专题-概率(学生)

专题-概率抓住6个高考重点重点1 随机事件的概率1．频率与概率（1）频率：在相同条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A的频数，那么事件A出现的频率()n mf An=，频率的取值范围为[0,1].（2）概率：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数附近，我们把这个常数记为P(A)，称为事件A的概率．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率向概率靠近.只要试验次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率. 2．事件的关系及运算（1）对于事件A和事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)．（2）若事件A发生当且仅当事件B也发生，称事件A等于事件B．（3）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称该事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A B+(或A B)．（4）若某事件发生当且仅当事件A且事件B都发生，则称该事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作AB(或A B)．（5）若A B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥．（6）若A B为不可能事件，而A B为必然事件，则称A与B为对立事件．3．概率的性质（1）()[0,1]P A∈，其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．（2）若事件A与事件B互斥，则()()()P A B P A P B+=+．（3）若事件A与事件B对立，则()1()P A P B=-[高考常考角度]角度1（1）计算表中击中靶心的各个频率；（2）这个运动员击中靶心的概率约是多少？角度2 （1）以下命题：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；②在命题①中，事件A与事件B是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件.（2）盒中有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球．①“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？②“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？重点2 古典概型1．古典概率模型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．并不是所有的试验都是古典概型，例如，在适宜的条件下种下一粒种子并观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．2．古典概型的概率公式：()AP A 包含的基本事件的个数基本事件的总数3．学会用最原始的方法计算基本事件个数，许多古典概型的试题其基本事件个数的计算没有直接的公式可以套用，这时就要回归到最原始的方法解基本事件的个数，一般就是列举法，通过列举把所有的基本事件找出来，在列举时注意借助于图表、坐标系等进行．4．对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的方法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，进而用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．[高考常考角度]角度1 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. 13B.12C.23D.34角度2甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是（）A. 136B.19C.536D.16角度3 电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．1180B．1288C．1360D．1480角度4 （理科）已知一组抛物线211,2y ax bx =++其中a 为2，4，6，8中任取的一个数，b 为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625 D. 516角度5甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．重点3 几何概型1．几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式：()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们做大量的重复试验，从而求得几何概型的概率，一般地，利用计算机或计算器的rand ()函数可以产生0~1之间的均匀随机数．a~b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand ()，然后利用伸缩和平移变换x= rand ()*（b-a ）+a ，就可以产生a~b 之间的均匀随机数．4．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型和用古典概型求解概率问题的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（总体积、总长度）”之比来表示．5．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数前者是无限的（基本事件可以抽象为点），后者是有限的．对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，其中某个点落在某区域上的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．6．几种常见的几何概型概率的求法：l 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，此点落在区域g 上的概率为G g P =的面积的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域v 上任投一点，此点落在区域V 上的概率为V v P =的体积的体积7．化解几何概型问题要从以下三方面做起：（1）明确几何概型的意义．几何概型是基本事件个数有无限个，每个基本事件发生的可能性相等的一个概率模型，这个概率模型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．（2）记住几何概型的计算公式．几何概型的计算就是找随机事件所占有的几何度量值和整个基本事件所占有的几何度量值的比值．即如果整个基本事件占有的几何度量值为M ，随机事件A 所占有的几何度量值为N ，则事件A 发生的概率()N P A M=（3）掌握转化策略．很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看作坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.[高考常考角度]角度1 已知菱形ABCD 的边长为2，030,A ∠=则该菱形内的点到菱形的顶点A ，B 的距离均不小于1的概率是（ ） A ．4π B. 14π- C. 112π- D. 5112π-角度2 已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+，其中实数,a b 满足8000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，则函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率是_______角度3 蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”概率为（ ） A ． 427 B ．19 C ．49 D. 127角度4如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E H 分别是棱1111,A B D C 上的点（点E 与1B 不重合），且11//EH A D ，过EH 的平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G . （Ⅰ）证明：//AD 平面EFGH ；（Ⅱ）设122,AB AA a ==在长方体1111ABCD A B C D -内随机选取一点，记该点取自于几何体11A ABFE D DCGH - 内的概率为p .当点,E F 分别在棱111,A B B B 上运动且满足EF a =时，求p 的最小值.重点4 n 次独立重复试验的概率问题（理科）1. n 次独立重复试验概型：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，在n 次独立重复试验中，如果事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),k k n kn nP k C p p -=-这是概率计算中应用非常广泛的一种概率模型．2．明确n 次独立重复试验概型的适用环境：根据定义，n 次独立重复试验是在相同条件下的重复试验，也就是说每次试验时事件A 要么发生要么不发生，但事件A 发生的概率是相同的．在实际问题中，我们往往把一些发生的概率相等，互相之间没有必然联系的事件看作独立重复试验，如5位同学参加竞赛，每位同学获奖的概率都是0.4，则获奖的人数就可以看作5次独立重复试验中事件发生的次数，可以根据独立重复试验概型进行解决.明确n 次独立重复试验概型的适用环境，善于将实际问题归结到这个概率模型是化解这类概率应用问题的关键.3．注意部分中的独立重复试验概型：在实际问题中，往往一个随机事件其中的一部分或若干部分符合独立重复试验概型的条件，这时可以在这些部分中使用独立重复试验概型的计算公式，以达到简化计算的目的．[高考常考角度]角度1 在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为13，则该智能汽车移动6次恰好移动到点(3，3)的概率为____．角度2 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则(12)P X ==______________角度3 有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要维修这个面． （1）求恰好有两个面需要维修的概率；（2）求至少3个面需要维修的概率．重点5 离散型随机变量的分布列、期望、方差（理科） 1.期望：1122......n n E x p x p x p ξ=++++2.方差：2221122()()...()...n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+3.标准差：δξ4.222(),(),()E a b aE b D a b a D D E E ξξξξξξξ+=++==-5.求离散型随机变量的分布列（1）求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行： ①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率； ③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．（2）如果分布列中某一栏的概率比较复杂；可以利用分布列的性质12...1n p p p +++=求解．（3）求随机变量的分布列，基础是概率的计算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等． 6．期望、方差的求法（1）对离散型随机变量的数学期望应注意如下几点：①数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均．②E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态.③1122......n n E x p x p x p ξ=++++直接给出了E ξ的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加． ④教材中给出的()E a b aE b ξξ+=+，说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ的数学期望的（2）对离散型随机变量的方差应注意如下几点：①D ξ表示随机变量ξ对E ξ的平均偏离程度．D ξ越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之，D ξ越小，ξ的取值越集中；在E ξξ的分散程度． ②D ξ与E ξ一样，也是实数，由ξ的分布列唯一确定．③对于结论：2()D a b a D ξξ+=，在记忆和使用此结论时，请注意(),()D a b aD b D a b aD ξξξξ+≠++≠. （3）求离散型随机变量ξ的期望与方差韵方法： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由期望的定义求E ξ； ⑤由方差的定义求D ξ.（4）当断定随机变量ξ服从二项分布时，可不用列出分布列，直接求出E ξ与D ξ.（5）在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后准确应用公式．充分利用期望和方差的性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度．如22()D E E ξξξ=-．（6）求离散型随机变量的期望与方差的关键在于求出分布列，求离散型随机变量的分布列的关键是过好四关： ①过好“题目的理解关”．要抓住题中关键字句，尽可能转化为自己熟悉的模型． ②过好“随机变量的取值关”．准确无误地找出随机变量的所有可能取值．③过好“事件的类型关”，事件通常包括等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验事件等，在计算相应的概率前要先确定事件的类型，尤其注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别． ④过好“概率的运算关”．运用公式(),()()(),()()(),mP A P A B P A P B P A B P A P B n=+=+⋅=⋅ ()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-=，确保正确无误. [高考常考角度]角度1 （江西）（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望.角度2 （辽宁）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （Ⅰ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：2附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．重点6 二项分布（理科）二项分布：若~(,),,(1)B n p E np D np p ξξξ==-，判断随机变量是否服从二项分布的关键是看某一事件是否进行了n 次独立重复试验，且每次试验是否只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.[高考常考角度]角度1（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X突破2个高考难点难点1 事件的互斥与对立（文、理）解决互斥事件和对立事件问题的难点就是对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件A 与它的对立事件A 的概率之间有关系式()()1P A P A +=，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化．典例1 甲：12,A A 是互斥事件；乙：12,A A 是对立事件，那么下列说法正确的是_____________①甲是乙的充分但不必要条件； ②甲是乙的必要但不充分条件；③甲是乙的充要条件； ④甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件．典例2 根据多年经验，张先生在本单位的一次考核中，获得第一、二、三、四名的概率分别为0. 21，0.23，0. 25，0.28，计算张先生在一次考核中： （1）获得第一名或第四名的概率； （2）名次不在前四名的概率．难点1 事件的互斥与对立（文、理）概率、统计型综合题重在考查考生根据生活、生产等实际问题的情境分析问题、解决问题的能力，考查考生的思维能力及运算能力．解决概率、统计型综合题的关键，就是要善于从普通语言中捕捉到有用信息，并将普通语言转化为数学语言，因此在复习时要留意概率型综合题中的新背景，夯实概率基础知识与方法，注重对自己阅读理解能力的培养，提高应用数学知识与方法分析解决问题的能力．典例 连续掷两枚骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n = 与向量(1,1)b =- 的夹角为α，求(0,]2πα∈的概率.难点1 独立事件的概率、条件概率（理） 化解本难点要从以下三方面做起：1．深入理解独立事件的本质：两个事件的发生与否相互之间没有关系，事件的相互独立性的概念可以推广到n 个事件之间的相互独立．2．掌握条件概率的计算方法：条件概率具有概率的一般性质，即概率值都在区间[0,1]内，若,B C 互斥，则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ 等，在古典概型中往往是根据古典概型的公式计算条件概率，而不是根据上述定义进行计算．3．学会分析事件之间的关系：一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心，一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积，把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算，这是化解概率计算问题难点的关键所在，典例1 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门合格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都合格为考试通过．假设某应聘者这三门指定课程考试合格的概率分别是,,a b c ,且三门课程考试是否合格相互之间没有影响． （1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）典例2 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望；（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率.条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()(|)()P AB P B A P A =，其中()P AB 表示A 与B 同时发生的概率.典例3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．记“函数2()f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率．难点2 正态分布（理）化解正态分布问题中的难点的依据是正态密度曲线的性质：（1）曲线在x 轴上方，与x 轴无交点，且x 轴为其渐近线；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=处达到最大值；（4）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越尖陡，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越扁平，表示总体的分布越分散．典例1 设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>的密度函数图象如图所示，则有（ ）A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>典例2 中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况；共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布2(8,)N σ，已知耗油量[7,9]ξ∈的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．规避5个易失分点易失分点1 误解基本事件的等可能性典例 若将一枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为__________.易失分点2 几何概型概念不清典例1 在等腰Rt ABC ∆中，直角顶点为C ，在ABC ∆的内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM AC <的概率为_________．易失分点3 互斥和对立相混淆典例 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各10张，点数都是从1—10）中，任取一张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．易失分点4 互斥事件与相互独立事件相混淆（理）典例 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）易失分点5 对二项分布理解不准（理）典例某气象站天气预报的准确率为80%，计算：（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率5（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.。