小学数学《积和商的变化规律(二)》ppt
四年级上册数学积和商的变化规律
四年级上册数学积和商的变化规律一、积的变化规律。
1. 规律内容。
- 一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。
- 例如：- 在3×5 = 15这个算式中，如果3不变，5乘2变为10，那么积3×10 = 30，15也乘2得到30；如果3不变，5除以5变为1，那么积3×1 = 3，15也除以5得到3。
2. 应用示例。
- 已知12×15 = 180，如果12不变，15扩大3倍变为45，那么积也扩大3倍，12×45 = 12×15×3=180×3 = 540。
- 已知20×30 = 600，如果20缩小为原来的(1)/(10)变为2，30不变，那么积也缩小为原来的(1)/(10)，2×30 = 60。
3. 拓展。
- 两个因数同时变化时：- 两个因数都乘一个数（0除外），积就乘这两个数的乘积。
例如2×3 = 6，如果2乘2变为4，3乘3变为9，那么4×9 = 36，6乘2×3 = 6得到36。
- 两个因数都除以一个数（0除外），积就除以这两个数的乘积。
例如16×20 = 320，如果16除以2变为8，20除以4变为5，那么8×5 = 40，320除以(2×4)=8得到40。
- 一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。
例如4×9 = 36，如果4乘3变为12，9除以3变为3，那么12×3 = 36，积不变。
二、商的变化规律。
1. 规律内容。
- 被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
- 例如：- 在12÷3 = 4这个算式中，如果12不变，3乘2变为6，那么商12÷6 = 2，4除以2得到2；如果12不变，3除以3变为1，那么商12÷1 = 12，4乘3得到12。
《变化规律》(二)
例题四:
两数相减，被减数增加20，要使差减 少16，减数应有什么变化？
分析： 被减数增加20，假设差不变，减数应增加20， 现在要差减少16，减数还要增加16。
解：假设减数是a，则
a+20+16 = a+36
答：减数应增加36。
疯狂操练4：
被减数减少12，减数减少12；差增加8， 第1题： 减数减少8. 减数减少20。 a-12-8=a-20
例题四:
两数相除，如果被除数扩大30倍，要 使商扩大60倍，除数将怎样变化？
分析： 被除数扩大30倍，除数也扩大30倍；商扩 大时除数缩小。要使商再扩大60÷30=2倍 倍，除数要缩小2倍
解：假设商是a，则
60÷30=2倍
答：除数将缩小2倍。
疯狂操练4：
被除数缩小8倍，除数要缩小8倍；商扩大 第1题： 时除数要缩小，所以除数要缩小8×2=16倍。 a× 8×2= a× 16 除数缩小倍。 第2题： 除数扩大9倍，商缩小9倍；商扩大时被 除数也扩大。 被除数扩大3倍。 9÷3= 3 第3题：被除数缩小12倍，商也缩小12倍；除数 缩小时商扩大。现在商只缩小2倍，就要 扩大6倍，除数反而要缩小6倍。 12 ÷2= 6 除数缩小6倍。
分析： 一个因数扩大3倍，假设积不变，另一个因 数缩小3倍；积就扩大9倍；一个因数不变， 另一个因数扩大9倍。
解：假设另一个因数是a，则
a ÷3×9= a ×3(倍)
答：另一个因数应该扩小6倍，另一个因数应扩大6 倍，积扩大3倍，另一个因数应扩大3倍。 a×6×3= a×18 另一个因数应扩大18倍 第2题： 一个因数扩大8倍，另一个因数缩小8倍， 积缩小2倍，另一个因数也缩小2倍 a÷8÷2= a÷16 另一个因数缩小16倍。 第3题：一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍， 积缩小10倍，另一个因数也缩小10倍 a×5÷10= a÷2 另一个因数缩小2倍。
小学数学《积和商的变化规律》ppt
两数相乘，一个因数乘（或除以） 几，另一个因数除以（或乘）几， 它们的乘积不变。
例1 两数相乘，如果一个因数 乘4，另一个因数除以12，积将 怎样变化？
解： 12÷4=3 答：积会除以3。
积 和 商 的 变 化 规 律
6×2= 6×20= 6×200=Biblioteka 8×10= 24×10= 72×10=
两数相乘，当一个因数不变， 另一个因数乘以几时，积也要乘 以几。
同学们猜想一下：两数相乘， 一个因数不变，另一个因数除以 几时，积可能会怎么变呢？
80×4= 40×4= 20×4=
25×160= 25×40= 25×10=
两数相乘，当一个因数不变， 另一个因数除以几时，积也要除以 几。
两数相乘，一个因数不变， 另一个因数乘（或除以）几，积 也要乘（或除以）几。
用笔算或计算器验算。
26×48= 26×24= 26×12=
17×12= 17×24= 17×36=
牛顿的故事
18 × 24 = （18÷2）×（24×2） = （18×2）×（24÷2） = 105 × 45 = （105÷5）× （45×5）= （105×3）× （45÷3）=
四秋 第四讲 积与商的变化规律(二)
积与商的变化规律（二）一、知识站点关键看乘法或者除法算式中，三者之间的联系，如：1、乘数对积的影响；2、被除数对商的影响；3、除数对商的影响；4、被除数对余数的影响；5、除数对商的影响；例1、两个数相乘，积是28，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数扩大到它的2倍，那么得到的新积是多少？扩展1 两个数相乘，积是20，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的21，那么得到的新积是多少？扩展2 两个数相乘，积是260，如果一个数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的81，那么得到的新积是多少？扩展3 两个数相乘，积是720，如果一个乘数缩小到它的81，另一个乘数缩小到它的31，那么得到的新积是多少？练一练：1、两个数相乘，积是35，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数扩大到它的3倍，那么得到的新积是多少？2、两个数相乘，积是220，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的21，那么得到的新积是多少？3、两个数相乘，积是81，如果一个乘数扩大到它的4倍，另一个乘数缩小到它的121，那么得到的新积是多少？4、两个数相乘，积是630，如果一个乘数缩小到它的31，另一个乘数缩小到它的51，那么得到的新积是多少？例2、红红在计算一道乘法算式题时，把其中的一个乘数扩大到它的5倍，计算结果是45.原算式的结果应该是多少？练一练1、林林在做一道整数乘法算式题时，把一个乘数末尾上的“0”丢了，得到的积是26.正确的积应该是多少？2、一道乘法算式，如果一个乘数扩大到它的5倍，另一个乘数缩小到它的101，计算的结果是32.正确的积应该是多少？例3、两个数相除，商是210，如果被除数扩大到它的3倍，除数不变。
新的商是多少？扩展1 两个数相除，商是210，如果被除数不变，除数扩大到它的3倍。
新的商是多少？扩展2 两个数相除，商是210，如果被除数扩大到它的3倍，除数扩大到它的6倍。
新的商是多少？练一练1、两个数相除，商是450，如果被除数扩大到它的5倍，除数不变。
《积的变化规律》课件
学生可以通过解决实际问题来巩固和加深对积的变化规律的理解。在未来的学习中，应注 重培养学生的实际应用能力，使学生能够运用所学知识解决生活中的问题。
培养数学思维和创造力
数学的学习不仅仅是掌握知识，更重要的是培养数学思维和创造力。在未来的学习中，学 生应积极思考、勇于创新，不断挖掘数学的奥秘和可能性。
课程目标
理解积的变化规律
01
学生将通过本课件的学习，深入理解积的变化规律，掌握乘法
分配律、乘法结合律等基本运算规则。
运用积的变化规律解决实际问题
02
学生将学会运用积的变化规律解决实际问题，提高数学应用能
力和解决问题的能力。
培养数学思维能力
03
通过本课件的学习，学生将培养数学思维能力，提高数学素养
和数学成绩。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，数据结构是基础课程之一，其中涉及到大量的数组、矩阵等数据结构，这些结构的 操作都需要用到积的运算性质。
算法优化
在算法优化中，通过利用积的运算性质，可以优化算法的时间复杂度和空间复杂度，提高算法的效率 。
05
CATALOGUE
积的变化规律与生活实例
购物优惠券的积的变化规律
乘法交换律
总结词
乘法交换律是指两个数相乘时，交换它们的顺序，其积不变。
详细描述
乘法交换律也是基本的数学运算性质之一，它表明在乘法运算中，数的顺序并 不会影响最终的乘积结果。例如，对于任意两个数a和b，有a×b=b×a，即乘法 的交换性。
乘法分配律
总结词
乘法分配律是指一个数与另外两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘 后再求和。
掌握积的变化规律有助于理解数学运 算的本质，提高数学运算的准确性和 速度。
四年级数学下册积商的变化规律
积、商的变化规律一、积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外）积也要乘或除以相同的数。
（一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一，积也要扩大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一。
）二、商的变化规律：除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数；被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
（除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商也要扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一；被除数不变，除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就要缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍。
）在有余数的除法里，如果被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数（0除外），商不变，余数也随着扩大和缩小相同的倍数。
入门题：1、两个数相乘（积不为0），一个因数不变，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？2、两个数相乘（积不为0），一个因数除以3，另一个因数不变，积应该怎样变化？3、两个数相乘（积不为0），一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？4、两个数相乘（积不为0），一个因数乘6，另一个因数除以3，积应该怎样变化？5、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的6倍，除数不变，商应该怎样变化？6、两个数相除（商不为0），如果被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？7、两个数相除（商不为0），如果被除数除以6，除数不变，商应该怎样变化？8、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的6倍，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？9、两个数相除（商不为0），如果被除数扩大到原来的3倍，除数缩小到原来的十分之一，商应该怎样变化？10、两个数相除（商不为0），如果除数扩大到原来的9倍，要使商缩小到原来的三分之一，被除数应该怎样变化？练习题：1、两个数相乘，积是96，如果一个因数缩小到原来的四分之一，另一个因数扩大到原来的3倍。
积的变化规律与商的变化规律课件
积与商的拓展知识比较
乘法和除法都是基本的四则运 算之一，它们之间存在密切的 联系。乘法可以看作是重复相 加的过程，而除法可以看作是 重复相减的过程。
在乘法中，交换律和结合律非 常重要，它们允许我们在不改 变结果的前提下改变乘法的顺 序。而在除法中，基本的运算 性质允许我们简化除法表达式 。
在数学中，乘法和除法都有逆 元和零元的概念。对于乘法， 逆元是它的倒数，而零元是0 。对于除法，逆元是它的倒数 ，而零元是1。这些概念在解 决数学问题时非常有用。
面积和体积计算
在建筑、装修等领域，需要使用乘法来计算面积和 体积。
除法在日常生活中的应用
80%
分配
在分配物品或资源时，除法用于 计算每个人或每个部分应得的数 量。
100%
速度和效率
在计算速度、效率等指标时，除 法也是必不可少的。
80%
成本计算
在商业和财务领域，除法用于计 算成本、利润等。
积与商在数学建模中的应用
积的变化规律与商的变化规律 课件
目
CONTENCT
录
• 积的变化规律 • 商的变化规律 • 积与商的应用 • 积与商的证明方法 • 积与商的拓展知识
01
积的变化规律
乘法交换律
乘法交换律是指两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。
乘法交换律是基本的数学运算规则之 一，它表明无论因数的顺序如何，它 们的积都是相同的。例如，2乘以3等 于3乘以2。
除法的性质
除法具有交换律、结合律和分配律等基本性质，这些性质在数学 中有着广泛的应用。
商的运算性质
商的加法性质
如果a除以b得到商c，那么(a+d) 除以b也等于c+d/b，其中d是任 意实数。
数学课件《商的变化规律》
商通常用分数或小数表示，如 “9÷3=3”可以表示为分数“3/1” 或小数3.0。
商的变化规律定义
商的变化规律定义
商的变化规律是指当被除数或除数发生变化时，商如何相应地变化。例如，当 被除数扩大2倍时，商也扩大相同的倍数；当除数缩小2倍时，商反而扩大相同 的倍数。
商的变化规律形式
商的变化规律可以用数学公式表示，如“a÷(b÷c)=a×(1/b)×c”、 “(a×b)÷c=a÷(c/b)”等。
详细描述
例如，如果一个数缩小2倍，另 一个数不变，则它们的积也缩 小2倍。
除法运算中的商的变化规律
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数扩大若干倍，被除数不变，则 商也扩大相同的倍数。
详细描述
例如，如果除数扩大2倍，被除数不 变，则商也扩大2倍。
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数缩小若干倍，被除数不变，则 商也缩小相同的倍数。
在数学中的应用
代数运算
商的变化规律在代数运算中有着广泛 的应用，例如在解方程、因式分解和 不等式求解等过程中，需要根据商的 变化规律对表达式进行变形和化简。
函数和微积分
在函数和微积分的学习中，商的变化 规律对于理解函数的单调性、极值以 及导数的计算等概念至关重要，是深 入学习数学的基础。
在日常生活中的应用
一个除法的商是7，除数是4，被除数 是多少？
一个除法的商是3，被除数是96，除 数是多少？
这些题目旨在挑战学生的思维能力， 让他们在理解商的变化规律的基础上， 灵活运用规律解决问题。
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大胆的猜测一下：除法中有 没有类似的规律？如果有会是什 么规律呢？
验证第一个猜测：除数不变，被除 数和商的变化规律。
除数不变，被除数扩大（或缩 小）若干倍，商也相应的扩大 （或缩小）相同的倍数。
验证第二个猜测：被除数不变， 除数扩大或缩小，商会随之缩小 或扩大吗？
被除数不变，除数扩大（或 缩小）若干倍，商会相应的缩 小（或扩大）相同的倍数。
我们一起学习过积的变化规律，谁 还记得？
两数相乘（积不为0），一个因数不变， 另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也 相应的扩大（或缩小）相同的倍数；
两数相乘（积不为0），一个因数扩大若 干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
我们都知道乘法和除法有着密切的 关系，现在我们发现了乘法中有这样 的规律，大家有什么想法？
三条变化规律：
除数不变，被除数扩大（或缩小） 若干倍，商也相应的扩大（或缩小） 相同的倍数；
被除数不变，除数扩大（或缩小） 若干倍，商会相应的缩小（或扩大） 相同的倍数；
被除数和除数同时扩大或缩小相 同的倍数时商不变。
有余数除法的变化规律
在有余数的除法里，如果 被除数和除数同时乘以（或除 以）相同的数（0除外），商不 变，余数也要乘以（或除以） 相同的数。
76800÷24= 34Βιβλιοθήκη ÷57=76800÷2400=
例2 小明在计算除法时，把除 数末尾的“0”漏写了，结果得到 的商是500，正确的商应该是多 少？
解： 50010=50 答：正确的商是50。
例3 除法算式1550200=7…150， 如果被除数和除数同时除以5，商是 多少，余数多少？
解：1505=30 答：商是7，余数是30。
3、验证第三个猜测：被除数扩大 （或缩小）若干倍，除数缩小（ 或 扩大）相同的倍数，商不变吗？
被除数扩大或缩小若干 倍，除数缩小或扩大相同的 倍数，商不变
被除数和除数同时扩大 或缩小相同的倍数时商不变
1、运用规律，完成下面各题。 3420÷57=60
76800÷240=320 34200÷57=