矩阵子式及结式的用法

矩阵子式及结式的用法1 背景介绍在现在的大学本科高等代数教科书中，涉及矩阵子式及结式的内容比较少，尤其是结式部分，只简单地介绍了结式与两个一元多项式的公因式的关系、解二元高次方程组的一般方法．而把其中最精彩、最生动的部分都隐藏起来，况且部分高校把它作为选修内容，学生不能从老师、课本那里学到发现问题、分析问题和解决问题的方法，影响学生对矩阵子式及结式的认识．基于上述现状，本文拟强调矩阵子式和结式在代数研究中的重要性．2 矩阵结式我们知道在多项式理论中，结式是个重要的概念．该理论提供了一个解二元高次方程组的一般方法．下面我们具体介绍结式的定义、性质及其计算问题．2.1 基本概念 定义1[1](P466)设有多项式1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，则称m n +阶行列式(,)R f g =12012012012012301230123mm mmnn n a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b为()f x 与()g x 的结式．例1 设2()32,()1nf x x xg x x =-+=+，求结式(,)R f g ． 解 ()f x 与()g x 的结式为(,)R f g =132132132132100010011----，从最后一列开始，每列往前一列加，然后第一列提出２，再将第一列乘－１加到其余各列，得(,)R f g =1111000012102121021-----，按最后两行利用拉普拉斯定理展开，得()()221(,)221122n n n n R f g +++⎡⎤=+--=+⎣⎦．例２ 设2()1,()32nf x x xg x x x =++=-+，求结式(,)R f g解 =),(g f R 2312312302310000023100000231110000010011000001------，各列都加到第一列，再从第一列中提出３，接着将第一列乘－１加到第n+1列，即得2312312302310000002301000001100100001),(-----=g f R ，将第一行乘－１后加到第二行，然后再按第一列展开，得n+1阶行列式23123123023100000023110000023001000013),(------=g f R ，从最后一列开始，每列乘－１往前一列加，得21021002000210000211100013),(----=g f R ，再按第一列展开，得210210020002100002111000132121102123),(----+----=g f R ，将右端第二个行列式的最后一列（第n 列）乘－１后加到第n-１列，再将第一行展开，得3212121)1(323),(1----+⋅=+nn g f R 3(23)n =+．2.2 结式(,)R f g 的非行列式计算 2.2.1 利用多项式的根从2.1我们知道一个m 次多项式()f x 与另一个n 次多项式()g x 的结式(,)R f g 的计算，涉及到一个()m n +阶行列式的计算，这是十分麻烦的事．本节所提供的方法可以摆脱行列式的计算．定理１[1]（P467-470）设多项式1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++,1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，且12,,,m ααα为()f x 的全部根，12,,n βββ⋅⋅⋅为()g x 的全部根（k 重根算k 个），则有 (,)R f g =01200120()()(),0()()(),0nm m n a g g g a b f f f b αααβββ⎧⋅≠⎪⎨⋅≠⎪⎩．证明 设00a ≠，对()f x 的次数m 用数学归纳法．m ＝１时，01()f x a x a =+有根1a a α-=，此时 (,)R f g =10101011n na a a a a ab b b b -．从第一列开始每列乘α往下一列加，原来0a 位置上的元素不变，而1a 位置上的元素全变为０，n b 位置上的元素则变为()g α，即这时(,)R f g 变成一个主对角线上元素是0a ，…，0a ，()g α的三角行列式．故(,)R f g 0()na g α=，即m ＝１时结论成立．假定结论对m ＝k 时成立，下面证明对m ＝k +１也成立．设1011()k kk k f x a x a x a x a ++=+++的根为12,,,,k αααα，且1()()()f x x f x α=-⋅，其中1101()k k k f x a x c x c -=++⋅⋅⋅+的根为12,,,k ααα，且()f x 与1()f x 的函数间有关系：11022111,,,,k k k k k a c a a c c a c c a c αααα-+=-=-=-=-． （１），故(,)R f g =1101111011012101210121kk k k kk kk n n n nn na a a a a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b b b b b ++++---．从第一列开始，每列都乘α后加到下一列，则由（１）知，上行列式变为(,)R f g =)()()()()()()()()(000100121001100101010ααααααααααααααααααg g b b b g g g b b b g g g g b b b c c a c c a c c a k k k k kk k+++---，再从第2n +行开始，依次将各行乘－α后加到上一行，则又得(,)R f g =11101012101210000000***()kkk kn n n na c c a c c a c c a c cb b b b b b b b b b b g α--，按最后一列展开得(,)R f g =1()(,)g R f g α，因为1()f x 的首项系数00a ≠，故由归纳法假设知1012(,)()()()n k R f g a g g g ααα=⋅，于是01(,)()()()nk R f g a g g g ααα=⋅，即m ＝k +１时结论成立．同理可证0120(,)()()(),0mn R f g b f f f b βββ=⋅≠．我们拿2.1中的例子来说明：例３ 求下列二多项式的结式(,)R f g ：2()32,()1nf x x xg x x =-+=+ 解 ()f x 的根为1,2．故1(,)(1)(2)2(21)22nn R f g g g +==+=+．例４ 结式(,)R f g ：2()1,()32nf x x xg x x x =++=-+． 解 ()g x 的根为1,２，故(,)(1)(2)(111)(221)3(23)n n n R f g f f ==++++=+．2.2.2 使用矩阵的斜消法变换该部分论证了使用矩阵斜消法变换解决多项式理论中结式计算的问题，彻底摆脱了行列式计算． 定义２[2](P1) 设2n ⨯阶矩阵1112121222n n a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，其中12(1)10,0;0,(,1,2;;0,1,,1)i i is i s j a a a a a i j i j s n +====≠≠=≠=-，则称将第i 行的()n s -个元素(1)(2),,,i s i s in a a a ++乘以数k 斜加到第j 行的对应元素12(),,,j j j n s a a a -的变换为第i 行到第j 行的斜消法变换，以()s ji R k 表示之．显然，0()ji R k 是通常矩阵的消法变换．我们规定，斜消法变换所得矩阵的首列元素全为０时，应及时消去该列再变换．于是反复使用斜消法变换，可不断降低矩阵的阶数．定理2[2](P2) 设11111211(1)(),n n n n f x a x a x a x a -+=++++12212212(1)()n n n n f x a x a x a x a -+=++++，其中：12(1)10;0;0;(,1,2;;0,1,2,,.)i i is i s j a a a a a i j i j s n +====≠≠=≠=，则总存在10,,,s s k k k -，使1010(),(),,()11121(1)2(1)2(1)21222(1)s s ji s ji s ji R k R k R k n n n s n a a a A B a a a -----+⨯+⨯+-+⎡⎤=−−−−−−−−−→⎢⎥⎣⎦．其中B 的第i 行元素是 (1)(2)(1)(,,,)i s i s i n a a a +++，B 的第j 行元素是(2)(1)(0,,,)j s j n c c ++且有：()()()()j i f x f x q x r x =⋅+其中：11012(2)(3)(1)()()s s s s n s n s j s j s j n q x k x k x k r x c xc xc ------+++=+++=+++．例５ 设5432()2234f x x x x x x =++++-,2()2g x x x =-+，求结式(,)R f g ． 解212314000112-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦312(2)032314000112R ---⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦3231400112-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦212(3)0131400112R --⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦112(1)02140112R ----⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦012(2)030112R -⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦1211()3030012R -⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦0211()33002R --⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭．由定理２得：12()3,() 2.r x x r x =-=12010205,2,1,0,1,3,2n m l l b r r ======-=，52215120(,)(1)1(3)(3,2)9(3,2)9218R f g R x R x ⨯+⨯--=-⨯⋅-⋅-=-=⨯=．2.3 结式(,)R f g 相关性质在解题中的应用 2.3.1 判断多项式的公共零点问题在多项式理论中，判定两个多项式()f x 与()g x 是否有公共根，以及一个多项式的一个根是否是重根，可由下面定理解决．定理3[1](P470-471) 设1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，证明：(,)0R f g =的充要条件是：000a b ==或()f x 与()g x 有公共根．证明 必要性：设(,)0R f g =，如果000a b ==不成立，则00a ≠或00b ≠，不妨设，00a ≠，又设12,,,m ααα是()f x 的全部根，由定理１知012(,)()()()nm R f g a g g g ααα=⋅⋅⋅．因(,)0R f g =而00a ≠，所以至少有一个()0i g α=，即i α是()g x 的根，从而()f x 与()g x 有公共根．充分性：设000a b ==，则(,)R f g 的第一列元素全为０，从而(,)0R f g =．否则不防设00a ≠，由定理１知012(,)()()()nm R f g a g g g ααα=⋅⋅⋅成立，设某i α是()f x 与()g x 的公共根，则()0i g α=，于是(,)0R f g =．例６ 判别()f x 与()g x 有无公根？（１）32()22,()1f x x x g x x x =++=++（２）323()3456,()924f x x x x g x x x =-++=++解 (1) 因为 101212(1)(1)10221120230111111111R R --⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1211()223112R -⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥-⎣⎦0211()423704R ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎣⎦．所以127()23,()4r x x r x =+=．于是 3221312077(,)(1)12(23,)47044R f g R x ⋅+⋅--=-⋅⋅+=⋅=≠，故()f x 与()g x 无公共根．（２） 因为021(3)3456345690240121314R ---⎡⎤⎡⎤−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1121()431706420121314R -⎡⎤-⎢⎥−−−→⎢⎥--⎣⎦0121()16123410168121314R ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥--⎣⎦121192()123012802114R ---⎡⎤−−−−→⎢⎥--⎣⎦0217()412800R ---⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦．所以12()128,()0r x x r x =--=．于是(,)0R f g =，故()f x 与()g x 有公共根．例７ 当k 取何值时，多项式4()4f x x x k =-+有重根？ 解 ()f x 有重根的充要条件是(,)0df R f dx =．由于344df x dx=-0=的根为121,,w w，其中1211,22w w =-+=-．由定理１知412(,)4(1)()()dfR f f f w f w dx= 444411224(141)(4)(4)k w w k w w k =-⋅+-+-+434(27)k =-．令(,)0dfR f dx=，得123,3,3k w w =，即k 取123,3,3w w 时，多项式4()4f x x x k =-+有重根． 2.3.2 二元高次方程组的一个一般的解法设(,),(,)f x y g x y 是两个复系数的二元多项式，求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩在复数域中的全部解．(,)f x y 与(,)g x y 可以写成101(,)()()(),m m m g x y b y x b y x b y -=+++101(,)()()(),n n n f x y a y x a y x a y -=+++其中(),(),0,1,,;0,1,,i j a y b y i n j m ==是y 的多项式．把(,)f x y 与(,)g x y 看作是x 的多项式，令(,)x R f g =012012012012012301230123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n m m m a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y ，这是y 的一个复系数多项式．定理４[3](P152) 如果00(,)x y 是方程组的一个复数解，那么0y 就是(,)x R f g 的一个根；反过来，如果0y 是(,)x R f g 一个复根，那么0000()()0a y b y ==或者存在一个复数0x ，使得00(,)x y 是方程组的一个解．由此可知，为了解方程组，我们先求高次方程(,)0x R f g =的全部根，把(,)0x R f g =的每个根代入方程组，再求x 的值，这样，我们就得到方程组的全部解．例８ 解方程组2222741323014928450y xy x x y y xy x x y ⎧-++--=⎪⎨-++--=⎪⎩ ． 解 把原方程组改写一下2222(72)(4133)0(144)(9285)0y x y x x y x y x x ⎧-+++-=⎪⎨-+++-=⎪⎩，于是 (,)y R f g 22221(72)4133001(72)41331(144)9285001(144)9285x x x x x x x x x x x x -++--++-=-++--++-22221(72)4133001(72)41330(72)5152000(72)5152x x x x x x x x x x x x -++--++-=-++--++-2221(72)4133(72)51520(72)5152x x x x x x x x x -++-=-++--++-2221021(72)515200(72)5152x x x x x x x x ---=-++--++- 2222(5152)(72)(1)24(1)(2)(2)x x x x x x x x =+--++=---+．(,)y R f g 的４个根是0,1,2, 2.x =-用0x =代入方程组，得22230450y y y y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，这两个方程的公共根是1y =-，因之，(0,1)-是方程组的一个解．用同样的方法可得方程组的另外三个解是(1,2),(2,3),(2,1)-．这四个解就是它的全部解．３ 矩阵子式定义3[1](P486) 由矩阵Ａ的第1,2,k i i i 行和第1,2,k j j j 列交叉点上元素所构成的k 阶行列式称为Ａ的一个k 阶子式，记为1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，k 阶子式再附以符号()111k ki i j j +++++-后成为此子式的代数余子式，记为1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭．定义4[1](下P47)设()ij A a =为数域F 上的n 阶矩阵, 1212k k i i i A i i i ⎛⎫⎪⎝⎭1(1)k i i n ≤<<≤称为A 的(1,2,,)k k n =阶主子式，而称12(1,2,,)12k A k n k ⎛⎫=⎪⎝⎭为A 的k 阶顺序主子式．3.1 利用矩阵子式进行行列式的计算通过矩阵子式我们得到重要的Binet Cauchy -公式[4](P41)： 设矩阵m n n m m m A B C ⨯⨯⨯⋅=，则 （１）当m n >时，0C =； （２）当m n =时，C A B =⋅；（３）当m n <时，1121121212m m i i n m m i i i C A B i i i m ≤<<≤⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，其中1212m m A i i i ⎛⎫⎪⎝⎭表示在A 中取第12,,,m i i i 列与所有的前m 行组成的m 阶子式．特殊：当21212,T Tm m B A AA A i i i ⎛⎫==⎪⎝⎭∑． 公式的应用举例： 例９ 证明：2222111()()()()nn nii i i i j j i i i i i jab a b a b a b ===<⋅-=-∑∑∑∑证 设1212n n a a a A b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭，由Binet Cauchy -公式，有2211()i jT i j j i i j ni j nij a a AA a b a b b b ≤<≤≤<≤==-∑∑． 另一方面211211n nii i i i Tnni i i i i a a b AA a b b ====⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，于是211222111211()()()nnii in n ni i Tiii i n ni i i i ii i i aa bAA a b a b a b b=========⋅-∑∑∑∑∑∑∑．例10 设(,)A B C =是n 阶实矩阵，B 是n s ⨯阶子块，证明：2T TA B B C C ≤⋅． 证 由Laplace 定理，将A 按前s 列展开()iiiA B C =±∑，i B 是B 的一个s 阶子式，iC ±是i B 的代数余子式，由例9，2222(())()i i i i iiiA B C B C =±≤±∑∑∑．由Binet Cauchy -公式知221,nTT i i ii B B B C C C ===∑∑，于是2T T A B B C C ≤⋅．例11 设(,)A B C =是n m ⨯阶实矩阵，B 是n s ⨯阶子块,证明T T TA AB BC C ≤⋅． 证 当m n =时，由例10知结论成立．当m n >时，由Binet Cauchy -公式0T A A =，而0,0T TB BC C ≥≥，不等式成立． 当m n <时，0TA X =有非零解，且其基础解系至少含n m -个向量，任取n m -个线性无关的非零解排成()n n m ⨯-阶矩阵D ，则0T A D =且0T D D >．令1(,,)A B C D =，由0TA D =知0TC D =，又11(,)(,)T T T TT T TTA AA DA A A D A D A A D D D A D D=== ，由例10得 2111(,)(,).T T T T TTT T T T T C C C D A A A B B C D C D B BB BC CD D D CD D=≤⋅==由上两式及0T D D >，可得T T T A A B B C C ≤⋅．3.2 利用矩阵的子式来判定实对称矩阵的正定性，负定性及不定性问题 定理5[3]（Ｐ228-231）设A 为n 级实对称矩阵，A 为正定矩阵的充要条件为A 的顺序主子式都大于零．例12 判别实对称矩阵524212425A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为正定矩阵．解 A 的顺序主子式5245250,0,212021425->>->--，因之，A 正定． 推论 实对称矩阵A 是负定的充要条件为A 的奇数级顺序主子式小于零，偶数级顺序主子式大于零．定理6[1]（下P54-55）A 是正定矩阵的充要条件是A 的所有主子式都大于零．证 充分性是明显的，因为主子式全大于零，那么顺序主子式必全大于零，从而A 是正定的． 下证必要性．设n 阶实对称矩阵()ij A a =的主子式全大于零，而1112121222121(1)k k k k k k i i i i i i i i i i i i k k i i i i i i a a a a a a A i i n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≤<<≤⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为A 的任一个k 阶主子式k A 所对应的k 阶实对称矩阵．由于A 是正定的，故二次型1(,,)T n f x x x Ax =对任意不全为零的实数1,,n c c 都有1(,,)0n f c c >．从而对不全为零的实数1,,k i i c c ，有1(0,,,,,,0)0k i i f c c >．（即在1(,,)n f x x 中除1,,k i i x x 外其余变量全取零），但是，对变量为1,,k i i x x ，而矩阵为k A 的二次型1(,,)k i i g x x 来说，有11(,,)(0,,,,,,0)0k k i i i i g c c f c c =>，故g 是正定二次型，从而k A 是正定的．故0k A >．注：本定理的一个特殊情况是：正定矩阵的一阶主子式即主对角线上的所有元素都必须大于零．推论 对称矩阵A 是半正定的充要条件是A 的主子式皆大于或等于零． 注意在该推论中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的．比如1212212200(,)(,)01x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对应的对称矩阵就是一个反例．定理7 A 是正定矩阵的充要条件是A 的所有i 级主子式之和都大于零． 证 必要性根据定理6显然．下证充分性．()f E A λλ=-，设1,,n λλ为A 的特征值，1()()()n f λλλλλ=--，1112112()nn n nna a a f E A a a a λλλλ---=-=---．设i S 为A 的所有i 级主子式之和，1,2,i n =．则1212()(1)(1)n n n r n r n r f S S S A λλλλλ---=-+++-++-． 0i S >，下证0λ>． 用反证法．假设有12120,()(1)(1)0nn n r n r n i i i ii r i f S S S A λλλλλλ---≤=-+++-++-=，(1)(1)(1)()(1)()r n r r n r n r n n r r i r i r i S S S λλλ-----=---=--，()i f λ中每一项都有(1)n -，所以1212()()()()(1)0n n n n r ni i i r i n S S S S λλλλ---⎡⎤-+-+-++-++-=⎣⎦，所以1212()()()()0n n n n r i i i r i n S S S S λλλλ----+-+-++-++=，又0i λ≤，所以0i λ-≥，所以1212()()()()0n n n n r i i i r i n S S S S λλλλ----+-+-++-++>矛盾．则0i λ>．所以A 的特征值都大于零，即得A 是正定矩阵．利用矩阵顺序主子式不等于零的性质，我们还可以得到下面重要的矩阵分解：矩阵的三角分解或LDU 分解．定理8 设n 级矩阵A 的顺序主子式都不等于零，则A 可以分解为一个非退化的下三角矩阵与一个非退化的上三角矩阵的乘积；进而A 可以唯一地分解成A LDU =的形式，其中L 为单位下三角矩阵（对角线元素都是１的下三角矩阵），D 为对角矩阵，U 为单位上三角矩阵．分析：假如1,A PQ P A Q -==，P 为非退化的下三角矩阵．Q 为非退化的上三角矩阵．初等行矩阵有三种，(,)P i j 不是下三角矩阵．(())P i k 下三角矩阵，(,())()P i j k j i <也为下三角矩阵．所以当只采用后两种初等变换时，12P PP P =为下三角矩阵．证明 利用数学归纳法，对A 的级数做归纳．当1n =时，11()A a =成立．假设对1n -时成立，111A PQ =，其中1P 为非退化的下三角矩阵．1Q 为非退化的上三角矩阵．当级数为n 时，1Tnn A A a αβ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1212,11,,n n Tn n n n n n a a a a a a αβ--⎛⎫⎪ ⎪==⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，11111111111111000101TT nn nn A P AQ P P Q a Q a ααββ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111n T nn E P Q a αβ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()11121,,,T n Q b b b β--=，作初等行变换(,())i i P n i b -，则011n P P P -=为下三角矩阵．111111001*1n n T nn nn E P E P P Q Q a a ααβ-----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令11110000,0101Q P P P Q Q --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 为下三角矩阵，Q 为上三角矩阵，所以11Tnn A P Q a αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，即A PQ =． ２）令A PQ =，其中11110*,*0nn nn p q P Q p q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有11111111000*00nn nn nn p p p P p p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111111100*000nn nn nn q q q Q q q q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令 11111100*0nn nn p p L p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111110*00nn nn q q U q q --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111111000000nn nn nn nn p q p q D p q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则A LDU =，其中L 为单位下三角矩阵．D 为对角矩阵．U 为单位上三角矩阵．下证唯一性．设111A L DU =，其中1L 为单位下三角矩阵，1D 为对角矩阵，1U 为单位上三角矩阵．则111L DU LDU =，所以11111111111,()L LD DU U L L DU U D -----==，其中11L L -为单位下三角矩阵，1111()DU U D --为上三角矩阵．所以111,L L E L L -==．同理1U U =，从而1D D =，所以分解式唯一．下面我们看定理8的一个直接应用．二次型()Tf X X AX =的i 级顺序主子式,1,2,,i D i n =都不等于零，则存在非退化线性替换X PY =，使得222211211()n n n D D g Y D y y y D D -=+++． 证 因为A 的i 级顺序主子式,1,2,,i D i n =都不等于零，所以A LDU =，其中L 为单位下三角矩阵．D 为对角矩阵．U 为单位上三角矩阵．又A 为对称矩阵，所以TA A =，又T T T T T T A U D L U DL ==，根据分解的唯一性，T L U =，令1P U -=，所以AP P d d D AU U DU U A Tn T T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===--00)(,111 ．下面证明：211211,,,nn n D D D d d d D D -===．因为()()1111100T T T i i i T T i i n e e d D A e e U U e e e e d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10*1001*011 i d d ． 两边取行列式有12i i D d d d =，所以211211,,,nn n D D D d d d D D -===成立． 另外我们还可以利用子式矩阵的基准二阶子式变换法化简矩阵，用于求矩阵的秩，同时此法也是求矩阵行向量组基的普通方法，有兴趣的同学请参阅参考文献［5］．通过上文的论述，我们加深了对矩阵子式及结式内容系统、深刻的理解，随着数学理论和实践的不断发展，矩阵子式及结式的内容也会越来越丰富．参考文献：[1] 杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社.2002R f g的非行列式计算与矩阵斜消法变换[J]. 渭南师专学报(自然科学[2] 郭佑镇.结式(,)版).1996年第2期[3] 王萼芳.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003[4] 黎伯堂、刘贵真.高等代数解题技巧与方法[M]. 济南:山东科学技术出版社.2001[5] 拜志章.矩阵的基准二阶子式变换法[J].渭南师专学报(自然科学版).1992年第1—2期[6] 徐仲等编.高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M].西安:西北工业大学出版社.2004.3[7]钱吉林、刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社.2005.12[8] A.Szanto. Multivariate subresultants using Jouanolou’s resultant matrices．Department of Mathematics．North Carolina state University，Campus Box 8205，Raleigh，NC27695．USA.。