【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修四《正余弦函数的定义》课时练习及解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦)的定义．2．熟记正弦、余弦的函数值在各象限的符号．3．理解正、余弦函数的周期性及这一性质的应用．
1．单位圆的定义
在直角坐标系中，以________为圆心，以__________为半径的圆，称为单位圆．
2．一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的____________，记作v＝sin α；点P的横坐标u叫作角α的__________，记作______________．通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin x和y＝cos x．它们的定义域为全体实数，值域为________．3．正、余弦函数的符号
象限三角
函数第一
象限
第二
象限
第三
象限
第四
象限
sin α
cos α
4．正、余弦函数的周期性
sin(α＋k·2π)＝________，k∈Z；
cos(α＋k·2π)＝________，k∈Z．
由此我们可以得到如下结论：
终边相同的角的________________相等．
5．周期函数的有关概念
对于函数f(x)，如果存在______实数T，任取定义域内的任意一个x值，都有________＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的________．
一、选择题
1．sin 390°等于( ) A ．
32 B ．－32 C ．－12 D ．12
2．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．－2 4．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则y
x
的值为( )
A ． 3
B ．－ 3
C ．
33 D ．－3
3
5．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－3
5，则b 的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．5
6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求a 的取值范围为( )
A ．－2<a <3
B ．－2<a ≤3
C ．－2≤a <3
D ．－3≤a <2
二、填空题
7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝________． 8．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 9．5sin 90°＋10 cos 180°－3 sin 270°＋4 cos 420°＝
________________________________________________________________________． 10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．
三、解答题
11．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号．
12．已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝
3
4
y，求cos α和tan α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sin θ
2
B．cos
θ
2
C．sin θ
2
cos
θ
2
D．cos 2θ
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的正弦和余弦．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”不表示任何意义，更不能把“sin
α”当成“sin ”与“α”的乘积．
3．正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
答案
知识梳理
1．原点 单位长 2．正弦函数 余弦函数 u ＝cos α [－1,1] 3．＋ ＋ － － ＋ － － ＋ 4．sin α cos α 同一三角函数的值 5．非零 f (x ＋T ) 周期
作业设计 1．D
2．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是一、三象限角，故α是第三象限角．]
3．C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0． ∴
|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α
－cos α
＝2．] 4．A [x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°) ＝cos 60°＝12
，
y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)
＝sin 60°＝
32
． ∴y
x
＝3．]
5．A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b
r
＝
－b
b 2＋16＝－3
5，
解得b ＝±3，由题意知b >0， ∴b ＝3．]
6．B [∵sin α>0，cos α≤0． ∴α位于第二象限或y 轴正半轴上．
∴3a －9≤0，a ＋2>0． ∴－2<a ≤3．] 7．－713
解析 r ＝52＋(－12)2＝13，∴sin α＝y r ＝－12
13，
cos α＝x r ＝513，∴sin α＋cos α＝－7
13
．
8．四
解析 α为第二象限角，sin α>0，cos α<0，∴P 在第四象限． 9．0
解析 原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60° ＝5－10＋3＋2＝0 10．2
解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图像上，且m <0，
n <0，n ＝3m ．
∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10． ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2． 11．解 α是第三象限角，则有： ①cos α<0且－1<cos α<0， ②sin α<0且－1<sin α<0，进而有： ①cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0， ②sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0． 12．解 sin α＝
y
3＋y
2＝
3
4
y ． 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1； 当y ≠0时，由
y
3＋y
2＝
3y 4，解得y ＝±213
． 当y ＝
213时，P ⎝
⎛
⎭⎪⎫－3，213，r ＝433． ∴cos α＝－3
4；
当y ＝－
213时，cos α＝－34
． 13．C [∵θ为第一象限角，
∴2k π<θ<2k π＋π
2
，k ∈Z ．
∴k π<θ2<k π＋π
4
，k ∈Z ．
当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π
4
(n ∈Z )．
∴θ
2
为第一象限角，
∴sin θ2>0，cos θ2>0，sin θ2cos θ
2>0．
当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，
2n π＋π<θ2<2n π＋5
4
π (n ∈Z )．
∴θ
2
为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，sin θ2cos θ
2>0，
而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ， cos 2θ有可能取负值．] 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ， ∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是 sin α＝817，cos α＝－1517．
(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是 sin α＝－817，cos α＝15
17
．。