浅谈矩阵在数学建模中的应用
矩阵及应用
矩阵及应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在数学和各个学科中有着广泛的应用。
在数学中，矩阵被用于解线性方程组、计算线性变换和表示向量等等。
在物理学、经济学和计算机科学等领域，矩阵也被广泛地应用于建模和计算中。
首先，让我们来了解一下矩阵的定义和基本概念。
矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用方括号或圆括号表示。
一个矩阵有m行n列，可以表示为一个m×n的矩阵。
一个矩阵中的每个元素都可以用行号和列号来确定，如A[i,j]表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的加法和数乘定义如下：设A和B是两个m×n的矩阵，k是一个数，则定义A+B和kA如下：A+B = [a[i,j] + b[i,j]]kA = [ka[i,j]]矩阵的乘法定义如下：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则定义AB如下：AB = [c[i,j]]，其中c[i,j] = a[i,1]*b[1,j] + a[i,2]*b[2,j] + ... + a[i,n]*b[n,j]矩阵的转置定义如下：设A是一个m×n的矩阵，将A的所有元素按照对角线互换得到一个n×m的矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT。
矩阵的逆定义如下：设A是一个n×n的矩阵，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB = BA = In（单位矩阵），则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵。
若存在逆矩阵，则记作A-1。
接下来，我们来看看矩阵在线性方程组的求解中的应用。
对于一个线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示，然后通过矩阵的运算求解。
例如，对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以利用矩阵的乘法和逆矩阵来解方程组。
设A = [a1 b1; a2 b2]，X = [x, y]T，B = [c1, c2]T，则原方程组可以表示为AX = B。
如果A是可逆的，即存在A的逆矩阵A-1，则方程组的解可以表示为X = A-1B。
矩阵理论在数学建模中的应用
181矩阵理论在数学建模中的应用王 玲 李秀英通过分析与研究加密解密模型和生物遗传模型论述矩阵理论在实际数学建模中的应用.研究表明矩阵理论在解决有关建模问题时能起到优化作用，从而使数学问题的解决更加鲜明直观.1 引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一，也是高等代数的重要工具.在数学建模中矩阵理论也被广泛应用，如在物资调运中可通过矩阵运算来调整物资调运方案，在层次分析中可通过相关矩阵运算确定最优选择等.本文以加密解密模型和生物遗传模型为例，研究矩阵理论在数学建模中的具体应用.2 应用实例2.1 矩阵理论在加密解密模型中的应用1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法.首先把26个字母,,,,a b c z ¼映射到数1,2,3,26K .例如，数1表示a ,数2表示b 等,此外,用0表示空格，若要发出信息“action”，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3，20，9，15，14．这个消息（按列）写成3×2矩阵193152014B æöç÷=ç÷ç÷èø通过加密一个接收者和发送者都事先知道的密码矩阵，如：123112012A æöç÷=ç÷ç÷èø则可以将“action”对应的矩阵和事先知道的矩阵A 以AB 乘积的形式发送出,形成新的矩阵C123196781112315445201220144343AB Cæöæöæöç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø在收到信息后，可予以解密,可逆矩阵A 是事先约定的,求出A 的逆矩阵1-A ,于是1011678119221445231511143432014A C B--æöæöæöç÷ç÷ç÷=--==ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøèø反过来即可得到信息action． 2.2矩阵理论在生物遗传模型中的应用有一个生物研究院，在它的植物园中某种豆科植物的基因型为aa Aa AA ,,,常染色体的遗传规律是：植物繁殖时，后代分别从每个亲体的基因对中随机地继承一个基因,形成自己的基因对.研究院计划采用AA 型的该豆科植物与每种豆科植物相结合的方式培育其后代，经过若干年，这种豆科植物的任一代的三种基因分布如何？记n n n c b a ,,为第n 代中三种基因型植物所占百分率,[]T=n n n n c b a x,,)(为第n 年的分布列.根据题意，培育后代的基因情况如下表所示：AA-AA AA-Aa AA-Aa Aa-Aa Aa-aa Aa-aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa1/41/21表1 基因型概率矩阵则111111111110,0222n n n n n n n n n n a a b c a a b b b c c -------=´+´+´Þ=+=´+´= 采用矩阵形式简记为: ()(1)n n XMX -=其中11/2001/21000M æöç÷=ç÷ç÷èø，从而有： ()(1)2(2)(0)n n n n X MX M X M X --====L于是问题归结为如何计算nM ,将M 对角化,易于计算M 的特征值为1、2/1、0,其相应的特征向量为(1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)T T T--.令111012001P æöç÷=--ç÷ç÷èø，则. All Rights Reserved.182110001/20000M P P -æöç÷=ç÷ç÷èø于是()(0)n n XM X==1001001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --æö--ç÷+ç÷ç÷èø即得：110001/20000M P P -æöç÷=ç÷ç÷èø由计算结果,不难看出1,0,0nn n a b c ®®®.因此经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA .3 小结本文的研究体现了矩阵理论在我们实际生产生活中的应用，通过矩阵理论可以更加方便快捷的解决实际问题，激发了我们将数学知识运用到实际生活的动力。
正交矩阵及其在数学建模中的应用
正交矩阵及其在数学建模中的应用正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行（或每一列）互相垂直且归一化。
其数学特性和应用十分广泛，在数学建模中也有重要的应用。
首先，我们来看一下正交矩阵的基本概念和性质。
正交矩阵的定义是满足 $A A^T = A^T A = I$ 的方阵$A$，其中 $I$ 是单位矩阵。
其中 $A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
这里需要注意的是，正交矩阵不一定是方阵，但是一定是列满秩的。
正交矩阵有一个重要的性质是保持向量的模长和内积不变。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 和 $y$ 是$n$ 维向量，则有 $||Ax|| = ||x||$ 和 $<Ax, Ay> = <x, y>$。
这个性质在数学和物理中有广泛的应用。
正交矩阵在数学中有很多重要的应用。
其中一个是它可以用来描述旋转操作。
具体来说，设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的正交矩阵，$x$ 是 $n$ 维向量，则 $Ax$ 可以看做将向量 $x$ 绕某个轴旋转一个角度后得到的向量。
这个在三维几何中有着非常广泛的应用。
另一个重要的应用是在信号处理中。
通常情况下，我们需要对信号进行傅里叶变换以提取频率信息。
然而，傅里叶变换只适用于周期性信号，而实际上很多信号并不是周期性的。
因此，我们需要寻找一种方法将非周期性信号转化为周期性信号来进行傅里叶变换。
正交矩阵可以作为一种有效的转换方式，在信号处理中得到广泛的应用。
除此之外，正交矩阵还在机器学习和图像处理中有不少应用。
例如，PCA算法（主成分分析）中利用的就是正交矩阵的性质。
在图像处理中，通过对图像进行奇异值分解并将其分解为正交矩阵和奇异值矩阵，我们可以实现对图像的压缩和降噪等效果。
综上所述，正交矩阵作为一种重要的数学工具，在不同领域中都有广泛的应用。
不仅能够描述旋转操作，还能够用来处理非周期性信号、实现图像压缩和降噪等效果。
数学建模中矩阵的应用_李生彪
） 解 （ 设 Ｇ， 他） 的 重要 性 大 小 １ Ｉ， Ｓ 对于 Ｍ （ 的 判 断 矩阵为 １ ４ ２ 熿 燄 （ ） ／ ／ ＡＭ ＝ １ ４ ２ ， １ １ ／ １ ２ ２ １燅 燀 算得 Ａ （ Ｍ ）的 权 重 向 量 为 （ ０． ５ ７ １， ０． １ ４ ３， ）． ０ ． ２ ８ ６
ｎ
ｍ ｉ ｎ ｆ＝ 烆
ｋ 矩阵 表 示 形 式 为
， 作者简介 ： 李 生 彪（ 男， 甘肃 会 宁 人 ， 甘肃联合 大 学 讲 师 ， 主 要从事 数学建模 和 数 理 统 计 研究 ． １ ９ ８ １ －）
第１期
李生彪 等 ： 数 学建 模 中矩阵 的 应用
２ ３
Ａ ｘ ｂ， 烄 ≥ ｘ ≥ ０， 烅 ｍ ｉ ｎ ｘ． ｆ ＝ｃ 烆
Ｃ ． １ ６ ７×０． ５ ７ １＋０． １ ５ ８×０． １ ４ ３＋０． ２ ９ ４ ２ ＝０
×０． ２ ６ ８＝０． ２ ０ ２；
2 线性代数模型中的矩阵
线性代数模型 是 以 向 量 和 矩 阵 为 对 象 ， 以实 向 量 空 间为 背 景 的 一 种 抽 象 数 学 工 具 ， 它在科学 技术 及 国 防 经 济 的 各 个 领 域 中 的 应 用 非 常 普 遍 ， 矩阵 在 这 类 模型 中 的 应 用 最 为 广 泛 ． 层次分析法 是一 种 定 性 和 定 量 相 结合 的多 准 则 决 策 （ 或 评 价） 方法 ， 它 是 在 多 目 标、 多 条 件 下， 对多种对象（ 目
ｘ ｂ ｃ ２ ２ ２ Ｔ ， ， ｂ＝ ｃ ． ＝
（ ） 进 而得 Ｃ ３ Ｃ Ｃ １， ２， ３ 的权重分别为：
Ｃ ． ３ ３ ３×０． ５ ７ １＋０． ６ ３ １×０． １ ４ ３＋０． ５ ８ ８ １ ＝０
浅谈矩阵在中学数学中的应用
浅谈矩阵在中学数学中的应用矩阵是数学中一种有趣而又重要的概念，在中学数学中应用非常广泛，它已成为中学数学的核心知识之一。
本文将介绍矩阵在中学数学中的应用。
首先，矩阵在方程组解法中有重要的作用。
方程组是一组未知数的多元方程的集合，经常用来描述一个实际问题的数学模型。
矩阵可以用来表达方程组的结构，可以用来求解多元方程组。
矩阵涉及到的算法，如高斯消元法、克莱默法则、罗尔斯消元法，正是这些算法使得方程组的求解变得简单而又高效。
另外，矩阵还被用来解决几何问题。
几何问题是数学中很普遍的问题，其解决方案也有很多种。
矩阵可以用来表示几何形状和图形的参数，可以用来进行几何图形的操作，如图形的缩放、旋转和平移。
此外，矩阵还被用来求解一般的几何问题，如求两点之间的距离、求直线的方程、求任意图形的面积等。
再者，矩阵也在代数中有重要的应用。
矩阵的两个最主要的应用是线性方程组的分析和行列式的计算。
矩阵可以表示几个变量之间的依赖关系，在解决多元一次方程组时，可以使用行列式解决，从而简化线性方程组的求解过程。
此外，矩阵也可以用来计算数值的斜率，从而进行函数的图像分析。
总的来说，矩阵在中学数学中应用广泛、重要性不可低估。
它可以用来表示方程组、解决几何问题，甚至可以用来解决一些复杂的代数问题。
学习矩阵，可以提高学生数学求解能力，从而有利于学生更好地掌握中学数学的核心知识。
综上所述，矩阵在中学数学中有着重要的作用，扮演着非常重要的角色，它不仅可以用来解决方程组、解决几何问题，而且还可以用来解决代数问题，实用性极强。
针对矩阵的概念、特性及其应用，建议中学数学课上多重着重实践，使学生对矩阵有系统的认识，以达到有效掌握中学数学核心知识的目的。
正定矩阵和半正定矩阵
正定矩阵和半正定矩阵正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中非常重要的一部分，它们经常被用于一些科学计算以及应用到数学建模中。
本文将从矩阵的定义出发，讨论正定矩阵和半正定矩阵的基本特性以及它们应用于数学建模中的重要作用。
全文共有三个部分，分别介绍矩阵的定义、正定矩阵和半正定矩阵的特性以及它们的应用。
首先，从最基本的概念开始，矩阵是一种用于表达数学模型的数据结构，由一系列有序的数字组成。
可以看到，它们有着m行n列（m ×n）的结构，即被称为m×n矩阵。
它们可以表示线性空间中的相关概念，如点、线、平面等。
在线性代数中，矩阵的几何意义很重要，它可以用来表示矢量和空间中的变换，并能把相关运算转化为矩阵乘法的关系。
接下来要讨论的是正定矩阵和半正定矩阵，首先，它们都是实矩阵。
正定矩阵是一种特殊的实矩阵，它有两个重要的性质：（1）它的行列式不等于0，（2）对于任意n×n正定矩阵A，有A=A*A，其中A*表示A的共轭转置。
由此可见，当A是一个正定矩阵时，A正定矩阵的转置也是正定矩阵。
半正定矩阵和正定矩阵有一些相似之处：（1）它们也是实矩阵，（2）它们的行列式也不等于0，（3）它们也具有自身的转置矩阵。
然而，半正定矩阵的性质未必和正定矩阵相同，它只是满足A=A*A，其中A*表示A的共轭转置，转置矩阵并不一定是正定矩阵。
最后，让我们来看看正定矩阵和半正定矩阵在数学建模中的重要作用。
正定矩阵和半正定矩阵常被用于统计回归分析，这是一种用于预测事件结果的模型，可以用来预测变量之间的关系。
正定矩阵和半正定矩阵也可以用来解决优化问题，比如最小二乘法的求解。
另外，它们还可以用来提取线性态度的代数体系，会非常有效地提升计算速度、准确率以及可解释性。
综上所述，正定矩阵和半正定矩阵是矩阵理论中重要的一部分，它们具有行列式不为零及正定矩阵的转置也是正定矩阵等重要性质，并且可以用于统计回归分析、解决优化问题以及提取线性态度的代数体系等，在数学建模中发挥着重要作用。
浅谈矩阵在中学数学中的应用
浅谈矩阵在中学数学中的应用
矩阵在中学数学中是一个不可忽视的重要部分，它能够帮助我们理解一些复杂的关系和结构。
矩阵可以被定义为由数字构成的方形或矩形，它们可以用于表达许多繁琐的和复杂的关系。
矩阵在中学数学中最常见的用途之一就是矩阵运算，如加减乘除等。
矩阵运算既可以用来解决复杂的混乱的系统方程组，也可以用来解决包含很多变量的方程组，甚至可以用来计算定积分。
另外，矩阵在中学数学中也有旋转、缩放和变换的概念，这些概念涉及两个重要概念：矩阵乘法和行列式，可以用来计算几何图形和几何变换的应用。
同样，矩阵也可以用来求解系统定位问题，比如给定一个位置，求出一组变量的解，同时又可以节省时间和空间，可以用它来分析数据和提高算法效率。
最后，矩阵在中学数学中也有一些技巧，比如矩阵乘法的简化，行列式的算法，这些技巧可以帮助我们解决问题，提高效率。
总之，矩阵在中学数学中的应用是非常广泛的，它可以帮助我们理解更多复杂的问题，并使用它来分析和计算，帮助我们更快地解决问题，并有效提高效率。
矩阵的应用在高考数学中的体现
矩阵的应用在高考数学中的体现矩阵，作为数学中一个重要的概念，被广泛应用于各个领域，其中就包括高考数学。
在考研、数学竞赛等方面，矩阵的应用更是不可或缺。
本文将以矩阵在高考数学中的应用为主题，探讨其在这一领域中的体现。
一、理解矩阵在探讨矩阵在高考数学中的应用之前，我们需要先了解什么是矩阵。
矩阵是由数个数排成的矩形，并且可以进行加、减、数乘、乘法等运算的一种数学工具。
常见的矩阵类型包括行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵在高考数学中的应用1. 线性方程组的求解在高考数学中，线性方程组的求解是一个非常重要的内容。
其中，矩阵是求解线性方程组的有力工具之一。
利用矩阵，我们可以将线性方程组表示为矩阵乘法的形式，然后通过列主元消元法或高斯消元法等方法，求解出未知数的值。
例如，对于一个三元无系数线性方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6 \\2x+3y+2z=13 \\4x+3y+z=13 \\\end{cases}$$可以表示为如下矩阵形式：$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 &3 & 2 \\4 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\13 \\13\end{pmatrix}$$然后，我们就可以通过高斯消元法等方法来求解未知数的值。
2. 向量的运算在高考数学中，向量的运算也是一项重要的内容。
矩阵可以被用来表示向量，从而方便向量的运算。
比如，我们可以把向量看作是一个一列数排成的矩阵，进而可以求解向量的点积、叉积等。
此外，矩阵还可以被用来表示变换矩阵，如旋转矩阵、缩放矩阵、平移矩阵等。
通过变换矩阵，我们可以实现向量的旋转、缩放、平移等变换。
3. 解析几何中的直线和平面在高中数学中，我们学习了解析几何中的直线和平面。
矩阵在建模中的应用
矩阵在建模中的应用摘要：作为了解和认识复杂事物的一种有效工具，矩阵一直以来在各学科领域中均有广泛的推广和应用，特别是在建模中的应用。
鉴于此，本文重点对矩阵在建模中的应用情况进行了探讨，希望能为相关领域的研究提供借鉴。
关键词：矩阵建模应用作为数学中基本概念的一种，矩阵一直以来都是人们对复杂事物本质进行把握的关键工具之一。
在建模过程中，矩阵的应用十分广泛，例如进行层次分析、对投入产出的分析、数学规划过程以及数据拟合等过程均需要借助于矩阵对实际问题进行分析和解决。
通常而言，建模过程中所涉及到的矩阵类型包括L 矩阵、成对比较矩阵、一致阵、素阵以及随机矩阵等等多种类型。
本文主要就矩阵在规划、线性代数、微分方程以及动态趋势预测等模型中的应用情况进行具体分析。
1 矩阵在规划模型中的应用分析一直以来，规划方面的问题对于经管、科研以及工程技术等多个领域而言总是最为常见的问题之一。
例如，设计人员在对材料的尺寸进行选择时，如何在符合强度等多方面条件要求的情况下，确保结构的总重量的最小化。
采用建模方法对规划问题进行处理时，虽可能导致结果可行性不足或是实际情况达到最优，但其结合经验及试验数据来对客观规律及数据进行分析，因而还是能够得到较为满意的结果。
以下对矩阵在规划模型中的应用情况进行实例说明。
例：n种食物中，每一种含营养m种，在第j种食物中，每单位下第i种营养成分是ɑij。
设一个人每一天对第i种营养的最小需求为bi，而第j种食物单价为cj，则每人如何进行食物选购才能在满足其自身需求的同时花费最低？解：假设选购食物时第j种食物其数量是xj（j=1，2，…，n）时，则可得到：■ɑ■x■≥b■（j=1，2…，m），x■≥0（j=1，2，…，n），minf=■c■x■此时，其矩阵形式如下：Ax≥b，x≥0，minf=cx所得矩阵可采用Matlab数学软件对其进行求解。
2 矩阵在线性代数模型中的应用分析对于线性代数模型而言，其主要将矩阵及向量作为对象，并将实向量空间作为背景，对较为抽象复杂的问题进行解决的工具之一，作为一种可定性及定量的多准则评价手段，层次分析法可对多种方案在多目标及条件下进行评价，且简便有效。
浅谈矩阵在数学建模中的应用
浅谈矩阵在数学建模中的应用【摘要】矩阵作为一种认识复杂事物的简捷工具已经被广泛应用在各个学科领域中，在数学建模中也有许多应用。
本文就数学建模中使用矩阵的情况做一些举例、小结，最后给出一个典型的数学模型。
【关键词】数学建模；模型；矩阵矩阵是最基本的数学概念之一，也是人们把握复杂的实际事物本质的一种简捷的思维工具。
在数学建模中，矩阵的使用相当广泛，如数学规划、层次分析、马氏链模型、投入产出、数据拟合等都主要应用矩阵分析解决问题，就数学建模中涉及的矩阵就有量纲矩阵、L矩阵、成对比较矩阵、正互反矩阵、一致阵、邻接矩阵、素阵、状态转移矩阵、随机矩阵，还有网络计划分析法中的可达矩阵、模糊评价分析法中的评判矩阵、投入产出法中的消耗系数矩阵、产品流量矩阵，另外在数学建模中还使用了许多普通矩阵。
1.线性方程组与矩阵自然科学和工程实践很多问题的解决都归纳为线性方程组的求解和矩阵运算。
有些问题本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题、投入产出分析问题和各种晶体管电路分析问题；另一方面有些数值计算方法也导致线性方程组求解，如数据拟合问题、非线性方程组和偏微分方程数值解问题等等。
例1：曲线拟合问题：已知一组（二维）数据，即平面上n个点（x1，y1）（i＝1，2，…，n），寻求一个函数（曲线）y＝f（x），使f（x）在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路：数学规划是解决这类问题的有效方法。
而线性规划是数学规划中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域都有十分广泛的应用，典型问题有生产计划、任务分配、投料或产品的混合、运输、库存等问题。
3.微分方程模型中的矩阵微分方程是研究函数变化过程中变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用，如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。
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浅谈矩阵在数学建模中的应用
【摘要】矩阵作为一种认识复杂事物的简捷工具已经被广泛应用在各个学科领域中，在数学建模中也有许多应用。
本文就数学建模中使用矩阵的情况做一些举例、小结，最后给出一个典型的数学模型。
【关键词】数学建模；模型；矩阵
矩阵是最基本的数学概念之一，也是人们把握复杂的实际事物本质的一种简捷的思维工具。
在数学建模中，矩阵的使用相当广泛，如数学规划、层次分析、马氏链模型、投入产出、数据拟合等都主要应用矩阵分析解决问题，就数学建模中涉及的矩阵就有量纲矩阵、L矩阵、成对比较矩阵、正互反矩阵、一致阵、邻接矩阵、素阵、状态转移矩阵、随机矩阵，还有网络计划分析法中的可达矩阵、模糊评价分析法中的评判矩阵、投入产出法中的消耗系数矩阵、产品流量矩阵，另外在数学建模中还使用了许多普通矩阵。
1.线性方程组与矩阵
自然科学和工程实践很多问题的解决都归纳为线性方程组的求解和矩阵运算。
有些问题本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题、投入产出分析问题和各种晶体管电路分析问题；另一方面有些数值计算方法也导致线性方程组求解，如数据拟合问题、非线性方程组和偏微分方程数值解问题等等。
例1：曲线拟合问题：已知一组（二维）数据，即平面上n个点（x1，y1）（i＝1，2，…，n），寻求一个函数（曲线）y＝f（x），使f（x）在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路：
数学规划是解决这类问题的有效方法。
而线性规划是数学规划中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域都有十分广泛的应用，典型问题有生产计划、任务分配、投料或产品的混合、运输、库存等问题。
3.微分方程模型中的矩阵
微分方程是研究函数变化过程中变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用，如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。
矩阵较多地用在微分方程，尤其是方程组有关的理论结果的表示上。
4.矩阵的方幂问题
当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的线性变换。
当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。
即用矩阵乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一个新的向量，……，这种运算的本质就是用矩阵的方幂乘以最初的向量。
在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的特征根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。
例2：锁具问题：一批弹子锁具中每把锁的钥匙均有5个槽，槽高在1，2，3，4，5，6中选取，若要求相邻槽高相差不超过4（≤4），问一批锁具中有多少不同的锁？这个问题用数学语言叙述就是设集合
A＝｛（x1，x2，…x5）｜xi∈｛1,2，…，6｝，i＝1,2，…，5；｜xi－xi＋1｜≠5，i＝1,2,3,4｝求A中元素个数｜A｜。
考虑这个问题可以有许多思路：一种最自然的想法就是作组合计算。
即在所有形如（x1，x2，…x5）的数组中，1，6两个数字不相邻的数组有多少，具体计算方法很多，一般都较繁，而且容易漏记、重记。
第二种想法思路非常简单，就是按照A的定义式编一段含有5重循环的程序，一个个搜索出合乎要求的元素。
这个方法虽能解决这一具体问题，但太缺乏建模的思想，而且如果是计算量大的问题还难以实现。
这里介绍一种递推的算法，记
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