福建地区高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解学案1无解答
高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计数学教案
3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计(一)作者：张兴娟，邯郸市第四中学高级教师．本教学设计获“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动一等奖．学习准备教师需要明了：1．新教材为什么增加求方程的近似解？2．为什么用“二分法”求方程的近似解？3．本节内容在教材中的地位和作用．4．明确学生现有的水平和可能的发展水平．学生需要复习：方程的根与函数的零点的相关知识．在此基础上，根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标．教学目标1．了解二分法是求方程近似解的一种方法．2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解．3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．4．培养学生观察、分析数据的能力．5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．教学重点与难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．教学方法与教学手段教学方法：“问题驱动”，启发、探究学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解教辅工具：计算机、投影仪、计算器教学过程1．设置情境，提出问题问题1：你会求哪些类型方程的解？写一写你不会求解的方程．设计意图让学生感受有大量的方程不能求解，引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．问题2：能不能求方程的近似解？2．自主探究，获得新知以求方程x3＋3x－1＝0的近似解(精确度0.1)为例进行探究．探究1：怎样确定解所在的区间？(1)图象法(数形结合)：(2)试值法：设f(x)=x3+3x－1，f(0)=－1＜0，f(1)=3＞0.复习：(1)方程的根与函数零点的关系；(2)根的存在性定理．探究2：怎样缩小解所在的区间？幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？设计意图在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．问题3：为什么要取中点，好处是什么？设计意图体会二分法优于其他如“三分法”，“四分法”，华罗庚的“优选法”等．探究3：区间缩小到什么程度满足要求？设计意图利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了．二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求零点近似值的步骤：给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．3．例题剖析，巩固新知【例】借助计算器用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.01)．两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．同时演示用Excel程序求方程的近似解．设计意图(1)演示Excel程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合．进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解．(2)算法流程比较简洁，便于编写计算机程序，利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了．4．知识迁移，生活应用(1)猜商品价格；(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为__________．5．检验成果，巩固提升(1)下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是( )思维升华：在零点的附近连续且f(a)·f(b)＜0.(2)方程4x＋2x－11＝0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)说明：二分法不仅能求方程的近似解，有时也能求方程的精确解．6．回顾反思本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生思考)．如图所示，区间[a，b]上有多个零点，还能否用二分法求方程的近似解？如果能，该怎样做？(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题，具体问题具体解决)．课外作业1．书面作业(1)习题3.1 A组3,4,5；(2)求2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．2．知识链接阅读与思考“中外历史上的方程求解”．板书设计课题：(投影显示)1．提出问题：2．自主探究：3．抽象概括：4．巩固练习：5．归纳总结：教学反思1．注重学生参与知识的形成过程；2．注重培养学生的应用意识；3．恰当地利用现代信息技术．教学设计(二)作者：冯红果，泉州市第七中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．整体设计教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程教学基本流程图教学情境设计1．大家都看过《幸运52》吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3．如何才能更快地猜中商品1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：＝0.007 812 5＜0.01，因此我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )＜0；②求区间(a ，b )的中点x 1x 1＝a ＋b2))；③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)＜0，则选择区间(a ，x 1)； 若f (a )f (x 1)＞0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x3＋3x－1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x＝x2的根的个数( )A．1 B．2 C．3 D．4(4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情况是( )A．仅有一根 B．有一正根一负根C．有两负根 D．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略教学设计(三)作者：罗志强，长汀县第一中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖．整体设计三维目标1．知识与技能：①通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；②借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．2．过程与方法：①了解数学上的逼近思想、极限思想；②体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．3．情感、态度与价值观：①通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；②体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；③通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教材分析本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．学情分析学生基础较好，学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．信息技术分析多媒体教室及几何画板、Visual Basic 应用程序．教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．教学过程教学设计流程图创设情境导入——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想↓例题回顾——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示↓合作探究——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解↓师生小结——总结出用二分法求方程近似解的步骤↓学以致用——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解↓数学文化——介绍数学家求方程的近似解的历史↓知识迁移——利用Visual Basic编写程序，渗透算法思想教学设计理念1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．2．鼓励学生自主探究、合作交流．3．注重信息技术与数学课程的整合．4．体现数学的文化价值．教学情境设计一、创设情境，导入新课问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．设计意图1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．师生活动：师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？生：猜价方案区间中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了[843,859] 851 ok师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．二、例题回顾人教A版3.1.1节例1求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数？方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数？问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？问题2：f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？设计意图通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．师生活动：师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．师：提问学生．生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在(2.5,3)内．2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．三、合作探究问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？设计意图1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．师生活动：1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.生：分组交流．生：经合作整理，规律如下：每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．师：实质是根据什么定理？生：零点存在性定理．3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．几何画板直观演示(附图四)．四、师生小结你能说出二分法的意义及用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤吗？1．二分法的意义对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．设计意图引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．师生活动：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．师：分析关键词：f(a)·f(b)＜0、m＝a＋b2、精确度ε、|a－b|＜ε的意义．生：结合求函数f(x)＝ln(x)＋2x－6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．五、学以致用问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)设计意图1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．师生活动：1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．生：电力工人检测电线，找故障．2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．六、数学文化阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．设计意图让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．七、知识迁移问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？设计意图初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．师生活动：师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．程序框图及程序(附图七)八、课堂小结问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？设计意图学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验化为能力．师生活动：师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；2．二分法的意义；3．二分法求方程的近似解的步骤；4．逼近、极限、二分法．教学设计附图：区间 中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了 [843,859] 851 课题附图一附图二附图三附图四二分法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a ，b ]；2．验证f (a )·f (b )＜0；3．求区间(a ，b )的中点c ＝a ＋b2；4．计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c 〔此时零点X 0∈(a ，c )〕；(3)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c 〔此时零点X 0∈(c ，b )〕；5．判断是否达到精确度ε：即若|a －b |＜ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复3～4.附图五附图六附visual basic程序Private Sub Command1_Click()Dim a As SingleDim b As SingleDim d As Singlea＝InputBox(“a”，“区间左端点”)b＝InputBox(“b”，“区间右端点”)d＝InputBox(“d”，“精确度”)Text1.Text＝aText2.Text＝bText3.Text＝dfa＝2^a＋3*a－7fb＝2^b＋3*b－7If fa*fb＞＝0ThenText4．Txet＝“求解范围有错”ElseDox＝(a＋b)/2fx＝2^x＋3*x－7If fx*fa＞0 Thena＝x:fa＝fxElseb＝x:fb＝fxEnd IfLoop Until fx＝0 or Abs(a－b)＜dText4. Text＝xEnd IfEnd Sub教学反思1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．不足之处1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．教学设计(四)作者：王巨才，瓯海二高教师．本教学设计获浙江省教学设计大赛市二等奖．整体设计教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A 版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索。
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解导学案 新人教A版必修1
课题：3.1.2用二分法求方程的近似解一、三维目标：知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；理解二分法的步骤与思想。
过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学习的兴趣。
二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。
三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。
四、知识链接：1函数零点的概念：2．等价关系：方程f(x)＝0 ⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x)3．函数零点存在定理：4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）五、学习过程：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lg x=3-x；（3）x3-3x-1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元方程的近似解有新的收获。
认真阅读P89—90页，回答下面问题：1、什么叫做二分法：2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？A例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：(1)确定 ，验证 ，给定 ； (2)求区间 ；(3)计算 ；①若 ，则c 就是函数的零点；②若 ，则令 (此时零点x 0∈(a ，c ))；③若 ，则令 (此时零点x 0∈(c ，b ))。
【高中数学教学设计】3.1.2 用二分法求方程的近似解
§3.1.2 用二分法求方程的近似解一、教学目标：1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用2、掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根直径的联系及其在实际问题中的应用二、教学重难点1、重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识2、难点：对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解三、教学过程（一）创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．（二）师生探究,构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln 26f x x x =+-的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程()0f x =在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间（2，3）内有零点，且(2)f ＜0，(3)f ＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2a b x +=．合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<.由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点.
二分法的定义 【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函 数零点的是( )
【解题探究】根据二分法的定义判断.
【答案】A 【解析】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜ 0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二 分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B，C，D满足条 件，而选项A不满足，在A中，不存在f(a)·f(b)<0，因此不能用 二分法求解.故选A．
3.思一思：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(1,3)内有无零点？ 若将区间(1,3)平均分为两个区间，其零点在哪个区间？
【解析】f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(3)＝9－6－1＝2＞0， 在(1,3)内有零点且只有一个零点，对于(1,3)的中点为2， f(2)＝22－2×2－1＝－1＜0，故零点在(2,3)内.
二分法的实际应用
【例3】一日，某市A地到B地的电话线路产生故障，这是 一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，请问如何迅速 查出故障所在？
【解题探究】本题中能否对线段作全面仔细的检查？怎样 的方法可以节省时间和精力？这样的方法可以将故障范围缩小 到多大？
【解析】如图，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的 工具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；
高中数学 《函数与方程-3.1.2用二分法求方程的近似解》说课稿1 新人教A版必修1
3.1.2 用二分法求方程的近似解从容说课求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程解，但有些方程求精确解较难.本课试图从另一个角度来求方程的近似解.说求方程的近似解倒不如说是逼近解.本课重点是学习一种思维方式.通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍“二分法”并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认知过程.教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表述出来.三维目标一、知识与技能根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.二、过程与方法1.自主学习，了解逼近思想、极限思想.2.探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题，变人解为机器解.三、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程.教学重点通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点在利用“二分法”求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难.要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具.教具准备多媒体课件、电脑Excel软件.教学过程一、创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片断）主持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格.观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了.下一件……师：如果让你来猜一件商品的价格，你如何猜？生甲：先初步估算一个价格，如果高了再每隔一元降低报价.生乙：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了再每隔100元降低报价.如果低了，每50元上涨，如果再高了，每隔20元降低报价，如果低了，每隔10元上升报价……生丙：先初步估算一个价格，如果高了再报一个价格，如果低了就报两个价格和的一半，如果高了再把报的低价与一半价再求其半报出价格，如果低了就把刚刚报出的价格与前面高的价格结合起来取其和的半价……二、讲解新课师：第三个同学的回答可以帮助我们解一些数学问题，现在的问题是：能否求解方程ln x+2x－6=0?如果能求解的话，怎么去解?你能用函数零点的性质吗?学生共同探索（倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性.先分组讨论，后各组发表意见，归纳如下）为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈－0.084.因为f（2.5）·f（3）＜0，所以零点在区间（2.5，3）内.再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512.因为f（2.5）·f （2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.由于（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75），所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围越来越小（见下表和图）.这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将x=2.54作为函数f（x）=ln x+2x－6零点由此得到：1.二分法：对于在区间［a，b］上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（1）确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1）.①若f（x1）=0，则x1就是函数的零点；②若f（a）·f（x1）＜0，则令b=x1〔此时零点x0∈（a，x1）〕；③若f（x1）·f（b）＜0，则令a=x1〔此时零点x0∈（x1，b）〕.（4）判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复（2）～（4）.由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.【例1】教科书P105例2.本例说明求方程的根的近似值可以转化为求函数的零点的近似值，并让学生体会用二分法求方程的近似解的完整过程.此例也可以按下面的方法解答：原方程化为2x+3x－7=0.令f（x）=2x+3x－7，则原方程的根为函数f（x）的零点.因为f（1）=－2，f（2）=3，所以f（1）·f（2）＜0，即函数f（x）在（1，2）内存在零点.因为f（x）在R上是增函数，所以函数f（x）在（1，2）内有唯一的零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：通过上述表格，我们得知函数唯一的零点x0在区间（1.375，1.4375）内，即1.375＜x0＜1.4375，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4.三、课堂练习教科书P106练习解答：1.由题设可知f（0）=－1.4＜0，f（1）=1.6＞0，于是f（0）·f（1）＜0.所以函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点.下面用二分法求函数f（x）=x3+1.1x2+0.9x－1.4在区间（0，1）内的零点.取区间（0，1）的中点x1=0.5，用计算器可得f（0.5）=－0.55.因为f（0.5）·f（1）＜0，所以x0∈（0.5，1）.再取区间（0.5，1）的中点x2=0.75，用计算器可算得f（0.75）≈0.32.因为f（0.5）·f（0.75）＜0，所以x0∈（0.5，0.75）.同理可得x0∈（0.625，0.75），x0∈（0.625，0.6875），x0∈（0.65625，0.6875）.由于|0.6875－0.65625|=0.03125＜0.1，此时区间（0.65625，0.6875）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.7，所以原函数在区间（0，1）内精确到0.1的零点约为0.7.2.原方程即x+lg x－3=0，令f（x）=x+lg x－3.用计算器可算得f（2）≈－0.70，f（3）≈0.48，于是f（2）·f（3）＜0.所以这个方程在区间（2，3）内有一个解.下面用二分法求方程x=3－lg x在区间（2，3）的近似解.取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器可算得f（2.5）≈－0.10.因为f（2.5）·f （3）＜0，所以x0∈（2.5，3）.再取区间（2.5，3）的中点x2=2.75，用计算器可算得f（2.75）≈0.19.因为f（2.5）·f（2.75）＜0，所以x0∈（2.5，2.75）.同理可得x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5625，2.625），x0∈（2.5625，2.59375），x0∈（2.578125，2.59375），x0∈（2.5859375，2.59375）.由于|2.5859375－2.59375|=0.0078125＜0.01.此时区间（2.5859375，2.59375）的两个端点精确到0.01的近似值都是2.59，所以原方程精确到0.01的近似解为2.59.四、课堂小结求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的变号零点都有效.如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法.算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果.更大的优点是，它可以让计算机来实现.例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点.有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值.五、布置作业教科书P108习题3.1A组1～6题.板书设计3.1.2 用二分法求方程的近似解二分法定义与求解步骤一、探索发现使用二分法求方程的近似值二、例：借助于计算器或计算机求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）课堂练习1课堂练习2课堂小结。
高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解学案(含解析)新人教A版必修1
3.1.2 用二分法求方程的近似解课标要点知识导图学法指导1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，且该零点为变号零点．2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响.知识点用二分法求方程的近似解1．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)．(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二步至第四步．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( ) (2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求其零点．( ) (3)精确度ε就是近似值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )解析：根据二分法的基本方法，函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )·f (b )<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A 、B 、D 都符合条件，而选项C 不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C3．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8解析：已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]． 又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.答案：C4．已知函数y ＝f (x )在区间(2,4)上连续，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点所在的区间为________． 解析：∵f (2)·f (3)<0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)类型一 二分法概念的理解例1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A ．y ＝x ＋7B ．y ＝5x－1 C ．y ＝log 3x D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x(2)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】 (1)(2)利B 中，不满足f (a )·f (b )<0，不能用二分法求零点，由于A 、C 、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．【答案】 (1)D (2)B(1)在无法通过解方程f(x)＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点． (2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号． 方法归纳二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练1 用二分法求方程2x＋3x －7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x 0＝2，那么下一个有根的区间是________．解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．答案：(1,2)先构建函数f(x)＝2x＋3x－7，再判断f(1)，f(2)，f(3)的符号，寻找函数值与f(2)异号的自变量．类型二用二分法求函数零点的近似值例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01) 【解析】经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表：因为所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解．方法归纳(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2 利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．【解析】设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴x0∈(2,2.5)．再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴x0∈(2.25,2.5)．同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A．x1 B．x2C．x3 D．x4解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．答案：C2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为( )①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A ．0B ．1C ．3D ．4解析：①中x 0∈[a ，b ]且f (x 0)＝0，所以x 0是f (x )的一个零点，而不是(x 0,0)，故①错误；②由于x 0两侧函数值不一定异号，故②错误；③方程f (x )＝0的根一定是函数f (x )的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故④错误．故选A.答案：A3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D.答案：D4．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由0.12n <0.01，得2n>10，所以n 的最小值为4.故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x 3A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5解析：由表知f (1.438)>0，f (1.406 5)<0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．用二分法求函数f (x )在区间[0,2]上零点的近似解，若f (0)·f (2)<0，取区间中点x 1＝1，计算得f (0)·f (x 1)<0，则此时可以判定零点x 0∈________(填区间)．解析：由二分法的定义，根据f (0)f (2)<0，f (0)·f (x 1)<0， 故零点所在区间可以为(0，x 1)． 答案：(0，x 1)7．方程3x ＋m ＝0的根在(－1,0)内，则m 的取值范围为________．解析：由题意知只要满足⎩⎪⎨⎪⎧－＋m <03×0＋m >0，即可解得0<m <3. 答案：(0,3)8．已知二次函数f (x )＝x 2－x －6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f (1)＝－6<0，f (4)＝6>0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a ，则f (a )＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f (a )＝f (2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25. 答案：－2.25三、解答题(每小题10分，共20分)9．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1) 解析：令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0， 所以f (2.2)·f (2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0， 取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0，所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.10．用二分法求方程ln x ＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c ＝1.5，求下一个有根区间．解析：令f (x )＝ln x －1x，f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－12＝ln2e>ln 1＝0，f (1.5)＝ln 1.5－23＝13(ln 1.53－2)．因为1.53＝3.375，e 2>4>1.53，故f (1.5)＝13(ln 1.53－2)<13(ln e 2－2)＝0，f (1.5)f (2)<0，下一个有根区间是[1.5,2]．[能力提升](20分钟，40分)11．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x 0＝2，那么下一个有根区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,2)或(2,3)D ．不能确定解析：因为f (1)＝31＋3×1－8＝－2<0，f (3)＝33＋3×3－8＝28>0，f (2)＝32＋3×2－8＝7>0，所以f (1)f (2)<0，所以f (x )＝0的下一个有根的区间为(1,2)． 答案：A12．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：413．求出函数F (x )＝x 5－x －1的零点所在的大致区间． 解析：函数F (x )＝x 5－x －1的零点即方程x 5－x －1＝0的根．由方程x 5－x －1＝0，得x 5＝x ＋1.令f (x )＝x 5，g (x )＝x ＋1.在同一平面直角坐标系中，函数f (x )与g (x )的图象如图，显然它们只有1个交点．F (1)＝1－1－1＝－1<0F(2)＝25－2－1>0∴F(x)＝x5－x－1的零点区间为(1,2)．14．求33的近似值(精确度0.1)．解析：令33＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则33就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以33的近似值可取为1.437 5.。
高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教版必修1
二、师生互动，新课讲解： 1、二分法：
上节 （P88 例 1）课我们已经知道， 函数 f ( x) ln x 2x 6 在区间 （ 2，3）内有零点，
问题是： 如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，
那么在一定精确
度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．
例 2：已知函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是
F( x) ＝ f ( x)
① 若 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在 (a,b) 内有且只有一个零点
② 若 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在 (a,b) 内无零点
③ 若 f (x) 在 (a, b) 内有零点，则 f (a) f (b) 0
④ 若 f (零点
⑤ 若 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在 (a,b) 内有零点
【 解 析 】①有条件 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在 (a,b) 内可能不止一个零点，如
f ( x) x3 4x 有（－ 3， 3）内有三个零点；②在 f (a) f (b) 0 下函数 f ( x) 在 (a,b) 内
未必没有零点，如 f (x) x2 4 在（－ 3， 3）内有两个零点；③ f (x) 在 ( a, b) 内有零点，
1）确定区间 [a, b] ，验证 f (a) f (b) 0 ，给定精确度 ；
2）求区间 (a, b) 的中点 c ；
3）计算 f (c) ；
4）判断：（ 1）若 f (c) 0 ，则 c 就是函数的零点； （ 2）若 f ( a) f (c) 0 ，则令 b c
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（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业：
教学反思：
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a－b︳＜ ，所以
︱x0－a︳＜b－a＜ ,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜ ,
即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度 。
㈢、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
修改与创新
教学重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
教学难点：为何由︱a－b︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
教学用具：计算器
教学方法：讨论法
教学过程：
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
2019-2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修1
数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》教案(新人教版必修1)
公开课教案课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解【教学目标】1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相对应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一)问题提出如何求所给方程的实数根？ （2）237xx +=（函数有零点、方程有实数根、图像有交点三者的联系）（二）问题探究 1、猜价格游戏 思考：（1）如何才能以最快速度猜出它的价格？（2）利用猜价格的方法，你能否找出237xx +=的实数根？（持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点）2、新知借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.（精确度0.1） 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。
解：原方程即为0732=-+x x，令732)(-+=x x f x，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）则0)1()2(<f f ，说明在区间)2,1(内有零点0x ，取区间)2,1(的中点5.1，用计数器计算得33.0)5.1(≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,1(0∈x .再取区间)5.1,1(的中点25.1，用计数器计算得87.0)25.1(-≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,25.1(0∈x .同理可得)5.1,375.1(0∈x )4375.1,375.1(0∈x 因为1.00625.04375.1375.1<=-，所以方程的近似解可取为.4375.1点评：利用同样的方法能够求方程的近似解。
（三）形成方法对于在区间[,]a b 上图像连续持续且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？2(1)260x x --=①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．注意：研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间，区间长度应尽量小，否则会增加运算次数和运算量。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案数学教案
3．1.2 用二分法求方程的近似解[目标] 1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度ε与近似值的区别．[重点] 二分法求方程的近似解．[难点] 二分法定义的理解.知识点一二分法的概念[填一填]对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[答一答]1．用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：①f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)<0.2．是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间．只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间．3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点吗？提示：对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．用二分法求函数f x零点知识点二近似值的步骤[填一填](1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．[答一答]4．“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，具体说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141 592 6…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)．5．你知道为什么当|a－b|<ε时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？提示：当|a－b|<ε时，由于方程根的真实值x0∈[a，b]，所以|a－x0|<|a－b|<ε，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因同样.类型一二分法的概念[例1] 下列图象表示的函数能用二分法求零点的是( )[答案]C[解析]对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点．2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[变式训练1] 如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是( A )解析：按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.类型二二分法的步骤[例2] 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( ) A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)[答案]A[解析]二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)<0，f(0.5)>0，知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．用二分法求函数零点近似值的注意点1在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；②f a，f b的值比较容易计算，且f a·f b<0.2二分法仅对函数变号零点即零点两侧某区域内函数值异号适用.3利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.[变式训练2] 某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分( C )A．2次B．3次C．4次D．5次解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5; 等分2次，区间长度为0.25；……等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意，故选C.类型三用二分法求函数零点的近似解[例3] 判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．[解] 因为f(1)＝－1<0, f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：所以函数的一个近似零点可取1.312 5.此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算.[变式训练3] 用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．参考数据：则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.∴2x＋x ＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.1．下图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f (x )的零点所在的区间是( B )A ．(－2.1，－1)B ．(1.9,2.3)C ．(4.1,5)D ．(5,6.1) 解析：函数f (x )在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点．2．用二分法求方程f (x )＝0在区间[1,2]内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝2，f (2)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝6，则下列结论正确的是( C )A ．x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32B ．x 0＝32C ．x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32或x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 解析：∵f (1)＝2>0，f (2)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝6>0， 可得方程的根落在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2内． 3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x 0＝a ＋b 2与真实零点的误差最大不超过( B )A.ε4B.ε2C ．εD ．2ε 解析：真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b 2－a ＝b －a 2<ε2，因此误差最大不超过ε2. 4．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数时，设f (x )＝lg x ＋x －2，得出f (1)<0，且f (2)>0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.解析：先判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x ≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为1.5＋22＝1.75.5．求方程lg x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的近似解．(精确度：0.1)解：如图所示，由函数y ＝lg x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象可知，方程lg x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，f (1)＝12>0，用计算器计算，列表如下：的近似解可取为0.5.——本课须掌握的两大问题1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a ，b ]上连续不断；(2)f (a )· f (b )<0上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．学习至此，请完成课时作业24。
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3.1.2 用二分法求方程的近似解
班级
姓名 座号 【自学检测】
1．下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
2．设()3f
x x bx c =++是[]
11-，上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则方程()0f x =在 []11-，内（ ）
Ａ．可能有3个实数根
Ｂ．可能有2个实数根 Ｃ．有唯一的实数根
D ．没有实数根 3．用二分法研究3()31f x x x =+-的零点时，
第一次经计算(0)0,(0.5)0,f f <> 第二次应计算 。
4．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间
5．用二分法求532550x x x --+=的零点是 ．（精确到0.1）．
【课堂探究】
典型例题
例1：借助计算器或计算机，利用二分法求求方程237x x +=的根大致所在区间.
（A ） （B ） （C ）
变式：方程237x x +=的近似解.（精确0.1）
【当堂训练】
1．估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
2．函数f(x)=3a x-2a +1在[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是
3．.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）
4．求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.
【拓展练习】
1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.
2. 证明方程[]ln 2602x x e +-=在，内有根.。