九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质第4课时课件新版新人教版
画出二次函数 y =- 1（x + 1）2 -1 的图象，你能说出
2 它的图象特征和性质吗？它与抛物线
y
1
x 2 有什么关
2
系？你能说出 y =a（x - h）2 +k 的图象和性质吗？
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
归纳: 一般地，抛物线 y =a（x - h）2 +k与 y = ax2 形状相 同，位置不同．把抛物线 y = ax 2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线 y =a（x - h）2 +k ．平移的方向、 距离要根据 h，k 的值来决定．
？ 平移关系
y=ax2
y=a(x-h)2+k
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图 象
h<0
开口方 向
对称轴 顶点坐
标 函数的
向上 直线x=h （h,k）
向下 直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
y=2x2
5
4.
y=2(x-1)2
3.
2.
1.
-
-2 -1 0.
1. 2. 3.
x
3.
-1
y
二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2y(=x2-x12)+²1+1的图象的关系？
y=2x2
5
4.
3.
y=2(x-1)2+1
2.
1.
-
-2 -1 0.
1. 2. 3.
x
3.
-1
返回
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
y P
A
B
x
O
M
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线
y= 1 x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
则她5与篮底的距离l是( )
A.3.5 m
B.4 m B
C.4.5 m
D.4.6 m
1．复习二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象和性 质
（1）二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象是什么？ （2）它们具有怎样的图象特征和性质？ （3）你是怎么研究的？
• 学习重点： 观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质．
y a x h2
一、温故知新
同桌互考完成表格，等待抽查
y＝ax2
y＝ax2＋k
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
y a x h2 a＞0 a＜0
草图
开口方向 对称轴 顶点坐标
Y轴
(0,k)
直线x=h （h,0）
二、学习新知
画出函数y - 1（x 1）2 -1的图象，并指出它的开口方向、 2
对称轴和顶点.
x… … y - 12（x+1）2-1
…y
O
… -4 -2
2 4x
-2
y - 12（x+1）2-1
-4
-6
二、学习新知
怎样移动抛物线y
-
1 2
x2可以得到抛物线y
-
12（x
1）2 -1？
y
-
1 2
通过对二次函数 y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2的探
2
2
究，你能说出二次函数 y =a（x - h）2 的图象特征和性质
吗？
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的 最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 的图象，并探究它们的图
2
2
象特征和性质．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
归纳： 一般地，当 a＜0 时，抛物线 y =a（x - h）2 的对称轴 是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的 最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
抛物线 y =- 1（x + 1）2， y =- 1（x - 1）2 与抛物线
y
Байду номын сангаас
1
x2
2 有什么关系？
2
2
抛物线 y =a（x - h）2与抛物线 y = ax2 有什么关系？
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
归纳: 当 h＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向右平移 h 个单位长 度，就得到抛物线 y =a（x - h）2 ； 当 h＜0 时，把 y = ax 2 向左平移｜h｜个单位长度，
就得到抛物线 y =a（x - h）2．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
课件说明
• 学习目标： 会用描点法画出二次函数 y =（x - h）2，y =（x - h）2+ k 的图象， 通过图象了解它们的图象特征和性质．
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
三、巩固训练
解析式 开口方 对称轴 顶点
向
坐标
y＝(x－2)2－
y 1 (x 5)2 5
3 y 12 (x 5)2 1 2 y＝－(x＋3) 3 2
＋2
最值 增减性
y＝3(x－2)2
2
我是讲师
将相应的数据标注在图中 找出顶点坐标及一点的坐标
x2
向左平移一个单位
y
y - 12（x+1）2
O - - 2 4x
向 下 平 移
4 2 -2 -4
y
-
1 2
x2
一
个 单
-6
位
y - 12（x+1）2-1 y - 12（x+1）2
y - 12（x+1）2-1
y
二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2(x-1)²+1y的=2(图x-1象)2+的1 关系？
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人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
2021年人教版数学九年级上册第四课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
3
以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
11
能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
4
【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
5
• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
3
以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
11
能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
4
【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
5
• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教新课标版 初中数学九年级上册第二十二章22.1.1 二次函数课件
的 函数 .
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
3
三、研学教材
正方体的六个面是全等的正方形，
设正方体的棱长为 x，表面积为 y. 对于 x的每一个值，y都有一个对应
值，它们具体关系式可以表示 为： y=6x2 .
4
知识点一 列函数表达式
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进 行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n
哪些不是？若是二次函数，请指出各项对
应项的系数． （1）y＝1－3x2 解：是二次函数。
二次项系数是-3，一次项系数是0，常数项是1.
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
13
（2）y＝3x2＋2x 解：是二次函数。
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是0.
（3）y＝x (x－5)＋2 解：y=x2-5x+2是二次函数。
一次项和常数项，但不能没有二次项。
10
二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是
常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x 是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二 次项，b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。
11
１、下列函数中，是二次函数的是（ A ）
y x2 -A1．
分析：若这种产品今年的原产量是 20 t.
按每年都比上一年的产量增加 x 倍计算，
明年的产量应该为 20(1+x) .
后年的产量应该为： 20(1+x)(1+x).
即两年后的产量为： y=20(1+x)2 .
也可以表示为：
y=20x2+40x+20 .
对于上式，两年后的产量 y 与计划增产的
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
3
三、研学教材
正方体的六个面是全等的正方形，
设正方体的棱长为 x，表面积为 y. 对于 x的每一个值，y都有一个对应
值，它们具体关系式可以表示 为： y=6x2 .
4
知识点一 列函数表达式
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进 行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n
哪些不是？若是二次函数，请指出各项对
应项的系数． （1）y＝1－3x2 解：是二次函数。
二次项系数是-3，一次项系数是0，常数项是1.
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
13
（2）y＝3x2＋2x 解：是二次函数。
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是0.
（3）y＝x (x－5)＋2 解：y=x2-5x+2是二次函数。
一次项和常数项，但不能没有二次项。
10
二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是
常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x 是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二 次项，b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。
11
１、下列函数中，是二次函数的是（ A ）
y x2 -A1．
分析：若这种产品今年的原产量是 20 t.
按每年都比上一年的产量增加 x 倍计算，
明年的产量应该为 20(1+x) .
后年的产量应该为： 20(1+x)(1+x).
即两年后的产量为： y=20(1+x)2 .
也可以表示为：
y=20x2+40x+20 .
对于上式，两年后的产量 y 与计划增产的
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(共53张PPT)
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＞0
4ac-b2 4a
＜0
由y=ax2
向左平移
|
b 2a
|个单
位，
向下平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＜0
4ac-b2 4a
＞0
由y=ax2
向右平移
|
b 2a
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
都是 （-
b 2a
，
4ac-b2 4a
＝a(x＋ b
2a
)2＋4
ac 4
a
b
2
\识记
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是
x＝－ b 顶点坐标是（－ b ，4ac b 2 ）
2a
2a
4a
yax2 bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把yax2 bxc
化为yaxh2 k 的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
22.1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
a>0,在对称轴
y ax2
左侧,y都随x 的增大而减小,
a>0, 在对称轴右
yax2 c 开口 侧,y都随 x的
向上; 增大而增大.;
yaxh2
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
a<0, 的增大而增大,
yaxh2k
开口 向下.
在对称轴右 侧,y都随 x的
95.二 次 函 y数 ax2bxc的 图 象 开 口 向 图 象 经(过 1,2点 )(1,0)且 与 y轴 相 交 于 负
九年级数学人教版(上册)22.1.1二次函数教学课件
人教版《义务教育教科书》
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质0
第二十二章二次函数
22.1二次函数的图象和性质
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和 性质
学习目标
1 课时讲解
二次函数的顶点式 二次函数的一般式 待定系数法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
回顾旧知
y＝ax2与y＝ax2 ＋k 的性质呢？
二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k有何位置关系？
感悟新知
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的平移关系
问题（一）
前面已画出了抛物线y=－ (1x+1)2，y=－ (x1－1)2， 在此坐标系中画出抛物线y2=－x12 (见图中虚2 线部分),
观察抛物线y=－ (x+11)2，y=－ (2x－1)21与抛物线y=
－x2有什么关系？
(1，10)． 2
感悟新知
归纳
知1－讲
二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象 的关系 它们的形状（开口大小、方向）相同，只是左、右位 置不同，二次函数y=a（x-h）2的图象可由二次函数 y=ax2的图象左右平移|h|个单位长度得到.
感悟新知
1抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B) A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
y＝ax2 向左平移h个单位(h＞0) y＝a(x＋h)2
课堂小结
二次函数
y＝a(x－h)2图象 a＞0时，开口向上，最低点是顶点； a＜0时，开口向下，最高点是顶点； 对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h，0).
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
22.1二次函数的图象和性质
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和 性质
学习目标
1 课时讲解
二次函数的顶点式 二次函数的一般式 待定系数法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
回顾旧知
y＝ax2与y＝ax2 ＋k 的性质呢？
二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k有何位置关系？
感悟新知
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的平移关系
问题（一）
前面已画出了抛物线y=－ (1x+1)2，y=－ (x1－1)2， 在此坐标系中画出抛物线y2=－x12 (见图中虚2 线部分),
观察抛物线y=－ (x+11)2，y=－ (2x－1)21与抛物线y=
－x2有什么关系？
(1，10)． 2
感悟新知
归纳
知1－讲
二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象 的关系 它们的形状（开口大小、方向）相同，只是左、右位 置不同，二次函数y=a（x-h）2的图象可由二次函数 y=ax2的图象左右平移|h|个单位长度得到.
感悟新知
1抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B) A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
y＝ax2 向左平移h个单位(h＞0) y＝a(x＋h)2
课堂小结
二次函数
y＝a(x－h)2图象 a＞0时，开口向上，最低点是顶点； a＜0时，开口向下，最高点是顶点； 对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h，0).
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
人教版九年级数学上册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质
解析：⑴根据题意 得： 解得 所以抛物线的解析式为
y 3
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
6、已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
化简
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2
3
4…
… 29 14 5 2 5 14 29 …
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某 一范围内的增减性. 2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称 轴.
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同 桌分享与交流，学有所获，共同探讨学 有所困。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5） 对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1） 对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）