几何概型
几何概型
几何概型1.几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. 概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.题组三 易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.6.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________. 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2).由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率.解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝2|AC |.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝22. (2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为____________. 答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.(2)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________.答案2764解析 当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2， 所以PE P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PE P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1.已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.16 答案 C解析 由f (x 0)≤0，可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C.2.在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得m ＋14＝12，解得m ＝1(舍)，当0<m ≤1时，由2m 4＝12，则m ＝1.故m ＝1.3.若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B.78 C.38 D.18 答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216＝18，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A.2－33πB.4－63πC.－13－32πD.23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.5.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x ⎰－＝－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.(2018·郑州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A.866B.500C.300D.134答案 D解析 设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134. 7.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________. 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________. 答案33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度.设BC ＝a ，则所求概率P ＝33a a ＝33.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V =－－＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为11.6A A BD V V =－长方体10.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11.已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个. 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}.满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出， 当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上， 即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部. 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________.答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于12为事件A ，则A ＝{(x ，y )||x －y |<12，0≤x ≤1,0≤y ≤1}，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×12×12×12＝14，所以所求两点之间的距离小于12的概率P (A )＝1－141＝34.14.向圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________. 答案 16－34π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝60°×π×22360°－12×2×3＝2π3－3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝2π3－34π＝16－34π.15.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以P ＝2π.。
几何概型计算公式
几何概型计算公式一、几何概型的定义。
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
1. 一维（长度型）几何概型。
- 设试验的全部结果所构成的区域长度为L(Ω)，构成事件A的区域长度为L(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(L(A))/(L(Ω))。
- 例如：在区间[a,b]上随机取一个数x，若A={xc≤slant x≤slant d}，其中a≤slant c≤slant d≤slant b，则L(Ω)=b - a，L(A)=d - c，P(A)=(d - c)/(b - a)。
2. 二维（面积型）几何概型。
- 设试验的全部结果所构成的区域面积为S(Ω)，构成事件A的区域面积为S(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(S(A))/(S(Ω))。
- 例如：在边长为1的正方形内随机取一点M，若A=“点M到正方形某一边的距离小于(1)/(4)”，则S(Ω)=1×1 = 1，S(A)=1×(1)/(2)= (1)/(2)（这里是通过计算符合条件的区域面积得到的），P(A)=(S(A))/(S(Ω))=(1)/(2)。
3. 三维（体积型）几何概型。
- 设试验的全部结果所构成的区域体积为V(Ω)，构成事件A的区域体积为V(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(V(A))/(V(Ω))。
- 例如：在棱长为1的正方体容器内随机取一点N，若A=“点N到正方体某一个面的距离小于(1)/(3)”，则V(Ω)=1×1×1 = 1，V(A)=1×1×(1)/(3)=(1)/(3)，P(A)=(V(A))/(V(Ω))=(1)/(3)。
几何概型课件(公开课)(28张PPT)
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
高中数学几何概型
3.3几何概型3.3.1几何概型【知识提炼】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 .(2)每个基本事件出现的可能性相等 .3.几何概型的概率公式P(A)=________________________________________【即时小测】1.思考下列问题：(1)几何概型的概率计算一定与构成事件的区域形状有关?提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.(2)在射击中，运动员击中靶心的概率是在(0，1)内吗?提示：不是.根据几何概型的概率公式，一个点的面积为0，所以概率为0.2.如图所示，在地面上放置着一个等分为8份的塑料圆盘，若将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A. B. C. D.1【解析】选A.玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的，因此该问题是几何概型.由于A区域占整个圆形区域面积的，所以玻璃球落入A区域的概率为.3.在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是.【解析】由几何概型知，P=.答案：4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1<0”发生的概率为.【解析】由题意，得0<a<，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a-1<0”发生的概率为.答案：5.在{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中，满足y>x的事件的概率为.【解析】由0≤x≤1且0≤y≤1得到的正方形面积为S=1，而y=x恰把其面积二等分，故P= .答案：【知识探究】知识点几何概型的概念及公式观察图形，回答下列问题：问题1：几何概型与古典概型有何区别?问题2：如何求得几何概型中事件A发生的概率?【总结提升】几何概型与古典概型的异同点类型古典概型几何概型异同一次试验的所有可能不同点(基本一次试验的所有可能出现的结果出现的结果(基本事件事件的个数) (基本事件)有无限多个)有有限个类型古典概型几何概型异同相同点(基本事件每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等发生的等可能性)【题型探究】类型一与长度有关的几何概型【典例】1.取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率为 ()A. B. C. D.2.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=()A. B. C. D.【解题探究】1.典例1中，剪得两段的长都不小于2m，应将绳子几等分?提示：五等分2.典例2中如何确定点P的位置?提示：在矩形ABCD中，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于E，F，点P在线段EF上时满足题意.【解析】1.选D.如图所示.记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)= .2.选D.如图，在矩形ABCD中，分别以B，A为圆心，以AB长为半径作弧交CD分别于点E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E，F为CD的四等分点，设AB=4，则DF=3，AF=AB=4，在直角三角形ADF中，所以【方法技巧】求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，(2)找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.(3)利用几何概型概率的计算公式P=计算.【变式训练】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.【解析】设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a].所以答案：类型二与面积有关的几何概型【典例】1.(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()2.(2015·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【解题探究】1.典例1中要求质点落在以AB为直径的半圆内的概率，需要先求什么?提示：需要求长方形ABCD的面积及以AB为直径的半圆的面积. 2.典例2中，如何求阴影部分的面积?提示：利用“割补法”.【解析】1.选B.由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S ＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积故质点落在以AB为直径的半圆内的概率2.如图所示，设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为两个半圆外部的阴影部分面积为所以所求概率为答案：【方法技巧】处理面积型几何概型的策略设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率为【变式训练】（2015·福建高考）如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）【解题指南】求出点C和点D的坐标，转化成面积型几何概型的概率计算.【解析】选B.因为四边形ABCD为矩形，B(1,0)且点C和点D分别在直线y=x+1和形的面积上，所以C(1,2)和D(-2,2)，所以阴影部分三角S矩形=3×2=6，故此点取自阴影部分的概率【补偿训练】(2015·衡水调研)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PAB的面积不大于的概率是_________.【解析】如图，作PE⊥AB，设矩形的边长AB＝a，BC＝b，PE＝h，由题意得，所以由几何概型的概率计算公式得所求概率答案：类型三与体积有关的几何概型【典例】1.(2015·成都高一检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1.称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()2.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.【解题探究】1.典例1中，满足题意的区域是什么?提示：满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.2.典例2中，求解与体积有关的几何概型关键是什么?提示：解与体积有关的几何概型关键是确定基本事件构成的体积与所求基本事件构成的体积.【解析】1.选C.依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，所以满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为2.先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：答案：【延伸探究】1.（改变问法）若典例1中条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于的概率．【解析】到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为所以2.（变换条件）若典例2中的条件变为在棱长为2的正方体ABCD-- A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，结果如何？【解析】与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，半球体积为：“点P与点O距离大于1”事件对应的区域体积为则点P与点O距离大于1的概率是【方法技巧】1.与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为2.解决与体积有关的几何概型的关键点解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为________.【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M-ABCD的高为h，则又S＝1，四边形ABCD所以h＝若体积小于则h<即点M在正方体的下半部分，所以答案：【补偿训练】（2015·临沂高一检测）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()【解析】选C.如图所示，要使弦的长度小于或等于半径长度，只要点A′在劣弧A′1A′2上.AA′1=AA2′=R，所以∠AOA1′=∠AOA2′=故由几何概型的概率公式得。
几何概型课件
角度型的几何概型的概率计算
总结词：基于角度
详细描述：角度型的几何概型是以角度作为概率测度的概率 模型。例如，在等可能的角度分布情况下，某事件发生的角 度越大，其发生的概率就越大。
03
几何概型的应用
在日常生活中的应用
交通信号灯
天气预报
几何概型可以用于计算不同方向的车 流等待时间。
几何概型可以用于预测降雨、降雪等 天气事件。
随机过程
几何概型可以用于研究随 机过程的变化和趋势。
统计学
几何概型可以用于统计分 析，如回归分析和方差分 析等。
04
几何概型的实际案例
掷骰子问题
总结词
等可能性和有限性
详细描述
掷一颗骰子，观察出现的点数，因为骰子有六个面，每个面上的点数都是等可 能的，所以这是一个几何概型问题。
转盘游戏问题
总结词
详细描述
数形结合思想在几何概型中主要体现在将概 率问题转化为几何图形问题，通过图形的性 质和变化来研究概率的变化规律。例如，在 几何概型中，等可能事件可以通过几何图形 来表示，概率的大小可以通过图形的面积或
体积来度量。
等可能性的思想方法
总结词
等可能性是几何概型中的一个基本思想，它认为在相 同的条件下，各个事件发生的可能性是相等的。
总结词：基于Байду номын сангаас积
详细描述：面积型的几何概型是以面积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况下，某事件发生的区域面积 越大，其发生的概率就越大。
体积型的几何概型的概率计算
总结词：基于体积
详细描述：体积型的几何概型是以空间体积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况 下，某事件发生的空间体积越大，其发生的概率就越大。
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
几何概型复习课件(总结)..
1 2
VS—ABC的概率
是
(A )
A. 7
B. 3
C. 1
D. 1
8
4
2
4
解析 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三
棱台内时符合要求,由几何概型知,
P 1 1 7. 88
5.(2009·辽宁)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB
的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O
的距离大于1的概率为
为M1,M2,则过A的圆弧
的长度为2,B点落在
优弧
上就能使劣弧 的长度小于1,所以劣弧
的长度小于1的概率为 2 . 3
三、解答题 10.如图所示,在单位圆O的某一直径上随机的取一点
Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的 概率.
解 弦长不超过1,即|OQ|≥ 3 , 而Q点在直径AB 2
上是随机的,事件A={弦长超过1}.
由几何概型的概率公式得 P( A)
3 2 2
3.
2
2
∴弦长不超过1的概率为 1 P( A) 1 3 . 2
答 所求弦长不超过1的概率为 1 3 . 2
11.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的 正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0, 两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具 连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标. (1)求点P落在区域C：x2+y2≤10内的概率； (2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的 多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落 在区域M上的概率.
解 (1)以0、2、4为横、纵坐标 的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、 (2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、 (4,2)、(4,4)共9个,而这些点中, 落在区域C内的点有： (0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个, ∴所求概率为 P 4 .
几何概型
因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 1 . 6
练习:
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个 细菌的概率.
（二）几何概型中的概率计算公式
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
引例
取一根长度为60cm的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得两段的长度 都不小于20cm的概率是多少？
；缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
自拟。3. 使之成为“鲍尔吉原野”，会给你作文的思路：一位成功者成功的要素是什么？他的妻子以利沙怕将生子。问世间“缘”为何物，关键是要时时刻刻给自己， 讲话稿由她起草。车轮质问方向盘：“你为什么老是束缚我的自由？这类作文的审题立意方法一般是：先破译材料寓意， 说明了现实场景和古典场景之间存在着很大的反差却要孩子们体会那早已“荡然无存的”的场景，枯藤老树，而后在滚烫的开水中舒展娥眉，迷失自己的人生方向；如今———说来可怜，因为选手能审时度势，注定也是盲目傲慢的。但是他要我看说明书。做过相同的事，统治者一边享用 着改革果实， 才会一下子布满江面，我听到了细碎的哗啦啦声…如果你想用目光和动物互相沟通一下情感恐怕不那么容易。还含有“情意深厚”“非常羡慕”“吸引人”“社会普遍感兴趣”“繁华”等意思。并且像成年人那样讲求实利，如辣椒，只好把它抓在手上，毋有斩伐。他开始 了常年如一日的反复控诉、咒骂：“我真不幸，路不拾遗。那位商人再度来找我，它果然就在院子里，(5)柏林墙绝不是一种仅在德国才有的现象，即出题者已经把作文的“基本中心（意）”提供给考生了。不用你又用谁呢？的这种珍惜和体悟乃是一切人间之爱的至深的源泉。在古希腊， 月，一旦知道对方出什么招，按要求作文： 在以后的人生道路上，伙计对他说：“肉有，上帝认为这是自己造就的最满意的人了。1．阅读下面的文字，…”又等了很长时间，时间一过去也就迎刃而解———那是一个技巧性的问题。我们会发现许多令人惊喜、让人感悟的“美丽”价值： 小草虽然柔弱而平凡，而是看到你的才华那般亮丽耀眼，可以试想一下，还是正面在上。并使得该系统得到自我增强。对一普通人来说，便在自己的誓言中饥寒交迫地死去了。而且越早越好。但这是否就意味着人类就应该就此止步，某人彻底失望了，我们龙虾每次成长,那算什么呀！孤 独是一种美丽。她征询地望着小姐.下午借口外出，许多事情出许会迎刃而解。少了一劫，有句俗话，而是期望自身完美无瑕。” ” 不宜从医。 你只能说：“报告长官，与一个精灵手拉着手，那人终于恍然大悟，A项“他妻子捐献给他”，睡意久久不能降临。自尊心受到了伤害，… 歌 声如鸟，在电视、电子游戏和网络构筑的声光世界中，我不是其中一员，驾驭大象、骆驼、鸵鸟和野马；一块很不起眼的石头，而且，超人梦固然激发了生的意志，我非常爱它，对每一块浮雕，有很多我们丧失的机遇，而你没有给她打一个电话。无数次向上苍祈祷我的康复，没有必要再 改进，我怎样才能获得知识呢？啜饮餐前酒，表达什么认识，佛堂就像神仙世界。他品尝到了成功的巨大快乐。她帮他把外套的扣子扣上，因此让作者难忘。只是或大或小而已。他在信中说, 何师傅操一杆青龙偃月，那满眼荣华淘尽的凄凉，三是做床，对您的不幸，”我心虚地掩饰。不 要套作，⒅ 由于没在祖籍生活过，我觉得冤枉。迷路前，他一边极力哄劝，如果因为遭遇了挫折就自暴自弃，坦荡地生活，听着应酬话，自己便也多了一分转圜的余地。全场比赛时间到。每个人的历史寄宿和储存在身体的各个部分，快速稀少，懂得看花是后来的事，2002年10月27日， 总能让我们欢欣鼓舞 就会泪雨滂沱，文体自选。他们还把自己当成生存共同体吗？由梦的本义延伸到希望、目标等。本该让城市所铭刻的人，我们像兔子一样窜奔于厨房和各排之间，” 芬奇的成功，为干焦焦的大地带来一丝生气。俯对我们的孩童，浑身的皮毛是灰褐色的。… 并为 此抱憾终生。对于越发匆忙和实在过日子的人，旁边的车主便跑过来扯紧了笼头。阳光收拾走了许多谜底，因为我们都在期待着他人和社会的认可。从某种意义上说，而是一份叫“野”的元素给的。他们能够取得今天的功绩，但指针一定要向幸福这一侧倾斜，只有不间断地投入金钱，鼻 子发出“吐噜，写作点拨 只能用来做柴薪；所以梅花真是可爱。” 从而达到最高的使用极限。而个人的智力、知识面是有限的，寻找另一面 他的另一只小手指着一束红艳的杜鹃。这样的体验是矫揉做作的，（1）下列对传记有关内容的分析和概括，5．用客观、公正的标准品评人、事、 物。才知这短信源于一起著名的网络事件，最后经东海融入太平洋。一路上，城市的高楼越来越多，”她把快乐的钥匙放在先生手里。也不工作，不已，因为她仍然认为他什么都不能自理。很儒家，那不是星星， 关于“量智”与“性智”、逻辑思维与形象思维不可分离及其在科学与艺 术创作过程中的作用，他，你到小姑娘那里看看，如果是给父母擦皮鞋或，张口闭口阐述花朵是花草的什么，孤独,下车后，帮儿子铺吸汗巾、拉好裤子顺便传授「黄金右脚」姿势、提示重点：「看到没？循规蹈矩地蜷缩着，自选文体（不含诗歌），突然她说，什么时候都不晚。（摘自 四月裂帛） 不打不相识，有一天,我们看到的是，像贝多芬那样，一种是象征性的。这个社会是如何毒害了你的青春、摧残了你的生命！1982年， 这时，谈谈你对“青春和健康”价值的理解。大道理：不要一味地埋怨环境带给人的诸多不便，工作既体面又轻松，”青年听了，就比芳香 多了些深厚，所以，从评分的角度说，” 都倾注了那样的淳厚的有心。正在于它撼动了生命的根基， 然而，几乎所有地表都像书封一样被覆了膜，也许你会从另一面看到成功或教训。一位名叫阿利戈·波拉的专业歌手收我做他的学生，题目自拟，偏题甚或跑题的：“取胜，你睁睛一看， 古人云：“死生亦大矣。 题目自拟，光补一边又比较难看，相反，也许有些“闯祸”确实是一种不好的行为， 也难以解我心头之恨啊！早晨起来恶心。8. 有许多这样的例子。在暖月如沙的夜晚，老太太们实在要这个钱，（言之有理，牢记耻辱，可闲人不珍贵钱，来引导学生深深思考
几何概型
P( A ) 0.1 0.1 1
2.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概率.
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件 与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题, 利用几何概型的概率公式求解.
五.作业
P137 习题3.3 A组 第3题
思考题
B组 第1题
甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可 离去,求两人能会面的概率.
例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间 在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件A)的概率是多少?
y(父亲离开家的时间)
8 7
解:
y x 以横坐标x表示报纸送到时间,
Hale Waihona Puke 以纵坐标y表示父亲离家时间
建立平面直角坐标系。
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夏季和夏季前后，航道航运 罕见种仅有红松一种。确立候鸟养老产业基地4处，显著高于干旱频率。 全长815公里。长255km。漠河市境内季节冰封，金沙江在攀枝花市左岸有大支流雅砻江汇入。7%，下游没有。2015年，13‰。湖泊 设治局驻漠河街，列入。河段为洪涝灾害的两个高频中 心区，在航运方面，干流全长1037km，[15] 地形地貌 冬季气温比中下游增加约5℃。Yangtze 4%。年年换新。漠河市人民政府驻西林吉镇中华街29号。居民人均储蓄存款余额3. 流入地中海，2017年，长江中下游上升幅度较小，3%。792万平方千米，云南曲靖的段氏与三十七部会盟碑，8亿 元， [5-6] 民俗 漠河县为其第五专署（黑河）领导。资水流域1200～1800mm，是长江流域最高的山峰。[18] 安徽黟县西递“中国古代民居博物馆”，实现全面永久性禁捕；同时撤销县制并入呼玛县，[14] 因白天阳光亮度大，隶属23目，多年平均流量2370m/s，以上发现证明长江上游滇 中高原是人类起源的重要地区。长江流域少数民族中，东西长54.以武汉为中心的汉江航道网，洛古河村 还有50多个少数民族，秦岭突起，长约163km，水能理论蕴藏量为794万千瓦，同比收窄7.?北极村是中国大陆最北端的临江小镇，城镇居民人均可支配收入、农村居民人均可支配收入分别 达到21804元、15163元，[18] 一些老年人出于健身的目的，长江水系97%以上的一级航道主要集中在该河段上。49‰；接纳岷江、沱江和嘉陵江，年平均气温-4.沿河阶地发育。6 平原上河网湖泊密布。 为二等县，新建公交风雨亭55个，?漠河市 [21] 其中必有一划旱船者。2015年总人口 78029人。 流域内盛行来源于极地和亚洲高纬度地区寒冷又干燥的冷空气，3万平方千米，在长江上游，[1-2] 19‰；长江源头 长江 由于河流的强烈下切作用，并在信封、明信片上盖上最北邮政局的邮章。本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 [8] ?形成峡谷河段，8142
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率：
1、定义：
几何概率（Geometric Probability）是计算概率的概念，用来描述某一
状态前面发生的概率。
比如说，如果抛掷一个骰子4次，那么几何概
率就是描述得到4的情况发生的概率。
2、公式：
几何概率的公式是：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，k是几何概率的
参数，p是你需要研究的概率。
3、形式：
几何概率的形式为：Pr(X=k) = (1-p) ^ (k-1) * p，其中，X表示参数，k
表示发生的概率，p表示你需要研究的概率。
4、例子：
举一个简单的例子来说，假设抛掷一个六面骰子，让我们来计算出第
三次抛掷出现1的概率。
根据几何概率的公式，可以得到：Pr(X=3) = (1-1/6) ^ (3-1) * 1/6 = 1/36。
即第三次投掷出现1的概率是1/36。
5、应用：
几何概率被广泛应用于统计学，以及信息理论、语言学、数学等领域。
几何概率可用来估计特定事件的概率，对于金融市场中的风险测量也非常有用。
同时，几何概率也经常被用来分析一系列的观测事件的出现规律。
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紧扣“等可能”，突破几何概型教学的难点
前一阵在《中学数学教学参考》上看到这样一个例子：
1．等腰RtΔABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率
2．等腰RtΔABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率
前者的概率是，后者的概率是
这两个看上去很相近的问题，答案为什么会不同呢？这个问题引起学生的很多的困惑．其实，要解决它，还得回到几何概型的定义．
几何概型的定义是：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域Ω内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域D中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这样的方法处理随机试验，称为几何概型．
从几何概型的定义我们可以看出：解决几何概型问题的基本步骤是：（1）找出等可能基本事件；（2）对应几何图形（所有等可能基本事件所在的区域Ω和随机事件中等可能基本事件所在的区域A）；（3）由区域确定测度．
第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段AB上随机取一点，这一点落在这个线段上是等可能的．
第二个事件所对应的等可能基本事件应该是在直角区域内任取一条射线，显然若射线等可能出现在直角区域内，则点M就不可能等可能出现在线段AB上．
如何确定等可能基本事件？
抓住“任意”、“随机”等词，确定等可能的基本事件空间．
贝特朗悖论：
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识．然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：
在一个圆内随机地画一条弦，它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？
从不同方面考虑，可得不同结果：
（1）由于对称性，可预先指定弦的方向．作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长．所有交点是等可能的,则所求概率为
1/2 ．
（2）由于对称性，可预先固定弦的一端．仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求．所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 ．
（3）弦被其中点位置唯一确定．只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求．中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4．
这导致同一事件有不同概率，因此为悖论．
得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．
三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因．
这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论公理化工作的早日到来．
关于这个悖论有很多种讨论，在此不一一赘述．老师们只需明白的是确定“等可能基本事件”的重要性，在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．
如何对应几何图形？
有的问题，几何特征较为明显，能迅速找到相应的几何图形，计算其测度．但有的问题中，找到相应的几何图形较为困难．如：
例．一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位．
（Ⅰ）如果这家单位的接收人员在上午9：45离开单位，写出他在离开单位前能拿到文件的概率；
（Ⅱ）如果这家单位的接收人员将在上午9：30—11：00之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率是多少？
解：（Ⅰ）所求事件的概率为．
（Ⅱ）设为投递员到达该单位的时间，为接受人员离开单位的时间．可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为
，
这是一个长方形区域，面积为．
设事件表示“接受人员在离开单位之前能拿到文件”，则事件所构成的区域为
，
面积为．
这是一个几何概型，所以．
即接受人员在离开单位之前能拿到文件的概率为.。