错位相减法的运用

错位相减法的运用

错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题：

例 1. （2012年四川省文12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且

11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1

{lg

}n

a 的前n 项和最大？ 【解析】（I ）由题意，n=1时，由已知可知11(2)0a a λ-=，分类讨论：由1a =0及1a 0≠，结合数列的和与项的递推公式可求。

（II ）由10a >且100λ=时，令1

lg n n b a =，则2lg2n b n =-，结合数列的单调性可

求和的最大项 。

【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。 若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n

n a S S --=。

若1a 0≠，则12

a λ

=，

当n 2≥时，2

2n n a S λ

=

+，112

2n n a S λ

--=

+，

两个相减得：12n n a a -=，∴n 2n

a λ

=

。∴数列{}n a 公比是2的等比数列。

综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2n

a λ

=。

（Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1

lg

n n

b a =，则2lg 2n b n =-。 ∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2）

则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100

lg 2100lg

6

=>=；

当n≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100

lg 2

100lg 7=<=。 ∴数列{lg n a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1

{lg }n

a 的前n 项和最大。

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应

用。

例2. （2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++

+n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.

【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。

（Ⅱ）写出n T 的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，

由1a =1=2b ，得344423286a d b q s d =+==+，，。 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组

3

3

23227

86210

d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+312n n n a n b n N =-=∈，，。

(Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；

∴234+112122222n n n n n T a a a a --=+++?+ ②； 由②－①得，

()()()()234112232112+222+22n n n n n n n n n n

T a a a a a a a a a a b -----=--+-+-+?-+

()()23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+612

12

=2+1012

n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b b a b -=-?+?+?+??+?-?+++??--?

--?-----

∴+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈。

【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。

例6. （2012年江西省理12分）已知数列{}n a 的前n 项和2

12

n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。 （1）确定常数k ，并求n a ； （2）求数列92{

}2n

n

a -的前n 项和n T 。 【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n ＝k N +∈时，2

12

n S n kn =-+取得最大值，代入可求k ，然后利用1n n n a S S -=-可求通项，要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ，

首项1a 一般通过11a S =来求解。

（2）设b n ＝9－2a n 2n ＝n

2

n －1，可利用错位相减求和即可。

【答案】解：（1）当n ＝k N +∈时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2

＝12

k 2，

∴k 2

＝16，∴k＝4。

∴1n n n a S S -=-＝9

2

－n(n≥2)。

又∵a 1＝S 1＝72，∴a n ＝9

2－n 。

（2）∵设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n

2

n －1，

∴T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2

2

n －1。

【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。