高中数学选修统计和概率

概率与统计知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结

果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可

以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,..... ,x i ,......,x n

X 取每一个值x i(i=1,2,...... ）的概率P(ξ=x i）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质①p i≥0, i =1 ，2，?；②p1 + p2 +?+p n= 1．

5、二项分布：如果随机变量X 的分布列为：

其中0

6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n

≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

k n k

C C

M N M

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)

P X k k m

n

C

N

，

其中m min M,n,且*

n≤N,M≤N,n,M,N N

7、条件概率：对任意事件 A 和事件B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做

条件概率.记作

P(B|A) ，读作A发生的条件下 B 的概率

8、公式：

P(A B)

P(B|A),P(A)

P(A)

0.

9、相互独立事件：事件A( 或B) 是否发生对事件B(或A) 发生的概率没有影响,这样的两个事件

叫做相互独立事件。P(A B)P(A)P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数， A 发生次数ξ是一个随机

变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件 A 不发生的概率为q=1-p，那么在n 次独

立重复试验中P( k)k k n

C n p q k

（其中k=0,1, ??,n，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

1 / 4

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p 为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋?＋xnpn＋?为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

13、两点分布数学期望：E(X)=np

M

n

14、超几何分布数学期望：E（X ）= .

N

2·P 2·P 2·P

15、方差:D( ξ)=(x 1-Eξ) 1+（x2-Eξ) 2 +......+（x n-Eξ) n 叫随机变量ξ的均方差，简

称方差。

16、集中分布的期望与方差一览：

期望方差

两点分布Eξ=p Dξ=pq，q=1-p

超几何分布M

E n

服从参数为N, M , n N

的超几何分布D（X）=np（1-p ）* （N-n ）/（N-1 ）（不要求）

二项分布，ξ～B（n,p ）Eξ=np Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

几何分布，p(ξ=k)=g(k ，p) 1

q

D

p p2

1.正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x)

1

2

e

2

( x )

2

2 , x ( , )

的图像，其中解析式中的实

数、（0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布记作：N(, ) ，f( x ) 的图象称为正态曲线。

2.基本性质：

2 / 4

①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．

②曲线关于直线x= 对称，且在x= 时位于最高点.

③当时x ，曲线上升；当时x ，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于 1.

3. 3 原则：

从上表看到, 正态总体在( 2 , 2 ) 以外取值的概率只有 4.6%, 在( 3 , 3 ) 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

考点：1、概率的求解

2、期望的求解

3、正态分布概念

★★★1．( 本小题满分12 分) 某项考试按科目 A 、科目B 依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目 B 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获

得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为2

3 ，

每次考科目 B 成绩合格的概率均为1

2

。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的

考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X 。

(1) 求X 的分布列和均值；

(2) 求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

★★★2（本小题满分12 分）

济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6 ，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

（1）求=0 对应的事件的概率；（2）求的分布列及数学期望。

★★★3. 袋子中装有8 个黑球， 2 个红球，这些球只有颜色上的区别。

3 / 4

（1）随机从中取出 2 个球，表示其中红球的个数，求的分布列及均值。

（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一

个奖100 元，第二个奖200 元，?，第k 个奖k 100元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结

束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理

由。

例

第三章统计案

知识点：

1、独立性检验

变量X 和Y ，它们的值域分另为{x 1, x2} 和{y 1, y2} ，其样本频数列联表为：

假设有两个分类

y1 y2总计

x1 a b a+b

x2 c d c+d

计a+c b+d a+b+c+d

总

若要推断的论述为H1：“X与Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，

并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2 的

2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] ，其中n=a+b+c+d 为样本容量，

值（即K 的平方）K

明“X与Y 有关系”成立的可能性越大。 K

2 的值越大，说

2≤3.841 时，X 与Y 无关；K2>3.841 时，X 与Y 有95%可能性有关；K2>6.635 时X 与Y K

有99%可能性有关