【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《三角函数的简单应用》课时提升题及答案
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》单元同步练习题1及答案解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四第一章 三角函数 同步练习(二)1．函数x y cos =的图像与直线1+=x y 有_______交点． 2．在同一坐标系中画出下面两个函数的图像]2,0[π∈x ．（1）x y cos 2=； （2）x y cos 21=．3．计算：︒+︒-︒+︒270cos 10180cos 390cos 20cos 5．4．化简：)42cos(2)3cos(25cos 2cos 22ππππππ--++-ad ab b a ．5．函数x y cos =与函数x y 3log =的图像有______交点．6．如果0cos ,0sin ><θθ，那么θ是第______象限的角．7．根据函数x y cos =的图像，写出使)(22cos R x x ∈≥成立的x 的取值集合．8．函数x y cos 21-=的单调减区间是__________．9．函数)cos 21(log 3x y -=的定义域是__________．10．求函数x y cos 21+=的最大值和最小值，并写出使函数取得最大值和最小值时的自变量x 的集合．11．比较下列各组数的大小：（1）︒103cos 与︒164cos ； （2）︒508cos 与︒44cos ．12．函数x y x cos 115cos -+=的定义域是____________．13．判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos sin 2+=； （2）x x y sin cos 2+=；（3）2)3(cos +=x y ； （4）3cos +=x y ．14．求函数2cos cos )(2--=x x x f 的单调递增区间． 15．正切函数x y tan =是周期函数，它的最小正周期是____________． 16．已知角α终边经过点P （4，－5），则αtan ＝________．17．求下列正切值：（1）4tanπ； （2）)4tan(ππ+； （3）)42tan(ππ+．18．为什么0tan =π？19．函数x y tan 21-=的单调减区间是_____________．20．函数x y tan 6-=是周期函数，它的最小正周期是_________． 21．函数)(tan log 3x y =的定义域是____________．22．判断下列函数的奇偶性：（1）x y tan 5=； （2）x x y cos tan 2+=； （3）2)3(tan +=x y ； （4）x y tan 11-=．23．=︒-)450tan(__________；tan 1 ︒770=________． 24．=+-+--+ααππααπsin )tan()5sin()tan(________． 25．化简：)tan()tan()2tan()2tan(απαππαπα+∙-++∙-． 26．已知21)sin(-=+απ，则)7tan(πα-＝__________． 27．求函数)tan 3(log 1sin 23x x y -+-=的定义域．28．已知41)cos(=-απ，且)23,(ππα∈，试求)25sin(απ+和)23tan(πα-的值． 29．函数x y 5sin =的周期是__________；xy 51sin=的周期是________．30．函数xy 31sin =的单调增区间是__________． 31．写出函数x y 3sin =的单调增区间． 32．函数)5sin(x y -=的周期是________．33．试说明将函数x y cos =的图像作怎样的变换就可以得到函数xy 41cos=的图像．答案:5、一个6、四7、8、9、10、11、13、14、15、π 16、45-17、(1)1 (2)1 (3)118、19、20、π 21、22、23、-1,33-24、0 25、0 26、33±27、29、52π,π1030、31、32、52π33、。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》单元复习测试题2及答案解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四第一章三角函数单元测试一、选择题.（每小题5分，共50分）1. 的值等于（） A. B. C. D.2. 下列角中终边与 330° 相同的角是（）A. 30°B. - 30°C. 630°D. - 630° 3. 函数y =++的值域是（） A. {1}B. {1，3}C. {- 1}D. {- 1，3} 4. 如果= - 5，那么tan α的值为（） A.-2 B. 2 C. D.- 5. 如果 sin α + cos α =，那么 sin 3α – cos 3α 的值为（） A.B. -C. 或-D. 以上全错6. 若a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )= cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为（） A.B. C. D.7. 函数y = sin 的单调增区间是（） A. ，k ∈Z B. ，k ∈Z C. ，k ∈ZD. ，k ∈Z8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x 轴向左平移个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x 的图象；则函数y = f (x )是（） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 2121-2323-||x x sin sin x x cos cos ||||x x tan tan α α α α cos 5sin 3cos 2sin +-1623162343231282523128252312825231282512+a 12-a 12--a 2a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8π3π 8π3πk k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++8π5π 8ππk k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83ππ 8ππk k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，2π21A. y =B. y =C. y =D. y =9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜的图象，那么（）A. ω= ，φ =B. ω= ，φ = -C. ω= 2，φ =D. ω= 2，φ = - 10. 如果函数f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是（）A.∪(0，1)∪B.∪(0，1)∪C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3)D.∪(0，1)∪(1，3) 12π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 12π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 14π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 14π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π11106π10116π6π6π 2π 3⎪⎭⎫ ⎝⎛--， 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--， 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 2π 3⎪⎭⎫ ⎝⎛--，二、填空题. （每小题5分，共30分）11. 若，那么的值为.12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为___.13. 若 sin θ =，cos θ =，则m =___. 14. 若 cos(75° + α)=，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= ___. 15. 函数y = lg (sin x ) +的定义域为.16. 关于函数f (x )= 4 sin (x ∈R)，有下列命题： ①函数y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x - π6 )； ②函数y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y = f (x )的图象关于点对称； ④函数y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称. 其中正确的是___.三、解答题.（共70分）17. （12分）已知角α是第三象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.(cos )cos3f x x =(sin30)f ︒α53+-m m 524+-m m 31216x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，2α18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 : 4，求2sin α+ cos α的值.19. （12分）已知tan α，是关于x 的方程x 2 - kx + k 2 - 3 = 0的两实根， 且3π＜α＜π，求cos(3π+ α)- sin(π+ α)的值.tan 12720. （14分）已知0≤x ≤，求函数y = cos 2x - 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元.（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；(3) 求该商店月利润的最大值.2π参考答案一、选择题.1. A【解析】=. 2. B【解析】与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z}. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. D【解析】将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4. D【解析】∵ sin α- 2cos α= - 5(3sin α+ 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α= -. 5. C【解析】由已知易得 sin α cos α= -. ∴ |sin 3α- cos 3α| = |(sin α- cos α)(sin 2α+ cos 2α + sin α cos α)| = ∙ |1+ sin α cos α|=. ∴ sin 3α- cos 3α= ±. 6. B【解析】f (x )= 1 - sin 2x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x .令sin x = t ，∴t ∈[-1，1].∴f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1].∴当t = 1时，函数f (t )取最大值为2a - 1.7. D【解析】∵y = sin(- 2x )= - sin(2x -)，∴+ 2k π ≤ 2x -≤+ 2k π， ∴+ k π ≤ x ≤+ k π. 8. B9. C10. B⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin 216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-1623327ααcos sin 21-128232512823254π4π2π4π23π83π87π二、填空题.11. -1【解析】=12. . 【解析】设扇形面积为S ，弧长为l .∴S =lR = (c -2R )· R = -R 2 +cR .∴ 0＜R ＜. 当R = 时，S max =. 13. 0或8；【解析】sin 2θ+cos 2θ= 1，∴ (m - 3)2 +(4 - 2m )2 =(m + 5)2， m = 0，或m = 8.14. . 【解析】cos(105º - α)+ sin(α- 105º)= - cos(75º + α)- sin(α + 75º).∵ 180º＜α＜270º，∴ 255º＜α + 75º＜345º.又 cos(α + 75º)=，∴ sin(α + 75º)= -. ∴原式 =. 15. [- 4，- π)∪(0，π).【解析】由已知得∴x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③. (sin30)f ︒()1180cos 603cos 60cos -==⨯= f 162c 212121 c - 2R ＞0， R ＞0，∵2c 4c 162c 3122-31232312223231-=+- sin x ＞0 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4.∴【解析】①f (x )= 4sin = 4cos = 4cos = 4cos . ②T == π，最小正周期为π. ③∵ 2x += k π，当 k = 0时，x =， ∴函数f (x )关于点对称. ④ 2x += k π +，当x = -时，k =，与k ∈Z 矛盾. ∴①③正确.三、解答题.17.【解】(1)由2k π+ π＜α＜2k π+π，k ∈Z ， 得k π+＜＜k π+π，k ∈Z. 将整数k 分奇数和偶数进行讨论，易得角为第二象限或第四象限的角. (2)由2k π+ π＜α＜2k π+π，k ∈Z ， 得4k π+ 2π＜2α＜4k π+ 3π，k ∈Z.∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.【解】(1)∵= 5，∴ sin α =，cos α =， ∴ 2sin α+ cos α=. (2)∵，∴当α＞0时，∴r = 5a ，sin α=，cos α= ∴ 2sin α+ cos α=； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x 22π3π6π-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，3π2π6π21-232π2α432α2322y x r +=53-=r y 54=r x 525456-=+-a y x r 522=+=5353-=-a a 5452-当a ＜0时，∴r = -5a ，sin α=，cos α= -， ∴ 2sin α+ cos α=. (3)当点P 在第一象限时， sin α=，cos α=，2sin α+ cos α= 2； 当点P 在第二象限时， sin α=，cos α=，2sin α+ cos α=； 当点P 在第三象限时，sin α=，cos α=，2sin α+ cos α= - 2； 当点P 在第四象限时，sin α=，cos α=，2sin α+ cos α=. 19.【解】由已知得 tan α= k 2 - 3=1， ∴k =±2.又∵ 3π＜α＜π，∴ tan α＞0，＞0. ∴ tan α+= k = 2＞0 (k = -2舍去), ∴ tan α== 1, ∴ sin α= cos α= -, ∴ cos(3π +α)- sin(π +α)= sin α- cos α= 0.20.【解】y = cos 2x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤， ∴t ∈[0，1].∴原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0. ②当 0≤a ＜时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2. ③当≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2. ④当a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 【解】分别令厂价格、销售价格的函数解析式为5353=--a a 545253545354-5253-54-53-5452-αtan 127αtan 1αtan 1αtan 1222π2121厂价格函数：, 销售价格函数：, 由题意得：；,； ； ； ∴； 把x=3,y=8代入得 把x=5,y=10代入得 ∴； （2）、 = （3）、当时y 取到最大值， ()11111sin b x A y ++=ϕω()22222sin b x A y ++=ϕω22281=-=A 226102=-=A 61=b 82=b ()83721=-⨯=T ()85922=-⨯=T 482221111πππϖϖπ===⇒=T T 482222222πππϖϖπ===⇒=T T 64sin 211+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 84sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 64sin 211+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 41πϕ-=84sin 222+⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕπx y 432πϕ-=644sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y 8434sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫⎝⎛-=∙-=m x m m x m m y y y 644sin 28434sin 212ππππm x m 244sin 4+⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ144sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx ()m m m y 6214max =+-⨯-=。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.9 Word版含解析
§9三角函数的简单应用课时过关·能力提升1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=3si n(4πt+5π6),则单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s答案:C2.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份).已知3月达到最高价9千元,7月价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9si n(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2√2sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2si n(π4x+π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)解析:由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7−3)=8,∴ω=π4.∴f(x)=2sin(π4x+φ)+7.∵当x=3时,y=9,∴2si n(3π4+φ)+7=9,即si n(3π4+φ)=1.∵|φ|<π2,∴φ=−π4.∴f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+).答案:A3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0(√32,12),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为()A.y=si n(π30t+π6)B.y=si n(-π60t-π6)C.y=si n(-π30t+π6)D.y=si n(-π30t-π3)解析:由题意知,函数的周期为T=60 s,则|ω|=2π60=π30.设函数解析式为y=si n(-π30t+φ)(因为秒针是顺时针走动).∵初始位置为P0(√32,1 2 ),∴当t=0时,y=12,∴sin φ=12,∴φ可取π6,∴函数解析式为y=si n(-π30t+π6).故选C.答案:C4.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M,N的小球,做上下自由振动,已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定:s1=5si n(2t+π6),s2=10cos 2t,则当时间t=23π时,s1和s2的大小关系为() A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.8.2 Word版含解析
第2课时函数y=A sin(ωx+φ)的性质课时过关·能力提升1.下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=π3对称的是()A.y=si n(2x-π3)B.y=si n(2x-π6)C.y=si n(2x+π6)D.y=si n(x2+π6)答案:B2.当函数y=8si n(6x+π3)取最大值时,自变量x的取值集合是()A.{x|x=-5π6+kπ3,k∈Z}B.{x|x=π36+kπ3,k∈Z}C.{x|x=kπ3,k∈Z}D.{x|x=π9+kπ3,k∈Z}解析:由题意,知si n(6x+π3)=1,此时6x+π3=2kπ+π2(k∈Z),故x=kπ3+π36(k∈Z).答案:B3.函数y=sin x的图像向左平移π4个单位长度后,所得函数图像的一条对称轴方程是()A.x=−π4B.x=π4C.x=π2D.x=3π4解析:函数y=sin x的图像向左平移π4个单位长度后,所得图像对应函数的解析式为y=si n(x+π4),令x+π4=π2+kπ(k∈Z),解得x=π4+kπ(k∈Z),所以只有B正确.答案:B★4.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论中正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)解析:由周期T=2πω=π,得ω=2.当x=2π3时,f(x)取得最小值,所以4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,所以f(x)=A si n(2x+π6).所以f(0)=A si nπ6=A2>0,f(2)=Asin(4+π6)=√3 2Asin 4+A2cos 4<0,f(-2)=A si n(-4+π6)=−√32Asin 4+A2cos 4.因为f(2)-f(-2)=√3Asin 4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-A si n(4-π6)−A2=-A[sin(4-π6)+12],因为π<4−π6<π+π6<32π,所以si n(4-π6)>sin(π+π6)=−12,即si n(4-π6)+12>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.答案:A5.设函数y=2si n(2x+π3)的图像关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-π2,0],则x0=.解析:由2x0+π3=kπ(k∈Z),得x0=kπ2−π6(k∈Z).∵x0∈[-π2,0],∴k=0,x0=−π6.答案:−π66.设f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2),给出以下四个论断:①f(x)的图像关于直线x=π12对称;。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.8.3 Word版含解析
第3课时函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质习题课课时过关·能力提升1.要将y=si n(2x+π4)的图像转化为某一个偶函数的图像,只需将y=sin(2x+π4)的图像()A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π8个单位长度D.向右平移π8个单位长度解析:把y=si n(2x+π4)的图像向左平移π8个单位长度即得y=si n[2(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cos 2x的图像.因为y=cos 2x为偶函数,所以符合题意.答案:C2.已知ω>0,函数f(x)=si n(ωx+π4)在[π2,π]上是减少的,则ω的取值范围是()A.[12,54]B.[12,34]C.(0,12]D.(0,2]解析:ω=2⇒ωx+π4∈[5π4,9π4],不符合题意,排除D;ω=1⇒ωx+π4∈[3π4,5π4],符合题意,排除B,C,故选A.答案:A3.下列函数中,周期为π,且在[π4,π2]上是减少的是()A.y=si n(2x+π2)B.y=co s(2x+π2)C.y=si n(x+π2)D.y=co s(x+π2)解析:y=si n(2x+π2)=cos 2x的周期为π,且在[π4,π2]上是减少的.答案:A4.方程sin 2x=sin x在区间(0,2π)内解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:函数y=sin 2x与y=sin x的图像交点个数等于方程sin 2x=sin x的解的个数.在同一坐标系内作出两个函数y=sin 2x,y=sin x在(0,2π)内的图像,如图.由图像不难看出,它们有3个交点.所以方程sin 2x=sin x在(0,2π)内有3个解.故选C.答案:C5.已知函数f(x)=3sin(3x+φ)在区间[a,b]上是增加的,且f(a)=-2,f(b)=2,则g(x)=2cos(2x+φ)在[a,b]上()A.是增加的B.是减少的C.可以取得最大值D.可以取得最小值解析:由f(x)在[a,b]上是增加的及f(a)=-2,f(b)=2知,g(x)在[a,b]上先增后减,可以取得最大值.答案:C★6.将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到函数g(x)的图像.若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1,x2,有|x1−x2|min=π3,则φ=()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=−π2+2mπ(m∈Z),则x1-x2=π2−φ+(k−m)π,又|x1-x2|min=π3,所以当k-m=0时,即k=m,又0<φ<π2,则有π2−φ=π3,解得φ=π6.故选D.答案:D7.把函数y=co s(2x+3π5)的图像上的各点向右平移π2个单位长度,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的5倍,最后把整个图像向下平移4个单位长度,所得图像对应的函数解析式为.。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题第一章三角函数 1.6 Word版含解析
§余弦函数的图像与性质课时过关·能力提升.要得到函数() 的图像,可以将() 的图像().向左平移π个单位长度.向右平移π个单位长度.向左平答案.函数的部分图像是下图中的()解析:因为函数是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项;当∈<,所以排除选项.故选.答案.已知函数()∈),则下列叙述错误的是()()的最大值与最小值之和等于π()是偶函数()在[]上是增函数()的图像关于解析:由题意,得()π项正确项中()是偶函数,正确;对于项()在[ππ]上是增加的,在[ππ]上是减少的,而π<<ππ<<π,故项说法错误;当(),正确.故选.答案° ° °的大小关系为()°> °> °°> °> °°> °> °°> °> °解析°°°(°°)°.因为函数在[°°]上是减少的,所以°>°>°,即°>°>°.答案.给出下列函数:①;② ;③ ;④.其中偶函数的个数为()解析:由定义易判断②④为偶函数,①③为奇函数.答案.在[π]范围内,使≥ 成立的的取值范围为()解析:在同一平面直角坐标系中,画出函数∈[π]与函数∈[π]的图像,如图所示,则当≥≤≤答案.若函数在区间[π]上是增加的,则的取值范围为.解析:∵在[π]上是增加的,∴π<≤.答案:(π]。
高中数学必修四北师大版9三角函数的简单应用作业含答案
11．以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发 现：该商品的出厂价格是在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动的， 已知 3 月份
出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元；而该商品在商店的销售价格
是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10
器 (可以测仰角 )和一个可以测量长度的皮尺 (测量长度不超过 5 m)，
请你设计一种测量方案 (不允许过河 )，并给出计算建筑物的高度 AB 及 PA 的距离
公式，希望在你1 π.
答案 A
2．一半径为 10 的水轮，水轮的圆心到水面的距离为 7，已知水轮每分钟旋转 4
圈，水轮上的点 P 到水面距离 y 与时间 x(秒)满足函数关系式 y＝Asin(ωｘ＋φ)＋7，
则 ( )．
2π A． ω＝ 15，A＝ 10
C． ω＝ 21π5，A＝17
60
2π
解析 T＝ 4 ＝15， ω＝ 15，A＝10.
100πt＋6π＝π2，t＝
1 300秒时，第一次取得最大值．
综合提高 限时 25 分钟
7．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数 t
F(t)＝ 50＋4sin2(t≥ 0)，在下列哪个时间段内人流量是增加的？ ( )．
A． [0,5]
B．[5,10]
C． [10,15]
元， 9 月份销售价最低为 6 元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化的函数关
系式．
解 设出厂价波动函数为 y1＝ 6＋ Asin(ω1x＋ φ1)．由题意，知 A＝2，T1＝8，ω1
π
3π
π
＝ 4.当 x＝3 时， 4 ＋φ1＝2，
2018年高中数学北师大版必修4第1章三角函数 1.2习题含解析
§2角的概念的推广课时过关·能力提升1.下列命题中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°}C.第一象限的角都是锐角D.大于90°的角都是钝角解析:对于A,终边相同的角不一定相等,它们可能相差若干“圈”对于B,α是锐角,即0°<α<90°,故{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°};对于C,第一象限的角是指终边在第一象限的角,如390°的终边在第一象限,而390°>90°,不是锐角;对于D,360°>90°,但不是钝角.答案:B2.-1122°角的终边所在的象限是()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限解析:因为-1122°=-4×360°+318°,而318°角的终边在第四象限,所以-1122°角的终边所在的象限是第四象限.答案:D3.在[360°,1440°]内,与-21°26'终边相同的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:所有与-21°26'终边相同的角,连同-21°26'在内,可表示为α=k×360°-21°26',k∈Z.当k=2时,α=698°34';当k=3时,α=1058°34';当k=4时,α=1418°34'.答案:C4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k×360°≤α≤120°+k×360°,k∈Z}D.{α|120°+k×360°≤α≤315°+k×360°,k∈Z}1解析:注意角的范围不能局限于 0°~360°,故在-360°~360°范围内,阴影部分表示-45°到 120°范围内的角(包括-45°和 120°).又终边相同的角一般相差 360°的整数倍,于是所求集合为选项 C 中的集合.故选 C . 答案:C5.如果角 α 与角 γ+45°的终边重合,角 β 与角 γ-45°的终边重合,那么角 α 与角 β 的关系为( )A .α+β=0°B .α-β=90°C .α+β=2k ×180°(k ∈Z )D .α-β=2k ×180°+90°(k ∈Z )解析:由条件知 α=γ+45°+k 1×360°(k 1∈Z ),β=γ-45°+k 2×360°(k 2∈Z ),将两式相减得 α-β=(k 1-k 2)×360°+90°,等价于 α-β=2k ×180°+90°(k ∈Z ).故选 D .答案:D★6.设角 α 的终边为射线 OP ,射线 OP 1 与 OP 关于 y 轴对称,射线 OP 2 与 OP 1 关于直线 y=-x 对称,则 以 OP 2 为终边的角的集合是( )A .{β|β=k ×360°+α,k ∈Z }B .{β|β=(2k+1)×180°+α,k ∈Z }C .{β|β=k ×360°+90°+α,k ∈Z }D .{β|β=k ×360°+270°+α,k ∈Z }解析:依题意,射线 OP 1 所对应的角 γ 满足 α+γ=k 1×360°+180°,k 1∈Z ,① 射线 OP 2 所对应的角 β 满足γ+β=k 2×360°-90°,k 2∈Z ,② ②-①得 β-α=(k 2-k 1)×360°-270°,即 β=k ×360°+90°+α,k ∈Z .答案:C7.角 α 与角 β 的终边关于原点对称,则 α 与 β 的关系为 .答案:β-α=k ×360°+180°(k ∈Z )8.若角 α 的终边与 240°角的终边相同,则角 的终边在第 象限答案:二或四9.已知角 α 满足 180°<α<360°,角 5α 与 α 有相同的始边,且又有相同的终边,则角 α=.解析:∵5α 与 α 的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是 360°的整数倍,即 5α-α=4α=k ·360°(k ∈Z ).∴α=k ·90°(k ∈Z ).又 180°<α<360°,令 180°<k ·90°<360°(k ∈Z ),则 2<k<4(k ∈Z ),∴k=3,α=270°.答案:270°10.已知角 α=-1 910°.(1)把角 α 写成 β+k ×360°(0°≤β<360°,k ∈Z )的形式,并判断它是第几象限角; (2)求角 θ,使角 θ 与 α 的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)设 α=-1 910°=β+k ×360°(k ∈Z ),则 β=-1 910°-k ×360°(k ∈Z ).令 0°≤-1 910°-k ×360°<360°,解得-≤-故k=-6,相应的 β=250°.2θ<于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2,得到符合-720°≤0°的角θ为250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.在与1030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大负角;(2)最小正角;(3)360°~720°的角.解与1030°角终边相同的角的集合为{α|α=k×360°+1030°,k∈Z}.(1)令k=-3,得与1030°终边相同的角中最大负角为-50°.(2)令k=-2,得最小正角为310°.(3)令k=-1,得α=670°.★12.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒末回到A点,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值.解根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α∈Z.∵两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,∴2α,2β的终边在第二象限.又0°<α<β<180°,故90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°即又α<β,∴m<n.∴m=2,n=3,即α3。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.4.4 Word版含解析
4.4单位圆的对称性与诱导公式课时过关·能力提升1.已知f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)=()A.12B.−12C.√32D.−√32解析:f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=-cos 30°=−√32.答案:D2.已知cos(π+α)=−35,则sin(3π2+α)等于()A.35B.−45C.45D.−35解析:cos(π+α)=-cos α=−35,则cos α=35,sin(3π2+α)=−sin(π2+α)=−cos α=−35.答案:D3.若A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中正确的是()A.cos(A+B)=cos CB.sin(A+B)=-sin CC.co s(A2+C)=sin BD.sin B+C2=cos A2解析:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,故选项A,B都不正确;无法推出co s(A2+C)=sin B,故C不正确;∵B+C=π-A,∴si n B+C2=sin(π2-A2)=cos A2,故选项D是正确的.答案:D4.已知f(x)=sin x,则下列式子中成立的是()A.f(x+π)=sin xB.f(2π-x)=sin xC.f(x-π2)=−cos xD.f(π−x)=−sin x解析:f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,f(2π-x)=sin(2π-x)=-sin x,f(x-π)=sin(x-π)=−sin(π-x)=−cos x, f(π-x)=sin(π-x)=sin x.故选C .答案:C5.当n ∈Z 时,在①si n (nπ+4π3);②cos (2nπ+π6);③sin (2nπ+π3);④cos [(2n +1)π-π6];⑤sin [(2n +1)π-π3]中,与sin π3的值相等的是( )A .①②③B .①②⑤C .②③⑤D .①②③⑤解析:①si n (nπ+4π3)={sin π3(n 为奇数),-sin π3(n 为偶数);②co s (2nπ+π6)=cos π6=sin π3;③si n (2nπ+π3)=sin π3;④co s [(2n +1)π-π6]=cos 5π6=cos (π2+π3)=−sin π3;⑤si n [(2n +1)π-π3]=sin (π-π3)=sin π3.故②③⑤中的值与si n π3的值相等.答案:C★6.在平面直角坐标系中,若α与β的终边关于y 轴对称,则下列等式恒成立的是() A.sin(α+π)=sin βB.sin(α-π)=sin βC.sin(2π-α)=-sin βD.sin(-α)=sin β解析:∵α与β的终边关于y 轴对称,∴β=π-α+2k π,k ∈Z ,∴sin β=sin(π-α+2k π)=sin(π-α)=sin α.又sin(α+π)=-sin α,sin(α-π)=-sin α,sin(2π-α)=-sin α,sin(-α)=-sin α,∴sin(2π-α)=-sin β恒成立.答案:C7.已知函数f (x )={-cosπx ,x >0,f (x +1)+1,x ≤0,则f (43)+f (-43)的值为 .。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第一章三角函数 1.5.1
§5 正弦函数的图像与性质5.1 正弦函数的图像课时过关·能力提升1.已知点M(π4,b)在函数f(x)=2sin x+1的图像上,则b=( )A .22B.2C.2D.3解析:b=f(π4)=2sinπ4+1=2.答案:C2.函数y=sin x的图像与函数y=-sin x的图像关于( )A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称解析:在同一直角坐标系中画出函数y=sin x与函数y=-sin x的图像(图略),可知两函数的图像关于x 轴对称.答案:A3.与图中曲线对应的函数是( )A.y=|sin x|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sin x|解析:注意到此函数图像所对应的函数值有正有负,因此排除A,D;当x∈(0,π)时,sin|x|>0,与题图不符合,因此排除B.故选C.答案:C4.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图像与直线y =32的交点的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:如图,y=1+sin x ,x ∈[0,2π]的图像与直线y .=32有两个交点答案:C5.在[0,2π]上,满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A .[0,π6]B.[π6,5π6]C .[π6,2π3]D.[5π6,π]解析:如图,在同一平面直角坐标系内作出[0,2π]上y=sin x 和y,知满足sin x ≥x 的取值范=12的图像12的围是[π6,5π6].答案:B★6.方程sin x=x 10的根的个数是( )A .7B .8C .6D .5解析:画出函数y=sin x ,y ,两图像的交点个数为7,故方程sin x 7个.=x 10的图像如图=x 10的根有答案:A7.观察正弦曲线y=sin x 可知,最高点的横坐标组成的集合是S= ,最高点的纵坐标等于 .答案:{x |x =π2+2kπ,k ∈Z } 18.函数y=sin(π+x ),x ∈[-π2,π]的递增区间是 .解析:y=sin(π+x )=-sin x ,因为区y=sin x 的递减区间,所y=-sin x 即y=sin(π+x )的递增间[π2,π]是以[π2,π]是区间.答案:[π2,π]9.函数y=sin x+2|sin x|,x ∈[0,2π]的图像与直线y=12的交点个数为 . 解析:函数f (x )=sin x+2|sin x|y=sin x+2|sin={3sinx ,0≤x ≤π,-sinx ,π<x ≤2π,在同一平面直角坐标系中画出函数x|,x ∈[0,2π]与直线y ,如图所示,观察图像可得两图像的交点共有4个.=12的图像答案:410.定义在R 上的函数y=f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈[0,π2]时,f (x )=sin x.(1)求当x ∈[-π,0]时,f (x )的解析式;(2)画出函数y=f (x )在[-π,π]上的简图;(3)求当f (x )≥12时,x 的取值范围.解(1)∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x ).而当x ∈,f (x )=sin x ,∴当x ∈,f (x )=f (-x )=sin(-x )=-sin x.[0,π2]时[-π2,0]时又当x ∈,x+π∈[-π,-π2]时[0,π2],∵f (x )的周期为π,∴f (x )=f (π+x )=sin(π+x )=-sin x ,∴当x ∈[-π,0]时,f (x )=-sin x.(2)y=f (x )在[-π,π]上的简图如图.(3)∵f (x )的最小正周期为π,∴先在[-π,0]上来研究f (x )≥-sin x ≥sin x ≤≤x ≤12.由12,得‒12,∴‒5π6‒π6.由周期性知,当x ∈∈Z )时,f (x )≥[kπ-5π6,kπ-π6](k 12.★11.求方程sin x=lg(x+6)的根的个数.解构造两个函数y=sin x ,y=lg(x+6).在同一直角坐标系中画出两个函数的图像,图像交点的横坐标就是方程的根.由图知,两个图像有三个交点,故方程sin x=lg(x+6)有三个实根.★12.试作出y=|sin x|,x ∈[-2π,2π]和y=sin |x|,x ∈[-2π,2π]的图像.解先用五点法作出y=sin x ,x ∈[0,2π]的图像,然后将y=sin x ,x ∈[0,2π]的图像向左平移2π个单位长度,得到y=sin x ,x ∈[-2π,2π]的图像,再把所得图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方,得到y=|sin x|,x ∈[-2π,2π]的图像,如图①.将y=sin x ,x ∈[0,2π]的图像作关于y 轴对称的图像,可得到y=sin |x|,x ∈[-2π,2π]的图像,如图②.。
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（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四课时提升作业三角函数的简单应用一、选择题(每小题4分,共16分)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是( )A.1100B.100 C.150D.50【解析】选C.由题意知,T=2πω=2π100π=150.2.(2014·亳州高一检测)某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )A.60B.70C.80D.90【解题指南】本题的实质是求函数的频率.【解析】选C.T=2π160π=180,所以频率f=80.3.如图为一半径r为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=152π,A=3 B.ω=2π15,A=3C.ω=2π15,A=5 D.ω=152π,A=5【解析】选B.水轮每分钟旋转4圈,即每秒钟旋转215πrad,所以ω=215π.又水轮上最高点离水面的距离为r+2=5(米),即y max=A+2=5,所以A=3.【变式训练】(2013·杭州高一检测)如图,一个大风车的半径是8米,每12分钟旋转一周,最低点离地面2米,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式是( )A.h=8cosπ6t+10 B.h=-8cosπ3t+10C.h=-8sinπ6t+10 D.h=-8cosπ6t+10【解析】选D.首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2.所以,只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.在Rt△O1PQ中,由cosθ=8−y(t)8,得y(t)=-8cosθ+8.又2π12=θt,所以θ=π6t,y(t)=-8cosπ6t+8,h(t)=-8cosπ6t+10.4.(2014·西安高一检测)稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格,单位为元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9500(φ>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )A.10000元B.9500元C.9000元D.8500元【解析】选C.由表格数据可知,10000=500sin(ω+φ)+9500,9500=500sin(2ω+φ)+9500,所以sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0;ω+φ=2k1π+π2(k1∈Z),①2ω+φ=2k2π+π(k2∈Z),②②×2-①得3ω+φ=4k2π-2k1π+3π2=2k3π+3π2(k3∈Z),所以x=3时,y=500sin3ω+φ+9500=9000(元).故选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.有一种波,其波形为函数y=sinπx2的图像,若在区间[0,t](t>0)上至少有2个波峰(图像的最高点),则正整数t 的最小值是.【解析】因为函数y=sinπx2的周期T=4,y=sinπx2的图像在[0,t]上至少有2个波峰,所以t≥54T=5,故正整数t的最小值是5. 答案:56.(2014·潍坊高一检测)某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)其中A>0,0<ω<2,−π2<φ<π2的图像,列出的一组数据如下表:x 0 1 2 3 4y 1 0 1 -1 -2经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是.【解析】因为(0,1)和(2,1)关于直线x=1对称,故x=1与函数图像的交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图像上知A=2,由过(0,1)点知2sinφ=1,因为-π2<φ<π2,所以φ=π6,所以y=2sinωx+π6,再将点(2,1)代入得,2sin2ω+π6=1,所以2ω+π6=π6+2kπ或2ω+π6=5π6+2kπ,k∈Z,因为0<ω<2,所以ω=π3,所以函数解析式为y=2sinπ3x+π6.答案:y=2sinπ3x+π6三、解答题(每小题12分,共24分)7.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4元,而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的,并已知5月份销售价最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设某商店每月购进这种商品m件,且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.【解析】由条件可得:出厂价格函数为y1=2sinπ4x−π4+6,销售价格函数为y2=2sinπ4x−3π4+8,则利润函数为:y=m(y2-y1)=m2sinπ4x−3π4+8-2sinπ4x−π4-6=m(2-22sinπ4x),所以,当x=6时,y=(2+22)m,即6月份盈利最大.8.如图表示电流I与时间t的函数解析式:I=Asin(ωt+φ)A>0,|φ|<π2在同一周期内的图像.(1)根据图像写出I=Asin(ωt+φ)的解析式.(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意-段1100秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值是多少?【解题指南】先由图中的数据观察出函数的最值、周期,从而确定A,ω,再代入图像中的一个点的坐标求φ;根据(1)求出的解析式,列出不等式求ω的范围后确定最小值.【解析】(1)由图知A=300,t1=-1300,t3=1150,因为T=2(t3-t1)=21150+1300=150,所以ω=2πT=100π.由ωt1+φ=0得φ=-ωt1=π3,所以I=300sin100πt+π3.(2)问题等价于T2≤1100,即πω≤1100,所以ω≥100π,所以正整数ω的最小值为314.一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin t2(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]【解析】选C.由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),由于0≤t≤20,所以0≤t≤π或3π≤t≤5π,从而车流量在时间段[10,15]内是增加的.2.(2014·合肥高一检测)绳子绕在半径为50cm的轮圈上,绳子的下端B处悬挂着物体W,如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈,那么把物体W的位置向上提升100cm需要( )A.15πs B.10πs C.5πs D.1πs【解析】选A.设需x秒上升100cm.则x60×4×2π×50=100,所以x=15π.3.(2014·青岛高一检测)海水受日月的引力作用,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格:时0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00刻水深5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0选用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系.如果一条货船的吃水深度是4米,安全条例规定至少有 2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离),则该船一天之内在港口内呆的时间总和为小时. ( )A.10B.8C.6D.4【解析】选B.由题意可得y=2.5sinπ6x+5(0≤x≤24),则2.5sinπ6x+5≥6.25,sinπ6x≥12,2kπ+π6≤π6x≤5π6+2kπ,k∈Z,即12k+1≤x≤5+12k,该船可以1点进港,5点离港,或13点进港,17点离港,在港口内呆的时间总和为4+4=8小时.二、填空题(每小题4分,共8分)4.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为.【解析】当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,则∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)5.(2014·北京高一检测)一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM长),巨轮的半径为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过tmin,该吊舱P距离地面的高度为hm,则h= .【解析】过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于M点.点A在☉O上逆时针运动的角速度是2π12=π6,所以tmin转过的弧度数为π6t,设θ=π6t,当θ>π2时,∠BOM=θ-π2,h=OA+BM=30+30sinθ-π2,当0<θ≤π2时,上述关系式也适合.故h=30+30sinθ−π2=30sinπ6t−π2+30.答案:30sinπ6t−π2+30三、解答题(每小题10分,共20分)6.如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天6～14时的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知:这段时间的最大温差是20℃.(2)从图可以看出:从6～14是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,所以T2=14-6=8,所以T=16,因为T=2πω,所以ω=π8,又因为A=30−102=10,b=30+102=20,所以A=10, b=20,所以y=10sinπ8x+φ+20,将点(6,10)代入得:sin3π4+φ=-1,所以3π4+φ=2kπ+3π2,k∈Z,所以φ=2kπ+3π4,k∈Z,可取φ=3π4,所以y=10sinπ8x+3π4+20(6≤x≤14).【拓展延伸】三角函数的建模问题关键点(1)解决实际问题时的关键是观察出周期性,搜集数据,作出相应的散点图.(2)求解的关键是能抽象出三角函数模型,解决的步骤是:审题,建模,求解,还原.7.(2014·虹口区高一检测)某种型号汽车的四个轮胎半径相同,均为R=40cm,该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是:水面不能超过它的底盘高度.如图所示:某处有一“坑形”地面,其中坑ABC 形成顶角为120°的等腰三角形,且AB=BC=60cm,如果地面上有h(cm)(h<40)高的积水(此时坑内全是水,其他因素忽略不计).(1)当轮胎与AB,BC同时接触时,求证:此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为d=10+8033-h.(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时,符合涉水安全要求),求h的最大值.(精确到1cm)【解析】(1)当轮胎与AB,BC同时接触时,设轮胎与AB边的切点为T,轮胎中心为O,则|OT|=40,由∠ABC=120°,知∠OBT=60°,故|OB|=2×403.所以,从B点到轮胎最上部的距离为2×403+40,此轮胎露在水面外的高度为d=2×403+40-(60·cos60°+h)=803+10-h=10+8033-h,得证.(2)只要d≥40,即803+10-h≥40,解得h≤16cm,所以h的最大值为16cm.【变式训练】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(s)的关系式为s=6sin2πt+π6.(1)作出它的图像.(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?(3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米?【解析】(1)列表如下:t(s) 0 16512231112s(厘米) 3 6 0 -6 0 描点作图.(2)t=0时,s=3厘米,此时离开平衡位置3厘米.(3)离开平衡位置6厘米.。