四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析
四年级奥数和差积商的变化规律
第 9 讲和、差、积、商变化规律一、知识要点二、精讲精练【例题 1】两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？练习 1：1.两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加 3.和起什么变化？【例题 2】两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有什么变化？练习 2：1.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？【例题 3】两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？练习 3：1.两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加 12.减数减少 12.差起什么变化？【例题 4】两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变化？练习 4：1.两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？【例题 5】两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？练习 5：1.两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？2.两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？【例题 6】两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12.减数应有什么变化？练习6：1.两数相减，如果被减数增加 6，要使差增加 15，减数应有什么变化？2.两数相减，如果被减数增加 20，要使差减少 12.减数应有什么变化？【例题7】两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？练习7：1.两数相除，商是 6，余数是 30，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是 9，余数是 3。
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律和的变化规律：如果一个加数增加（或减少）一个数（不为0），另一个加数不变，则它们的和也增加（或减少）同一个数。
如果一个加数增加一个数（不为0）,另一个加数减少同一个数，和不变。
差的变化规律：如果一个被减数增加（或减少）一个数（不为0），减数不变，则差增加（或减少）同一个数。
如果一个被减数和减数同时增加（或减少）一个数（不为0），差不变。
如果被减数不变，一个减数增加（或减少）一个数（不为0），差也减少（或增加）同一个数。
积的变化规律：1．一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2．一个因数扩大（或缩小）若干倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3．一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
商的变化规律：1．被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）同样的倍数。
2．被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同的倍数。
3．被除数乘以a，除数除以b，商就乘以ab的积。
4．被除数除以a，除数乘以b，商就除以ab的积。
参考答案：1、两个数相加，如果一个加数减少9，要使和增加9，另一个加数应该有什么变化？解题思路：一个加数减少9，假设另一个加数不变，和就减少了9；题目要求和增加9，所以另一个加数应该增加9+9=18。
2、两个数相减，如果被减数减少10，减数也减少10，差是否有变化？解题思路：被减数减少10，假设减数不变，差就减少10；假设被减数不变，减数减少10，和就增加10；差先减少10，再增加10，所以无变化。
3、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。
如果被减数不变，差增加42，减数应该变成多少？解题思路：减数与差的和即是被减数，2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2=1038。
差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应该为1038÷（2+1）=346，减数为346×2=692。
3积与商的变化规律——基础知识
志存高远务实求索课题：积与商的变化规律——基础知识授课日期：2012-2-24 教师：教师电话：班级：四年级数学（1）班学生姓名：励志名言：回避现实的人，未来将更不理想！积与商的变化规律——基础知识同学们，我们学了乘法和除法，知道：在乘法算式中，乘数×乘数=积。
在除法算式中，被除数÷除数=商。
我们还知道乘除法之间存在下列关系：乘数×乘数=积积÷一个乘数=另一个乘数那么你们知道在乘法算式中乘数与积的关系吗？在除法算式中被除数、除数与商之间的关系吗？这一讲老师就和同学们共同来研究一下这些内容。
师生互动1（1）一个乘数扩大到它的几倍，积也扩大相同的倍数；（2）如果两个乘数都扩大，那么积就扩大两个乘数扩大的倍数的乘积；（3）如果一个乘数扩大，另一个乘数缩小，那么积就扩大（或缩小）两个乘数扩大或缩小倍数的商。
师生互动2 观察下面三组算式，你又发现了什么？从上面的算式中可以看出：（1）被除数扩大到它的几倍，商也扩大相同的倍数，除数扩大到它的几倍，商也就缩小到原来的几分之一；（2）如果被除数、除数都扩大，那么商就扩大（或缩小）被除数与除数扩大（或缩小）倍数的商倍；（3）如果被除数扩大，除数缩小，那么商就扩大被除数扩大倍数与除数缩小倍数的乘积倍；（4）如果被除数缩小，除数扩大，那么商就缩小被除数缩小与除数扩大倍数的乘积分之一。
难题点拨1在乘法算式中25×8中，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数不变，那么积有什么变化？拓展1在乘法算式中510×360中，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数扩大到它的3倍，那么积有什么变化？拓展2在乘法算式中510×360中，如果一个乘数扩大到它的6倍，另一个乘数缩小到原来的三分之一，那么积有什么变化？拓展3在乘法算式中510×360中，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数缩小到原来的六分之一，那么积有什么变化？想一想·做一做1.填空。
四年级 积和商的变化规律
第1讲计算与规律1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律；2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。
一. 积的变化规律1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。
2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。
判断对错两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。
（）1.如果让“48052⨯”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积()A．不变B．乘以5 C．除以52.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积()A．不变B．扩大到原来的100倍C．不确定D．扩大到原来的10倍3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数()A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变4.在1508012000⨯=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。
（判断对错）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。
（判断对错）6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（）7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（）二．商的变化规律1. 没有余数（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。
（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。
简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。
2. 有余数有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。
已知30÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则A B商是。
1. 32040÷的结果与算式()的结果相等。
人教版小学四年级数学上册知识点归纳
人教版小学数学四年级上册知识点归纳第一单元【大数的认识】1、计数单位：一（个）、十、百、千、万……亿等等，都是计数单位。
相邻两个计数单位之间的进率是十。
2、数位：个位、十位、百位、……亿位等等，都是数位。
数位名称就是在相应的计数单位后添一个“位”字，如万 万位。
3、数级：个级、万级、亿级……都是数级，一个数级包括四个数位。
4、数位顺序表：含有数级、数位和相应的计数单位的表格叫做数位顺序表，如下。
数位…千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位数级…亿级万级个级计数单位…千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十个5、数字表示：某个数位上的数字表示几个这个数位的计数单位。
如：12367 中的2在千位上，表示“2个千”某个数级上的数字表示几个这个数级的计数单位。
如：36472845中的3647在万级上，表示“3647个万”6、大数的读法：①从高位数读起，一级一级往下读。
②万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。
③每级末尾不管有几个零都不读，其他数位有一个“零”或连续几个“零”，都只读一个“零”。
读数注意事项：“2”读作“二”；如果是大数的最高位是十位、十万位、十亿位……且最高位上的数字是“1”时，这个“1”不读，如125046读作“十二万五千零四十六”7、大数的写法：①从高级写起，一级一级往下写。
②当哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0 。
写数注意事项：一定要注意“四位一级”，保证每级有四个数位，不够的要用0补足。
8、读写数检验方法：读数和写数可以互相检验，即读数后再写出来和原数比对，而写数后可以自己读出。
9、写出所组成的数：对照数位顺序表把每个部分的数字分别写入，再用0补足。
如：10、大数的比较：①位数多的这个数就比较大。
②当这两个数位数相同的时候，我们就应该从左起的第一位比起，也就是从最高位开始比，哪个数最高位上的数大，这个数就大。
③如果碰到最高位上的数相同的时候，就再比下一位，以此类推，直到我们比较出相同的数位上的那个数，哪个数大的时候，我们就可以断定这个数比较大。
【易错题精析】第16讲 商的变化规律(讲义) 小学数学四年级上册易错专项练(知识梳理+易错汇总
第16讲商的变化规律（讲义）学校数学四班级上册易错专项练（学问梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1. 商的变化规律。
（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘(或除以)几(０除外)，商反而除以(或乘)几；（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘(或除以)几(０除外)，商也乘(或除以)几。
（3）在除法算式中，被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外)，商不变。
温馨提示：除数不变时，商和被除数的变化完全相同；被除数不变时，商和除数的变化正好相反。
1.被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0，商不变。
2.应用商不变的规律计算有余数的除法时，被除数和除数同时除以(或乘)一个数(０除外)，商不变，余数要相应的乘(或除以)这个数。
【易错一】43a b ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则()()1010÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅a b 。
应当选（ ）。
A ．4；3 B ．40；30 C ．4；30【解题思路】依据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，余数随着被除数和除数的变化而变化，据此选择即可。
【完整解答】由于43a b ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，被除数和除数同时乘10，商不变，余数也乘10。
故答案为：C 【易错点】本题考查商不变的性质，明确余数随着被除数和除数的变化而变化是解题的关键。
【易错二】两个数的商是50，假如被除数乘10倍，除数除以10，那么商是( )。
【解题思路】被除数乘（或除以）几（0除外），除数不变，商要同时乘（或除以）相同的数；被除数不变，除数乘（或除以）几，商要同时除以（或乘）相同的数，据此即可解答。
【完整解答】50×10×10＝500×10＝5000【易错点】娴熟把握商的变化规律是解答本题的关键。
【易错三】小明说：“依据商不变性质，由于13÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。
你同意小明的说法吗？请写出你的理由。
2022-2023学年四年级数学思维拓展——商的变化规律(解析)
2022-2023学年小学四年级思维拓展1.专题商的变化规律l典例分析1两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12-8=4。
2两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？分析与解答：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商是8，余数是20×10=200。
3两数相乘，积是48。
如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？分析与解答：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
4小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少？分析与解答：根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。
这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。
所以，原来两数相加的正确答案是：1996-(6+56)=1940。
5王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。
正确的差是多少？分析与解答：根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。
这样错写的被减数比原来减少了60-2=58。
因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。
正确的差是：189+58=247。
l真题百分练一．选择题(共6小题，满分12分，每小题2分)1(2分)(2022秋•沈丘县期末)123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，余数()A.不变B.除以7C.乘7【思路引导】根据商不变的性质“被除数和除数同时乘或除以一个数(0除外)，商不变”，所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，商仍然是24；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也乘7，据此解题即可。
小学四年级数学第七册积和商的变化规律
【本讲教育信息】一. 教学内容：积和商的变化规律〖阅读思考，学会方法〗例分析：这道例题是学习因数和积的变化规律。
共安排了5个小题。
分别是：（1）12224⨯= （2）1210120⨯= （3）1220240⨯= （4）122002400⨯= （5）12100012000⨯=我们以（1）式为标准，观察上面式子，发现（2）、（3）、（4）、（5）式与（1）式比较，发生什么变化？聪聪很快举起手来说：一个因数12没有变化，另一个因数分别扩大5倍、10倍、100倍、500倍，积也跟着扩大5倍、10倍、100倍、500倍。
回答正确！若以（5）式为标准，与其他各式比较，发生什么变化呢？两人互相讨论一下！ 谁能用一句话概括一个因数的变化引起积的变化规律？小结：在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
前面学过的一个数乘整十、整百数的口算，就是应用了这一规律。
例2. 想一想，下面各题，用竖式怎样计算简便。
（1）250130⨯ （2）3600120⨯ 分析：这题是我们前面学过的，“乘数是三位数的乘法”中的最后一种情况，乘数是三位数而且乘数末尾有0的乘法。
解答这种类型的题目也需要用到“积的变化规律”，使它的计算简便。
我们这样做：把250130⨯看作2513⨯，被乘数和乘数都缩小10倍，结果积缩小1010100⨯=（倍），要得到原来的积，就得在积的末尾添上2个0，表示扩大100倍。
这样就得到原题的积。
如（同学们可以用这种方法计算：3600120⨯（2）例分析：这题是“积不变的规律”，安排5个小题 分别是：（1）120202400⨯= （2）240102400⨯= （3）60042400⨯= （4）60402400⨯= （5）241002400⨯=我们以（1）式为标准，观察上面式子，发现（2）（3）（4）（5）式与（1）式比较，发生什么变化？晶晶要求发言：（2）中第一个因数扩大2倍，第二个因数反而缩小2倍，积不变； （3）中第一个因数扩大5倍，第二个因数反而缩小5倍，积也不变； （4）中第一个因数缩小2倍，第二个因数反而扩大2倍，积不变； （5）中第一个因数缩小5倍，第二个因数反而扩大5倍，积也不变。
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解析：被除数和除数同时缩小2倍，商不变。
268800÷56=（4800）
解析：被除数扩大50倍，除数不变，商扩大50倍。
5376÷14=（384）
解析：被除数不变，除数缩小4倍，商反而扩大4倍。
5376÷5600=（0.96）
解析：被除数不变，除数扩大100倍，商反而缩小100倍。
除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
3.除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。
被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
根据5376÷56=96，直接写出下面各式的商。
537600÷56=（9600）
解析：被除数扩大100倍，除数不变，商扩大100倍。
5376÷112=（48）
解析：被除数不变，除数扩大2倍，商反而缩小2倍。
16×8=（128）
解析：32缩小2倍，16缩小2倍，积缩小2×2=4倍。
0.32×16=（5.12）
解析：32缩小100倍，积缩小100倍。
四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
2.被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。
根据32×16=512，直接写出下面各式的积。
320×160=（51200）
解析：两个因数同时扩大10倍，积扩大10×10=100倍。
320×1600=（512000）
解析：积扩大10×100=1000倍。
32×160=（5120）
解析：积扩大10倍。
1600×160=（256000）
解析：32扩大50倍，16扩大10倍，积扩大50×10=500倍。
四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析
积的变化规律有3条：
1.一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2.一个因数扩大（或缩小）多少倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3.一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。