2 积与商的变化规律
四年级 积和商的变化规律
第1讲计算与规律1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律；2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。
一. 积的变化规律1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。
2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。
判断对错两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。
（）1.如果让“48052⨯”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积()A．不变B．乘以5 C．除以52.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积()A．不变B．扩大到原来的100倍C．不确定D．扩大到原来的10倍3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数()A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变4.在1508012000⨯=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。
（判断对错）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。
（判断对错）6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（）7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（）二．商的变化规律1. 没有余数（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。
（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。
简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。
2. 有余数有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。
已知30÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则A B商是。
1. 32040÷的结果与算式()的结果相等。
四年级上册积和商的变化规律
四年级上册积和商的变化规律
在四年级上册，学生开始学习关于积和商的变化规律。
积是指两个或多个数相乘得到的结果，而商则是指一个数被另一个数除后得到的结果。
当学生开始学习乘法时，他们会逐渐掌握乘法表，并了解基本的乘法规律。
例如，当乘数为0时，无论被乘数是多少，积都为0。
当乘数为1时，积等于被乘数本身。
当乘数为10的倍数时，积具有特殊的规律，只需在被乘数末尾添加相应数量的0即可。
随着学生学习进程的推进，他们开始接触更复杂的乘法运算，并学习如何使用分配律、结合律和交换律来简化计算过程。
他们还会学习如何将大数进行估算以及如何使用近似值来计算积。
在商的部分，学生会学习如何用除法来计算两个数之间的商。
他们会学习长除法的方法，并逐步理解如何进行整数除法和小数除法。
学生也会学习如何将分数转化为小数，并通过除法运算来完成这一过程。
总之，在四年级上册，学生会逐步掌握积和商的变化规律，并学会运用这些规律来解决实际问题。
四年级上册数学积和商的变化规律
四年级上册数学积和商的变化规律一、积的变化规律。
1. 规律内容。
- 一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。
- 例如：- 在3×5 = 15这个算式中，如果3不变，5乘2变为10，那么积3×10 = 30，15也乘2得到30；如果3不变，5除以5变为1，那么积3×1 = 3，15也除以5得到3。
2. 应用示例。
- 已知12×15 = 180，如果12不变，15扩大3倍变为45，那么积也扩大3倍，12×45 = 12×15×3=180×3 = 540。
- 已知20×30 = 600，如果20缩小为原来的(1)/(10)变为2，30不变，那么积也缩小为原来的(1)/(10)，2×30 = 60。
3. 拓展。
- 两个因数同时变化时：- 两个因数都乘一个数（0除外），积就乘这两个数的乘积。
例如2×3 = 6，如果2乘2变为4，3乘3变为9，那么4×9 = 36，6乘2×3 = 6得到36。
- 两个因数都除以一个数（0除外），积就除以这两个数的乘积。
例如16×20 = 320，如果16除以2变为8，20除以4变为5，那么8×5 = 40，320除以(2×4)=8得到40。
- 一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。
例如4×9 = 36，如果4乘3变为12，9除以3变为3，那么12×3 = 36，积不变。
二、商的变化规律。
1. 规律内容。
- 被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
- 例如：- 在12÷3 = 4这个算式中，如果12不变，3乘2变为6，那么商12÷6 = 2，4除以2得到2；如果12不变，3除以3变为1，那么商12÷1 = 12，4乘3得到12。
小学数学《积和商的变化规律(二)》ppt
大胆的猜测一下：除法中有 没有类似的规律？如果有会是什 么规律呢？
验证第一个猜测：除数不变，被除 数和商的变化规律。
除数不变，被除数扩大（或缩 小）若干倍，商也相应的扩大 （或缩小）相同的倍数。
验证第二个猜测：被除数不变， 除数扩大或缩小，商会随之缩小 或扩大吗？
被除数不变，除数扩大（或 缩小）若干倍，商会相应的缩 小（或扩大）相同的倍数。
我们一起学习过积的变化规律，谁 还记得？
两数相乘（积不为0），一个因数不变， 另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也 相应的扩大（或缩小）相同的倍数；
两数相乘（积不为0），一个因数扩大若 干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
我们都知道乘法和除法有着密切的 关系，现在我们发现了乘法中有这样 的规律，大家有什么想法？
三条变化规律：
除数不变，被除数扩大（或缩小） 若干倍，商也相应的扩大（或缩小） 相同的倍数；
被除数不变，除数扩大（或缩小） 若干倍，商会相应的缩小（或扩大） 相同的倍数；
被除数和除数同时扩大或缩小相 同的倍数时商不变。
有余数除法的变化规律
在有余数的除法里，如果 被除数和除数同时乘以（或除 以）相同的数（0除外），商不 变，余数也要乘以（或除以） 相同的数。
76800÷24= 34Βιβλιοθήκη ÷57=76800÷2400=
例2 小明在计算除法时，把除 数末尾的“0”漏写了，结果得到 的商是500，正确的商应该是多 少？
解： 50010=50 答：正确的商是50。
例3 除法算式1550200=7…150， 如果被除数和除数同时除以5，商是 多少，余数多少？
解：1505=30 答：商是7，余数是30。
3、验证第三个猜测：被除数扩大 （或缩小）若干倍，除数缩小（ 或 扩大）相同的倍数，商不变吗？
四年级积商的变化规律5条
四年级积商的变化规律5条一、积的变化规律。
1. 一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。
- 例如：在算式3×5 = 15中，如果3不变，5变为5×2 = 10，那么积就变为3×10=30，15×2 = 30，积也乘了2。
- 在实际解决问题时，比如一个长方形的长不变，宽扩大到原来的3倍，根据长方形面积公式S =长×宽，面积也会扩大到原来的3倍。
2. 一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。
- 例如：4×6 = 24，如果4不变，6变为6÷2 = 3，那么积就变为4×3 = 12，24÷2=12，积也除以了2。
- 假设每箱苹果的个数不变，箱数减少为原来的一半，那么苹果的总个数也会减少为原来的一半。
3. 两个因数同时乘一个数（0除外），积乘这个数的平方。
- 例如：2×3 = 6，如果2变为2×2 = 4，3变为3×2 = 6，那么新的积为4×6 = 24，而6×2^2=6×4 = 24。
- 在计算长方形面积时，如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么面积就会扩大到原来的2×2 = 4倍。
4. 两个因数同时除以一个数（0除外），积除以这个数的平方。
- 例如：12×8 = 96，如果12变为12÷2 = 6，8变为8÷2 = 4，新的积为6×4 = 24，而96÷2^2 = 96÷4 = 24。
- 像把一个长方形的长和宽都缩小为原来的一半，面积就会缩小为原来的(1)/(4)。
二、商的变化规律。
1. 被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。
- 例如：12÷3 = 4，如果被除数12不变，除数3变为3×2 = 6，那么商变为12÷6 = 2，4÷2 = 2，商除以了2。
积商的变化规律巧记
积商的变化规律巧记
积商的变化规律可以巧记为三个关键词——递增、递减、波动。
1. 递增：当两个数相乘，且因子中有一个逐渐增大，那么积商就呈递增的趋势，即积商越来越大。
可以用“增”字来记忆。
2. 递减：当两个数相乘，且因子中有一个逐渐减小，那么积商就呈递减的趋势，即积商越来越小。
可以用“减”字来记忆。
3. 波动：当两个数相乘，且因子中有一个在增加和减小之间交替变化，那么积商就会波动，既可能增大也可能减小，没有明显的趋势。
可以用“波”字来记忆。
通过记忆这三个关键词，即递增、递减和波动，我们可以快速回忆积商的变化规律，使记忆更加巧妙。
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律是指在进行乘法运算时，两个数相乘得到的结果的变化规律。
一般来说，在进行乘法运算时，随着被乘数或乘数的增加，积也会相应地增加。
例如，5乘以2得到10，而
10乘以2得到20，可以看出乘数增加一倍，积也增加一倍。
商的变化规律是指在进行除法运算时，被除数除以除数得到的商的变化规律。
一般来说，在进行除法运算时，如果被除数保持不变，而除数增加，商会相应地减少。
例如，10除以2得
到5，而10除以5得到2，可以看出除数增加一倍，商减少一倍。
需要注意的是，这里所讨论的变化规律是在其他因素保持不变的情况下观察的。
在实际运算中，还可能存在其他因素的影响，导致变化规律不完全符合上述描述。
四秋 第四讲 积与商的变化规律(二)
积与商的变化规律（二）一、知识站点关键看乘法或者除法算式中，三者之间的联系，如：1、乘数对积的影响；2、被除数对商的影响；3、除数对商的影响；4、被除数对余数的影响；5、除数对商的影响；例1、两个数相乘，积是28，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数扩大到它的2倍，那么得到的新积是多少？扩展1 两个数相乘，积是20，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的21，那么得到的新积是多少？扩展2 两个数相乘，积是260，如果一个数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的81，那么得到的新积是多少？扩展3 两个数相乘，积是720，如果一个乘数缩小到它的81，另一个乘数缩小到它的31，那么得到的新积是多少？练一练：1、两个数相乘，积是35，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数扩大到它的3倍，那么得到的新积是多少？2、两个数相乘，积是220，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的21，那么得到的新积是多少？3、两个数相乘，积是81，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的121，那么得到的新积是多少？4、两个数相乘，积是630，如果一个乘数缩小到它的31，另一个乘数缩小到它的51，那么得到的新积是多少？例2、红红在计算一道乘法算式题时，把其中的一个乘数扩大到它的5倍，计算结果是45.原算式的结果应该是多少？练一练1、林林在做一道整数乘法算式题时，把一个乘数末尾上的“0”丢了，得到的积是26.正确的积应该是多少？2、一道乘法算式，如果一个乘数扩大到它的5倍，另一个乘数缩小到它的101，计算的结果是32.正确的积应该是多少？例3、两个数相除，商是210，如果被除数扩大到它的3倍，除数不变。
新的商是多少？扩展1 两个数相除，商是210，如果被除数不变，除数扩大到它的3倍。
新的商是多少？扩展2 两个数相除，商是210，如果被除数扩大到它的3倍，除数扩大到它的6倍。
新的商是多少？练一练1、两个数相除，商是450，如果被除数扩大到它的5倍，除数不变。
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嗨!同学们经过上一讲的学习对火星教育沙龙数学讲义的形式有所了解，认识了新朋友或新同学，体验不同风格的老师的教学理念，在新环境上课。
似乎一切都在悄悄的改变，而我们也在慢慢的适应，为新五年级做准备，更为小升初打基础，我们要赢在起跑线上!
大家都有这样的认知，在乘法计算中只要一个因数变化积就发生变化，在除法中被除数除数变化一个商就发生变化。
想知道具体怎么变化的请看下面的例题。
【典型例题】
例1、两个因数相乘，积是126．如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么这时的两数之积是多少？
例2、两个数相除，商是84．如果被除数扩大2倍，除数缩小3倍，那么这时的商是多少？
例3、小明在计算除法时，把除数540末尾的“0
例4、一个学生做两个整数相乘的乘法时，把其中一个因数个位上的4误写为1，得出的乘积是525；另一个学生也做这道乘法，他把这个因数个位上的4误写为8，得出的乘积是700．这道乘法计算的正确结果应该是多少？
例5、计算两个两位数相乘的积，小马把其中一个因数个位上的2看成了7，而小虎把这个数十位上的5看成了3，结果小马算出的得数比小虎多475．正确的得数应该是多少？
例6、某同学在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，但余数正好相同．求原来的商和余数各是多少？
【考点讲解】
在近几年的小升初考试中像上面例题这样的没有出过，但有涉及有余数的除法的有关被除数、除数、商和余数的和差倍问题。
在这里主要让同学们熟悉a ÷b ＝c ……d ，a ＝bc ＋d ，a －d=bc 有余数除法的关系式。
【方法小结】
在乘法运算中，因数的变化引起积的变化有如下规律：
1、如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数．
2、如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变． 在除法运算中，被除数、除数的变化引起商的变化有如下规律：
1、如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数．
2、如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或扩大）同样的倍数．
3、如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变．
4、在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，那么它们的商不变，但余数扩大（或缩小）了同样的倍数．
【练习题】
1
⑴ 两个数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小3倍，那么积有什么变化？
⑵ 两个数相乘，一个因数缩小3倍，要使积不变，另一个因数应有什么变化？
⑶ 两个数相乘，如果一个因数缩小4倍，现在要使积扩大4倍，那么另一个因数应有什么变化？
⑷ 两个数相乘，如果一个因数扩大4倍，现在要使积缩小2倍，那么另一个因数应有什么变化？
2、两个数相除，商是54，如果被除数扩大18倍，除数扩大6倍，那么这时的商应是多少？
3、某同学在计算67乘一个数时，错将一个数个位上的2看成了5，结果得出的乘积是2345．正确的乘积是多少？
4、小华在计算一道除法算式题时，错把被除数281写成了218，结果商比原来减少了9，而余数却恰好相同．原来除式中被除数、除数、商和余数的和是多少？
检 测 题（测试时间：30分钟，满分：50分）
姓名____________ 学校_______________________ 座号_________ 成绩 ________
A 卷（20分）
1、观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？（ ）（4分）
2、找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。
（8分） ⑴ 4，8，13，19，（ ），34 ⑵ 1，4，9，16，（ ），36 ⑶ 16，33，67，135（ ），543 ⑷ 1，1，2，3，5，8，（ ），21，34
3、请根据数字间的关系，找规律填空：？＝（ ）；△＝（ ）（8分）
B 卷（30分）
1、回答下面问题，并说明理由。
（10分）
⑴ 两个数相乘，如果一个因数缩小12倍，现在要使积扩大5倍，那么另一个因数应有什么变化？
⑵ 两个数相除，如果被除数扩大20倍，现在要使商扩大60倍，那么除数应有什么变化？
2、张明在计算乘法时，真粗心！把乘数个位上的8看成3，又把乘数十位上的3看成8，使计算结果多了1170。
这道题的被乘数是多少？（10分）
3、王红在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来的多了3，但余数恰巧相同，求这道题的除数与余数。
（10分）
第二讲 积与商的变化规律参考答案： 【典型例题】
例1、126×2÷3＝84 例2、84×2×3＝504
例3、由条件可知，变化后的商是正确商的10倍，所以正确的商应是60÷10＝6 例4、由条件可知，另一个因数为：（700－525）÷（8－1）＝25，
因为：525÷25＝21，正确积为：25×24＝600或因为700÷25＝28，正确积为：25×24＝600
例5、另一个因数是475÷[（7－2）＋（50－30）]＝19
正确的得数应是52×19＝988
或求另一个因数时：475÷（57－32）＝19，正确的得数应是52×19＝988
例6、由条件知，被除数增加的部分是除数的3倍，所以，除数是：（173-137）÷3＝12又因为137÷12＝11…5，所以商是11，余数是5。
【练习题】
1、⑴积不变
⑵另一个因数应扩大3倍。
⑶另一个因数应扩大16倍。
⑷另一个因数应缩小8倍。
2、这时的商应是54×18÷6＝162或54×（18÷6）＝162
3、错误的因数是：2345÷67＝35，正确的积是67×32＝2144
4、除数为（281－218）÷9＝7，原来的商和余数为：281÷7＝40 (1)
所求的和为281＋7＋40＋1＝329
检测题
A卷
1、2×4＋1×4＝12,4×2＋1×2＝10,2×3＋4×3＝18
2、26,25,271,13
3、34－2＝32,6÷2＝3； 40－5＝35,15÷5＝3； 84－3＝81,18÷3＝6； 48－4＝44,12÷4＝3 所以，？＝4，△＝12
B卷
1、（1）扩大60倍（2）除数缩小3倍
2、1170÷（50－5）＝26
3、（131－113）÷3＝6,113÷6618 (5)。