2018-2019学年人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案 D解析两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案 C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝2，所以∠BDE＝60°.3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则()A．b⊥αB．b⊂αC．b∥αD．b∥α或b⊂α考点线面平行的判定题点线面平行的判定答案 D解析当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b⊂α，故选D.4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5．已知P A⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．P A⊥BD考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 C解析如图所示，由于P A⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以P A⊥BD(即D正确)，BC⊥P A，BC⊥BA，而P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案 B解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B.7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E答案 C8．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案 D解析∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.∴AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β.故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是()①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF∥平面A1B1C1D1.A．②③B．①④C．③D．①②④考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案 B解析显然①④正确，②③错误．10．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°考点直线与平面所成的角题点直线与平面所成的角答案 C解析当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.二、填空题(本大题共7小题，共36分)11．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件_______时，有m⊥β.考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案②④12. 如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，故AC ＝BD . (2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綊12AC ，EH 綊12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .13.如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC 和△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________；与AP 垂直的直线有________．答案 AB ，BC ，AC AB解析 ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ； ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ，∴与AP 垂直的直线是AB .14.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 答案 (6，＋∞)解析 由题意知：P A ⊥DE ， 又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥平面P AE ，又AE ⊂平面P AE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x ＝x3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，a >0， 解得a >6.15.如图，已知Rt △ABC ，斜边BC ⊂α，点A ∉α，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，则二面角A －BC －O 的大小为________，其正切值为________．考点 题点 答案 60°3解析 如图所示，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又∵AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC .∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC . 又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°， ∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32.∴∠ADO ＝60°.即二面角A －BC －O 的大小是60°，其正切值为 3.16．A 是锐二面角α—l —β的α内一点， AB ⊥β于点B ，AB ＝3，A 到l 的距离为2，则二面角α—l —β的平面角大小为________． 考点 题点 答案 60°解析 由题意可知，过点A 作l 的垂线，垂足为C ，连接BC ，因为AB ⊥β，所以AB ⊥l ，又因为AC ⊥l ，AB ∩AC ＝A ，所以l ⊥平面ABC ，所以l ⊥BC ，∠ACB 就是二面角α—l —β的平面角，BC ＝22－3＝1，因此∠ACB ＝60°，即二面角α—l —β的平面角的大小为60°.17．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1－BD －C 的大小为________，其正切值为________． 答案 30°33解析 如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OC 1.因为AB ＝AD ＝23，所以AC ⊥BD ， 又易知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥OC 1， 所以∠COC 1为二面角C 1－BD －C 的一个平面角． 因为在△COC 1中，OC ＝6，CC 1＝2， 所以tan ∠COC 1＝33， 所以二面角C 1－BD －C 的大小为30°，其正切值为33. 三、解答题(本大题共5小题，共74分)18．(14分)(1)如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．证明：EF ∥平面P AD ；(2)如图(2)，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别是P A ，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.考点空间中的平行问题题点空间中的平行问题证明(1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD.又AD⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵点M，N，Q分别是P A，BD，PD的中点，∴MQ∥AD，QN∥PB.∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN⊂平面MNQ，PB，BC⊂平面PBC，∴平面MNQ∥平面PBC.19．(15分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，F A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明(1)解因为四边形ADEF是正方形，所以F A∥ED，故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为F A⊥平面ABCD，所以F A⊥CD，故ED⊥CD.在Rt △CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝22， 所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝223.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB . 又因为CD ⊥F A ，F A ∩AB ＝A ，F A ，AB ⊂平面ABF ， 所以CD ⊥平面ABF .20. (15分)如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 (1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ， ∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC . (2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．21．(15分)如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求该五面体的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明(1)证明连接AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，∵G是EC的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF ∥平面ABC .(2)证明 ∵四边形ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，BE ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，BC ，BE ⊂平面EBC ，∴AC ⊥平面EBC .(3)解 取AB 的中点N ，连接CN .∵AC ＝BC ，∴CN ⊥AB .又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN ＝12AB ＝12. ∵五面体C －ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥C －ABED ＝13S 四边形ABED ·CN ＝13×1×12＝16. 22．(15分)如图所示，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，AB ＝2EF ，∠EAB ＝90°，平面ABFE ⊥平面ABCD .(1)若G 点是DC 的中点，求证：FG ∥平面AED .(2)求证：平面DAF ⊥平面BAF .(3)若AE ＝AD ＝1，AB ＝2，求三棱锥D －AFC 的体积．考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题(1)证明 ∵点G 是DC 的中点，AB ＝CD ＝2EF ，AB ∥EF ，四边形ABCD 是矩形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FG∥DE，又FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，∴FG∥平面AED.(2)证明∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面BAF.又AD⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.(3)解∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA⊂平面ABFE，∴EA⊥平面ABCD.∵EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，∴V D－AFC＝V F－ADC＝13·S△ADC·EA＝13×12×1×2×1＝13.。