离心率的五种求法A
离心率公式
离心率根据不同的条件有五种求法：
一、已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可2113利用率心率公式e=c/a 来解决。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于a、c的一元方程，从而5261解得离心率e。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解。
四、根据圆4102锥曲线的统一定义求解。
五、构建关于e的不等式，求e的取值范围。
扩展资料：
由于要验证3组数据的可靠性，1653因而也很难严格地评价w值的可靠性。
当提出更新更可靠的值内或蒸气压数据时，在原则上应该重新计算w值。
但过去的一系列方程(其中许多是状态方程)已经使用当时的w值建立了相应的经验关系，对于这些方程仍以使用当时的tO值为宜。
被广泛使用的w值主要来自专用手册，如Reid的专著容或文献，但是Reid的专著提供的数据并非全是实验值，因为蒸气压数据多于临界数据，所以w的数据基本决定于临界数据；当缺乏临界数据时，w的数据一定是估算的。
参考资料来源：百度百科-离心率。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
椭圆离心率总结汇总
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
例析离心率的几种常规求法
当a =b =c ，且O 、A 、B 共线.由已知条件易得a =b =c =槡10，x 2=y 2=z 2=12.故a +2b +3c3x 2+2y 2+z 2=槡1012.评析：例4，例5和例6的求解关键，是利用空间距离的三角形不等式等号成立的条件找出变量之间的关系或者求出变量的值，从而使得目标函数的求值如行云流水.构造空间距离，借助三角形不等式求解一类满足约束条件下的目标函数的值域等问题，具有思路简洁，方法独特，学生容易接受和掌握等特点.因而不失为解题的一种好方法櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.例析离心率的几种常规求法江苏省江浦高级中学 （211800） 肖浩春圆锥曲线中求离心率的问题在高考中占有很重要的地位，其解法较灵活，方法较多.综观2008年以后的江苏省高考题，有三年考到了离心率的问题.很多学生怕学解析几何，因为这一块知识方法多，题型多，计算繁.而离心率在解析几何中属于一类比较常见、比较基本的题型，做好这一类题是很重要的.本人根椐多年课堂教学的经验，对这类题型的方法进行了归纳和总结，望给以大家参考.1直接法这种方法就是直接求出a ，b ，c 的值或者直接根据题目条件列出a ，b ，c 之间的方程，求出离心率.例1 （2013江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2=槡6d 1，则椭圆的离心率为 .解：由题意知d 1=bc a ，d 2=a 2c -c =b 2c，所以有b 2c =槡6bca ，两边平方得到a 2b 2=6c 4，即a 4-a 2c 2=6c 4，两边同除以a 4得到1-e 2=6e 4，解得e 2=13，即e =槡33.评注：本题利用d 2=槡6d 1直接列出a ，b ，c 方程，求出离心率.例2 （2014江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.图1解：直线BF 2的方程为xc+y b =1，联立椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0），得A （2a 2c a 2+c 2，-b 3a 2+c 2），则C （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c 2），又因为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），则k F 1C =b 3a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c=b 33a 2c +c 3，又因为k AB =k BF 2=-bc，由F 1C ⊥AB ，得k F 1C k AB =-1，即b 33a 2c +c3（-bc ）=-1化简得b 4=3a 2c 2+c 4，即（a 2-c 2）2=3a 2c 2+c 4，展开得a 4=5a 2c 2，所以a 2=5c 2，解得e =槡55.所以椭圆的离心率为e =槡55.评注：本题根据F 1C ⊥AB ，直接列出a ，b ，c 之间的方程，不过在求A ，C 坐标和利用垂直关系的时候，过程较繁，需要较强的计算能力.2代入点坐标法这种方法就是根据题目条件把椭圆（或双曲线）上的某点坐标求出来，然后代入椭圆（或双曲线）方程中，找出a ，b ，c 之间的关系，进而求出离心·14·2015年第2期中学数学研究率.例3 （2009江苏卷）如图2，在平面直角坐标系中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的四个顶点，F 为右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .图2解：由题意，得直线A 1B 2方程为x -a +yb=1，直线B 1F 方程为x c +y-b =1，两直线联立解得T （2aca -c，b （a +c ）a -c ），则M 为（aca -c，b （a +c ）2（a -c ）），因为点M 在椭圆上，所以c2（a -c ）2+（a +c ）24（a -c ）2=1，整理得3a 2-10ac -c 2=0，即e 2+10e -3=0，解得e =槡27-5，所以椭圆的离心率为e =槡27-5.评注：本题根据题目条件直接求出T 的坐标，进一步求出M 的坐标，再把M 代入椭圆方程中，列出a ，b ，c 的等式，然后求出离心率.例4 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）左焦点为F ，上顶点为A ，过A 作与AF 垂直的直线分别交椭圆C 和X 轴正半轴于P ，Q ，且AP →=85PQ →，求椭圆的离心率.解：设Q （x 0，0），由F （-c ，0），A （0，b ）知，FA →=（c ，b ），AQ →=（x 0，-b ），因为FA →⊥AQ →，所以cx 0-b 2=0，得到x 0=b 2c .设P （x 1，y 1），由AP →=85PQ →，得x 1=8b 213c ，y 1=5b 13，因为点P 在椭圆上，所以（8b 213c ）2a 2+（5b 13）2b 2=1，整理得2b 2=3ac ，所以2e 2+3e -2=0，解得e =12，故椭圆的离心率为12.评注：本题是平面向量与解析几何结合的一道题，平面向量起到一个辅助工具的作用，用坐标进行转化，求出点Q 和P 的坐标，再把点Q 坐标代入椭圆方程，得到a ，b ，c 之间的一个等式，进而求出离心率.注：前面例2也可用代入点坐标法来求.解：设焦点F 1（-c ，0），F 2（c ，0），C （x ，y ）.ȵA ，C 关于x 轴对称，ʑA （x ，-y ）.ȵB 、F 2、A 三点共线，ʑb-c =b +y -x，即bx -cy -bc =0①，ȵF 1C ⊥AB ，ʑy x +c ·b-c=-1，即xc -by +c 2=0②，①②联立方程组，解得x =ca 2b 2-c 2，y =2bc 2b 2-c 2，ʑC （a 2cb 2-c 2，2bc 2b 2-c 2）.ȵC 在椭圆上，ʑ（a 2c b 2-c 2）2a 2+（2bc 2b 2-c 2）2b 2=1，化简得5c 2=a 2，ʑc a =槡55，故离心率为槡55.3焦点三角形法这种方法是根据焦点三角形中椭圆（或双曲线）的离心率e =F 1F 2PF 1+PF 2（或e =F 1F 2︴PF 1-PF 2︴）来求，其中F 1，F 2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，P 是椭圆（或双曲线）上任一点.例5 已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）上任一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，则此椭圆的离心率为 .解：设PF 2=m ，由PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=12，得PF 1=2m ，又因为PF 21+PF 22=F 1F 22=4c 2，解得m =槡255c ，所以PF 1=槡455c ，PF 2=槡255c ，所以e =F 1F 2PF 1+PF 2=2c 槡455c +槡255c =槡53，椭圆的离心率为槡53.评注：本题是典型的利用e =F 1F 2PF 1+PF 2来解题的题目，要注意这种方法的灵活性和局限性（必须要有焦点三角形）.例6 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，四边形ABCD 的各顶点都·24·中学数学研究2015第2期在椭圆上，AB ，CD 分别经过F 1，F 2，且AB ，CD 都垂直于x 轴，四边形ABCD 为正方形，求椭圆的离心率.解：连接DF 1，DF 2，因为四边形ABCD 为正方形，所以DF 2=12F 1F 2=c ，DF 1=DF 22+F 1F 槡22=槡5c ，所以e =F 1F 2DF 1+DF 2=2c 槡5c +c =槡5-12.椭圆的离心率为槡5-12.评注：本题要构造焦点三角形DF 1F 2，再利用三角形DF 1F 2三边之间的关系不难解出DF 2，DF 1，进而用e =F 1F 2DF 1+DF 2去求离心率.（也可由正方形条件得2b 2a=2c 求出e ）.4通径法这种方法是利用通径的长度2b 2a 来求离心率.例7 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y2b2=1（a >b >0）的左右两个焦点，AB 是过F 2且垂直于x 轴的一条弦，它的长度等于F 2到椭圆右准线的距离，求此椭圆的离心率.解：因为AB 是椭圆的通径，所以AB =2b 2a，又F 2到椭圆右准线的距离为a 2c -c ，所以2b 2a =a 2c -c=b 2c ，化简得a =2c ，所以e =12，此椭圆的离心率为12.评注：此题可求出A ，B 的坐标，然后再求出AB 的长度，但如果直接利用通径的长度就非常方便了.注：前面例6也可利用通径法或利用代入点坐标法来做.解：DF 2=b 2a =12F 1F 2=c ，可求离心率.代入点坐标法：D 坐标为（c ，c ）代入椭圆方程x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）中，可求离心率.通过以上例题我们不难发现，求离心率的方法有很多，另外还有一些其他方法在这里就不赘述了.掌握了求离心率的常规方法，再加以多练习巩固，那么这一类重要问题就变得不再“重要”了櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽櫽.2014年辽宁理科第12题的解法研究黑龙江省大庆实验中学 （163316） 伊 波2014年辽宁理科卷第12题已知定义在［0，1］上的函数满足：①f （0）=f （1）=0；②对所有x ，y ∈［0，1］，且x ≠y ，有︴f （x ）-f （y ）︴<12︴x -y ︴.若对所有x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，则k 的最小值为（ ）.A.12B.14C.12πD.18笔者刚接触本题时出现了理解“偏差”，后来与组里老师沟通，也有老师和我的想法一致.我的起初想法是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的，所以我就想构造常值函数，则k 无限靠近0，没有答案，所以我的理解和出题者的本意是相违背的.出题者的意思是：要求最小的k ，那就是对所有满足条件的函数，每个函数都对应一个k ，然后取这些k 值中最小的k.所以我认为本题的表述并不是特别清楚，应该稍以修正：对所有满足条件的函数f （x ）以及所有的x ，y ∈［0，1］，︴f （x ）-f （y ）︴<k 恒成立，求k 的最小值.本题的难度在于不仅变量x ，y 不定，并且函数f （x ）也是不定的，所以命题者把它作为选择题的压轴题来设置.下面笔者给出几种解法，供大家参考.解法一：（数形结合法）由题设知︴f （x ）-f （0）︴=︴f （x ）︴<12x ，︴f （x ）-f （1）︴=︴f （x ）︴<12（1-x ），x ∈（0，1）.·34·2015年第2期中学数学研究例析离心率的几种常规求法作者：肖浩春作者单位：江苏省江浦高级中学 211800刊名：中学数学研究英文刊名：Studies in Middle School Math Guangdong年，卷(期)：2015(2)引用本文格式：肖浩春例析离心率的几种常规求法[期刊论文]-中学数学研究 2015(2)。
求圆锥曲线离心率的几种方法
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
求解离心率范围的四种策略
求解离心率范围的四种策略江苏省苏州高新区第一中学 朱亿华圆锥曲线离心率范围的求解问题是高考数学的热点和重点，它除拥有求参数取值范围的一般方法外，还有着其独特的一面，构造含a 、b 、c 的不等式是求离心率e 范围的关键，围绕构造含a 、b 、c 的不等式，寻求适当的求解策略正是本文要着力探讨的重点。
一. 变量分离策略圆锥曲线中变量的变化范围直接影响到离心率e 的大小，通过变量分离来构造关于e 的不等式，结合圆锥曲线中变量的有界性来求离心率e 的范围。
例1.已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0），F 1、F 2是左、右焦点，如果C 上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=600，求离心率e 的范围。
解：由余弦定理得： ο60cos 2212221221QF QF QF QF F F -+= 即 2122344QF QF a c -= 设F 1、F 2分别是左、右焦点， Q(x 1,y 1) 则1QF =a+ex 1，2QF =a-ex 1代入上式得))((3441122ex a ex a a c -+-=（注意此等式中变量x 1的有界性，将变量x 1分离出来） 222134e a c x -= 2210a x <≤ 2222340a e a c <-≤∴ 即2222222240443c a a c a c a c⎧-≥⎪≤<⎨-<⎪⎩解之得 易得 121<≤e 二．根的判别式策略由题设构造关于a 、b 、c 的方程，根据该方程根的情况，利用根的判别式列出含a 、b 、c 的不等式，然后向“e ”转化例2.已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0），F 1、F 2是左、右焦点，如果C 上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=900，求离心率e 的范围。
解：方法一：同例1 方法二：由椭圆定义得：1QF +2QF =2a 又∠F 1QF 2=900 则 222122214c F F QF QF ==+ 又()221222122142a QF QF QF QF QF QF =++=+ 故12QF QF ⋅=()222c a - 则 1QF 、2QF 是方程的两实根0)(22222=-+-c a at t （利用根的判别式不等式）则 ()()0242222≥-⨯--=∆c a a 即212≥e 又0<e<1 所以]1,22[∈e 三．韦达定理策略题设若涉及直线与曲线的交点位置问题，视情形可根据韦达定理来构造关于a 、b 、c 的不等式，然后向“e ”转化。
离心率的五种求法
构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==ace （31-舍去），故选D变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ） A3 B26 C 36 D 33解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-cb c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B配套练习1. 设双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A. 1241222=-y xB. 1964822=-y xC. 132322=-y xD. 16322=-y x2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．31B ．33 C ．21 D ．23 3．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ）A35 B 34 C 45D 23 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2 B22 C 21D 42 5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A22B 2C 2D 226．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B5 C25D13+7. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ）A213- B 21C 215-D 228．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）A25B210 C215 D59．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A []2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,210．椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22答案：1.由c a=21a c =可得 3.a b c ==故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率2c e a ==D 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
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离心率的五种求法
椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ． 一、直接求出
a 、c ，求解e
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =来
解决。
例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）
A. 4
3
B. 3
2
C. 2
1
D. 41
变式1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A. 23
B. 26
C. 23 D
2
变式2：点P （-3，1）在椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左准线上，
过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A 3
3
B 31 C
2
2 D
2
1 二、构造
a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别
是二次齐次式），进而得到关于e
的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以
线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C.
2
1
3+ D. 13+
变式练习1：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L
过
()
0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4
3
，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D.
3
3
2
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个
焦点为1F 、2F ，0
2
1120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A 3 B
26 C 36 D 33
2
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4：设椭圆122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为
1F ，右准线为
1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的
离心率是 .
变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点
到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A 2 B
2
2 C
21 D 4
2
五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围
例5：设⎪⎭
⎫
⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的
取值范围为（ ）
A. 2
1
B. ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22,
21 C. ⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛2,22 D. (
)
+∞,2
变式1：已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若
过点F 且倾斜角为0
60的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A
[]2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,2。