的距离公式，得＝，整理得－－＝，解得＝或＝－.．已知点为轴上一点，且点到直线－＋＝的距离为，则点的坐标为．答案：(－)或()解析：设()，则有＝，解得＝－或，∴点的坐标为(－)或()．．与直线＋＝平行且距离等于的直线方程为．答案：＋＋＝或＋－＝解析：由题意设所求直线方程为＋＋＝，则有＝，解得＝或＝－.三、解答题(共分，＋＋)．已知点(－)，(，)，在轴上求一点，使得＝，并求的值．解：设所求点为()，于是有＝＝，＝＝，由＝，得＝，解得＝，所以＝＝.．已知直线：＋＋＝与：＋－＝互相平行，且，之间的距离为，求直线的方程．解：因为∥，所以＝≠，解得(\\(＝≠－))或(\\(＝－≠)).当＝时，直线的方程为＋＋＝，直线的方程为＋－＝，即＋－＝.由已知得＝，解得＝－或.所以，所求直线的方程为＋－＝或＋＋＝.当＝－时，直线的方程为－－＝，为－－＝，即－－＝，由已知得＝，解得＝－或＝，所以所求直线的方程为－＋＝或－－＝.综上可知，直线的方程有四个，分别为＋－＝或＋＋＝或－＋＝或－－＝.．已知△中，(，－)，()，(，－)．()求边上的高所在直线的一般式方程；()求△的面积．解：()由斜率公式，得＝，所以边上的高所在直线方程为＋＝－(－)，即＋＋＝.()由两点间的距离公式，得＝，边所在的直线方程为＋＝(－)，即－－＝，所以点到直线的距离＝＝，故△＝××＝.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《平面直角坐标系中的距离公式》课时训练及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二1．5 平面直角坐标系中的距离公式(一)【课时目标】1．掌握平面上两点间的距离公式．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝______________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝__________．2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：_________________________________________________________________．第二步：_________________________________________________________________．第三步：_________________________________________________________________．一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．2104．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( ) A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝55．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．三、解答题10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A(1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l 1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．5 平面直角坐标系中的距离公式(一) 答案知识梳理1．(x2－x1)2＋(y2－y1)2x2＋y22．建立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算结果“翻译”成几何关系作业设计1．A [由(－3)2＋(4－b)2＝5，解得b＝0或8．]2．B3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则a2＝2，b2＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝25．]4．B [设到A、B距离相等的点P(x，y)，则由|PA|＝|PB|得，4x－2y＝5．]5．B[(如图)A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M坐标为(1,0)．]6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]7．17解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝1. ∴d ＝42＋12＝17． 8．(2,10)或(－10,10) 解析 设M(x ，y)， 则|y|＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10． 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝10或⎩⎨⎧ x ＝－10，y ＝10． 9．2 6解析 |BD|＝12|BC|＝2， |AD|＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB|＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB|2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5．当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)，则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE|＝12|AB|． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。
高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修2
1.5 平面直角坐标系中的距离公式[学习目标] 1.掌握两点间的距离公式并会应用． 2.了解点到直线的距离公式的推导方法． 3.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题． 4.初步掌握用解析法研究几何问题的方法.【主干自填】1．两点间的距离公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有两点A ，B 的距离公式|AB |＝□01 x 1－x 22＋y 1－y 22.2．点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝□02|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 3．两条平行线间的距离两平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(A 、B 不同时为0，C 1≠C 2)间的距离为□03|C 1－C 2|A 2＋B 2. 【即时小测】1．思考下列问题(1)当P 1，P 2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式是否适用？ 提示：适用．(2)点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0或P 在直线l 上的特殊情况是否还适用？ 提示：仍然适用．①当A ＝0时，B ≠0，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋C B ＝|By 0＋C ||B |，适合公式； ②当B ＝0时，A ≠0，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－CA，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋C A ＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式； ③当P 点在直线l 上时，有Ax 0＋By 0＋C ＝0，d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝0，适合公式．2．已知A (2,1)，B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于( ) A ．－3 B ．5C ．－3或5D ．－1或－3提示：C |AB |＝＋2＋－b2＝5，解得b ＝5或b ＝－3.3．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 提示：C 由点到直线的距离公式得|a －2＋3|12＋－2＝|a ＋1|2＝1⇒|a ＋1|＝ 2.因为a >0，所以a ＋1＝2，即a ＝2－1.4．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．提示：3 直线6x ＋8y ＋6＝0可变为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两直线平行．它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，|PQ |最小值为d ＝3.例1 (1)求直线2x ＋my ＋2＝0(m ≠0)与两坐标轴的交点之间的距离； (2)已知点A (a ，－5)与B (0,10)间的距离是17，求a 的值；(3)求直线l ：y ＝x 被两条平行直线x ＋y －2＝0和x ＋y －4＝0所截得的线段的长度． [解] (1)直线2x ＋my ＋2＝0与x 轴的交点为(－1,0)，与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2m ，∴两交点之间的距离为d ＝－1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋2m 2＝1＋4m2.(2)由两点间的距离公式可得d 2＝a 2＋152＝172， ∴a ＝±8.(3)先求两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0解得交点为(1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －4＝0解得交点为(2,2)．∴所求线段的长度为d ＝－2＋－2＝ 2.类题通法应用距离公式的注意事项(1)使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决.[变式训练1] 已知点A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)， (1)试判断△ABC 的形状； (2)求AB 边上的中线CM 的长． 解 (1)|AB |＝－2＋－2＝17，|AC |＝－2＋－2＝17， |BC |＝－2＋－2＝18，∵|AB |＝|AC |≠|BC |，∴△ABC 为等腰三角形．(2)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92，|CM |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－922＝532.例2 求点P (1,2)到下列直线的距离： (1)l 1：y ＝x －3；(2)l 2：y ＝－1；(3)y 轴． [解] (1)将直线方程化为一般式为x －y －3＝0， 由点到直线的距离公式得d 1＝|1－2－3|12＋－2＝2 2.(2)解法一：直线方程化为一般式为y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d 2＝|2＋1|02＋12＝3.解法二：如图，∵y ＝－1平行于x 轴，∴d 2＝|－1－2|＝3.(3)解法一：y 轴的方程为x ＝0， 由点到直线的距离公式得d 3＝|1＋0＋0|12＋02＝1. 解法二：如图可知，d 3＝|1－0|＝1.类题通法点到直线距离公式的注意点求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．[变式训练2] P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，求P 点的坐标．解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得x 0＝2，y 0＝－1或x 0＝1，y 0＝2. 所以点P 的坐标为(2，－1)或(1,2).例3 已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．[解] 设P (x ，y )为l 上任一点． 则d 1＝|7x ＋8y ＋9|72＋82，d 2＝|7x ＋8y －3|72＋82. 由d 1d 2＝12，即d 2＝2d 1，得|7x ＋8y －3|＝2|7x ＋8y ＋9|， ∴7x ＋8y －3＝2(7x ＋8y ＋9) 或7x ＋8y －3＝－2(7x ＋8y ＋9)．化简得l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0. 类题通法求两条平行直线间距离的两种思想(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x ，y 的系数对应相等．[变式训练3] 已知直线l 过点A (2,4)，被两平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．解 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴可设点M 坐标为(t,3－t )． 由题意知点M 到l 1，l 2的距离相等， 即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1，l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得|C －1|2＝|C ＋1|2，解得C ＝0，即l 3：x －y ＝0. 由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式y －324－32＝x －322－32，得直线l 的方程为5x －y －6＝0.易错点⊳对斜率是否存在考虑不全面致误[典例] 求经过点(1,2)且到原点距离为1的直线方程． [错解] ∵所求直线过点A (1,2)， ∴可设直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.∵原点到此直线的距离为1， ∴|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，∴所求直线方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.[错因分析] 本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．[正解] ①当直线过点A (1,2)且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意．②当直线过点A (1,2)且与x 轴不垂直时，由题意可设直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0，又由原点到此直线距离等于1， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 所以直线方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0. 课堂小结1.应用点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A ＝0或B ＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.2.两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想.二是直接套用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，其中l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，(C 1≠C 2)需注意此时直线l 1与l 2的方程为一般式且x ，y 的系数分别相同.1．已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( )A ．10B ．5C ．8D ．6 答案 A解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)，所以|AB |＝－2＋－2＝36＋64＝10.2．若点(1,2)到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则实数a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析 由点到直线的距离公式，得|1－2＋a |12＋－2＝22，即|a －1|＝1，解得a ＝2或0. 3．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为( ) A ．－6或12 B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12答案 A 解析|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.4．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 答案 D解析 在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋－2＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0.。
高中数学课时19第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式作业课件北师大版必修2
三、解答题 12．直线 l 经过 A(2,4)，且被平行直线 x－y＋1＝0 与 x－y－ 1＝0 所截得的线段的中点在直线 x＋y－3＝0 上，求直线 l 的方程．
提示：(1)直接法，先求截得的线段的中点，再利用中点在 x＋y－3＝0 上求出待定系数．(2)被平行线截得的线段的中点一 定在与两条平行线距离相等的直线上，从而确定中点的位置以 及 l 的位置．
解：解法一：设所求直线 l 的斜率为 k，则所求直线 l 的方
程为 y－4＝k(x－2)．
由yx－ －4y＋＝1k＝x－0，2，
可解得 P(2kk－－13，3kk－－14)；
由yx－ －4y－＝1k＝x－0，2，
可解得 B(2kk－－15，kk－ －41)．
∴PB 的中点 D 的坐标为(2kk－－14，2kk－－14)．
又∵D 在直线 x＋y－3＝0 上，
∴2kk－－14＋2kk－－14－3＝0，解之得 k＝5. 所以，所求直线的方程为 y－4＝5(x－2)，即 5x－y－6＝0.
解法二：与 x－y－1＝0 及 x－y＋1＝0 等距离的直线必定 与它们是平行的，所以设 x－y＋c＝0，从而 |c1＋＋11| ＝ |c1－＋11| ， 解之得，c＝0，∴x－y＝0，又截得的线段的中点在 x＋y－3＝0 上，∴由xx－ ＋yy＝ －03， ＝0， 可解得中点坐标为(32，32)，所以直线 l 过点(2,4)和(32，32)，从而得 l 的方程为 5x－y－6＝0.
7．过点 P(0,1)且和 A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程
是( C )
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0 C．y＝1 或 2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0 或 2x＋y＋1＝0
解析：①所求直线平行于 AB， ∵kAB＝－2，∴其方程为 y＝－2x＋1，即 2x＋y－1＝0. ②所求直线过线段 AB 的中点 M(4,1)， ∴所求直线方程为 y＝1.故选 C.
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式练习 北师大版必修2
1.5 平面直角坐标系中的距离公式1.已知点M(-1,3),N(5,1),若点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0解析:由|PM|=|PN|,得,化简得3x-y-4=0.答案:D2.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A. B.2-C.-1D.+1解析:由点到直线的距离公式知,d==1,解得a=-1±.又因为a>0,所以a=-1.答案:C4x-y+1=0和x+y-=0的交点,且与原点间的距离等于1的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案:B5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4解析:依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,故可设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,即直线l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得点M 到原点的距离的最小值为=3.故选A.答案:A6.若在△ABC中,顶点坐标分别为A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于.解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线的方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此,S△ABC=×2=5.答案:57.若直线l经过点A(5,10),且坐标原点到直线l的距离为10,则直线l的方程是.解析:①k存在时,设直线方程为y-10=k(x-5),∴10=.∴k=-或k=0.∴y-10=-(x-5)或y=10.②k不存在时,x=5不符合题意.综上所述,所求直线为4x+3y-50=0或y=10.答案:4x+3y-50=0或y=108.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是.解析:根据题意可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),则,所以c=-1或c=3(舍去).所以直线l的方程是x+y-1=0.答案:x+y-1=09.导学号62180114x,y满足x+y+1=0,求x2+y2-2x-2y+2的最小值.解:原式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方, 而点(x,y)在直线x+y+1=0上.设d为Q点到直线x+y+1=0的距离,由|PQ|≥d得,即x2+y2-2x-2y+2≥.故所求最小值为.10.已知正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF交于点G.求证:AG=AD.证明:以点B为坐标原点,以BC为x轴,AB为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-x+1,由解得即点G.从而|AG|==2=|AD|.11.已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程;(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值;(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)当斜率不存在时,方程x=2适合题意;当直线的斜率存在时,设为k,则直线方程应为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.根据题意=2,解得k=,∴直线方程为3x-4y-10=0.∴所求直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程即为过点P且与OP垂直的直线,易求其方程2x-y-5=0,且最大距离d=.(3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为,而6>,故这样的直线不存在.。
高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式课时作业北师大版必修2(2021年整
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2。
1。
5 平面直角坐标系中的距离公式［学业水平训练]1.已知点A(－3,4）和B（0，b),且｜AB|＝5，则b等于（)A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－6解析:选A.因为|AB｜＝5.得错误!＝5。
整理得（4－b）2＝16，所以4－b＝±4，所以b＝0或b＝8。
错误!已知点（a，2)（a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（）A. 2 B．2－2C。
错误!－1 D.错误!＋1解析：选C。
由已知得错误!＝1,解得a＝错误!－1或a＝－错误!－1，因为a＞0,所以a＝错误!－1。
错误!点P(x,y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则｜OP|的最小值是( )A.错误!B．2错误!C。
6 D．2解析:选B。
｜OP｜的最小值即O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝｜－4｜2＝2错误!.4。
点P（4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为( ）A．[0，10］B．（0,10）C．[错误!，错误!］D．（－∞，0)∪[10，＋∞）解析：选A。
点P(4，a）到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则错误!≤3.解得0≤a≤10.错误!两平行直线l1,l2分别过点P(－1,3）,Q(2，－1），它们分别绕P，Q旋转,但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( ）A．（0，＋∞）B．［0，5］C．(0，5] D．[0，错误!]解析：选C.设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d＝0,但两直线平行，故d>0.当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ｜＝（－1－2）2＋（3＋12)＝5，所以0<d≤5。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式课后课时精练北师大版必修2
1.5 平面直角坐标系中的距离公式时间：25分钟1．已知点P (a,2)到直线x ＝3的距离是1，则a 的值为( )A ．2B ．－4C ．2或4D ．－2或4答案 C解析 由题意知|a －3|＝1，解得a ＝2或4.2．两平行直线x ＋y －1＝0与2x ＋2y ＋1＝0之间的距离是( ) A.324 B.24C ．2D ．1 答案 A解析 2x ＋2y ＋1＝0可化为x ＋y ＋12＝0，由两平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋112＋12＝324. 3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5答案 C解析 点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 的距离为|A ′B |＝510.4．与两直线3x ＋2y －4＝0和3x ＋2y ＋8＝0距离相等的点的集合是( )A ．3x ＋2y ＋2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ±2＝0D ．以上都不对答案 A解析 设点为(x ，y )，则|3x ＋2y －4|32＋22＝|3x ＋2y ＋8|32＋22， ∴|3x ＋2y －4|＝|3x ＋2y ＋8|，将3x ＋2y 看作一个整体得3x ＋2y ＋2＝0.5．与点A (1,1)，B (2,2)的距离均为22的直线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 共有3条：其中2条与A ，B 所在的直线平行，1条过A ，B 的中点，且与A ，B 所在的直线垂直．6．过点P (1,2)且与原点O 的距离最大的直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －7＝0答案 B 解析 根据平面几何知识得所求直线与OP 垂直，因为直线OP 的斜率为k ＝2－01－0＝2，所以所求直线的斜率为k ′＝－12，所以所求直线为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 7．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 答案 2解析 因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.8．已知点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________． 答案 12 解析 A ，B 两点之间的距离为d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋2－x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，即最小值为12. 9．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 答案 ①⑤解析 记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1，l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1，l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故填①⑤.10．△ABC 的三个顶点A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)．(1)求BC 边上的高所在的直线方程；(2)求△ABC 的面积S .解 (1)设BC 边上的高所在的直线为l .∵k BC ＝3－－12－－2＝1，∴k l ＝－1k BC＝－1. 又A (－1,4)在直线l 上，∴l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在的直线为y ＋1＝x ＋2，即x －y ＋1＝0.点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－12＝2 2. 又|BC |＝－2－22＋－1－32＝42，∴S △ABC ＝12|BC |d ＝12×42×22＝8.。
高中数学：第二章1.5平面直角坐标系中的距离公式 课时训练 (北师大2)
第二章 解析几何初步第1。
5节 平面直角坐标系中的距离公式1、经过点P （x 0， y 0）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A （y –y 0)+C=0 （C ）B （x+x 0)–A （y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0）+C=0 2、直线l 1： x+ay+6=0与直线l 2： (a –2）x+3y+2a=0平行，则a 的值等于（A ）–1或3 （B ）1或3 (C ）–3 (D)–13、直线l 1: (2a+1）x+(a+5)y –6=0与直线（3–a ）x+（2a –1）y+7=0互相垂直，则a 等于(A ）–31 （B)1 （C ）71 （D ）214、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4后,所得的直线的方程是(A ）x –3y –2=0 (B)3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=05、已知点A(0, –1）,点B 在直线x –y+1=0上,直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是（A)（–2， –3） （B ）(2, 3） （C ）(2， 1) (D ）（–2,1)6、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 。
7、过点P （2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan 32的直线的方程是。
8、在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x+5y–3=0和x+y–1=0，AB边所在直线的方程是x+3y–1=0，则△ABC的顶点坐标分别是A ;B ；C .参考答案1、A；2、D；3、C；4、B；5、B；6. 107、5x—12y+26=0或x=28、（—2,1)，(1,0），（2,5）。
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第二章 解析几何初步
第1.5节 平面直角坐标系中的距离公式
1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是 （A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0 （C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=0
2、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于 （A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–1
3、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于 （A ）–
31
（B ）1 （C ）71 （D ）2
1 4、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转
4
后，所得的直线的方程是 （A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=0
5、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是
（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)
6、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .
7、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan 3
2
的直线的方程是 .
8、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ；
B ；
C 。
参考答案
1、A ；
2、D；
3、C；
4、B；
5、B；
6. 10、
10
7、5x-12y+26=0或x=2
8、(-2,1)，(1,0)，(2,5)。