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2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学(理)试卷(带解析)

绝密★启用前2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下列集合中，是集合A ={x |x 2<5x }的真子集的是（）A. {2,5}B. (6,+∞)C. (0,5)D. (1,5)2．复数z =3+7i i 的实部与虚部分别为（）A. 7，−3B. 7，−3iC. −7,3D. −7,3i3．设2log 5a =， 2log 6b =，） A. c b a >> B. b a c >> C. c a b >> D. a b c >> 4．设向量()1,2a = ， ()3,5b =- ， ()4,c x = ，若a b c λ+= （R λ∈），则x λ+的值为（）A. B. 5．已知tan 3α=，则）A. B. 6．设x ，y 满足约束条件{2x +y −7≤0,x −y −2≤0,x −2≥0,则y x 的最大值为（） A. 32 B. 2 C. 13 D. 07．得到()f x 的图象，则（） A. ()sin2f x x =- B. ()f x 的图象关于C. D. ()f x 的图象关于 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x =2，n =4，则输出的s 等于（）A. 94B. 99C. 45D. 2039．直线2y b =与双曲线右支分别交于B 、C 两点， A 为右顶点， O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]10,14， []15,19， []20,24， []25,29， []30,34的爱看比例分别为10%， 18%， 20%， 30%， %t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[]10,14， 17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为()ˆ 4.68%ykx =-，由此可推测t 的值为（） A. 33 B. 35 C. 37 D. 3911．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 163+8πB. 323+8πC. 16+8πD. 163+16π12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A. ()2,eB.C.D.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．()71x -的展开式中2x 的系数为__________．14．已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成，则曲线C 与圆()22316x y ++=的交点的个数为__________．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为__________．16．(数学（文）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.三、解答题17．某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列{}2n n a ⋅的前20项和20S ，求2202log log 20S -的值． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠= ，（1）求证： 11AB CC ⊥；（2 11AC 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值．20．如图， 1F ， 2F 为椭圆C ： D ， E 是椭圆的两个顶点，，若点()00,M x y 在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ， B 两点， A ， B 两点的“椭点”分别为P ， Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21 ()()g x f x b =+，其中a ， b 为常数．（1）若1x =是函数()y xf x =的一个极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有2个零点， ()()f g x 有6个零点，求a b +的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，圆C 的方程为(x − 3)2+(y +1)2=9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线O P ：θ=π6（ρ∈R ）与圆C 交于点M 、N ，求线段M N 的长．23．选修4-5：不等式选讲M 为不等式()0f x >的解集．（1）求M ；（2）求证：当x ， y M ∈时，参考答案1．D【解析】试题分析：因为A ={x |x 2<5x }={x |0<x <5}，所以由真子集的概念知集合A 的真子集是(1,5)，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合间的关系．2．A【解析】试题分析：∵z =i (3+7i )−1=7−3i ，∴z 的实部与虚部分别为7，−3,故选A ．考点：复数及其运算．3．A，故选A.4．C，故选C.5．B【点睛】本题考查同角三角函数关系中的弦化切问题，已知角α的正切值，求与正余弦相关的式子的值，首先把所求式子转化为分式（一次齐次式或二次齐次式），然后分子和分母同除以cos α（或2cos α），转化为用tan α表示的形式，最后带入求值. 6．A【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又y x 表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线O A 的斜率最大，即(yx )max =3−02−0=32，故选A ．考点：简单的线性规划问题．【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．B，故选B. 8．A【解析】试题分析：由框图程序得第一次运行第二次运行第三次运行第四次运行.此时满足终止运行,输出,故选A.考点：程序框图.9．D【解析】由双曲线的对称性可得D. 10．B【解析】前4，（把百分数转化为小数），而0.0468bx -， 0.19519.50.0468b ∧∴=⨯-， 0.0124b ∧∴=，，当1.2432 4.6835t =⨯-=. 11．A【解析】试题分析：由三视图，知该几何体为底面半径为2，高为4的圆柱的二分之一和底面为矩形高为2的四棱锥，其中矩形的两边分别为4和2，则该几何体体积为V =12⋅π×22×4+13×2×4×2＝8π+163，故选A ．考点：1、空间几何体的三视图；2、圆柱与棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．12．D【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++，则()()()l n 1l n 121f a x x f a x x f -+++--≥ 可华化为： ()()2ln 121f ax x f --≥，即()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则. ，在(],3e 上递减， []1,3 上递减，综上得： a 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及利用函数性质解决不等式问题，由于偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，把不等式变形为()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，问题转化为1ln 11ax x -≤--≤恒成立，即对[]1,3x ∈同时恒成立.最后利导数解决恒成立问题.13．21-【解析】利用通项公式()7171r r r r T C x -+=⋅- ，令72r -=， 5r = ，则展开式中2x 的系数为2721C -=-.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1r n r r r n T C a b -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.14．4【解析】由上图可得交点个数为4.15．18π 【解析】设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则1ab =，由于体积为4，则4c = ，长方体的体对角线长为，则球O 的表面积（当且仅当【点睛】长方体的外接球的直径的大小就是长方体的体对角线的长度，根据题目所提供的条件表示出长方体的对角线的长，然后表示出球的表面积，结合基本不等式求出表面积的最小值.16．21【解析】设ABC ∆ 的对应边边长分别13a = 里， 14b = 里， 15c = 里【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.17．（1）230（2）21【解析】试题分析：此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，该等差数列首项为2，公差为1，根据等差数列的通项公式写出答案，但注意实际问题的要求，注明n 的取值范围；第二步为错位相减法求和，要求运算熟练准确.试题解析：（1）由题可知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，∴211n a n n =+-=+（120n ≤≤）．（2）∵1220202232212S =⨯+⨯+⋯+⨯， ∴23212022232212S =⨯+⨯+⋯+⨯，∴2320212121204222212424212S -=+++⋯+-⨯=+--⨯， ∴2120202S =⨯，∴2122022log log 20log 221S -==．【点睛】本题为应用题，首先读题审题，把实际问题转化为数学问题，此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，求出通项公式，第二步求和问题，利用错位相减法求和，数列求和问题需要掌握裂项相消法、错位相减法、分组求和法等基本方法. 18． (1)18 (2)详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为12，X 的次数的取值是1、2、3，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件A ，则P (A )=2532×45×(1−45)=18.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为2532×45×45=12.由题意可得X 可取0,1,2,3，则有P (X =0)=(1−12)3=18,P (X =1)=C 31×12×(1−12)2=38,P (X =2)=C 32×(12)2×(1−12)=38,P (X =3)=(12)3=18.所以X 的分布列为:故E (X )=0×18+1×38+2×38+3×18=32(或12×3=32).19．（1）详见解析（2【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取1CC 中点O ，连接OA ， 1OB ，利用条件证明1CC ⊥平面1OAB .以O 为坐标原点，分别以1OB ， 1OC ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面1CAB 和平面11AB D 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值. 试题解析：（1）证明：连接1AC ， 1CB ，则1ACC ∆和11B C C ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连接OA ， 1OB ，则1CC OA ⊥， 11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，11CC AB ⊥．（2）解：由（1）知， 13OA OB ==，满足22211,OA OB AB +=所以1OA OB ⊥，OA ⊥平面11B C C ．如图所示，分别以1OB ， 1OC ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，则， ()13,0,0B ， ()0,0,3A ，，，设平面1CAB 的法向量为(),,m x y z =，因为()13,0,3AB =- ，设平面11AB D 的法向量为n ，因为，因为二面角11C AB D --为钝角，所以二面角11C AB D --的余弦值为【点睛】证明线线垂直一般来说寻求线面垂直，利用线面垂直的性质定理，说明线线垂直，另外也可由面面垂直得到，证明垂直问题时，要寻求垂直方面的条件，除了根据有关垂直的定理、性质外，有时还需要数据计算利用勾股定理判断垂直关系.建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角属于常规方法，考生应在“熟练+准确”上下功夫.20．（12）ABC ∆的面积为定值1．【解析】试题分析：求圆锥曲线的标准方程，常用待定系数法，列出关于a b c 、、的关系后解联立方程组，求出,a b 的值，定点、定值问题是解析几何常见的常规题型之一，是高考高频考点，针对本题务必对直线的斜率进行讨论，否则会失分.研究三角形的面为定制问题，首先把面积表示出来，这就需要联立方程组，求弦长和高，最终说明面积为定值.试题解析：（1）解得224,{1,a b ==故椭圆C 的标准方程为（2）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则由OP OQ ⊥，即①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为y kx m =+（0m ≠），联立22,{44,y kx m x y =++=得()222418440kx kmx m +++-=，则()221641k m ∆=+-， *），整理得22412k m +=．此时2160m ∆=>，，∴1S =．综上， ABC ∆的面积为定值1．【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（1）714y x =-（2）2a b +<【解析】试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面，首先搞清函数()()y f x g x =- 零点个数的三种判断方法，其一：()()y f x g x =-的图象与x 轴交点的横坐标；其二：方程()()f x g x = 的根；其三：函数()y f x = 与()y g x = 的图象的交点的横坐标；本题根据函数()f x 存在2个零点，2个不同的实根，解出3a =，再根据()()f g x 有6个零点，求出a b +范围.试题解析：（1）∵()341y xf x x ax ==+-，∴2'12y x a =-，∴120a -=，即12a =．，∴()'17f =，∵()157f a =-=-， ∴所求切线方程为()771y x +=-，即714y x =-．（2）若函数()f x 存在22个不同的实根，，令()'0h x >，得令()'0h x <，得0x <，，∴()h x 的极小值为，∴由()h x 的图象可知3a =．∴令()()0f g x =，或()1g x =-，()1f x b =--，而()()f g x 有6与()1f x b =--都有三个不同的解，且10b -->，∴1b <-，∴2a b +<．【点睛】函数()()y f x g x =- 零点个数的三种判断方法，其一： ()()y f x g x =-的图象与x 轴交点的横坐标；其二：方程()()f x g x = 的根；其三：函数()y f x = 与()y g x = 的图象的交点的横坐标；涉及()()y f g x = 零点问题，一般设()t g x = ，则()y f t = ，先考虑()f t 的零点，找出对应的t 值（或范围），再根据()g x t = 找出对应的x 值（或个数），需要借助函数图象数形结合去完成. 22．（1）ρ2−2 3ρcos θ+2ρsin θ−5=0；（2）.【解析】试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令θ=π6，得到ρ2−2ρ−5=0利用即可.试题解析：（1）(x−3)2+(y−1)2=9可化为x2+y2−23x+2y−5=0，故其极坐标方程为ρ2−23ρcosθ+2ρsinθ−5=0.……5分（2）将θ=π6代入ρ2−23ρcosθ+2ρsinθ−5=0，得ρ2−2ρ−5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=−5.∴|M N|=|ρ1−ρ2|=(ρ1+ρ2)−4ρ1ρ2=26.……10分考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.23．（1（2）详见解析【解析】解：（1综上，（2）因为x，y M∈，∴。

【全国市级联考】2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学(文)试卷(带解析)

一、选择题（题型注释）1、下列集合中，是集合的真子集的是（）A． B． C． D．2、复数的实部与虚部分别为（）A．， B．， C．, D．,3、设，，，则（）A． B． C． D．4、设向量，，，若（），则的值为（）A． B． C． D．5、设，满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．06、将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（）A． B．的图象关于对称C． D．的图象关于对称7、执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（）A．94 B．99 C．45 D．2038、直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9、设为钝角，且，则等于（）A． B． C． D．10、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A． B． C． D．11、函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．12、已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（题型注释）13、已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为__________．14、(数学（文）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.15、若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．16、长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．18、选修4-5：不等式选讲已知，为不等式的解集．（1）求；（2）求证：当，时，．19、某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列的前项和．20、已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．相关公式：，．21、如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求证：．22、已知椭圆：的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．参考答案1、D2、A3、A4、C5、A6、B7、A8、D9、B10、B11、D12、C13、414、2115、16、17、（1）；（2）.18、（1）．（2）详见解析19、（1）230（2）详见解析20、（1）5月和6月的平均利润最高（2）详见解析（3）940万元．21、（1）详见解析（2）详见解析22、（1）椭圆的方程为．（2）．【解析】1、试题分析：因为，所以由真子集的概念知集合的真子集是，故选D．考点：1、不等式的解法；2、集合间的关系．2、试题分析：∵，∴的实部与虚部分别为,故选A．考点：复数及其运算．3、，故选A.4、由已知可得，故选C.5、试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线的斜率最大，即，故选A．考点：简单的线性规划问题．【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6、由已知可得，故选B.7、试题分析：由框图程序得第一次运行第二次运行第三次运行第四次运行.此时满足终止运行,输出,故选A.考点：程序框图.8、由双曲线的对称性可得，故选D.9、由已知可得，故选B.10、由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为，故选B.【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.11、由已知可得原函数的定义域为，由于是减函数，故原函数的增区间就是函数的减区间，故选D.12、由已知可得在上是减函数，故原命题等价于，即在上恒成立，设，令，当时，当时，因此，故选C.【点睛】本题关键步骤有：1.利用奇函数的性质可得在上是减函数；2.将原命题等价转化为在上恒成立；3.利用导数工具求得，从而求得正解.13、由上图可得交点个数为4.14、设的对应边边长分别里，里，里故正确答案为 .【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.15、由已知可得所求的概率为 .16、该球的半径表面积 .17、试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令，得到利用即可.试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.……5分（2）将代入，得，，..……10分考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.18、解：（1）当时，由，得，舍去；当时，由，得，即；当时，由，得，即．综上，．（2）因为，，∴，，所以．19、试题分析：（1）由题可知数列是符合等差数列的定义，再由等差数列的通项公式求得（），再求得其前项和；（2）化简，利用错位相减法求得．试题解析：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴（）．∴此看台的座位数为．（2）∵，∴．20、试题分析：(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可。

广西来宾市高三数学总复习教学质量调研试题理新人教A版

理科数学注意：1．答题前，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号或座位号填写清楚．2．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑． 3．试卷满分150分,考试时间120分钟,答题一律在答卷上作答，在试卷上作答无效．．．．．．．．．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{})(,,,,,,*∈-=N n n M 127531，若b a c M b M a +=∈∈,,，则下列表达正确的是 A ．M c ⊆B ．M c ⊄C ．c M ∈D ．M c ∉2．已知02=+ααcos sin ，则=α2cosA ．54-B ．53-C ．43-D ．32 3．设复数ii x -=12 ，（是虚数单位），则x 的共轭复数为 A ．i +1 B ．i -1C ．i +1－D ．i --14．用数学归纳法证明)()(2312≥∈≤+n N n n n且，第一步验证原不等式成立时，=nA ．1B ．2C ．3D ．45．设n m ,是空间两条直线，α是空间一个平面．当α⊂m 时，“α//n ”是“m n //”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知实数列21,,,,c b a 构成等比数列，则abc 等于A ．4B ．4± C．22D ．22±7．已知正弦函数x y sin =的图象关于点),(0θ对称,则=θcosA ．1-或B ．C ．1-D ．08．若直线),(+∈=-+R b a by ax 012平分圆064222=---+y x y x ，则ba 12+的最小值是A ．B ．10C ．223+D ．246+9．已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083012043y x y x y x ,若目标函数)(0≥+-=a y ax z 仅在点)2,2(处取得最大值，则a 的取值范围为 A ．310<≤a B. 31≥a C.31>aD ．210<<a 10．设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有 A ．24种 B ．135种C ．9种D ．360种11．已知双曲线1916221=-y x C :的左准线为，左、右焦点分别为1F 、2F ．抛物线2C 的准线也是，焦点是2F .若1C 、2C 的一个交点为P ，则2PF 的值等于A ．40B ．32C ．8D ．412．已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意的R x ∈，都有)()()(36f x f x f +=+成立，若函数)(1+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，则=)(2013f A ．0 B ．2013C ．D ．2013-二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数)(log )(122-=x x f 的反函数是．14．与棱长为1的正方体的一条棱平行的截面中，面积最大的截面面积为．15．设),()()()()(*∈≠+++++++=N n x x x x x f n 011112 的展开式中x 项的系数为n T ，则=∞→2nT linn n ．16．关于x 的不等式21≥-+-a x x 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）在△ABC 中，角C B A ，，的对边分别为c b a ,,，且ca bC B +-=2cos cos . （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.18．（本题12分）甲乙两人各有一个放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜. （Ⅰ）求甲取胜的概率；（Ⅱ）若又规定：甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求甲得分的期望.19．（本题12分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为线段AB 上一点，且DB AD 31=.点C 为圆上一点，且AC BC 3=．点在圆所在平面上的射影为点，20．（本题12分）设数列{}n a 满足递推式)2(1331≥-+=-n a a n n n ，其中953=a . （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）是否存在一个实数λ,使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 3λ为等差数列,如果存在,求出λ的值，并求数列{}n a 的前n 项和；如果不存在，试说明理由．21．（本题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 过点),(10，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）若直线与x 轴正半轴、y 轴分别交于点P Q ,，与椭圆分别交于点N M ,，各点均不重合，且满足1λ=，2λ=．当321-=+λλ时，试证明直线过定点．22．(本题12分）已知函数x xp px x f ln )(2--=，x e x g 2=)(.（Ⅰ）若2=p ，求曲线)(x f 在点))(,(11f 处的切线方程；（Ⅱ）若02≥-p p ，且至少存在一点[]e x ,10∈，使得)()(00x g x f >成立，求实数p的取值范围．来宾市2013届高中毕业班总复习教学质量调研理科数学参考答案及评分标准一、选择题： DB D B D C A D A B B A 二、填空题：13. )()(12211+=-x x f 14．2 15. 21 16. 3a ≥或1a ≤-三、解答题: 17．解：（Ⅰ）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.…2分将上式代入已知cos ,cos 2B bC a c=-+得. cos sin ,cos 2sin sin B B C A C=+即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=就是2sin cos sin()0A B B C ++= ……………４分∵A B C π++=，∴sin()sin ,2sin cos sin 0.B C A A B A +=∴+=∵1sin 0,cos ,2A B ≠∴=-∵B 是三角形的内角，所以23B π=. ……………6分（Ⅱ）将24,3b ac B π=+==代入余弦定理得221()22cos ,13162(1), 3.2b ac ac ac B ac ac =+--∴=--∴=……………8分∴1sin 2ABC S ac B ∆==. ……………10分18．解：（Ⅰ）设甲取红、黄、白球的事件分别为,,A B C ．乙取红、黄、白球的事件分别为,,A B C '''，则事件,,A A B B C C '''、、、相互独立，而事件,,A A B B C C '''⋅⋅⋅两两互斥 ………2分由题意知1()()2P A P A '==，1()()3P B P B '==，1()()6P C P C '==. ………4分则甲取胜的概率：()()()()P A A B B C C P A A P B B P C C ''''''⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅1117()()()()()()493618P A P A P B P B P C P C '''=++=++= ……………6分（Ⅱ）设甲得分数为ξ，则ξ的取值为0,1,2,3……8分由题意知111711(1),(2),(3),(0)149361818P P P P ξξξξ========-= (10)分0E ξ=⨯1118+1×14+2×19+3×15369=………12分19．（Ⅰ）证明：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，BC =知，60CAB ∠=，∴ACO∆为等边三角形，从而CD AO ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的射影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ． -----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD =3PD DB ==，过点D 作DE CB ⊥，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．-----------------8分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ， ∴PD CB ⊥，又PD DE D =， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ， ∴CB DF ⊥，又CB PE E =，∴DF ⊥平面PBC，故DPF ∠为所求的线面角--------10分在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE ==55sin sin ==∠=∠PE DE DPE DPF------------------------------------------------------12分20．解：（Ⅰ）由)2(1331≥-+=-n a a n n n 及953=a 知：95133323=-+=a a求得232=a ，同理得51=a ……………3分（Ⅱ）若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 3λ为等差数列，则设nn a 3λ+＝y xn +，即λ-⋅+=n n y xn a 3)(由51=a ，232=a ，953=a 得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+95)3(2723)2(95)(3λλλy x y x y x ，求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=21121y x λ，此时21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ……………6分而21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a 满足递推式，即存在21-=λ，使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 3λ为等差数列；……7分21321+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ，先求n n n a 321⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的前n 项和．记n n n T 3)21(3)213(3)212(3)211(32⋅+++⋅++⋅++⋅+= (8)分３14323)21(3)211(3)213(3)212(3)211(+⋅++⋅+-++⋅++⋅++⋅+=n n n n n T ………9分∴－２=n T n 3333)211(32++++⋅+ －13)21(+⋅+n n＝31)31(323--+n －13)21(+⋅+n n ＝233231!1+++-⋅-n n n n ……………10分 =n T 23nn ⋅数列{}n a 的前n 项和为+=+22nn T n 23n n ⋅＝2n（１＋13+n ） ……………12分(其它方法仿此赋分)21．解：（Ⅰ）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c …………1分由题意知1b =，且222(2)(2)2(2).a b c +=又2222,3,a b c a =+∴= 所以椭圆方程为2213x y +=. …………4分（Ⅱ）由题意设01122(0,),(,0),(,),(,),P m Q x M x y N x y 的方程为(),x t y m =-…………5分由1PM MQλ=知111011111(,)(,),,x y m x x y y m y λλ-=--∴-=-1110, 1.my λλ≠∴=-…6分同理由2PN NQ λ=知221.my λ=- ∵321-=+λλ，∴0)(2121=++y y m y y （1） …………7分联立2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩得22222(3)230t y mt y t m +-+-=， (8)分只需2422244(3)(3)0m t t t m ∆=-+-> （2）且有22212122223,33mt t m y y y y t t -+==++ （3） …………9分把（3）代入（1）得2222320,()1t m m mt mt -+⋅=∴=且满足（2）， …………10分依题意，0<mt ，故1-=mt从而的方程1+=ty x 为，即直线过定点（1，0） …………12分 22．（Ⅰ）当2P =时，函数2()22ln f x x x x=--， 222(1)22210,()2.f lm f x x x'=--==+- ………2分曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1) 2.f '=从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)y x =-，即22y x =-. ……4分（Ⅱ）当[]e x ,1∈时，xex g 2)(=为减函数，故2)(m in =x g …………5分22222().p px x pf x p x x x -+'=+-=令2()2.h x px x p =-+ )1)(1(4442p p p +-=-=∆由2≥-p p 得≤p 或1≥p …………6分① 当0p <时，2()2.h x px x p =-+其图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()0h x <， ()f x 在[]1,e 上是减函数.② 当0p =时，()2h x x =-，因为[]1,x e ∈， 2()0f x x'=-<，此时()f x 在[]1,e 上是减函数，故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上是单调递减max ()(1)02f x f ==<，不合题意. …………8分③ 当1p ≥时，0≤∆ ∴0)(≥x h ，即0)(≥'x f∴()f x 在(0,)+∞上是增函数，即()f x 在[]1,e 上也是增函数11 从而,2)1(ln 2)1()()(m ax --=--==e e p e e e p e f x f …………10分依题意1()22,p e e --> 解得24,1e p e >- 易知，1142>-e e 所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭. …………12分。

广西桂林市、百色市、崇左市2017届高三上学期第一次联合调研考试理数试题 Word版含答案 (1)

数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|y A x ==，集合{}2|20B x x x =->，则()R C A B 等于（）A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．∅2.复数()2141i z i -+=+的虚部为（）A ． -1B ．-3C ．1D ．23. 若抛物线()220y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于（） A ．12 B ．1 C ．32D ． 24.已知向量a b 、满足1,a b a ==与b 的夹角的余弦值为17sin 3π，则()2b a b -等于（）A ． 2B ．-1 C. -6 D ．-18 5.已知()0,x π∈，且2cos 2sin 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．13 B ．13- C. 3 D ．-3 6.如图是一个程序框图，则输出的S 的值是（）A ． 18B ． 20 C. 87 D ．907. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（） A ．1316 B ．2764 C. 2532 D ．27328.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ． 6B ． 9 C. 12 D ．18 9.已知12x π=是函数()()()()3sin 2cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<图象的一条对称轴，将函数()f x 的图象向右平移34π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A ． -2 B ．-1 C. 2- D ．3- 10.已知函数()2,011,1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ． []1,4 C. 1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,0,F c F c P -、是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43 B ．53C. 2 D ．3 12.已知函数()()()xf x ex b b R =-∈.若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（）A ． 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 35,26⎛⎫-⎪⎝⎭D ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 62x ⎛ ⎝的展开式中常数项为．14.如果实数,x y 满足条件21024010x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y z x -=的最大值为．15.设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若()()()22sin 4sin ,sin sin sin a C A ca cb A B C c =+-=，则ABC ∆的面积为．16.已知长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为1AA 的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*63n n S a n N +=+∈. （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()()2311log n n n n b a a a +=-，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又04,,120PA AB AD CD CDA ===∠=，点N 是CD 的中点.（1）求证：平面PMN ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知函数()()1ln ,af x x a xg x x+=-=-，其中a R ∈. （1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是2sin a ρθ=，直线l 的参数方程是3545x t a y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）若2,a M =为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值；（2）若直线l 被圆C截得的弦长为，求a 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（1）求不等式()2f x x <的解集；（2）若()28f x x a+->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBDDA 6-10: CDBBC 11、12：BA二、填空题13. 60 14.43 15. 3216. 16π 三、解答题17.解：（1）∵163n n S a +=+，∴当1n =时，11669S a a ==+，……………………………1分当2n ≥时，()16623nn n n a S S -=-=，……………………………2分（2）由（1）得()()()()2311log 3231n n n n b a a a n n +=-=-+，………………………7分∴()()1211111114473231n n T b b b n n =+++=+++⨯⨯-+…………………………9分111111134473231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭………………………………11分 31nn =+........................12分 18.解：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3 (1)()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===； (3)分应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………………4分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3……………………………5分()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………7分应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或∵23,3B η⎛⎫⎪⎝⎭，∴()2323E η=⨯=）…………8分（2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，……………………9分()23D npq η==……………………………………10分所以()()D D ξη<……………………………………………11分综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大…………………………12分19.（1）证明：在正三角形ABC 中，AB BC =，在ACD ∆中，∵AD CD =，易证ABC CDB ∆≅∆，∴M 为AC 中点，………………………1分∵点N 是CD 的中点，∴//MN AD .∵PA ⊥面ABCD ，∴PA AD ⊥，…………………………………2分 ∵0120CDA ∠=，∴030DAC ∠=，…………………………3分 ∵060BAC ∠=，∴090BAD ∠=，即BA AD ⊥， ∵PAAB A =，∴AD ⊥平面PAB ，………………………………4分∴MN ⊥平面PAB ，又MN ⊂平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面PAB ………………………5分（2）解：分别以直线,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∴()()()4,0,0,2,,,0,0,4B k C D P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 由（1）可知，4,DB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的一个法向量，………………………6分 ()()2,23,4,4,0,4PC PB =-=-，………………………7分设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，……………………………8分令3z =，解得3,x y ==，…………………………………………………9分则平面PBC 的一个法向量为()3,3,3n =，…………………………10分7cos ,7n DB n DB n DB==，…………………………………11分由题知二面角A PC B --为锐二面角，∴二面角A PC B --余弦值为…………………………12分 20.(1)解:∵椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴221914a b+=，①…………………………1分 ∵椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，………………………2分 ∵222a b c =+，∴2234b a =，②…………………………3分由①②得224,3a b ==，……………………………………4分∴椭圆C 的方程为22143x y +=………………………………5分（2）依题意，直线l 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且斜率不为零，故可设其方程为12x my =+…………………7分由方程组2212143x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，并整理得()2243412450m y my ++-=………………………8分设()()()112200,,,,,E x y F x y M x y ， ∴122334my y m +=-+，∴()120232234y y my m +==-+………………………………9分 ∴00212234x my m =+=+，∴020244y mk x m ==-+. ①当0m =时，0k =；②当0m ≠时，144k m m=+，……………………………………………10分∵44448m m m m+=+≥，∴110484m m<≤+. ∴108k <≤，∴1188k -≤≤且0k ≠. 综合①、②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………12分21.解：（1）()1ln ah x x a x x+=+-， ()()()()222211111x x a x ax a a a h x x x x x +-+⎡⎤--++⎣⎦'=--==， (1)分①当10a +>时，即1a >-时，在()0,1a +上()0h x '<，在()1,a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；……………………………3分②当10a +≤，即1a ≤-时，在()0,+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增…………………………………………4分（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，即存在[]01,x e ∈，使得()()()0000h x f x g x =-<，即函数()1ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零……………………………………5分由（1）可知：①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()()0,h x h x '<在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-………………………………7分②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-…………………9分 ③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 的最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 120h a a a a +=+-+>>，不合题意，…………………………………11分综上可得所求a 的范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭………………………………12分 22.解：（1）由24sin ρρθ=得圆C 可化为2240x y y +-=，……………………1分将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得()423y x =--，…………………………2分令0y =，得2x =，即点M 的坐标为()2,0………………………………3分又圆C 的圆心坐标为()0,2，半径2r =，则MC =，………………………………4分所以MN 的最大值为2MC r +=…………………………………5分（2）因为圆()222:C x y a a +-=，直线:4340l x y a +-=，………………………………6分所以圆心C 到直线l 的距离3455a a a d -==，………………………………7分所以=9分解得52a =±……………………………………10分 23.解：（1）由()2f x x <得12x x +<，则212x x x -<+<，………………………………………2分即1212x x x x +<⎧⎨+>-⎩，…………………………………………………3分解得1x >，∴不等式()2f x x <的解集为()1,+∞…………………………………5分（2）∵()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+，……………………7分又()3282f x x a +->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，………………8分 ∴13a +>，解得4a <-或2a >，∴实数a 的取值范围是()(),42,-∞-+∞………………………………10分。

【全国市级联考】广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理科数学试题(解析版)

广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理科数学一、选择题：共12题1. 若集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】，，则.本题选择A选项.2. 下面是关于复数的四个命题：：；：；：的共轭复数为；：的虚部为，其中真命题为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为的虚部为，所以是真命题，则应选答案C。

3. 在矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，应选答案B。

4. 如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是①2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；④2016年同期浙江的总量也是第三位.A. ①②B. ②③④C. ②④D. ①③④【答案】B【解析】总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长，说法②正确；去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江，说法③正确；2016年的GDP量计算为：浙江：，江苏：，河南：，山东：，辽宁：，据此可知，2016年同期浙江的总量也是第三位，说法④正确.本题选择B选项.5. 若函数在区间上的最大值为1，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的解析式结合正弦函数的性质可知：，即：.本题选择C选项.6. 若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,所以本题选择B选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．7. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的A. 15B. 29C. 31D. 63【答案】D【解析】流程图执行过程如下：初始条件：，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时跳出循环，输出B的值为63.本题选择D选项.8. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，为锐角，那么角的比值为A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理：，B为锐角，则：，角的比值为。

2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答：（1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ，．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答：解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ，故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ，知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ，即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

广西名校2017届高三上学期第一次摸底考试理数试题Word版含答案.doc

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345A B =，，，则UA 不可能是（） A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅数212i i-=+（）A ．iB ．i -C ．22i -D ．22i -+等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（） A ．13B ．26C ．52D ．1564.已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48817+B ．32817+C.48D ．80点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（） A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ．21y x =-程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（）A ．4?k >B ．5?k >C.6?k >D ．7?k >知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．43D ．34-知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =，则当()20x ∈-，时，()f x =（） A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x +10.在ABC △中，已知1310tan cos 2A B ==，，若ABC △10 ） A 2B 3 5 D ．2P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（） A ．154B ．152C.15 D ．10颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A ．24种B ．48种 C.64种D ．72种第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒=．知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 .棱柱的底面连长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 .知函数()322sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，．（1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期12月1日12月2日 12月3日 12月4日 12月5日温差x （℃） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗） 2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniii i x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知2122AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，，点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值；（Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE 相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC=；（Ⅱ）DF FE =23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程；（Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2017年高考广西名校第一次摸底考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．D ，解析：由已知得A 可能为{}345，，，故选D ． 2．B ．解析：()1221212i i i i ii-+-==-++．3．B ．解析：由()()1479112324a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是()()1134101313132622a a a a S ++===． 4．C ．解析：由条件得22a b a -=，所以223cos 16cos a b a a b αα=+===⨯⨯，所以1cos 2α=，即3πα=．5．A ．解析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为()24424172248172+⨯⨯+⨯⨯=+，所以几何体的表面积为48817+，故选A ．6．C ．解析：由斜率的存在性可选C ． 7．A ．解析：当5k =时，有57S =．8．D ．解析：由cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得tan 36πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3tan 2tan 364ππαα⎛⎫⎛⎫-=2-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．B ．解析：由已知有函数()f x 是周期为2，当()01x ∈，时，有()223x +∈，，故()()22f x f x x =+=+，同理，当[]21x ∈--，时，有()()44f x f x x =+=+，又知()f x 是偶函数，故()10x ∈-，时，有()01x -∈，，故()()2f x f x x =-=-，即()20x ∈-，时，有()31f x x =-+，故选B ． 10．A ．解析：由1tan 02A =>，得cos sin 55A A =，cos 010B >，得sin 10B = cos cos()cos cos sin sin 02C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有10c =b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得2b =． 11．B ．解析：设()5cos 3sin P αα，，由()142OQ OP OF OQ =+=，，得2245cos 3cos 1622αα+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即216cos 40cos 390αα+-=，解得3cos 4α=或13cos 4α=-（舍去），即点P 的横坐标为154，故点P 到抛物线215y x =的距离为152． 12．D ．解析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S 、A 、B 的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC 、BD 同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种．二、填空题 13.32-，解析：()()3sin15cos15sin15cos15cos 302︒+︒︒-︒=-︒=-．14．35+．解析：如图作出可行域，有圆心()11，到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为35+．15．283π73，故它的外接球的表面积为283π． 16．3．解析：()32sin 232cos 22sin 226f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，故1sin 2162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，即函数()f x 的值域为[]12-，，故答案为3．三、解答题17.【解析】（1）由已知有()()1121121222n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++-=-=--=-=，又12112b a a =-=-， ∴{}n b 是首项为12-，公比为12-的等比数列，即1112nn n b b q -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………………6分（2）由已知有21log 2nn n n c b b n ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，即()123111111123122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………①于是()23411111111231222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………②-①②得1231311111222222nn n S n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---------+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∴21212119232n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．…………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以()431105P A =-=，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是35．…………………………4分（Ⅱ）由数据，求得()()111113121225202627397233x y x y =++==++==，，． 31112513*********i i i x y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x ==++=∑，23432x =，由公式求得3132219779725343443223i i i i i x yb a y bx x x==-====-=---∑∑，．19.（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于12AB ，于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形，即CM DN ∥，又DN ⊆平面PAD ，故CM ∥平面PAD ．………………………………………………6分（Ⅱ）依题意知：222PA AB PD +=，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，即PA ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间坐标系O xyz -，()()()()210011200002C M D P ，，，，，，，，，，，，于是有()201CM =-，，，()010DC =，，，()202DP =-，，，设平面PDC 的法向量为()n a b c =，，，由0n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有0220b a c =⎧⎨-+=⎩，得()101n =，，，所以10cos 10n CM n CM n CM<≥=-，，故直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值为1010．小题满分12分解（Ⅰ）由抛物线()220y px p =>过点()12P ，，得2P =，设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PA PB k k =-，即12122211y y x x --=--，将22112244y x y x ==，，代入得124y y +=-．…………………………………………5分（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由22112244y x y x ==，，得()211221124AB y y k x x x x y y -==≠-+，由（Ⅰ）得124y y +=-，将其代入上式得1241AB k y y ==-+．因此，设直线AB 的方程为y x b =-+，由24y xy x b⎧=⎨=-+⎩，消去y 得()22240x b x b -++=，由()222440b b ∆=+-≥，得1b ≥-，这时，2121224x x b x x b +=+=，，AB ==P 到直线AB的距离为d =所以311412222ABP b S AB d b -==+=△ 令()()()[]()21313f x x x x =+-∈-，，则由()2'3103f x xx =-+，令()'0f x =，得13x =或3x =．当113x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()'0f x >，所以()f x 单调递增，当133x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，故()fx 的最大值为1256327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ABP △面积ABP S △=…………………………………………12分（附：()()()()()3322133821333b b b b b ++-+-⎡⎤⎛⎫+-≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当13b =时取等号，此求解方法亦得分）21.解：（Ⅰ）()2121'20x ax f x x a x x+-=+-=≤在[]12，上恒成立，令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-．…………………………………………………………4分（Ⅱ）由()ln g x ax x =-，(0]x e ∈，，得()11'ax g x a x x-=-=， ①当0a ≤时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）， ②当10e a <<时，()g x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1(]e a ，上单调递增，∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，2a e =，满足条件．③当1e a ≥时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 413g x g e ae a e==-==，（舍去），综上，有2a e =．…………………………………………………………8分（Ⅲ）令()2ln F x e x x =-，由（Ⅱ）知，()min 3F x =，令()()2ln 51ln '2x x x x x x ϕϕ-=+=，，当0x e <≤时，()()'0x h x ϕ≥，在(0]e ，上单调递增，∴()()max 15153222x e e ϕϕ==+<+=， ∴2ln 5ln 2x e x x x ->+，即()2251ln 2e x x x x ->+．……………………………………12分小题满分10分．选修4-1：几何证明选讲：解（Ⅰ）∵DF BC ∥，∴ADC ABG △∽△，即DF AF BG AG =，同理AF FE AG GC =，于是DF FE BG GC=．…………………………………………5分（Ⅱ）∵DF BC ∥，∴DFO CGO △∽△，即DF FO GC GO =，同理FE FO BG GO=，所以DF FE DF GC GC BG FE BG=⇒=，又由（Ⅰ）有DF FE GC FE BG GC BG DF =⇒=，所以DF FE FE DF=，即DF FE =．…………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．解：（Ⅰ）曲线M 的普通方程为()2224x y +-=，由sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有sin cos cos sin 833ππρθρθ+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， ∴曲线N 3160x y +-=．……………………………………5分（Ⅱ）圆M 的圆心()02M ，，半径2r =．点M 到直线N 的距离为216731d -==+，故AB 的最小值为725d r -=-=．………………………………………………………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．解：（Ⅰ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =．…………5分（Ⅱ）当1a =时，()1f x x =-，设()()()5g x f x f x =++，于是，()23414541231x x g x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，故当4x <-时，()5g x >，当41x -≤≤时，()5g x =，当1x >时，()5g x >，所以实数m 的取值范围为5m ≤．…………………………………………10分。

广西来宾实验高中2017届高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年广西来宾实验高中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分共60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}2．复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）5．设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．已知=（4，8），=（x，4），且，则x的值是（）A．2 B．﹣8 C．﹣2 D．87．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度8．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2 B．C．2或4D．或29．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．5510．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）cm3．A．3B．18 C．2+18 D．11．若二项式（x﹣）n的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（）A．﹣20 B．﹣30 C．15 D．2012．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．求函数f（x）=的定义域．14．已知函f（x）=，则f（f（））=．15．若变量x，y满足约束条件则2x+y的最大值是．16．若双曲线的一个焦点是（3，0），则实数k=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．（1）求角B的度数．（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均数．19．在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求直线AA1与平面A1DE所成角的余弦值．20．已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．请学生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：=0．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．2016-2017学年广西来宾实验高中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分共60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数==i，故选：A．3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A4．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数为y′，再解y'＜0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，令y′=1﹣＜0，得x＜1∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）故选：A．5．设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】根据换底公式变为同底的对数再比较大小．【解答】解：log46==；log89==∵3＞＞∴故选A6．已知=（4，8），=（x，4），且，则x的值是（）A．2 B．﹣8 C．﹣2 D．8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量共线的充要条件求解即可．【解答】解：=（4，8），=（x，4），且，可得：8x=16，解得x=2．故选：A．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．8．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2B．C．2或4D．或2【考点】向量在几何中的应用．【分析】先根据正弦定理求出角C，从而求出角A，再根据三角形的面积公式S=bcsinA 进行求解即可．【解答】解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30°，根据正弦定理=得：sinC===，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=60°或120°，∴∠A=90°或30°在△ABC中，由c=2，b=2，∠A=90°或30°则△ABC面积S=bcsinA=2或．故选D．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．55【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．10．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）cm3．A．3B．18 C．2+18 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个底面边长为2，高为3的正三棱柱，根据所给的数据作出底面积，乘以侧棱长，得到体积．【解答】解：该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为cm．则底面边长为2，三棱柱的体积是V=2×=3（cm3）．故选：A．11．若二项式（x﹣）n的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（）A．﹣20 B．﹣30 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式的二项式系数和求出n的值，再利用展开式的通项公式求常数项即可．【解答】解：二项式（x﹣）n的展开式中二项式系数和为2n=64，解得n=6；=•x6﹣r•=•（﹣1）r•x6﹣2r，∴展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，解得r=3；∴二项式（x﹣）6展开式中的常数项为•（﹣1）3=﹣20．故选：A．12．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球中至少有1个白球的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C102=45所取出的2个球至少有1个白球，所有的取法有C81•C21+C82•C20=16+28=44由古典概型概率公式知P=故答案为．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．求函数f（x）=的定义域．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解①得：x或x≥1；解②得：﹣1＜x＜3．取交集可得：1≤x＜3．∴函数f（x）=的定义域为[1，3）．14．已知函f（x）=，则f（f（））=．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．15．若变量x，y满足约束条件则2x+y的最大值是7．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故2x+y的最大值是7，故答案为：7．16．若双曲线的一个焦点是（3，0），则实数k=8．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（3，0），∴1+k=32，解得k=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．（1）求角B的度数．（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由△ABC的三角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．（2）由三边a，b，c成等比数列．可得b2=ac，利用余弦定理可得：cos60°=，可得a=c．再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．（2）∵三边a，b，c成等比数列．∴b2=ac，由余弦定理可得：cos60°=，∴=，化为a=c．∴△ABC是等边三角形．∴△ABC的面积S==×b2，解得b=2．（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；【解答】解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.519．在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求直线AA1与平面A1DE所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A1D中点M，连接FM，推导出平行四边形CFME，由此能证明CF∥平面A1DE．（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为轴建系，利用向量法能求出直线AA1与平面A1DE所成角的余弦值．【解答】解：（1）取A1D中点M，连接FM，∵F为DD1中点，∴FM∥A1D1且FM=A1D1，…又∵CE∥A1D1且，∴FM∥CE且FM=CE，∴平行四边形CFME，∴CF∥ME，又∵EM⊆面A1DE，∴CF∥平面A1DE．…（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为轴建系，则A（1，0，0），A1（1，0，1），E（，1，0），…∴=（0，0，1），面A1DE的法向量可取，…∴cos＜＞==，…∴cos=．∴直线AA1与平面A1DE所成角的余弦值为．…20．已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为y=a （x﹣2）2﹣1，结合f（1）+f（4）=3可得f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，则函数图象的对称轴x=≥4或≤1，解得实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，（a＞0），∵f（1）+f（4）=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=3，解得：a=1，故y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；（2）∵g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k+4）x+3在区间（1，4）上无最小值，故对称轴x=≥4或≤1，解得：x≥4或x≤﹣2，即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．请学生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：=0．【考点】直线的参数方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程用代入法消去t得普通方程，曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2﹣4x﹣4=0，求出x1•x2和y1y2的值，代入=x1x2+y1y2进行运算．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为y=2x+2．由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为x2=2y．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2﹣4x﹣4=0，∴x1+x2=4，x1•x2=﹣4，∴y1y2=，∴=x1x2+y1y2=0．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【分析】（1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．（2）的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）或或不等式的解集为（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞﹣2．2017年1月5日。

广西2017届高三数学上学期诊断试卷文有解析

广西2017届高三数学上学期诊断试卷（文有解析）2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合的真子集的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知可得其真子集可为，故选D,2.复数的实部与虚部分别为（）A.，B.，C.,D.,【答案】A【解析】实部和虚部分别为，故选A.3.设为钝角，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可得，故选B.4.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，故选A.5.设向量若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知可得，故选C.6.设，满足约束条件则的最大值为（）A.B.C.D.0【答案】A【解析】如图，故选A.【点睛】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤:（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数变形为;（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标;（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.7.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（）A.B.的图象关于对称C.D.的图象关于对称【答案】B【解析】由已知可得，故选B.8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（）A.94B.99C.45D.203【答案】A【解析】,故选A.【点睛】本题主要考查程序框和数列的前项和，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系. 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为，故选B.【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.10.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知可得原函数的定义域为，由于是减函数，故原函数的增区间就是函数的减区间，故选D.11.直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线的对称性可得，故选D.12.已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知可得在上是减函数，故原命题等价于，即【点睛】本题关键步骤有：1.利用奇函数的性质可得在上是减函数；2.将原命题等价转化为在上恒成立；3.利用导数工具求得，从而求得正解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．【答案】【解析】由已知可得所求的概率为.14.长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】该球的半径表面积.15.已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为__________．【答案】4【解析】由上图可得交点个数为4.【答案】21【解析】设的对应边边长分别里，里，里故正确答案为.【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列的前项和．【答案】（1）230（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由题可知数列是符合等差数列的定义，再由等差数列的通项公式求得（），再求得其前项和；（2）化简，利用错位相减法求得．试题解析：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴（）．∴此看台的座位数为．（2）∵，∴．18.已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x1234利润y（单位：百万元）4466相关公式：，．【答案】（1）5月和6月的平均利润最高（2）详见解析（3）940万元．【解析】试题分析：(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可。

广西玉林、贵港市2017届高三下学期质量检测考试数学(理)试题 Word版含答案

2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则MN =（）A ．{|14}x x ≤≤B ．{|1}x x ≥C ．{|14}x x -≤≤D ．{|1}x x -≥ 2.若复数z 满足||2015z z i =-，则z 的虚部为（） A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -3.向量a ，b 均为非零向量，(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．3π2 D ．56π 4.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A ．组距越大，频率分布折线图越接近于它B ．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在()a b ，内取值的百分比 D ．阴影部分的平均高度代表总体在()a b ，内取值的百分比 5.若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+的值为（）A ．103 B ．53 C.23D ．2- 6.若偶函数()f x 在(0]-∞，上单调递减，2(log 3)a f =，4(log 5)b f =，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．c a b << C.b a c << D ．c b a <<7.计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）A ．4i >B ．4i ≤ C.5i > D ．5i ≤8.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为（） A ．6π B ．3π C ．3π2 D ．56π 9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A ．2B ．4 C.4-．6-10.用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A B 11.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）AB ．15D ．1412.已知数列{}n a中n a =*n N ∈），将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成数列{}n b ，则2018b 的值为（）A ．5035B ．5039 C.5043 D ．5047第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13.为了得到函数2y x =的图象，可以将函数sin 2cos2y x x =+的图象至少向左平移个单位．14.已知实数x ，y 满足条件30302x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥，则y x 的取值范围是．15.已知函数()(0)2x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则||PQ 的最小值为．16.已知点(10)A m -，，(10)B m +，，若圆C ：2288310x y x y +--+=上存在一点P 使得0PA PB =，则m 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2n n n nb a =-，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 18. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败成绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP （最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.注：（1）表中/a b 表示出手b 次命中a 次；（2）%TS （真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： %2(0.44)TS =+⨯全得分投出手次球出手次场篮数罚数（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中%TS 超过50%的概率；（2）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%的概率；（3）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由.19. 如图，在三棱台111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11122AB A B CC ==，M ，N 分别为AC ，BC 的中点.（1）求证：1AB ∥平面1C MN ；（2）若AB BC ⊥且AB BC =，求二面角1C MC N --的大小.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>，直线l ：2y x =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若ORS △是钝角三角形，求直线m 的斜率k 的取值范围. 21. 已知函数1()ln h x x x=+（1）函数()(2)g x h x m =+，若1x =是()g x 的极值点，求m 的值并讨论()g x 的单调性；（2）函数21()()2x h x ax x xϕ=-+-有两个不同的极值点，其极小值为为M ，试比较2M 与3-的大小关系，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的参数方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2cos 4sin ρθρθ+=最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知()|2||1|2|2|f x x x x =-++++. （1）求证：()5f x ≥；（2）若对任意实数x ，229152()1f x a a <<++都成立，求实数a 的取值范围.2017年3月玉林市、贵港市高中毕业班质量评价检测数学（理科）参考答案一、选择题1-5:AABCA 6-10:CBBDC 11、12：AC二、填空题13.8π14.[02]，6 三、解答题17.解析：（1）由11a =，13n n n a a a +=+（*n N ∈）知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又111322a +=，∴112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列， ∴111333222n n n a -+=⨯=，∴231n n a =- （2）12n n n b -=，0122111111123(1)22222nn n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-，∴1242n n n T -+=-18【解析】（1）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在该场比赛中%TS 超过50%的概率.（2）由已知，结合古典概型计算公式可得：易建联在两场比赛中%TS 超过60%的概率.（3）根据散点图，并不是分布在某一条直线的周围，可得结论.（1）设易建联在比赛中%TS 超过50%为事件A ，则共有8场比赛中%TS 超过50%，故8()9P A =（2）设“易建联在这两场比赛中%TS 至少有一场超过60%”为事件B ，则从上述9场比赛中随机选择两场共有2936C =个基本事件，而从中任意选择两场中，两场%TS 都不超过60%的有2510C =个基本事件，那么两场至少有一场超过60%的基本事件为(3610)-个基本事件. ∴361013()3618P B -== （3）不具有线性相关关系.因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛. 19.解析：（1）证明：连接1B N ，1B C ，设1B C 与1NC 交于点G ，连MG ，在三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，则112BC B C =，则N 是BC 的中点，11B C BC ∥，则11B C NC ∥，11B C NC =所以四边形11B C CN 是平行四边形，G 是1B C 的中点，在1AB C △中，M 是AC 的中点，则1MG AB ∥，又1AB ⊄平面1C MN ，MG ⊂平面1C MN ，所以1AB ∥平面1C MN .（2）解：由1CC ⊥平面ABC ，可得1A M ⊥平面ABC ，而A B B C⊥，AB BC =，则M B A C⊥，所以MA ，MB ，1MA 两两垂直，故以点M 为坐标原点，MA ，MB ，1MA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设2AB=，则1111AB C C==，AC=，(00)B，(00)C，，1(01)C，，(0)N.则平面11ACC A的依法法向量为1(010)n =，，，设平面1C MN的法向量为2222()n x y z=，，，则221n MNn MC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，即2222x yz⎧=⎪⎨⎪+=⎩，，取21x=，则21y=，2z=2(11n =，，121cos2n n==，，易得二面角1C MC N--为锐角，所以二面角1C MC N--的大小为60︒20.【解析】（1）由e=，得222213bea=-=由直线l：20x y-+=与圆222x y b+=||b=所以b=，a=所以椭圆的方程是22132x y+=.（2）由（1），得圆O的方程是222x y+=，(0)A，直线m的方程是(y k x=+设11()R x y，，22()S x y，，由222(x yy k x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2222(1)320k xx k+++-=则12x x+=2122321kx xk-=+，由2222)4(1)(32)k k∆=-+->，得k <.①因为ORS△是钝角三角形，所以0OROS⋅<，即22222121212121212242((1)()301kOR OS x x y y x x k x x k x x x x kk-⋅=+=+=+++=<+所以k<<②由R，S与x轴不共线，知0k≠.③由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是k<<0k≠21.解：（1）1()ln(2)2g x x mx m=+++（2mx>-），22222(21)()2(2)(2)x m g x x m x m x m +-'=-=+++ 因为1x =是()g x 的极值点，所以(1)0g '=，得210m +-=，1m =- 此时1()ln(21)21g x x x =-+-（12x >），24(1)()(21)x g x x -'=-，当112x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 所以()g x 在1(1]2，单调递减，在[1)+∞，单调递增（2）2()2ln x ax x x ϕ=-+（0x >），21221()22ax x x ax x xϕ-+'=-+=（0x >）因为()x ϕ有两个不同的极值点，所以22210ax x -+=在(0)+∞，有两个不同的实根，设此两根为1x ，2x ，且12x x <，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即48010102a aa⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解得102a <<()x ϕ'与()x ϕ随x 的变化情况如下表：由表可知22222()()2ln x M x ax x x ϕϕ===-+极小值因为2222210ax x -+=，所以22212a x =-代入上式得 221ln 2M x x =--+，所以222122ln M x x =--+因为2x =，且102a <<，所以21x > 令()122ln m x x x =--+，则22(1)()2x m x x x-'=-+=，当1x ≥时，()m x '⊕≤，即()m x 在[1)+∞，单调递减，所以当21x >时，有2()(1)122ln13m x m <=--+=-，即23M <-22.解析：（1）点P的直角坐标为⎝⎭；由2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos sin ρθθ=①，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭（2）直线l：2cos 4sin ρθρθ+=的直角坐标方程为240x y += 设点Q的直角坐标为cos sin θθ⎫++⎪⎪⎝⎭，则cos sin 22M θθ⎫⎪⎭ 那么M 到直线l 的距离d ===，∴d =sin()1θϕ+=-时取等号），所以M 到直线l：2cos 4sin ρθρθ+=23.解析：（Ⅰ）∵432521()2712432x x x f x x x x x ---⎧⎪-<-⎪=⎨+-<⎪⎪+>⎩，，，，≤≤≤，∴()f x 的最小值为5，∴()5f x ≥（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：152()f x -的最大值等于5.∵222299(1)11511a a a a +=++-=++≥，“=”成立229(1)1a a ⇔+=+即a =a =2291a a ++取得最小值5，当a ≠时，22951a a +>+，又∵对任意实数x ，229152()1f x a a -<++都成立，∴a ≠. ∴a的取值范围为a ≠.。

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数学试题（理）
注意：
1．试卷满分150分，考试时间120分钟，答题一律在答卷上作答，答在本卷上无效。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。

3．参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k n k k n n P P C k P --=)1()( （k=0，1，2，…，n ）
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 343
V R π= 其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个答案中只有一个
正确，请将正确答案代号填在答卷相应题号下的空格中） 1．已知集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A B C === 则= （）
A ．{1，2，3}
B ．{1，2，4}
C ．{2，3，4}
D ．{1，2，3，4}
2．已知复数211i z i
=+-，则22011
1z z z ++++ =（）
A ．i
B ．-i
C ．0
D ．1-i
3．在等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项的和，已知
24351,3a S
a S =则等于（） A ．
815
B ．
40121
C ．
16
25
D ．
57
4．若函数sin 2y x =的图像经过适当的变换可以得到cos 2y x =的图象，则这种变换可以是（） A ．沿x 轴向左平移2π
个单位 B ．沿x 轴向右平移
2π
个单位 C ．沿x 轴向右平移4
π
个单位
D ．沿x 轴向左平移4
π
个单位
5．函数3
1
3(10)x y x -=-≤<的反函数是
（）
A
．1)3
y x =≥ B
．1)3
y x =≥
C ．1(1)3y x =<≤
D
．11)3
y x =<≤
6．2010年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是（） A ．24 B ．30 C ．36 D ．48 7．三个数0.760.76,0.7,log 6的大小顺序是（）
A ．60.70.7log 60.76<<
B ．60.70.70.76log 6<<
C ．0.760.7log 660.7<<
D ．60.70.70.7log 66<<
8．过点P （4，4）且与双曲线
22
1169
x y -=只有一个交点的直线有（） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9．已知点M 在曲线22430x y x +++=上，点N 在不等式组2034430x x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
所表示的平面区
域上，那么|MN|的最小值是（）
A ．1
B
．
3 C
．
13
- D ．2
10．定义在R 上的函数()f x 在区间(,2)-∞上是增函数，且(2)f x +的图象关于x=0对称，则（）
A ．(1)(3)f f -<
B ．(0)(3)f f >
C ．(1)(3)f f -=
D ．(0)(3)f f =
11．已知22
0,1,a b b a ab a b
+<<=-且则取得最小值时，a+b 等于
（）
A
．B
．C
．D
．12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面
A 1BE ，则
B 1F 与平面CDD 1
C 1所成角的正切值构成的集合是（） A ．{2}
B
．
C
．{|2t t ≤≤
D
．{|2}t t ≤≤
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答卷的相应位置上）
13．10
()m x x
-
的展开式中，常数项为252，则m= 。

14．已知2
1
cos sin ),,0(=+∈ααπα且，则α2cos 的值为。

15．已知球O 面上的四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，,AB BC DA AB BC ⊥==，
则球O 的体积等于。

16．设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A 、B 为该抛物线上两点，若20FA FB +=
，则
||2||FA FB +
= 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请
将答案写在答卷的相应位置上。

） 17．（10分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且tan 21.tan A c
B b
+= （1）求角A ；
（2）若2(0,1),(cos ,2cos
)2
C m n B =-= ，试求||m n + 的最小值。

18．（12分）
如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。

（1）求证：AB ⊥平面PCB ；
（2）求二面角C —PA —B 的大小的余弦值。

19．（12分）
一袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，若从这只袋中每次取出1个球，取出后放回，连续取三次，设取出的球中数字最大的数为.ξ （1）求3ξ=时的概率；
（2）求ξ的概率分布列及数学期望。

20．（12分）
已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值。

（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程5
()2
f x x b =-+在区间（0，2）上有两上不等的实根，求实数b 的取值范
围。

21．（12分）
在直角坐标系xoy 中，椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为F 1、F 2，
点F 2也是抛物线22:4C y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25
||.3
MF = （1）求C 1的方程；
（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+
,直线l 平行于MN ，且与C 1交于A ，B 两点，
若0OA OB ⋅=
，求直线l 的方程。

22．（12分）
已知点*
1112
(,)(),14n
n n n n n n n n
b P a b n N a a b b a +++∈==-满足，且点P 1的坐标为（-1，1），设经过点P 1、P 2的直线为.l （1）求直线l 的方程；
（2）已知点*
(,)()n n n P a b n N ∈在直线l 上，求证：数列1
{
}n
a 是等差数列；（3）在满足（II ）条件下，求对于所有*
n N ∈，能使不等式
12(1)(1)(1)n a a a +++≥ k 的值。