2014浙江专升本数学真题
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 集合与常用逻辑用语、等式与不等式
专题01集合与常用逻辑用语、等式与不等式考点01集合1.（2023年浙江）已知集合S={1,2,4},T={2,3},则∩=（）u 1,2,3,4u 2u 1,3,4u2.（2022年浙江）已知全集03{}689U =，，，，，集合}9{3A =，，则U A =ð（）A ．{068}，，B ．{3，9}C ．0368{}9，，，，D ．∅3.（2021年浙江）集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{2,4}B =-，则A B = （）A.{2,1,4}-- B.{2}- C.{0,1,2,4}D.{2,1,0,1,2,4}--4.（2020年浙江）集合{1,2,7,8}A =，集合{2,3,5,8}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{3,5}C ．{2,8}D ．{1,2,3,5,7,8}5.（2019年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,1,1,3B =--，则A B = （）A.{}1,1- B.{}1- C.{}1 D.∅6.（2018年浙江）已知集合A={1，2，4}，B={1，3，5，7}，则A ∪B=（）A.{1}B.{1，3，5，7}C.{1，2，3，4，5，7}D.{1，2，4}7.（2017年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,B x x x =<∈N ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2- B.{}1,1,2,3- C.{}0,1,2 D.{}0,18.（2016年浙江）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =,}7,5,3,2{=B ,则A B = A .}3,2{B .{6,7}C .}5,3,2{D .{1,2,3,4,5,6,7}9.（2015年浙江）己知集合{}230M x x x =++=，则下列结论正确的是（）A ．集合M 中共有2个元素B ．集合M 中共有2个相同元素C ．集合M 中共有1个元素D ．集合M 为空集10.（2014年浙江）已知集合{},,,M a b c d =，则含有元素a 的所有真子集个数有（）A .5个B ．6个C .7个D .8个考点02常用逻辑用语1.（2023年浙江）“=1”是“=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（2022年浙江）“21x >”是“0x >”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.（2021年浙江）已知a ，b 为实数，则“330a b -=”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2020年浙江）“45α=︒”是“sin 2α=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.（2019年浙江）“2120191k -=”是“1k =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.（2018年浙江）命题p ：α=0是命题q ：sin α=0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（2017年浙江）命题p ：1a =，命题q ：()210a -=.p 是q 的（）A.充分且必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.（2016年浙江）命题甲“sin 1α=”是命题乙“cos 0α=”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分且必要条件D .既不充分也不必要条件9.（2015年浙江）命题甲“a b <”是命题乙“0a b -<”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件10（2014年浙江）“0a b +=”是“0a b ⋅=”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件考点03等式与不等式1.（2023年浙江）已知实数a>b>c,则下列结论正确的是()A.a+b<2cB.a+b>2cC.a+c>2bD.a +c<2b 2.（2023年浙江）当x>-1时、函数f(x)=2+2r10r1的最大值的最小值是()A.2B.3C.6D.103.（2022年浙江）下列不等式（组）中，其解集在数轴上的表示如图的是（）A ．|1|3x -≤B ．4020x x -<⎧⎨+≥⎩C ．2280x x --<D ．1311x x -≤⎧⎨+>-⎩4.（2022年浙江）已知00x y >>，，且221102x y +=，则xy 的最大值为__________．5.（2021年浙江）不等式3.5 1.5x -£的解集为（）A.[2,5]B.(2,5)C.(,2][5,)-¥+¥ D.(,2)(5,)-¥+¥ 6.（2021年浙江）已知实数0m n <<，则下列不等式成立的是（）A.220m n << B.22m n < C.n m m n-<- D.n m -<-7.（2021年浙江）已知3 4 (0,0)x y x y +=>>，则xy 的最大值为.8.（2020年浙江）已知a ，b ，c 是实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b >，则22ac bc>9.（2020年浙江）若正数a ，b 满足20ab =，则2a b +的最小值为_________．10.（2019年浙江）不等式240x x -≤的解集为（）A.[]0,4 B.()0,4 C.[)(]4,00,4- D.(][),04,-∞+∞ 11.（2019年浙江）a 、b 、c 为实数，则下列各选项中正确的是（）A.0a b a c b c-<⇔-<- B.0a b a b->⇔>-C.022a b a b ->⇔->- D.0bca b c a a>>>⇔>12.（2019年浙江）正数x 、y 满足lg lg 2x y +=，则x y +的最小值等于________.13.（2018年浙江）不等式|1-3x |≥2的解集是（）A.−∞,B.−∞,⋃1,+∞C.−13,1D.1,+∞14.（2017年浙江）若x ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.52x x < B.52x x->- C.2x > D.()2211x x x +>++15.（2017年浙江）如图，在数轴上表示的区间是下列哪个不等式的解集（）A.260x x --≤ B.260x x --≥ C.1522x -≥ D.302x x -≥+16.（2017年浙江）若1x <-，则函数()121f x x x =--+的最小值为______.17.（2016年浙江）不等式213x -<的解集是A .(1,)-+∞B .(2,)+∞C .(1,2)-D .(2,4)-18.（2016年浙江）若1x >，则91x x +-的最小值为.19.（2015年浙江）已知()()2220x x y -++=，则3xy 的最小值为（）A ．2-B ．2C ．6-D ．-20.（2015年浙江）不等式277x ->的解集为__________．（用区间表示）21.（2014年浙江）下列不等式（组）解集为{}|0x x <的是（）A .3323x x -<-B .20231x x -<⎧⎨->⎩C .220x x ->D 12x -<x<<，则当且仅当x＝时，x（4－x）的最大值为22.（2014年浙江）若04专题01集合与常用逻辑用语、等式与不等式考点01集合1.（2023年浙江）已知集合S={1,2,4},T={2,3},则∩=（）u 1,2,3,4u 2u 1,3,4u答案B2.（2022年浙江）已知全集03{}689U =，，，，，集合}9{3A =，，则U A =ð（）A ．{068}，，B ．{3，9}C ．0368{}9，，，，D ．∅答案A3.（2021年浙江）集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{2,4}B =-，则A B = （）A.{2,1,4}--B.{2}- C.{0,1,2,4}D.{2,1,0,1,2,4}--答案D4.（2020年浙江）集合{1,2,7,8}A =，集合{2,3,5,8}B =，则A B = （）答案C A ．{2}B ．{3,5}C ．{2,8}D ．{1,2,3,5,7,8}5.（2019年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,1,1,3B =--，则A B = （）A.{}1,1-B.{}1-C.{}1 D.∅答案A6.（2018年浙江）已知集合A={1，2，4}，B={1，3，5，7}，则A ∪B=（）A.{1}B.{1，3，5，7}C.{1，2，3，4，5，7}D.{1，2，4}答案C7.（2017年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,B x x x =<∈N ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2-B.{}1,1,2,3- C.{}0,1,2 D.{}0,1答案D8.（2016年浙江）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =,}7,5,3,2{=B ,则A B = A .}3,2{B .{6,7}C .}5,3,2{D .{1,2,3,4,5,6,7}【答案】D【解析】集合A ，B 中出现的所有元素1,2,3,4,5,6,7；所以答案选D 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文)试卷及解析
22.本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的 位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分14分。
（1）由题意知，焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，由抛物线的定义知， ，得到 ，
代入 求得 或 ，
所以 或 ，由 得 或 ，
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，
（1）因为 ，
①当 时，
若 ，则 ， ，故 在 上是减函数；
若 ，则 ， ，故 在 上是增函数；
所以， .
②当 ，则 ， ， ，故 在 上是减函数，
所以 ，
综上所述， .
（2）令 ，
①当 时， ，
若 ， 得 ，所以 在 上是增函数，所以 在 上的最大值是 ，且 ，所以 ，
故 .
若 ， ，则 ，所以 在 上是减函数，
14.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为
.
15.设函数 ，若 ，则 .
16.已知实数 、 、 满足 ， ，则 的最大值为为_______.
17. 设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 、 ，若 满足 ，则双曲线的离心率是.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（1）连结 ，在直角梯形 中，由 ， 得 ，
由 得 ，即 ，
又平面 平面 ，从而 平面 .
（2）在直角梯形 中，由 ， 得 ，
又平面 平面 ，所以 平面 .
作 于 的延长线交于 ，连结 ，则 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角.
在 中，由 ， ，得 ， ，
在 中， ， ，得 ，
在 中，由 ， 得 ，
浙江2014年专升本数学真题及答案
浙江2014年专升本数学真题及答案1、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.3552、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为13、16．“x2（x平方）－4x－5=0”是“x=5”的( ) [单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、? 是第（）象限的角[单选题] *A. 一(正确答案)B. 二C. 三D. 四5、11．2020·北京，1,4分)已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1,2}D．{1,2}(正确答案)6、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。
记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1，-3，-5，+1，-6，+2，-4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（??）[单选题] *A．1℃B．31℃C．8℃(正确答案)D．69℃7、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] *A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣18、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．819、28、若的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）[单选题] *A. 6个，B. 7个，C. 8个，D. 9个(正确答案)10、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（-2）的值为（）。
成人高考专升本高等数学(一)考试真题及答案解析2014年
2014年成人高考专升本考试真题及答案解析高等数学（一）1.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： D2.(单选题)设则(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的微分的知识点.【应试指导】因为3.(单选题)设函数则(本题4分)A 1/2B 1C π/2D 2π标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了导数的基本公式的知识点.【应试指导】因为所以4.(单选题)设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b）可导，则在（a，b)内(本题4分)A 不存在零点B 存在唯一零点C 存在极大值点D 存在极小值点标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了零点定理的知识点.【应试指导】由题意知，f(x)在（a，b）上单调递增，且f(a)·f(b)<0，则y=f(x）在(a，b)内存在唯一零点。
5.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】6.(单选题)(本题4分)A -2B -1C 1D 2标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了定积分的奇偶性的知识点.【应试指导】7.(单选题)(本题4分)A -eBCD e标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了无穷区间的反常积分的知识点.【应试指导】8.(单选题)设二元函数(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】因为9.(单选题)设二元函数(本题4分)A 1B 2CD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的应用的知识点.【应试指导】因为10.(单选题)，则该球的球心坐标与半径分别为(本题4分)A （-1，2，-3）；2B （-1，2，-3）；4C （1，-2，3）；2D （1，-2，3）；4标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了球的球心坐标与半径的知识点.【应试指导】所以，该球的球心坐标与半径分别为（1，-2，3)，2.11.(填空题)设，则a=______(本题4分)标准答案： 2/3解析：【考情点拨】本题考查了特殊极限的知识点.【应试指导】12.(填空题)曲线的铅直渐近线方程为_________ .(本题4分)标准答案： x=-1/2解析：【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点.【应试指导】当的铅直渐近线13.(填空题)设则y'=________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.【应试指导】因为14.(填空题)设函数在X=0处连续，则a=_______(本题4分)标准答案： 3解析：【考情点拨】本题考查了函数在一点处连续的知识点.【应试指导】因为函数f(x)在x=0处连续，则15.(填空题)曲线在点（0，1)处的切线的斜率k=____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了导数的几何意义的知识点.【应试指导】因为即所求的斜率k=116.(填空题)_______(本题4分)标准答案： 1/2解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】17.(填空题)设函数则____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了变上限的定积分的知识点.【应试指导】因为18.(填空题)设二次函数则dz=______(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】因为19.(填空题)过原点（0，0，0)且垂直于向量（1，1，1)的平面方程为_________ (本题4分)标准答案： x+y+z=0解析：【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点.【应试指导】由题意知，平面的法向量为（1，1，1)，则平面方程可设为x+y+z+D=0因该平面过(0，0，0)点，所以D=0，即x+y+z=020.(填空题)微分方程的通解为y=__________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.【应试指导】21.(问答题)计算(本题8分)标准答案：22.(问答题)设y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y'.(本题8分)标准答案：将2y+sin（x+y)=0两边对x求导，得23.(问答题)求函数f（x）=x3-3x的极大值.(本题8分)标准答案：所以x1=-1为f（x）的极大值点，f（x）的极大值为f(-1)=2. (8分）24.(问答题)计算(本题8分)标准答案：25.(问答题)设函数(本题8分)标准答案：因为所以26.(问答题)计算其中D是由直线x=0,y=0及x+y=1围成的平面有界区域.(本题10分)标准答案：27.(问答题)判定级数(本题10分)标准答案：所以原级数收敛(10分)28.(问答题)求微分方程的通解(本题10分)标准答案：对应的齐次方程为特征方程为（2分）特征根为（4分）所以齐次方程的通解为（6分）设为原方程的一个特解，代入原方程可得（8分），所以原方程的通解为（10分）。
2014年成人高考专升本高等数学一真题附答案
2021年成人高考专升本高等数学一真题及答案一、选择题：每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题参考答案：A第3题参考答案：B第4题设函数f(x)在[a,b]连续，在(a，b)可导，f’(x)>0.假设f(a)·f(b)<0，那么y=f(x)在(a，b)( )参考答案：B第5题参考答案：C第6题参考答案：D 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：A第10题设球面方程为(x一1)2+(y+2)2+(z一3)2=4，那么该球的球心坐标与半径分别为( )A.(一1，2，一3);2B.(一1，2，-3);4C.(1，一2，3);2D.(1，一2，3);4参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。
每题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：2/3第12题第13题第14题参考答案：3第15题曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=_______．参考答案：1第16题参考答案：1/2第17题参考答案：1第18题设二元函数z=x2+2xy，那么dz=_________．参考答案：2(x+y)dx-2xdy第19题过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为________．参考答案：z+y+z=0第20题微分方程y’-2xy=0的通解为y=________．三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解容许写出推理，演算步骤。
第21题第22题设Y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y’．第23题求函数f(x)一x3—3x的极大值．第24题第25题第26题第27题第28题求微分方程y〞+3y’+2y=ex的通解．。
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 直线与圆含详解
专题04直线与圆考点01直线1.（2023年浙江）直线3−−23=0的倾斜角是（）A.150° B.120° D.60° D.30°2.（2023年浙江）直线l 经过点M(-4,1),且与过A(1,5),B(-6,3)两点的直线平行,则直线l 的方程为（）A.7x +2y+26=0B.2x-7y+15=0C.7x-2y+30=0D.2x +7y+1=03.（2022年浙江）两条平行直线220x y +-=与280x y ++=之间的距离为（）A B ．C ．5D ．104.（2022年浙江）已知三点(0,2),(2,),(5,12)A B m C 在同一条直线上，则实数的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．105.（2021年浙江）直线y x =--）A.45-°B.45°C.135°D.135-°6.（2021年浙江）直线360x y --=与坐标轴相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（）A. B.C.4D.87.（2020年浙江）直线x =的倾斜角为（）A ．0︒B ．30︒C ．60︒D ．90︒8.（2020年浙江）双曲线221x y -=与直线1x y -=交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．49.（2020年浙江）若直线y x b =+经过抛物线24x y =的焦点，则b 的值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．210.（2020年浙江）已知点(3,4),(7,6)A B -，则线段AB 的中点坐标为（）A ．(5,1)B ．(2,5)C ．(10,2)D ．(4,10)11.（2019年浙江）已知直线的倾斜角为60︒，则此直线的斜率为（）A.33-B. D.3312.（2019年浙江）动点M 在y 轴上，当它与两定点()4,10E 、()2,1F -在同一条直线上时，点M 的坐标是（）A.()0,6B.()0,5C.()0,4D.()0,313.（2018年浙江）过原点且与直线x -2y -1=0垂直的直线方程为（）A.2x +y =0B.2x -y =0C.x +2y =0D.x -2y =014.（2018年浙江）过点A (3，-2)和B (-1，2)的直线的斜率为_____.15.（2017年浙江）直线12y =+的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°16.（2017年浙江）直线1l 210y ++=与直线2l ：30x -+=的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.非垂直相交17.（2016年浙江）如图，直线32120x y +-=与两坐标轴分别交于,A B 两点，则下面各点中，在OAB ∆内部的是A.(1,2)-B.(1,5)C.(2,4)D.(3,1)18.（2016年浙江）点(2,)a 到直线10x y ++=，则a 的值为A.1-或5B.1-或5- C.1或5-D．5-19.（2016年浙江）点1(3,4)P ，2(,6)P a ，P 为1P 2P 的中点，O 为原点，且OP =a 的值为A.7B.13- C.7或13 D.7或13-20.（2016年浙江）直线1212:(1)(2)0,:(3)(1)10,l a x a y a l a x a y l l -++-=-+-+=⊥，则a =.21.（2015年浙江）直线20150y ++=的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π622.（2015年浙江）平面内，过点()1,A n -，B （n ，6）的直线与直线210x y +-=垂直，求n 的值．23.（2014年浙江）已知两点M （－2，5），N （4，－1），则直线MN 的斜率k ＝（）A .1B .－1C .12D .－1224.（2014年浙江）倾斜角为2π，x 轴上截距为－3的直线方程为（）A .3x =-B .3y =-C .3x y +=-D .3x y -=-25.（2014年浙江）直线210x y +-=与两坐标轴所围成的三角形面积S ＝．26.（2014年浙江）求过点P （0，5），且与直线:320l x y -+=平行的直线方程．考点02圆1.（2023年浙江）已知M(2,0),N(6,4),则以线段MN 为直径的圆的圆心坐标是（）A.(2,2)B.(2,4)C.(8,4)D.(4,2)2.（2023年浙江）当m=___时，圆2+2=2−6+10（m 为常数）表示的圆的半径最小.3.（2022年浙江）过点(3,0)M 作圆224x y +=的一条切线，则点M 到切点之间的距离为（）A ．1B C D ．54.（2021年浙江）设圆方程22()()x m y n m n +++=+，圆心为(3,9)--，则圆的半径为（）A. B.12C.6D.5.（2019年浙江）圆的一般方程为2282130x y x y +-++=，则其圆心和半径分别为（）A.()4,1-，4B.()4,1-，2C.()4,1-，4D.()4,1-，26.（2017年浙江）在圆：22670x y x +--=内部的点是（）A.(B.()7,0C.()2,0-D.()2,17.（2015年浙江）如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为__________．考点03直线与圆综合应用1.（2023年浙江）已知圆C 的圆心坐标为（5，-3），半径r =5（1）求圆C 的标准方程;（3分）（2）若直线l:x+2y-4=0交圆C 相交于M,N 两点，求过这两点的圆C 的切线方程.（6分）2.（2022年浙江）直线10x y ++=交x 轴于点C ，以点C 为圆心，作过点(2,4)M 的圆．（1）求圆C 的标准方程：（4分）（2）直线50x y -+=与圆相交于A ，B 两点，求弦长||AB ．（5分）3.（2021年浙江）已知圆心为(0,2)的圆与直线40x y --=相切.（1）求圆的标准方程；（4分）（2）求x 轴被圆所截得的弦长.（5分）4.（2020年浙江）下列直线中，与圆22(1)(2)5x y -++=相切的是（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=5.（2020年浙江）设直线y x m =+与曲线221(0)x y x +=≥有公共点，则实数m 的取值范围是（）A ．[B ．[1,1]-C ．[-D ．[6.（2020年浙江）已知圆M 的圆心为(4,2)-，半径为6，直线1:20l x y +-=．（1）写出圆M 的标准方程；（4分）（2）直线2l 与1l 平行，且截圆M 的弦长为4，求直线2l 的方程．（5分）7.（2019年浙江）已知圆C 的圆心为()1,1-.（1）写出圆C 的标准方程；（2）试判断直线10x y +-=与圆C 的位置关系；若相交，求出两交点间的距离.8.（2018年浙江）已知圆C ：2+2−2=0，过点P (0，4)的直线l 与圆C 相切，求：（1）圆C 的圆心坐标和半径；（3分）（2）直线l 的方程.（6分）9.（2017年浙江）过点()1,3-的直线l 被圆O ：2242200x y x y +---=截得弦长为8.（1）求该圆的圆心及半径；（3分）（2）求直线l 的方程.（6分）10.（2016年浙江）设直线2380x y +-=与20x y +-=交于点M ，（1）求以点M 为圆心，半径为3的圆的方程；（2）动点P 在圆M 上，O 为坐标原点，求PO 的最大值.11.（2015年浙江）已知直线40x y +-=与圆()()222417x y -++=，则直线与圆的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．相交且不过圆心D ．相交且过圆心12.（2014年浙江）直线l ：230x y +-=与圆C ：22240x y x y ++-=的位置关系是（）A .相交切不过圆心B .相切C .相离D .相交且过圆心13.（2014年浙江）已知圆C ：224640x y x y +-++=和直线l ：50x y -+=，求直线l 上到圆C 距离最小的点的坐标，并求最小距离．专题04直线与圆考点01直线1.（2023年浙江）直线3−−23=0的倾斜角是（）A.150° B.120° D.60° D.30°答案C2.（2023年浙江）直线l 经过点M(-4,1),且与过A(1,5),B(-6,3)两点的直线平行,则直线l 的方程为（）A.7x +2y+26=0 B.2x-7y+15=0 C.7x-2y+30=0 D.2x +7y+1=0答案B3.（2022年浙江）两条平行直线220x y +-=与280x y ++=之间的距离为（）A B ．C ．5D ．10答案B4.（2022年浙江）已知三点(0,2),(2,),(5,12)A B m C 在同一条直线上，则实数的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10答案B5.（2021年浙江）直线y x =--）A.45-°B.45°C.135°D.135-°答案C6.（2021年浙江）直线360x y --=与坐标轴相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（）A. B. C.4 D.8答案A7.（2020年浙江）直线x =的倾斜角为（）A ．0︒B ．30︒C ．60︒D ．90︒答案D8.（2020年浙江）双曲线221x y -=与直线1x y -=交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4答案B9.（2020年浙江）若直线y x b =+经过抛物线24x y =的焦点，则b 的值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案C10.（2020年浙江）已知点(3,4),(7,6)A B -，则线段AB 的中点坐标为（）A ．(5,1)B ．(2,5)C ．(10,2)D ．(4,10)答案A11.（2019年浙江）已知直线的倾斜角为60︒，则此直线的斜率为（）A.33-B. D.33答案C12.（2019年浙江）动点M 在y 轴上，当它与两定点()4,10E 、()2,1F -在同一条直线上时，点M 的坐标是（）A.()0,6B.()0,5C.()0,4D.()0,3答案C13.（2018年浙江）过原点且与直线x -2y -1=0垂直的直线方程为（）A.2x +y =0B.2x -y =0C.x +2y =0D.x -2y =0答案A14.（2018年浙江）过点A (3，-2)和B (-1，2)的直线的斜率为_____.答案-115.（2017年浙江）直线12y =+的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°答案C16.（2017年浙江）直线1l 210y ++=与直线2l ：30x -+=的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.非垂直相交答案D17.（2016年浙江）如图，直线32120x y +-=与两坐标轴分别交于,A B 两点，则下面各点中，在OAB ∆内部的是A.(1,2)-B.(1,5)C.(2,4)D.(3,1)【答案】D【解析】A （4,0），B （0,6）,将（3,1）代入3+2−12=0，得9+2-12<0；所以答案选D 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位5．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．2106．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >97．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )8．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |29．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)10．设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i99，i ＝0,1,2，…，99.记I k＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1,2,3.则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．12．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.13．当实数x ，y 满足{ x ＋2y －4≤0， x －y －1≤0， x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．15．设函数f (x )＝{ x 2＋x ，x <0， －x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．17．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．19．(本题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .20．(本题满分15分)如图，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B -AD -E 的大小．21．(本题满分15分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选B 由题意知U ＝{x ∈N |x ≥2}，A ＝{x ∈N |x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x ＜5}＝{2}．故选B.2．解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．解析：选D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S ＝S 1－S正方形＋S 2＋2S 3＋S斜面，其中S 1是长方体的表面积，S 2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S 3是三棱柱的一个底面的面积，则S ＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2×12×4×3＋5×3＝138(cm 2)，选D.4．解析：选C 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C. 5．解析：选C 由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.6．解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．7．解析：选D 当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D.8．解析：选D 对于min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A ，B 均错；而|a ＋b |，|a －b |中的较大者与|a |，|b |可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2，因此选D.9．解析：选A 解法一(特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．解法二(标准解法) 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n2(m ＋n )；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1mC 2m ＋n＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n ＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.10．解析：选B 显然f 1(x )＝x 2在[0,1]上单调递增，可得f 1(a 1)－f 1(a 0)>0，f 1(a 2)－f 1(a 1)>0，…，f 1(a 99)－f 1(a 98)>0，所以I 1＝|f 1(a 1)－f 1(a 0)|＋|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋…＋|f 1(a 99)－f 1(a 98)|＝f 1(a 1)－f 1(a 0)＋f 1(a 2)－f 1(a 1)＋…＋f 1(a 99)－f 1(a 98)＝f 1(a 99)－f 1(a 0)＝⎝⎛⎭⎫99992－0＝1.f 2(x )＝2(x －x 2)在⎣⎡⎦⎤0，4999上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5099，1上单调递减，可得f 2(a 1)－f 2(a 0)>0，…，f 2(a 49)－f 2(a 48)>0，f 2(a 50)－f 2(a 49)＝0，f 2(a 51)－f 2(a 50)<0，…，f 2(a 99)－f 2(a 98)<0，所以I 2＝|f 2(a 1)－f 2(a 0)|＋|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋…＋|f 2(a 99)－f 2(a 98)|＝f 2(a 1)－f 2(a 0)＋…＋f 2(a 49)－f 2(a 48)－[f 2(a 51)－f 2(a 50)＋…＋f 2(a 99)－f 2(a 98)]＝f 2(a 49)－f 2(a 0)－[f 2(a 99)－f 2(a 50)]＝2f 2(a 50)－f 2(a 0)－f 2(a 99)＝4×5099×⎝⎛⎭⎫1－5099＝9 8009 801<1.f 3(x )＝13|sin 2πx |在⎣⎡⎦⎤0，2499，⎣⎡⎦⎤5099，7499上单调递增，在⎣⎡⎦⎤2599，4999，⎣⎡⎦⎤7599，1上单调递减，可得f 3(a 1)－f 3(a 0)>0，…，f 3(a 24)－f 3(a 23)>0，f 3(a 25)－f 3(a 24)>0，f 3(a 26)－f 3(a 25)<0，…，f 3(a 49)－f 3(a 48)<0，f 3(a 50)－f 3(a 49)＝0，f 3(a 51)－f 3(a 50)>0，…，f 3(a 74)－f 3(a 73)>0，f 3(a 75)－f 3(a 74)<0，f 3(a 76)－f 3(a 75)<0，…，f 3(a 99)－f 3(a 98)<0，所以I 3＝|f 3(a 1)－f 3(a 0)|＋|f 3(a 2)－f 3(a 1)|＋…＋|f 3(a 99)－f 3(a 98)|＝f 3(a 25)－f 3(a 0)－[f 3(a 49)－f 3(a 25)]＋f 3(a 74)－f 3(a 50)－[f 3(a 99)－f 3(a 74)]＝2f 3(a 25)－2f 3(a 49)＋2f 3(a 74)＝232sin 49π99－sin π99>232sin 5π12－sin π12＝2326＋224－6－24＝6＋326>1.因此I 2<I 1<I 3.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．解析：S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝11，i ＝4；S ＝26，i ＝5；S ＝57，i ＝6，此时S >n ，所以i ＝6.答案：612．解析：由题意设P (ξ＝由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：2513．解析：由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2,1)，都代入1≤ax ＋y ≤4，可得1≤a ≤32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 14．解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．答案：6015．解析：结合图形(图略)，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2. 答案：(－∞，2)16．解析：联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±b a x 可解得交点为⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.答案：5217．解析：作PH ⊥BC ，垂足为H ，设PH ＝x ，则CH ＝3x ，由余弦定理AH ＝625＋3x 2－403，tan θ＝tan ∠P AH ＝PHAH ＝1625x 2－403x＋3⎝⎛⎭⎫1x >0，故当1x＝43125时，tan θ取得最大值，最大值为539.答案：539三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．解析：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.19．解析：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2，舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时， c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.20．解析：(1)在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝ 2. 由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE . 所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD .(2)法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F .过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B -AD -E 的平面角． 在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB . 由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6. 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝233，AF ＝23AD .从而GF ＝23.在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5714，BG ＝23.在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B -AD -E 的大小是π6.法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B -AD -E 的大小是π6.21．解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P －a 2kb 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k2，因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ，当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 22．由于－1≤x ≤1，①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1,1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8.②当－1<a <1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，在(－1，a )上是减函数，所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1＜a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1,1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知，①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾；②当－1＜a ≤13时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13. 令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )≥t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0；③当13<a <1时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2是3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； ④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.。
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 数列含详解
专题05数列考点01等差数列1.（2023年浙江）若a,b,c 是公差为1的等差数列,则5,5,5构成()A.公差为1的等差数列B.公差为5的等差数列C.公比为1的等比数列D.公比为5的等比数列2.（2022年浙江）等差数列3-，1，5，…的第6项为__________．3.（2021年浙江）若等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则2021a =.4.（2020年浙江）若1,1,24x x x -++成等差数列，则x =_________．5.（2018年浙江）在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=5，a 2+a 3+a 4=11，则公差d 为（）A.6B.3C.1D.26.（2017年浙江）等差数列{}n a 中，213a =，49a =.（1）求1a 及公差d ；（4分）（2）当n 为多少时，前n 项和n S 开始为负？（3分）7.（2014年浙江）在等差数列{n a }中，已知712,35a S ==，则等差数列{n a }的公差d ＝．考点02等比数列1.（2019年浙江）等比数列14，1，4，16，…的第5项是________.2.（2018年浙江）在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1·a 3=4，则22log a =_____.3.（2016年浙江）等比数列{}n a 满足1234a a a ++=，45612a a a ++=，则其前9项的和9S =.4.（2015年浙江）在等比数列{}n a 中，若1221nn a a a +++=- ，则22212n a a a +++= （）A ．()221n-B ．()21213n-C ．41n -D ．()1413n-5.（2015年浙江）当且仅当x ∈__________时，三个数4，1x -，9成等比数列．6.（2014年浙江）在等比数列{n a }中，若23a =，427a =，则5a ＝（）A .－81B .81C .81或－81D .3或－3考点03数列综合应用1.（2023年浙江）已知数列1=2=1，r2=r1+，求5=______.2.（2023年浙江）如图所示，在下方（n+2）(n+2)(∈∗)）的正方形网格内涂色，两条对角线上的网格涂黑色，黑色网格个数记为，其余网格涂白色，白色网格个数记为，求（1）3,4,和3,4；（4分）（2）数列{（3）数列{前100项的和100.（2分）3.（2022年浙江）已知数列{}n a 满足1113,n n na a a a --==，则2022a =（）A ．3B ．23C ．12-D ．324.（2022年浙江）已知数列{}{},n n a b 满足如下两个条件：（i ）{}n a 为等差数列，公差0d >，{}n b 为等比数列；（ii ）1122331,8,28a b a b a b ====．求：（1）数列{}{},n n a b 的通项公式；（6分）（2）数列{}n n a b 的前n 项和n S ．（4分）5.（2021年浙江）已知实数0a b >>，若P 为a 与b 的等差中项，G 为a 与b 的等比中项，则（）A.P G< B.P G> C.P G£ D.P G³6.（2021年浙江）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为1a ；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为2a ；…；第n 小时内死亡n 个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为n a .由此构成数列{}n a .（1）写出数列{}n a 的前三项；（3分）（2）写出n a 与1 (2)n a n -³的关系式；（3分）（3）求通项公式n a .（4分）7.（2020年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()111,21n n a S a n *+==-∈N ，则3a=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．28.（2020年浙江）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为212⎛⎫⎪⎝⎭的正方形，构成2阶新型天线；…．按上述规则进行下去．记na 为n 阶新型天线所有正方形个数，nb 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出123,,a a a 和123,,b b b ；（6分）（2）求n a 与n b ．（4分）9.（2019年浙江）体育场北区观众席共有10500个座位.观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为第1排、第2排、…….从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位.（1）北区观众席共有多少排？（2）现对本区前5排的座位进行升级改造，改造后各排座位数组成数列{}n b .{}n b 满足：①1b 等于原第1排座位数的一半；②()212,3,4,5n n b b nn -=+=.求第5排的座位数.10.（2018年浙江）如图所示，在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形面积为a 1；在剩下的3个三角形中，再以同样方法，挖去3个三角形，记挖去的3个三角形面积的和为a 2；……，重复以上过程，记挖去的3n -1个三角形面积的和为a n ，得到数列{a n }.（1）写出a 1，a 2，a 3和a n ；（5分）（2）证明数列{a n }是等比数列，并求出前n 项和公式S n .（5分）11.（2017年浙江）已知数列：23，34-，45，56-，67，…，按此规律第7项为（）A.78B.89C.78-D.89-12.（2017年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n *∈N ），则4S =______.13.（2016年浙江）数列{}n a 满足：*111,,()n n a a n a n N +==-+∈，则5a =A.9B.10C.11D.1214.（2015年浙江）根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列．求：（1）a ，b ，c 的值；（3分）（2）按要求填满其余各空格中的数；（3分）（3）表格中各数之和．（3分）15.（2014年浙江）已知函数()5,(01)()13,(1)x f x f x x ≤≤⎧=⎨-+>⎩．（1）求f （2），f （5）的值；（4分）（2）当*x N ∈时，f （1），f （2），f （3），f （4），…构成一数列，求其通项公式．（4分）专题05数列考点01等差数列1.（2023年浙江）若a,b,c 是公差为1的等差数列,则5,5,5构成()A.公差为1的等差数列 B.公差为5的等差数列C.公比为1的等比数列 D.公比为5的等比数列答案D2.（2022年浙江）等差数列3-，1，5，…的第6项为__________．答案173.（2021年浙江）若等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则2021a =.答案40394.（2020年浙江）若1,1,24x x x -++成等差数列，则x =_________．答案1-5.（2018年浙江）在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=5，a 2+a 3+a 4=11，则公差d 为（）A.6 B.3C.1D.2答案D6.（2017年浙江）等差数列{}n a 中，213a =，49a =.（1）求1a 及公差d ；（4分）（2）当n 为多少时，前n 项和n S 开始为负？（3分）答案（1）由422a a d -=得2d =-由21a a d =+得115a =另法：111339a d ad +=+=，得1215d a =-=由题设得：0n <或16n >所以，当17n =时，n S 的值开始为负7.（2014年浙江）在等差数列{n a }中，已知712,35a S ==，则等差数列{n a }的公差d ＝．考点02等比数列2.（2019年浙江）等比数列14，1，4，16，…的第5项是________.答案642.（2018年浙江）在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1·a 3=4，则22log a =_____.答案13.（2016年浙江）等比数列{}n a 满足1234a a a ++=，45612a a a ++=，则其前9项的和9S =.【答案】52【解析】1+2+33=4+5+6,即3=3,又4+5+63=7+8+9，则7+8+9=36,9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=524.（2015年浙江）在等比数列{}n a 中，若1221nn a a a +++=- ，则22212n a a a +++= （）A ．()221n -B ．()21213n-C ．41n -D ．()1413n- 5.1x -答案{}5,7-【解析】∵三个数4，1x -，9成等比数列，∴有()214936x -=⨯=，解得5x =-或7x =．6.（2014年浙江）在等比数列{n a }中，若23a =，427a =，则5a ＝（）考点03数列综合应用1.（2023年浙江）已知数列1=2=1，r2=r1+，求5=______.答案5_2.（2023年浙江）如图所示，在下方（n+2）(n+2)(∈∗)）的正方形网格内涂色，两条对角线上的网格涂黑色，黑色网格个数记为，其余网格涂白色，白色网格个数记为，求（1）3,4,和3,4；（4分）（2）数列{},{}的通项公式；（4分）（3）数列{.（2分）解：（1）3=9,4=12，3=16,4=24（2）={2+3,为奇数2+4,为偶数={2+2+1,为奇数2+2，为偶数+201)×502=5150+5300=104503.（2022年浙江）已知数列{}n a 满足1113,n n na a a a --==，则2022a =（）A ．3B ．23C ．12-D ．32答案C4.（2022年浙江）已知数列{}{},n n a b 满足如下两个条件：（i ）{}n a 为等差数列，公差0d >，{}n b 为等比数列；（ii ）1122331,8,28a b a b a b ====．求：（1）数列{}{},n n a b 的通项公式；（6分）（2）数列{}n n a b 的前n 项和n S ．（4分）答案（1）设{}n b 的公比为q ，依题意有2(1)8(12)28d q d q +=⎧⎨+=⎩①②①的平方÷②，化简整理得271890a d --=，当3d =代入①式，得2q =．所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）1221124272(35)2(32)2nn n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，12312124272(35)2(32)2n n n S n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，()1212(32)213222n n n n n S S S n -∴=-=-⋅--⨯+++(35)25n n =-+．5.（2021年浙江）已知实数0a b >>，若P 为a 与b 的等差中项，G 为a 与b 的等比中项，则（）A.P G <B.P G> C.P G£ D.P G³答案B6.（2021年浙江）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为1a ；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为2a ；…；第n 小时内死亡n 个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为n a .由此构成数列{}n a .（1）写出数列{}n a 的前三项；（3分）（2）写出n a 与1 (2)n a n -³的关系式；（3分）（3）求通项公式n a .（4分）答案（1）118a =，232a =，358a =；（2）12() (2)n n a a n n -=-³；（3）6224n n a n =´++7.（2020年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()111,21n n a S a n *+==-∈N ，则3a=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案A8.（2020年浙江）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为212⎛⎫⎪⎝⎭的正方形，构成2阶新型天线；…．按上述规则进行下去．记na 为n 阶新型天线所有正方形个数，nb 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出123,,a a a 和123,,b b b ；（6分）（2）求n a 与n b ．（4分）答案（1）1145a =+=，2144317a =++⨯=，2314434353a =++⨯+⨯=．=42．（2）12114434343n n a -=++⨯+⨯++⨯9.（2019年浙江）体育场北区观众席共有10500个座位.观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为第1排、第2排、…….从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位.（1）北区观众席共有多少排？（2）现对本区前5排的座位进行升级改造，改造后各排座位数组成数列{}n b .{}n b 满足：①1b 等于原第1排座位数的一半；②()212,3,4,5n n b b nn -=+=.求第5排的座位数.答案（1）由已知条件，构造等差数列{}n a ，满足1a 为第一排座位数，600n a =为最后一排座位数，且公差10d =，解得140021a n =⎧⎨=⎩或1390100a n =-⎧⎨=⎩（舍去）.故体育场北区观众席共有21排.（2）由已知得1200b =，又()212,3,4,5n n b b nn -=+=所以2204b =，3213b =，4229b =，5254b =，即第5排有254个座位.10.（2018年浙江）如图所示，在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形面积为a 1；在剩下的3个三角形中，再以同样方法，挖去3个三角形，记挖去的3个三角形面积的和为a 2；……，重复以上过程，记挖去的3n -1个三角形面积的和为a n ，得到数列{a n }.（1）写出a 1，a 2，a 3和a n ；（5分）（2）证明数列{a11.（2017年浙江）已知数列：23，34-，45，56-，67，…，按此规律第7项为（）A.78B.89C.78-D.89-答案B12.（2017年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n *∈N ），则4S =______.答案2713.（2016年浙江）数列{}n a 满足：*111,,()n na a n a n N +==-+∈，则5a =A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】2−1=1,3−2=2,4−3=3,5−4=4,1=1,则5=11；所以答案选C 。