平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。
它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。
一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。
平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。
在原点的右边为正方向，左边为负方向。
2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。
在原点的上方为正方向，下方为负方向。
三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。
1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。
2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。
3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。
4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。
第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。
四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。
1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。
如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。
2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。
如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。
3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是一种常用的二维坐标系统，用于描述平面内的点的位置。
它由两条相互垂直的数轴组成，一条是水平的x轴，另一条是垂直的y轴。
通过这两个轴，我们可以准确地定位和描述平面上的任意点。
在平面直角坐标系中，每个坐标点由一个有序数对（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x轴和y轴的交点被称为原点，坐标为（0，0）。
x 轴向右延伸，以正数表示，y轴向上延伸，以正数表示，两个轴上都存在负数，表示左侧和下方的区域。
在这个坐标系中，每个点都与唯一的坐标对应，并且每个坐标都对应唯一的点。
通过给定的坐标，我们可以确定一个点的具体位置，并与其他点进行比较和运算。
平面直角坐标系被广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，直角坐标系可以用于描述图形的形状和位置关系。
在物理学中，直角坐标系可以用于描述物体在平面内的运动和受力情况。
在工程学中，直角坐标系可以用于定位和测量物体。
在计算机图形学中，直角坐标系可以用于图像的表示和处理。
在平面直角坐标系中，我们可以进行各种运算，例如点的平移、旋转和缩放等。
通过坐标系的转换和变换，我们可以改变点的位置和形状，实现各种需要的效果。
这为我们提供了解决问题和设计方案的灵活性和便利性。
在使用平面直角坐标系时，我们需要了解一些基本概念和原则。
首先，两个坐标轴之间的距离被称为单位距离，通常用1表示。
其次，两个坐标轴的正向确定了平面直角坐标系的方向。
最后，两个坐标轴的刻度线上的数值表示点到原点在两个轴上的距离，可以是整数、小数或负数。
总之，平面直角坐标系是一种用于描述平面上点位置的常用工具。
通过数轴和坐标系的概念，我们可以准确地定位和描述点在平面上的位置，实现各种运算和变换。
在各个领域的应用中，平面直角坐标系都扮演着重要的角色，为解决问题和实现设计提供了便利和灵活性。
通过深入学习和理解平面直角坐标系的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题和进行创新设计。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统。
它由两条互相垂直的数轴组成，分别被称为x轴和y轴。
x轴用于表示水平方向的位置，y轴用于表示垂直方向的位置。
这两条轴的交点被称为坐标原点，以此为基准，可以确定平面上任意点的位置。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)来表示，其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
这一对实数被称为该点的坐标。
x轴的正方向是向右的，负方向是向左的；y轴的正方向是向上的，负方向是向下的。
因此，平面直角坐标系可以将平面上的每个点都精确地表示出来。
在平面直角坐标系中，每个点在与坐标轴交点相应处有一条与之平行的线段，这些线段被称为坐标轴线。
以坐标原点为顶点的两条坐标轴构成了一个正方形，这个正方形被称为坐标平面。
坐标平面被分成四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是x轴和y轴都为正的象限；第二象限是x轴为负、y轴为正的象限；第三象限是x轴和y轴都为负的象限；第四象限是x轴为正、y轴为负的象限。
平面直角坐标系的使用极为广泛。
它不仅仅用于描述几何图形的位置，还可以用来表示物体在平面上的运动、函数图像以及解决问题。
在几何学中，平面直角坐标系可以用于确定点、直线、线段、角度和图形的面积等。
在物理学中，平面直角坐标系可以用于描述物体在平面上的受力和运动。
在数学中，平面直角坐标系可以用于表示函数关系，解决方程和不等式的问题。
总之，平面直角坐标系是一种非常有用的工具，它可以帮助我们理解和描述平面上的各种现象和问题。
通过熟练地运用平面直角坐标系，我们能够更好地分析和解决各种与位置、运动和图形相关的数学和物理问题。
因此，学习和掌握平面直角坐标系的基本知识和技能是非常重要的。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
平面直角坐标系课件
（-3，0）
（0，0）
（3，0）
x
（3，-3）
2、春天到了，初一某班组织同学到人民公园春游.张明、 王丽二位同学和其他同学走散了.同学们已经到了中心广
场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电 话中向老师告知了他们的位置.
张明：“我这里的坐标是（300，300）”
王丽：“我这里的坐标是（200，30y0）”. y
图3-5
解 如图3-5，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴 上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y
轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他
各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在 第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
图3-5
写出平面直角坐标系中的A、B、C、E、F、G、H、O、T
2叫做点A的纵坐B（标2，3） A点在平面内的坐标为(3， 2) 记作：A（3，2）
·
·A（3，2）
方法：先横后纵
-4 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系上-2的点和有序实数对一一对应
-3
D
-4
E
（－3，－3）
（5，－4）
笛卡尔，法国数学家、 科学家和哲学家.早在 1637年以前，他受到了 经纬度的启示.（地理上 的经纬度是以赤道和本 初子午线为标准的，这 两条线从局部上看可以 看成平面内互相垂直的 两条线.）发明了平面直 角坐标系，又称笛卡尔 坐标系.
我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.
例4 如图3-10，12 时我渔政船在H 岛正南方向， 距H岛30海里的A 处，渔政船以每小时40 海 里的速度向东航行， 13 时到达B处，并测 得H 岛的方向是北偏西53°6′. 那么此时渔 政船相对于H岛的位置怎样描述呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
011y x
学科
年级 八年级 授课班级 主备教师
参与教师 课型 新授课
课题 §3.2 平面直角坐标系（第1课时） 备课组长审核签名 教研组长审核签名
学习目标：1理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，并能画出平面直角坐标系。
2、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。
3、通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识。
学习内容（学习过程）
一、自主预习（感知）
1.平面直角坐标系定义：在平面内，两条____________且有公共_________的数轴组成平面直角坐标系，简称_________________。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取__________和__________的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做_______或_______，铅直的数轴叫做_______或_______，两者统称为_______，它们的公共原点O 称为直角坐标系的_______。
2.对于平面内任意一点P ，过点P 分别向x 轴，y 轴作_______，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a ，b 分别叫做点P 的_______、_______，有序数对（a ，b ）叫做点P 的_______。
3.两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按_______方向依次叫做第_______象限和第_______象限和第_______象限。
二、合作探究（理解）
1：（1）如果用（0，0）表示科技大楼的位置，用（5，7）表示中心广场的位置，那么钟楼的位置如何表示？（2，5）表示哪个地点的位置？
（5，2）呢？
（2）如果小明和他的朋友在中心广场，并以中心广场为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系。
请写出大成殿、雁塔、科技大楼、钟楼的坐标。
2、写出右上图中的多边形ABCDEF 各个顶点的坐标。
3：(1)在右图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A （-5，0），B （1,4）,C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).
(2)依次连接A,B,C,D,E,F,A ，你得到什么图形？
（3）在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？
三、轻松尝试（使用）
1、 组成平面直角坐标系。
2、右上图是画在方格纸上的某岛简图。
（1）分别写出地点A ，L ，N ，P ，E 的坐标；
（2）（4，7），（5，5），(2，5)所代表的地点分别是什么？
四、拓展延伸（提升）
五、收获盘点（升华）
六、当堂检测（达标）
1.在平面直角坐标系中，点P （—1，2）的位置在第_______象限。
2.下列各点中，在第一象限的点是（ ）
A.(2,3)
B.(2,-3)
C.(-2,3)
D.(-2,-3)
3.已知点A(2,-3),AB ⊥y 轴,B 为垂足,则B 点的坐标为( )
A.(0,0)
B.(0,2)
C.(0,-3)
D.(-3,0)
4.如图，分别写出五边形各个顶点的坐标。
七、课外作业（巩固）
1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《优化设计》中的本节内容。
2、思考题： 学习反思：
-5-4-4
-3-3-2
-1-2-154
325432011y
x。