127离心率的五种求法
离心率公式
离心率根据不同的条件有五种求法：
一、已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可2113利用率心率公式e=c/a 来解决。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于a、c的一元方程，从而5261解得离心率e。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解。
四、根据圆4102锥曲线的统一定义求解。
五、构建关于e的不等式，求e的取值范围。
扩展资料：
由于要验证3组数据的可靠性，1653因而也很难严格地评价w值的可靠性。
当提出更新更可靠的值内或蒸气压数据时，在原则上应该重新计算w值。
但过去的一系列方程(其中许多是状态方程)已经使用当时的w值建立了相应的经验关系，对于这些方程仍以使用当时的tO值为宜。
被广泛使用的w值主要来自专用手册，如Reid的专著容或文献，但是Reid的专著提供的数据并非全是实验值，因为蒸气压数据多于临界数据，所以w的数据基本决定于临界数据；当缺乏临界数据时，w的数据一定是估算的。
参考资料来源：百度百科-离心率。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
人教版高考数学必会基础题型—《离心率的五种求法》
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的求法总结[精]
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圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合、不等关系求解.求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c、不等关系求解2. 运用数形结合建立a c3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为62题3：设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。
题4：(2009浙江理) 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3（C ）5（D ）102. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是11211,2,3,31MF F F MF e题2： Fl ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1PQ ，且1PF PQ ，求椭圆的离心率．题3：12212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－∆（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有12222||||2122221c c cea a PF PF c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2，∠MF 2F l =(≠ 0)，则椭圆的离心率为( )(A)1—2sin (B)l —sin 2 (C)1-cos2 (D)2cos -1题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率为 ．2练习：.22221(0),34x y a b ab c 1.设双曲线半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A232.已知双曲线的渐近线为34yx ，则双曲线的离心率为 55,343.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 22b a ca221212224.(071(0,0)||5A. 3B. 5C.D. 13x y F F a b A B O OF a bF AB 安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）＋-=>>∆22121222125.(07190,||3||,51015A. B. C. D. 5x y F F A F AF a bAF AF 全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2：（04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.练习：1. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析2221222222(2)442448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.2. 利用曲线的范围，建立不等关系题1． 设椭圆22221(0)x y a b ab 的左右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ，使1290F PF ，求离心率e 的取值范围。
离心率的五种求法(生)
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A. 10 B. 5 C. 310 D. 25二、变用公式)c e a ==双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45 D. 231.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( )2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( )A B3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2B ．3C ．12D ．13三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例3.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u r u u r ，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．2 C ．13 D ．121.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．32.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B26 C 36 D 333.设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ．31+4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ） A.22 B. 212- C. 22- D. 12-6.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D7.设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C 25D 13+9. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ） A213- B 21 C 215- D 2210.设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.33211.知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10B. 5C.310 D. 25分析：这里的21,1a cb ==+2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。
二、变用公式221)c b e a a ==+双曲线，221-()c b e a a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45D.23分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x=+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6 解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b，即224b a =221145b e a∴=+=+=2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r因此 ，即224b a =，221145b e a ∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．13【解析】因为2(,)b Pc a-±，再由1260F PF∠=o有232,b a a=即2223ba =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
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127离心率的五种求法离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a ce =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26D.332解：抛物线xy 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c，解得2=c ，3=a ，332==a ce ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A. 43B. 32C.21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B.26 C. 23D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A 33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==ac e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b ya x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C. 213+D. 13+解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又cFF 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222ac b-=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a=，∴232=e，∴26=e ，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc cPF PF c ac ac e四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A 2B 22C 21 D42解：221222===ADAF e五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围 例5：设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x的离心率的取值范围为（ ）A. 21B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22D.()+∞,2另：由1tan cot 22=-θθy x，⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，得θtan 2=a，θcot 2=b ,∴θθcot tan 222+=+=b a c,∴θθθθ2222cot 1tan cot tan +=+==ac e∵⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22>e，∴2>e ，故选D例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记()0,c A -，⎪⎭⎫ ⎝⎛h c C ,2，()0,y x E ，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得()()λλλλ+-=+⋅+-=122120c cc x ，λλ+=10hy，设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =，由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得142222=-bh a c ①将点E 的坐标代入双曲线方程得11124222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h a c ②再将ac e =①、②得14222=-bh e ，∴14222-=e bh ③1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h e ④将③式代入④式，整理得()λλ214442+=-e ，∴2312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得： 43231322≤+-≤e ，解得107≤≤e ，所以双曲线的离心率的取值范围为[]10,7配套练习1. 设双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A.1241222=-y x B.1964822=-y x C.132322=-y x D.16322=-y x2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ． 31 B ．33C ．21 D ．233．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ）A 35B 34C 45D 23 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2B22 C 21 D 425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A 22B 2 C2D226．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 3B5C25 D13+7. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c 为半焦距）的点，且PF F F 221=，则椭圆的离心率是（ ） A213- B 21 C 215-D228．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AFF ，且213AF AF=，则双曲线离心率为（ ） A25 B210 C 215D59．已知双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A []2,1 B()2,1C [)+∞,2D()+∞,210．椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛21,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛22,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22答案：1.由ca =21a c=可得 3.a b c ==故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a b=，椭圆的离心率2ce a==，选D 。
3.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,333b c e a a ====可得,故选A4.不妨设椭圆方程为22221x y a b+=（a >b >0），则有2221b a c a c=-=，据此求出e ＝225.不妨设双曲线方程为22221x y a b-=（a >0，b >0），则有22212b ac a c =-=，据此解得e ＝2，选C6.解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a b r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 21)a c=，双曲线的离心率为31+，选D 。
7.由已知P （c ca 3,2），所以222)3()(2c c ca c +-=化简得220222==⇒=-a c e c a ．8.设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点。
若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，2c == 离心率e =，选B 。
9.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ ba ≥3，离心率e 2=22222c a b a a+=≥4，∴ e ≥2，选C10.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若2||2a MN c =，12||2F F c =，12MN F F 2≤，则22a c c≤，该椭圆离心率e ≥22，选D。