2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质同步练习 沪科版
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计2
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
教材通过引入生活中的实例，引导学生发现相似三角形的性质，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
本节内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于图形的变换也有了一定的了解。
但是，学生对于抽象的数学概念的理解仍然有所欠缺，需要通过具体的实例来帮助理解。
同时，学生的逻辑思维能力有所差异，需要通过适量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、动手能力以及逻辑思维能力。
3.提高学生运用数学解决生活问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实例引入相似三角形的性质，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.小组合作：学生在小组内讨论相似三角形的性质，培养学生的合作意识。
3.练习巩固：通过大量的练习让学生熟练掌握相似三角形的性质。
4.拓展应用：引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例以及练习题目。
2.练习题：准备相关的练习题目，以便让学生在课堂上进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一个生活中的实例，如古建筑的设计，引导学生发现古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似。
让学生思考：为什么古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似？从而引入相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）引导学生观察相似三角形的性质，并通过PPT展示相关的性质。
让学生自己总结出相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等。
3.操练（10分钟）让学生在小组内进行讨论，通过实际的例子来运用相似三角形的性质。
九年级数学上册3.4.2相似三角形的性质第2课时与相似三角形的面积有关的性质教学课件(新版)湘教版
对应角平分线_相__等_ 对应角平分线的比等于_相__似__比__
周长_相__等__
周长的比_____?___________
面积__相__等__
面积的比_____?___________
第十页，共14页。
跟踪练习
1.连结三角形两边中点的线段(xiànduàn)把 三角形截成的一个小三角形与原三角形的周
求：BC，AC，A′B′，A′C′.
A'
A
BB'源自CC'第六页，共14页。
解：∵ △ ABC ∽△A' B'C'，
且它们的周长(zhōu chánɡ)分别为
60cm和72cm， ∴它们(tā men)的相似比为60：
72又=5∵：A6B. =15cm， B'C'=24cm
∴A′B′=18，BC=20.
第三页，共14页。
解：因为
AABB
BC BC
CCAAk，
所以 ABkAB , BCkBC , CAkCA .
从而
△ABC的周长 △ABC 的周长
AB BC C A ABBC CA
k(AABBBBCCCCAA)
k . 因 所为 以△△由AA例BB4CC可的知的面面AA积积DD12kB12，BCC ··AADD
长1比:4等于______,面积比1:等2 于_______.
2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和
18cm，若较大三角形的周长(zhōu chánɡ)是42cm
，面cm积2是12 ，则较小三角形的1周2 长(zhōu
c4h/á3nɡ)c_m__2_cm，面积为____
.
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跟踪练习
2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质
22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形的性质知|识|目|标1．通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理1，2，会用定理1，2进行计算；2．通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理1，2，探索发现相似三角形的性质定理3，会用定理3进行计算．目标一 会根据相似三角形的定理1，2计算 例1 ［教材补充例题］已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题：(1)根据对应边比例等于相似比，由AB A ′B ′＝12可知△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为________；由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知CD C ′D ′＝ABA ′B ′＝________，由CD ＝4 cm ，得C ′D ′＝________ cm.(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知C △ABCC △A ′B ′C ′＝ABA ′B ′＝________，由C △ABC ＝20 cm ，得C △A ′B ′C ′＝________ cm.例2 ［教材例1变式］如图22－3－1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BC ＝12，点P 在AB 上，且PQ ∥AD 交BC 于点Q ，PM ∥BC 交AC 于点M ，若PM ＝2PQ ，求PM 的长．图22－3－1【归纳总结】根据题意，利用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解．目标二 会根据相似三角形的定理3计算例3 [教材例2变式] 如图22－3－2，在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶2，BC ＝2 6，试求DE 的长．图22－3－2例4 [教材补充例题] 如图22－3－3，将△ABC 沿BC 方向平移得到△A′B′C′.△ABC 与△A′B′C′重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的13.已知BC ＝ 3 cm ，求△ABC平移的距离．图22－3－3【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形性质定理1：相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比．相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量．[点拨] 利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段． 知识点二 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于________．相似三角形周长的比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比(对应边的比)．[点拨] (1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的．(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算． (3)周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致． 知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于______________． 反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方．数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22－3－4，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分(Ⅰ和Ⅱ)面积相等，则ADAB的值是多少？小明同学马上举手回答：Ⅰ和Ⅱ面积相等，它们的面积都是△ABC 的一半，所以AD AB 的值是12.小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案．图22－3－4教师详解详析【目标突破】例1 (1)1∶2 12 8 (2)1240例2 解：设PQ ＝x ，则PM ＝2x ，设AD 交PM 于点H.∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ， ∴PM BC ＝AH AD ，即2x 12＝12－x 12，解得x ＝4. ∴PM ＝2x ＝8.例3 [解析] 先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2，求出DE 的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2.又∵S △ADES 四边形BCED ＝12，可设S △ADE ＝k ，则S 四边形BCED ＝2k ，∴S △ABC ＝3k ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝k 3k ＝13，∴DE 2＝13BC 2＝13×24＝8，∴DE ＝2 2.例4 解：如图，设AC 与A′B′相交于点D.根据平移的性质，知AB∥A ′B ′，∴△DB ′C ∽△ABC.∵重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的13，∴(B′C BC )2＝13.∵BC＝ 3 cm ，∴(B′C 3)2＝13，解得B′C＝1 cm .∴BB ′＝BC －B′C＝(3－1) cm .即△ABC 平移的距离为(3－1) cm . 【总结反思】[小结] 知识点一对应高的比对应中线的比对应角平分线的比知识点二相似比知识点三相似比的平方[反思] 小明同学的答案不正确．理由如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等，∴S△ADES△ABC＝12＝(ADAB)2，∴ADAB＝22.。
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和判定方法的基础上进行授课的。
本节课的主要内容有：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
这些性质是解决一些几何问题的重要工具，也是初中数学中的重要知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的概念和判定方法已经有了一定的了解。
但是，对于相似三角形的性质的理解和应用还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些几何问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
2.教学难点：相似三角形的性质的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质。
2.运用多媒体辅助教学，展示相似三角形的性质的证明过程，帮助学生直观地理解相似三角形的性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相似三角形的性质的PPT课件。
3.相似三角形的性质的习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件展示相似三角形的性质，让学生直观地感受相似三角形的性质。
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22.3节的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过实例引入相似三角形的性质，引导学生探究并证明这些性质，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、相似三角形的定义和性质等知识，具备了一定的数学基础。
但学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会出现理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生能够灵活运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例引入相似三角形的性质，让学生感受数学与生活的联系。
2.探究学习：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探究相似三角形的性质，培养学生的合作意识和团队精神。
3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.启发引导：教师在教学过程中，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示生活中的实例和练习题。
2.准备相关的学习材料和辅导书，为学生提供更多的学习资源。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例等，引导学生思考相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示相似三角形的性质，让学生初步了解并感知这些性质。
同时，引导学生进行思考和讨论，培养学生的逻辑思维能力。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用相似三角形的性质进行解答。
沪科九年级数学上册第22章3 相似三角形的性质
类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质
全等三角形
相似三角形
C
C'
C
C'
图形 A
B A'
B'
整体：形状相同，大小相同，完全重合
AB
A'
B'
整体：形状相同，大小不一定不同，不 一定能重合
性质 角：对应角相等 线段：对应边相等 对应边上的高线、中线相等 对应角的角平分线相等
角： 对应角相等
线段：对应边成比例，都等于相似比 对应边上的高线之比等于相似比吗？ 对应边上的中线之比等于相似比吗？ 对应角的角平分线之比等于相似比吗？
求这两个三角形的周长比和面积比.
解：∵ 两个三角形相似，且一对对应边分别为32 cm，12 cm ， ∴两个三角形的相似比为32∶12= 8∶3. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比是8∶3. ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴两个三角形的面积比是64∶9.
典型例题
60 cm
D
C
2
2
2
AB AC BC 2
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2，
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
相似三角形的性质定理1：
相
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的
似
比都等于相似比.
三
角
形
的
性
质
用相似三角形的性质定理1解决问题：
定
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
42 x 8
解这个方程，得x=18，42–x=24. 答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
沪科版数学九年级上册22.3相似三角形的性质课件共13张PPT
面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 相似比为_______，周长比为_______。
2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原来 的100倍，则面积扩大为原来的_______倍，周长 扩大为______倍。
3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 则边长为原来的_____倍，周长为原来的______倍。
相
对应高的比
似
三
对应角平分线的比
都等于相似比
角
形
对应中线的比
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则
AD:A’D’=AAB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′,
∴∠B=∠B’
又因为AD、 A′D′ 分别是
△ABC和△A′B′C′的高
AB BC CA AB BC CA k AB BC CA
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A A’
B
D
C
B’
D’ C’
△ABC～△A’B’C’，相似比为K
S 1/2 ·BC ·AD =
BC · AD =
= K2
S’ 1/2 ·B’C’ · A’D’ B’C’ · A’D’
K
K
例 已知： △ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别 为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B′C′= 24cm .求：BC、AC、 A′B′、 A′C′.
B
D
C ∴∠ADB=∠A’D’B’=90° 在△ABD和△A′B′D′中
A′
∠B=∠B’
∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,
武隆县六中九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 第1课时 相似三角形性质定理1及其应用同步练习
22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形性质定理1及其应用1.如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ．（1）求证：;AM HG AD BC=（2）求这个矩形EFGH 的周长．2. 如图，已知△ABC 的面积是12，BC =6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，……KHIJ ，则每个小正方形的边长为（ ）A.1211 B. 1223n - C. 125 D. 1223n +3.如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD = 260cm ， AB =130cm ，球目前在E 点位置，AE =60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长． ABC J K N GD EF M H I …… B E D F H M GCA实际问题中二次函数的最值问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心. 自学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.自学难点二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x=______时，y有最 ______ 值，其值为_________；②当-1≤x≤4时，y最小值为_______，y最大值为_____ .答案:①1，小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1 最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 _____ m，x的取值范围是_______ .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x，0<x<833.Smax=83m2.例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x，那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三点分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大第1题图第2题图2.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料，①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A2.35 cm，435cm23.解：①45+26024010-×7.5=60（吨）.②y=(x-100)(45+26010x-×7.5).化简，得y=-34x2+315x-24 000.③y=-34x2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对.理由:当月利润最大时，x为210元，每月销售额W=x(45+26010x×7.5=-34 (x-160)2+19200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.，销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值.24．3 正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节的内容．重点讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 难点通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF ，连接AD ，CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么B ，C ，D ，E ，F 肯定都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝AF ︵，又∴∠A＝12BCF ︵的度数＝12(BC ︵＋CD ︵＋DE ︵＋EF ︵)的度数＝2BC ︵的度数，∠B ＝12CDA ︵的度数＝12(CD ︵＋DE ︵＋EF ︵＋FA ︵)的度数＝2CD ︵的度数， ∴∠A ＝∠B，同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A， 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例 1 已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM⊥AB 垂足为M ，在Rt △AOM 中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA ＝a ，AM ＝12AB ＝12a 利用勾股定理，可得边心距OM ＝a 2－(12a)2＝123a ∴所求正六边形的面积＝6×12×AB×OM＝6×12×a×32a ＝323a 2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2 利用你手中的工具画一个边长为3 cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB＝360°5＝72°， 如图，∠AOM ＝36°，OA ＝12AB÷sin 36°＝1.5÷sin 36°≈2.55(cm )画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．三、巩固练习教材第108页习题1，2，3四、课堂小结(学生小结，老师点评)本节课应掌握：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．3．画正多边形的方法．4．运用以上的知识解决实际问题．五、作业布置教材第108－109页习题4，6，8.。
3.3 相似三角形的性质和判定 第2课时湘教版九年级上册
是夹角，它们不一定会相似．
A 1．（2010·烟台中考）如图，△ABC中，点 D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结 论一定正确的是（ A ） A、AB2=BC·BD B、AB2=AC·BD B C、AB·AD=BD·BC D、AB·AD=AD·CD 2．（2010·吉林中考）如图，在 △ABC中，∠C=90°，D是AC上一点， DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6， DE=3，则AD的长为（ C ） A．3 B．4 C．5 D．6
猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两
条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相
似吗？
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条
对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的 长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两
个角是否对应相等？你能得出什么结论？ B
E
A
C
D
F
结 论 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成
观察图像，如果有一点E在△ABC一条边AC上，那么 点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？ 图中两个三角形的一组 对应边AD与AB的长度的比值 为
1 上移动，可以发现当AE＝__ 3
1 3
．将点E由点A开始在AC
AC时，△ADE与△ABC相
E
1 AD 似．此时 ____ . 3 AB
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ）
（A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°
（B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° （C）∠A=∠D=50° AB=3 （D）∠B=∠E=70° AC=5 DE=6 DF=10
AB：DE=AC：DF
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22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质
知|识|目|标
1．通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理1，2，会用定理1，2进行计算；
2．通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理1，2，探索发现相似三角形的性质定理3，会用定理3进行计算．
目标一 会根据相似三角形的定理1，2计算 例1 ［教材补充例题］已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，
AB A ′B ′＝1
2
，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题：
(1)根据对应边比例等于相似比，由AB A ′B ′＝1
2
可知△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为
________；
由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知CD C ′D ′＝AB
A ′
B ′＝________，由CD ＝4 cm ，
得C ′D ′＝________ cm.
(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知
C △ABC
C △A ′B ′C ′
＝
AB
A ′
B ′
＝________，由C △ABC ＝20 cm ，得C △A ′B ′C ′＝________ cm.
例2 ［教材例1变式］如图22－3－1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BC ＝12，点P 在AB 上，且PQ ∥AD 交BC 于点Q ，PM ∥BC 交AC 于点M ，若PM ＝2PQ ，求PM 的长．
图22－3－1
【归纳总结】根据题意，利用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解．
目标二 会根据相似三角形的定理3计算
例3 [教材例2变式] 如图22－3－2，在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶2，BC ＝2 6，试求DE 的长．
图22－3－2
例4 [教材补充例题] 如图22－3－3，将△ABC 沿BC 方向平移得到△A′B′C′.△ABC 与△A′B′C′重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的1
3.已知BC ＝ 3 cm ，求△ABC
平移的距离．
图22－3－3
【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，
知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形性质定理1：相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比．
相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量．
[点拨] 利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段． 知识点二 相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于________．
相似三角形周长的比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比(对应边的比)．
[点拨] (1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的．
(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算． (3)周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致． 知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于______________． 反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．
已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方．
数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22－3－4，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分(Ⅰ和Ⅱ)面积相等，则AD
AB
的值是多少？小明同学马上举手回答：Ⅰ和Ⅱ面积相
等，它们的面积都是△ABC 的一半，所以AD AB 的值是1
2
.
小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案．
图22－3－4
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)1∶2 12 8 (2)1
2
40
例2 解：设PQ ＝x ，则PM ＝2x ，设AD 交PM 于点H.
∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ， ∴PM BC ＝AH AD ，即2x 12＝12－x 12，解得x ＝4. ∴PM ＝2x ＝8.
例3 [解析] 先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2，求出DE 的
长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫DE BC 2
.
又∵S △ADE
S 四边形BCED ＝12，可设S △ADE ＝k ，则S 四边形BCED ＝2k ，∴S △ABC ＝3k ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝k 3k ＝13
，
∴DE 2
＝13BC 2＝13
×24＝8，
∴DE ＝2 2.
例4 解：如图，设AC 与A′B′相交于点D.
根据平移的性质，知AB∥A ′B ′，∴△DB ′C ∽△ABC.∵重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的1
3
，
∴(B′C BC )2＝13.∵BC＝ 3 cm ，
∴(B′C 3)2＝13，解得B′C＝1 cm .
∴BB ′＝BC －B′C＝(3－1) cm .
即△ABC 平移的距离为(3－1) cm . 【总结反思】
[小结] 知识点一对应高的比对应中线的比对应角平分线的比知识点二相似比
知识点三相似比的平方
[反思] 小明同学的答案不正确．理由如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等，
∴S△ADE
S△ABC
＝
1
2
＝(
AD
AB
)2，∴
AD
AB
＝
2
2
.。