高二数学下 11.1《直线方程》教案(2) 沪教版
【名校推荐】上海市延安中学沪教版高二数学下册教学案11.1直线的方程
第11章 坐标平面上的直线11.1直线的方程（1）——直线的点方向式方程【教学目标】1．理解直线的方程和方程的直线(图形)的概念；2．理解直线方程的方向向量的概念；3．掌握直线的点方向式方程．【教学重点难点】 直线的点方向式方程的建立【教学过程】一、基础知识：1．直线的方程：对于直线l 和方程(,)0f x y =．如果满足：①直线上的点的坐标都满足这个方程；②以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上．则称这个方程为直线l 的方程；这条直线就叫做这个方程的图形．2． 直线的方向向量：与直线l 平行的(非零)向量称为直线l 的方向向量；3． 直线由一点及其方向向量唯一确定；4． 直线l 的点方向式方程：00x x y y u v--=．特别地，0u =时，0x x =；0v =时，0y y =．((,)d u v =是直线l 的方向向量；00(,)x y 为直线l 上的一定点．)二、举例：例1．已知点(4,6),(3,1)A B --和(4,5)C -，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程．例2．求经过点(3,1)A -和(4,2)B -的直线l 的点方向式方程．例3．已知直线l 过点(,)P a b ，它的方向向量(cos ,sin )d θθ=，试问直线l 能否用点方向式方程表示？如能写出它的点方向式方程；如不能，说明理由．例4．已知ABC ∆三顶点为(1,1)A ，(5,3)B ，(4,5)C ．（1）求AC 边上的中线所在直线的点方向式方程；*(2)写出一个与BC 垂直的向量坐标；*(3)求BC 边上的高所在直线的点方向式方程．11.1直线的方程（2）——直线的点法向式方程【教学目标】1．理解直线的法向量的概念；2．推导并掌握直线的点法向式方程．【教学重点难点】 直线的点法向式方程的建立【教学过程】一、基本知识：1．法向量：我们把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量；2．经过已知点与已知非零向量垂直的直线是惟一确定的；3．已知直线l 经过点00(,)P x y ，(,)n a b =为其一条法向量．则其法向式方程为：00()()0a x x b y y -+-=二、举例：例1．已知点(1,2)A -和点(3,4)B ，求AB 垂直平分线l 的点法向式方程．例2．已知点(1,6)A ，(1,2)B --，和点(6,3)C 是ABC ∆的三个顶点，求：（1）BC 边所在的直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程．例3． 原点在直线l 上的射影为(1,2)N -，求l 的方程．例4． 已知(2,3)A 、(6,6)B 是正方形ABCD 的两个顶点，试求正方形四边所在直线方程．11.1直线的方程（3）——直线的一般式方程【教学目标】1．会求直线的一般式方程，理解直线一般式方程中子母系数的几何意义；2．掌握直线的一般式方程，能进行直线方程的不同形式的相互转化．【教学重点难点】 直线的一般式方程【教学过程】一、基础知识：方程220(0)ax by c a b ++=+≠称为直线方程的一般式；1．(,)n a b =必为其法向量；2．直线方程都可以写成这种形式；这种形式的方程必表示直线．二、举例：例1．（P 61例6）已知直线l 经过点(1,2)P ，且垂直于直线0:350l x y --=，求直线l 的方程．例2．（P 61例7）已知直线:2360l x y +-=，求直线l 的点法向式方程和点方向式方程．例3．将直线3460x y ++=绕其与x 轴交点A 逆时针方向旋转90︒后得到直线l ，求l 的方程．例4．直线3250x y ++=的一个法向量为(,2),a a -求a 的值．例5．直线22(23)()41m m x m m y m +-+-=-与直线325x y +=垂直，求实数m 的值．。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 课件(共13张PPT)
x
P 0 P n 且 n a ,b
a x x 0 b y y 0 0（）
a x x 0 b yy 0 0()
y nu,v l
P x, y
P0x0, y0
O
x
由 于 直 线 l 上 的 点 与 二 元 一 次 方 程 （ * ） 的 解 一 一 对 应 ， 所 以 ， 上 述 二 元 一 次 方 程 （ * ） 所 表 示 的 图 形 就 是 直 线 l .
a x x 0 b yy 0 0()
y nu,v l
P x, y
P0x0, y0
O
x
上 述 二 元 一 次 方 程 （ * ） 叫 做 直 线 l 的 点 法 向 式 方 程
非 零 向 量 n 叫 做 直 线 l 的 法 向 量 . 向 量 n 只 是 直 线 l 的 一 个 法 向 量 .
当 a0,b0时 方 程 *xx0 当 a0,b0时 方 程 *yy0
择决定命运，环境造就人生！
vx x 0 u y y 0（*）
即x x0 u
y y0 0 v
u y y 0 vx x 0 ()
y
l P x, y
P0x0, y0
O
x
d u,v
由 于 直 线 l 上 的 点 与 二 元 一 次 方 程 （ * ） 的 解 一 一 对 应 ， 所 以 ， 上 述 二 元 一 次 方 程 （ * ） 所 表 示 的 图 形 就 是 直 线 l .
y
l
y
P0x0, y0
n 0,b
l
P0x0, y0
n 0,1
O
na,0x
O
x
n1,0
例 3已 知 两 点 A 3 ， 4 ， B 6 ， 1 0 ， 求 线 段 A B 的
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程 教案
直线的点法向式方程教学目标：1、掌握直线的点法向式方程2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想3、培养学生的自主探索研究能力.教学重点：直线的点法向式方程教学难点：选择恰当的形式求解直线方程教学方法：教师启发引导，学生主动探索教学过程：一、复习引入上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下：（1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如何判断点P 是否在直线l 上？（①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标的点都在直线l 上）我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形（2） 复习点方向式方程直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。
（写出课题）二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=⋅ 即00()()0a x x b y y -+-=①∴直线l 上的任一点都满足方程①反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上.根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.定义：与直线l 垂直的非零向量n r 叫做直线l 的法向量.向量(,)n a b =是直线l 的一个法向量三、概念辨析 例1：求过点P(3，－5)，且垂直于)2,1(=的直线l 的点法向式方程。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线的点方向式方程 学案
直线的点方向式方程学习目标1. 理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式、点法向式方程的推导及相应形式；2. 培养学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力；3. 培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
课前导学【材料阅读】1、观看微视频_________________，网址：__________________2、阅读课本第5页（11.1直线的方程）开始到例1之前；第7页开始到例3之前；【自我感知】 1、设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则//a b ⇔r r _____________；a b ⊥⇔r r ____________。
2、在平面直角坐标系中，过一个定点P ，作一条直线，这样的直线是否唯一？能否在此基础上如何才能确定一条直线，并且是唯一存在的（添加条件） （1）过定点P ，并且平行于某条直线（与一个已知非零向量(,)d u v =u r 平行）；（2）过定点P ，再过一点Q （过两点）；（3）过定点P ，并且垂直于某条直线（与一个已知非零向量(,)n a b =r 垂直）。
课堂交流【承旧启新】我们知道，如果在平面上作一条直线l ，使它通过某个已知点P ，且与已知的非零向量d u r 平行，那么这样的直线l 是唯一确定的。
在直角坐标平面上，已知非零向量(,)d u v =u r ，设点P 的坐标为00(,)x y ，经过点P 且与向量d u r 平行的直线为l ，因为直线l 平行于向量d u r ，所以对直线l 上任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。
设点(,)Q x y 为直线l 上任意一点，易得向量00(,)PQ x x y y --→=--，由//PQ d u u u r u r 的充要条件得到：→→--d PQ //⇔00()()v x x u y y -=- ① 思考：直线l 上所有点的坐标(,)x y 是否都满足方程①？反之，如果11(,)x y 是方程①的任何一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么把00(,)P x y 作为起点，把坐标为11(,)x y 的点1Q 作为终点的向量1PQ u u u u r 与d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线的点方向式方程 教案
点方向式方程 P(xO,yO), 方向向量 d = (u, v) (uv≠0)
x − xO = y − yO
u
v
(uv≠0)
d = (u,v) ( 0 )
点法向式方程 P(xO,yO), 法向量 n = (a, b)
a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 n = (a,b) ( 0 )
合 PQ1 ⊥ n ，即 Q1 在直线 l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线 l 的方程，直线 l 是方程①的直线.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
定义：与直线 l 垂直的非零向量 n 叫做直线 l 的法向量. 方程 a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 叫做直线 l 的点法向式方程，
②能否根据已知法向量找出直线的一个方向向量？
一般的，若 n = (a,b) ，则 d = (b,−a) ③请写出以上直线的点方向式方程 小结：（1）求点方向式与点法向式方程必须满足两个条件：已知点与方向
（2）方向（法）向量不唯一，则直线的方程不唯一 （3）适用范围
已知条件
直线 l 的方 程
方向(法)向 量
四、概念运用和深化 例 2：已知点 A（1,6）、B（－1，－2）和点 C（6,3）是三角形的三个顶点，求： （1） BC 边所在直线的方程 （2） BC 边上的高 AD 所在直线的方程 （3） BC 边的垂直平分线的点法向式方程 小结：灵活使用方程的不同形式
练习：已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，点 B、C 的坐标为(4.2), (2,8)，d = (3,2)
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向量 n = (a,b) 是直线 l 的一个法向量 三、概念辨析
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式 教案
直线的方程——点方向式教学目标：理解直线的方向向量d u r的概念，知道(,0)d R λλλ∈≠u r 也是直线的方向向量；能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程； 理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。
重点难点：重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
教学过程：引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。
现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。
一次函数y kx b =+可以写成0kx y b -+=，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。
由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。
新课：一、直线的方程的推导已知平面上一条直线l ，过已知点P ，且与已知的非零向量d u r （0d ≠u r r）平行。
易知，这样的直线l 是唯一确定的。
问题：直线l 上的点的坐标之间有什么关系。
★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。
直线l 平行于向量d u r ，所以，对直线上的任意点Q ，都有//PQ d u u u r u r 。
在直角坐标系中，设00(,)P x y ， (,)d u v =u r，()Q x y ，，可得：00()PQ x x y y =--u u u r，//PQ d ∴u u u r u r⇔00()()v x x u y y -=-……①（000x x y y u v--⇔=）反之，如果111()Q x y ，是方程①的任意一组解，即1010()()v x x u y y -=-，那么以00()P x y ，为起点，111()Q x y ，为终点的向量1PQ u u u u r与向量d u r 平行，即点1Q 在直线l 上。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式(2)教案
直线方程的其它形式（2）教学目标1．理解点斜式、截距式和一般式的基本含义，并进一步掌握它们的具体意义联系与区别；2．会用待定系数法求直线方程，学会直线的方程综合运用。
教学过程一、 复习与引入1．复习：默写直线的斜截式方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程、法线式方程；2．引入：请你说出以上的直线方程是关于y x ,的几次方程？揭示：关于y x ,的一次方程一定表示直线吗？直线的方程一定是关于y x ,的一次方程吗？说明：关于y x ,的一次方程一定表示直线（见教材14页，略）；直线的方程一定是一次方程；（略）二、新课设计1．直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不全为零）说明：（1）分类讨论；（2）为什么B A ,不全为零；（3）强调一般式的规范写法（最简）。
2．应用举例例1：已知原点到直线l 的距离为r ，且直线l 两坐标轴在第一象限交成的三角形的面积为3322r ，求直线l 的一般式方程。
说明：（1）两解023=-+r y x 或023=-+r y x ；（2）注意截距式、法线式的应用；（3）最后化为一般式。
例2：求被两直线0103=+-y x 及082=-+y x 所截得的线段平分于点)1,0(P 的直线方程。
说明：（1）044=-+y x ；（2）设所求直线为1+=kx y 时要注意讨论直线0=x ；（3）分析两交点的表达式；（4）利用平行四边形亦可例3：直线l 过点)2,1(P ，且与x 轴、y 轴正方向于A 、B 两点，若OB OA +最小，求出直线l 的方程。
解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，12-=a a b ，那么 =+b a 322212+≥+-+a a ,当且仅当21+=a 时最小。
此时22+=b 直线的方程为12221=+++y x 解法2：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+ba ， 223221)21)((+≥⋅+++=++=+ba ab b a b a b a ，（下略）； 解法3：设所求的直线方程为)1(2-=-x k y （0<k ），令0=y 得，kx 21-=，令0=x 得，k y -=2，于是223)2(3+≥--+=+kk y x ，（下略）；解法4：设所求的直线的倾斜角为α，于是)(1απ-+=tg OA ，)(2απ-+=ctg OB ， 223)()(3+≥-+-+=+απαπctg tg OB OA ，（下略）解法5：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，设θ2sin 1=a ，θ2cos 2=b， 那么θθθθθθ22222223sec 2csc cos 2sin 1ctg tg b a ++=+=+=+（下略） 解法6；设所求的直线方程为1=+b y a x ，121=+ba ，于是2)2)(1(=--b a 那么223)2)(1(23)2()1(3+=--+≥-+-+=+b a b a b a （下略） 说明：（1）直线l 满足两个条件，一是过点)2,1(N ，二是OB OA +最小；（2）以上的六种解法，都是在确定OB OA +何时最小上的不同技巧；直线的方程设为截距式、点斜式，也可以设为斜截式等；（3）问题探索：若将OB OA +最小改为||||PB PA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程；（4）问题探索：若将OB OA +最小改为||||OB OA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程。
沪教版 高二数学 11.1 直线的点方向式方程 教案
高二数学第一学期学案学案11.1（1） 直线的点方向式方程学习目标：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强数形结合等数学思想； 重点与难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导. 讲授新课直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）_________________________；（2）_____________________那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程. 点方向式方程1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要两个条件，如________________.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成⏹ 直线的点方向式方程的定义． ⏹ 直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =表示.当00u v ≠≠且时，方程①可化为__________________________________②. 当0u =时0v ≠，方程①可化为________________③表示______________的直线； 当0v =时0u ≠，方程①可化为_______________④，表示过__________的直线.我们把方程_____________叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d 叫做直线l 的______________.3、概念深化从上面的推导看，方向向量d 是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量. 由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是______________.4、例题解析例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .例 2 已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？变式1 求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.变式2 在ABC ∆中，求平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向式方程.例3 若已知直线l:3x+2y-10=0求l 的一个方向向量练习：过P(2,-1)求与l 平行的直线的点方向式方程.过P(2,-1)求与l 垂直的直线的点方向式方程.例4直线l 过（1,2）与M(2,3),N(4,-5)的距离相等，直线l 的点方向式方程。
沪教版高中数学高二下册 - 11.1直线方程(1)-点方向式方程 教案
11.1直线方程（1）-点方向式方程一、教学目标：1、理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系；2、理解直线的方向向量的概念；3、能根据已知条件求出直线的点方向式方程；4、通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推导过程且有明确的几何意义。
二、教学重点：1、理解直线的方向向量的概念；2、能根据已知条件求出直线的点方向式方程。
教学难点：理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。
三、教学过程：1、引入新课：确定直线的条件⏹ 两点确定一条直线⏹ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
⏹ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
问：已知直线l 过定点 ，且与向量 平行，这样的直线是否唯一？ 引例：在直角坐标系中，点 ， 非零向量 ，直线l 经过点P 且与 平行，求直线l 的方程。
解：设Q （x,y ）是直线上任意一点，则 直线l 上的所有的点的坐标（x,y ）都满足方程（1）反之，如果 是方程（1）的任意一个解，即那么把坐标为 的点 作为终点，把P 作为起点，可知向量 ，即点 在直线l 上。
以方程的所有解（x,y ）作为坐标的点都在直线l 上 方程（1）叫做直线l 的方程,直线l 是方程（1）的图形， 叫做直线l 的一个方向向量。
(注：方向向量有无数个)2、提出概念：1、当u 、v 都不为零时，（1）化为我们把（2）叫做直线l 的点方向式方程。
2、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于y 轴的直线。
3、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于x 轴的直线。
00(,)PQ x x y y =--u u u r ||,||l d PQ d u r u u u r u r Q 即00()()(1)x x v y y u ∴-=-P 1010()()x x v y y u ∴-=-00()()(1)x x v y y u -=-00()()(2)x x y y u v --=00(,)P x y (,)d u v =u r 00(,)P x y d u r 11(,)x y 11(,)x y 1||PQ d u u u u r u r 1Q 1Q (,)d u v =u r 0,0u v =≠0,0u v ≠=00x x -=00y y -=3、例题分析例1：已知A （4，6）、B （-3，-1）、C （4、-5）三点，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。
沪教版高二下册数学直线的方程直线的点斜式、斜截式教案二级第二学期
直线的方程一、素质教育目标1、知识教学点⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，它们之间的内在联系⑵直线与二元一次方程之间的关系⑶由已知条件写出直线的方程⑷根据直线方程求出直线的斜率、倾斜角、截距，能画方程表示的直线2、能力训练点（1）通过对直线方程的点斜式的研究，培养学生由特殊到一般的研究方法（2）通过对二元一次方程与直线的对应关系的认识和理解，培养学生的数、形转化能力（3）通过运用直线方程的知识解答相关问题的训练，培养学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。
二、学法指导本节主要学习直线方程的五种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线。
一般式虽然可表示任意直线但它所含的变量多，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。
三、教学重点、难点1、重点：直线的点斜式和一般式的推导，由已知条件求直线的方程2、难点：直线的点斜式和一般式的推导，如何选择方程的形式，如何简化运算过程。
四、课时安排本课题安排3课时五、教与学过程设计第一课时直线的方程－点斜式、斜截式●教学目标1.理解直线方程点斜式的形式特点和适用范围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程斜截式的形式特点.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解.●教学方法学导式●教具准备幻灯片●教学过程1、创设情境已知直线l过点（1,2），斜率为2，则直线l上的任一点应满足什么条件？分析：设Q(x,y)为直线l上的任一点，则k PQ= 1,即(y―1)/(x―1)= 2(x≠1),整理得y―2=2（x―1）又点（1,2）符合上述方程，故直线l 上的任一点应满足条件y ―2=2（x ―1）回顾解题用到的知识点：过两点的斜率的公式：经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：)(211212x x x x y y k ≠--= 2、提出问题问：直线l 过点（1,2），斜率为2，则直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）吗？回想一下直线的方程与方程的直线的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
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11．1 （２）直线方程一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程；四、教学流程设计一、复习上一堂课的教学内容二、讲授新课（一）点法向式方程1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的．2、概念形成⏹ 直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.⏹ 直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x x b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化 从上面的推导看，法向量n 是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -.4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量， 所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x[说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求（1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为 5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1（2）（二）一般式方程1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；那么每一个关于y x ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，方程可化为()0c ax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)c b -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0ax c +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)c a-且垂直于x 轴的直线. 所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 （1）解一：(4,3),(3,4n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=.解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.（2）解一：1l 的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=.解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？ 解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x ……2(1)3(1)0x y +++=、4（x+4）+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，并且有无数个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ；易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n变式：直线0=++c by ax 的方向向量可以表示为()a b -,λ直线0=++c by ax 的法向量可以表示为()b a ,λ[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习练习11.1（3）补充练习1、（1）若直线过两点(,0),(0,)A a B b ，则,a b 分别叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；（2）若过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程.2、 已知直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分别交于,A B 两点.（1）若P 为AB 中点，求直线l 的方程；（2）若P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程.3、已知直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数（1）求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）记（1）中的定点为P ，若l OP ⊥（O 为原点），求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.6、已知两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：经过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4习题11.1 A 组8补充作业：1. 直线320x y -+=的单位法向量是___________.2. 直线l 的一般式方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.3. 过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.4. 若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值.5. 已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.6. 正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.7. 已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.8. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈（1） 证明：直线l 过定点；（2） 若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计说明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。