2020相似三角形的性质-九年级数学人教版(下)(解析版)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是A．BC：DE=1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2C．∠A的度数：∠D的度数=1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：2【答案】D2．如图，AB、CD、EF都与BD垂直，且AB=1，CD=3，那么EF的长是A．13B．23C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ， ∴EFDFABDB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BF AB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD 中，AE ：EB =1：2，则FE ：FC =A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．3：2【答案】B 【解析】在ABCD 中，AB =CD ，AB ∥CD ，∵BE =2AE ，∴BE =23AB =23CD ，∵AB ∥CD ，∴EF FC=BE DC=23，故选B ．4．已知：如图，E 是ABCD 的边AD 上的一点，且32AE DE=，CE 交BD 于点F ，BF =15cm ，则DF 的长为A ．10cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边AD 上，∴DE ∥BC ，且AD =BC ，∴∠DEF =∠BCF ；∠EDF =∠CBF ，∴△EDF ∽△CBF ，∴BC BF EDDF=，∵32AE DE=，∴设AE =3k ，DE =2k ，则AD =BC =5k ，52BC BFEDDF==， ∵BF =15cm ，∴DF =25BF ═6cm ．故选C ．5．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△DEF 与△ABC 的面积之比为 A ．9：1 B ．1：9C ．3：1D ．1：3【答案】B【解析】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比为3，∴△DEF 与△ABC 的相似比为1：3，∴△DEF 与△ABC 的面积之比为1：9，故选B ．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE ∽△ABC，∴AE AD ACAB，∴12AB 2=AD •AC ，∴AD =4，∴CD =AC –AD =0.5，故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________． 【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36． 9．矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为__________． 【答案】65或310．如图，在△ABC 纸板中，AC =4，BC =2，AB =5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11AB A B =k ，∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．学科=网 （1）求CM 和EN 的长；（2）你发现CM EN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5，∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF ACAB=，即319315DF ==，∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线， ∴EN =12DF =2.5；（2）∵7.532.51CMEN==，相似比为9331AC DE ==， ∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=__________°．（2）如图2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC =AD =2， ∵△BCD ∽△BAC ，∴BC BA =BD BC ， 设BD =x ，∴（2）2=x （x +2）， ∵x ＞0，∴x =3–1， ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD BD AC BC ==312-， ∴CD =312-×2=6–2． 故答案为：96．。