考研数学三部分重要知识点归纳(仅推荐给中等数学水平的考生)

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()n

n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞

→∞

==<则

解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，

不能保证A B <．例如：11

,1

n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n

n n n x y →∞

→∞

==．

例2．选择题 设n

n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞

→∞

-=则（ ）

A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确 分析：若lim lim 0n

n n n x y a →∞

→∞

==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞

=≠，故不选A 与D.

取11

(1),(1),(1)n n n n

n n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且l i m ()0n n n y x →∞-=，但l i m n n z →∞ 不存在，所以B 选项不正确，因此选C ． 例3．设,n

n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞

-=则与（ ）

A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确． 分析：由于,n

n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞

-=及夹逼定理得

lim()0n n a x →∞

-=

因此，lim n

n x a →∞

=，再利用lim()0n n n y x →∞

-=得lim n n y a →∞

=．所以选项A ．

二、无界与无穷大

无界：设函数

()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得

()f x M

x X D ≤∀∈⊂

则称函数

()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任

何正数M ，总存在1x X ∈，使

1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．

无穷大：设函数

()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）

．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数

X ）

，只要x 适合不等式00x x δ<-<（或

x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式

()f x M >

则称函数

()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．

例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0

lim ()x x f x →=∞

② 如果

lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界

解析：举反例说明．设

11()sin f x x x =，

令11

,,22

n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而

lim ()lim (2)2

n n n f x n π

π→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞

=

故

()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．

由定义，无穷大必无界，故②正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．

三、函数极限不存在≠极限是无穷大

当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数

()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为

了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

例5：函数10()0

010

x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪+>⎩

，当0x →时()f x 的极限不存在．

四、如果

lim ()0x x f x →=不能退出0

1

lim

()

x x f x →=∞ 例6：()0

x x f x x ⎧=⎨

⎩为有理数为无理数，则0l i m ()0x x f x →=，但由于

1

()

f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论

1

()

f x 在0x =的极限． 结论：如果

lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则0

1

lim

()

x x f x →=∞．反之，

()f x 为无穷大，则

1

()

f x 为无穷小。 五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无

穷大时极限是否相等。 例7．求极限10

lim ,lim x

x

x x e

e →∞

→

解：

lim ,lim 0x x x x e e →+∞

→-∞

=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。

1100lim 0,lim x x x x e e →-

→=

==+∞，因而0x →时1x

e 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8

：求极限0

x →

分析一：若将2

写成1)1)+，再用等价无穷小替换就会导致

错误。

分析二：用泰勒公式

22222211()122(1())22!

11()122(1())222!1

()

4

x x x x x x x x οοο-=+++-+-++-=-+ 原式2221

()

144

x x x ο-+==-。

例9：求极限sin lim x x

x

π→

解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1。

sin sin lim 0x x x πππ

→== 七、函数连续性的判断

（1）设

()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断。而

2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。

例10．设

()1

x f x x ≠⎧=⎨

=⎩，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。 若设

1

0()1

x f x x ≥⎧=⎨

-<⎩，()f x 在0x =间断，但2

()()1f x f x =≡在0x =均连续。