高考数学复习 专题03 导数及其应用选择填空题(原卷版)
专题03导数及其应用选择填空题考纲解读三年高考分析1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义.2.导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C (C 为常数),y =x ,y =x 2,y =1x的导数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b )的复合函数)的导数.•常见基本初等函数的导数公式：(C )'=0(C 为常数)；(x n )'=nx n -1,n ∈N ； (sin x )'=cos x ；(cos x )'=-sin x ； (e x )'=e x ；(a x )'=a x ln a (a >0,且a ≠1)；(ln x )'=1x ；(log a x )'=1xlog a e (a >0,且a ≠1)•常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]'=u '(x )±v '(x ).法则2：[u (x )v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ). 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x -=≠ 3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义. 导数的运算法则和导数的具体应用 是考查的重点，解题时常用到导函数的求解、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，较大难度.考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣12．【2019年新课标3理科07】函数y在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．⊈D．3．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f （x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x5．【2018年新课标2理科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2018年浙江05】函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．8．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．19．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．B．C．D．110．【2017年浙江07】函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．13．【2019年江苏10】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x（x＞0）上的一个动点，则点P 到直线x+y＝0的距离的最小值是．14．【2019年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．15．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是．16．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f （x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．17．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．18．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．19．【2017年江苏11】已知函数f （x ）＝x 3﹣2x +e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f（2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是 ．1．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．135o2．【山东省聊城市2019届高三三模】函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-=3．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或24．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】定义在∞（0，+）上的函数f x （）满足2()10x f x '+>，522f =（），则关于x 的不等式12ln f lnx x>+（） 的解集为( ) A ．2(,)e +∞ B ．2(0,)eC ．2(,)e eD ．2(1,)e5．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】已知函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．12e e-- B ．-2C ．12e e-- D ．2212e e -- 6．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．87．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】若函数323()12f x ax x =-+存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,2⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭B ．(2,0)C ．2)D ．2,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知函数2()xf x xe =，下列说法正确的是（ ）A ．任意12m e>-，函数()y f x m =-均有两个不同的零点； B ．存在实数k ，使得方程()(2)f x k x =+有两个负数根； C ．若()()()f a f b a b =≠，则10a b -<+<；D ．若实数a ，b 满足2212()a b e e e a b -+<≠，则()()f a f b ≠.10．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-11．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】若存在两个正实数x ，y 使得等式()1ln ln x x x y ay +=-成立（其中ln x ，ln y 是以e 为底的对数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】若函数()ln f x x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知函数()ln xf x ax x e =-（其中e 为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是____________________________。
14．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f （x ）=alnx 21x 2-+14，当a ∈（-102，）时，函数的零点个数为______．15．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．16．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．17．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______．18．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．19．【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)2f =，则不等式()2xf x e <的解集为______.20．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】已知'()f x 是函数3211()32f x ax bx cx =++的导函数，且1'(1)2f a =-，322a c b >>，则下列说法正确的是___________. ①)0(0f '>；②曲线()y f x =在2bx a=-处的切线斜率最小； ③函数()f x 在(,)-∞+∞存在极大值和极小值； ④'()f x 在区间(0,2)上至少有一个零点.1．函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣a sin x（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2] B．（0，1] C．（0，e] D．（0，π）2．已知函数f（x）＝（）e x+a，若对任意x∈（0，+∞），都有2f（x）＞﹣xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（）A．.3 B．.2 C．1 D．.04．设函数f（x）＝ax（a，b∈Z），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3．已知方程f（x）＝A sin（x﹣1）+1有x1，x2，x3，x4共4个不等实根，则（）A．0 B．1 C．2 D．45．设x是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．2 B．1 C．D．。
专题03导数及其应用（解析版）
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。
导数填空选择题.docx
高考数学试题分析——导数（选择、填空题）一、求导1、函数y =（x + l）2（x —1）在处的导数等于（）A. 1B. 2C. 3D. 42.（08北京13）如图，函数/'（X）的图象是折线段ABC,其中A, B, C 的坐标分别为（0,4）,⑵0）,（6,4）,则/（/（0）） = ________函数/'（x）在x = 1处的导数广⑴= _________ .二、导数与切线1.（2009宁夏海南卷文）曲线y = xe x + 2x + l在点（0,1）处的切线方程为____________ 。
2.（08全国14）曲线y = ?-2x + 4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°3.（08辽宁6）设P为曲线C：丁= /+2* + 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,-,贝U点P_ 4_横坐标的取值范围为（）A. -1,-|B. [-1,0]C. [0,1]D. |,14.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C : y = x3 -10x + 3±,且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为_____________ .5.（08全国117）设曲线y = ax2在点（1, a）处的切线与直线2x- y -6 = 0平行，则。
=（）1 1 .A. 1B. —C. -------D. —12 2探6. （08全国理）设曲线y = e ax在点（0,1）处的切线与直线x + 2y + l = 0垂直，贝陀= __________ .探7. （2009全国卷I理）已知直线y=x+l与曲线y = ln（x + a）相切，贝M的值为（）（A）l （B）2 （C）-l （D）-28、与直线2x-y+ 4 = 0的平行的抛物线y = x2的切线方程是（）A. 2x — y + 3 = 0B. 2x —y— 3 = 0C. 2x — y +1 = 0D. 2x —y—1 = 09.................................................................................................................................................... 设曲线y = x n+1（riEN^）在点（1, 1）处的切线与x轴的交点的横坐标为百，则為•兀? ............................... £的值为（）1 1 n（A）—（B）—- （C）—- （D）ln n+1 n+110. (2009陕西卷理)设曲线y = x"*i("wN*)在点(1, 1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x”,令a n = lg x n ,则 ⑷ + a” ------ 1- a 99的值为 ________________ .11. (2009江西卷理)设函数/(x) = g(x) + x 2,曲线y = g(x)在点(l,g(l))处的切线方程为y = 2x + l,则曲线y = f (x) 在点(l,f(l))处切线的斜率为( )"1 c1 A. 4 B. —— C. 2D.——4212. (2009江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x 3和v =9都相切，贝陀等于-4A , . 25"’十 21 八 7 十 25 7 十A. —1或-—B. —1或一C. ——或-—D. ——或 76444 64413. 若曲线/ (= ax 2+ Inx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ____________ L 2.若函数y = /(.X )的导即数在区间［a,b ］上是增函数，贝恼数y = f (x)在区间［a,b ］±.的图象可能是( )4. (08福建11)如果函数y=»的图象如右图，那么导函数y = /'(.¥)的图象可能是()三、导数与图象Vb,函数y = (x-a)2(x-b)的图像可能是(四、导数与单调性1. (2009江苏卷)函数f(x) = x 3-15x 2-33x + 6的单调减区间为 ___________________ .A. [-1, +oo)B. (-1, +oo)C. (Y ), —1]2 (08湖北)若f(x) = -|x 2+Z?ln(x + 2)在(-1,+8)上是减函数，贝仏的取值范围是()C D5、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y= f'(x)的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是 6.福建(⑵已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x), y=g(x)的图象可能是() Vy* 严g 哆 寸3 OA% 1 耳XC易1D五、导数与极值、最值1.函数/(x) = /-3x + l在闭区间［-3, 0］上的最大值、最小值分别是( )A. 1, -1 B・ 1, T7 C. 3, -17 D. 9, -192.已知x>-jij/(x) = %2— 4x + 5 有* ()2 2x-4A.最大值丄B.最小值丄C.最大值1D.最小值14 4X -I- n3.(2009辽宁卷文)若函数/(%) = ------- 在兀=1处取极值，贝陀= _______________x + 14.函数/(x) = ax2 + x + l有极值的充要条件是( )A. a > 0B. a>0C. a < 0 D・ a < 05.(08广东)设auR,若函^y = e ax+3x, XG R有大于零的极值点，贝U ( )C C 1 1A. a >—3B. a < —3C. a > —D. a < —3 36.(08 江苏14) /Xx) = ax'-3x +1 对于x w [― 1,1]总有/'(x) > 0成立，则<7= _________________ .六、其它1、设/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,广(x)g(x) + /(x)g3>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)< 0的解集是()A. (—3,0) LJ (3,+co)B. (―3,0) u (0,3)C. (―oo,—3) u (3,+8)D. (―oo,—3) u (0,3)一、求导1、D 2. 2 -2二、导数与切线1.【答案】y=3兀+ 1【解析】y'= e x + xe x + 2,斜率k=e°+0+2=3,所以，y—l=3x,即y=3兀+ 12. B3. A4.【解析】= 10 = 2nx二±2,又点P在第二象限内，.•.兀=—2点P的坐标为(-2, 15)5. A6.解:设切点P(^X Q, ,则—X Q +1，—I II^X Q + a),又・• ” | —〔 = ］• •々)+。
2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理2
专题03 导数一．基础题组1. 【2014新课标，理8】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】因为'11y a x =-+，所以切线的斜率为12a -=，解得3a =，故选D 。
2.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A【考点】 函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3. 【2005全国2，理22】(本小题满分12分) 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．(Ⅰ) 当为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论； (Ⅱ) 设()f x 在[1,1]-上是单调函数，求的取值范围．【解析】：（I ）对函数()f x 求导数得xe a ax x x xf )222()(2--+=' 令,0)(='x f 得2x +2(1－)－2］x e =0从而2x +2(1－)－2=0 解得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表),(1x -∞1x),(21x x2x),(2+∞x)(x f '+ 0 － 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增∴在=1处取得极大值，在=2处取得极小值。
当≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数 而当0<x 时)(x f =0)2(>-xe a x x ，当x=0时，0)(=xf 所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理10】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ． x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】：C【解析】：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．2. 【2012全国，理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1 【答案】 A【解析】y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1) (x －1)． 当y ′＞0时，x ＜－1或x ＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.3. 【2013课标全国Ⅱ，理21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′ (x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.4. 【2011新课标，理21】已知函数ln()1a x bf xx x=++，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．(ⅰ)设k ≤0.由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得21()01h x x ⋅>-；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得21()01h x x >-.从而当x ＞0，且x ≠1时，ln ()()01x kf x x x-+>-， 即ln ()1x kf x x x>+-. (ⅱ)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，11k-)时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈(1，11k -)时，h (x )＞0，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． (ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得21()01h x x<-.与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]． 5. 【2005全国3，理22】（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.当变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：0 （0，21） 21 （21，1） 1 )(x f '－ 0 + )(x f 27-－4－3所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数. 当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a6.【2016高考新课标2理数】若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .【答案】1ln2-① ②【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三．拔高题组1. 【2014新课标，理12】设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为3，所以()203f x =⎡⎤⎣⎦，因为'00()30x f x mmππ==，所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即011||||22x k m =+≥，所以0||||2mx ≥，即 2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.2. 【2010全国2，理10】若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 【答案】：A3. 【2014全国2，理20】 已知函数()f x =2x x e e x ---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（Ⅰ）因为'1()20x xf x e e =+-≥，当且仅当0x =时等号成立，所以函数()f x 在R 上是增函数；（Ⅱ）因为()g x =(2)4()f x bf x -=224()(84)xx x x ee b e e b x -----+-，所以'()g x =222[2()(42)]xx x x ee b e e b --+-++-=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+.(1)当2b ≤时, '()0g x ≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以对任意0x >，()0g x >；（2）当2b >时，若满足222x x e e b -<+<-，即20ln(12)x b b b <<--时，'()0g x <，而(0)0g =，因此当20ln(12)x b b b <≤--时，()0g x <， 综上，的最大值为2.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，32)222(21)ln 22g b b =-+-， 当2b =时，32)426ln 202g =->，823ln 20.692812>>； 当3214b =+时，2ln(122b b b --=，32)22(322)ln 22g =--0<，182ln 20.693428+<<，所以ln 2的近似值为0.693. 4. 【2012全国，理20】设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈0，π]． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围． 【解析】：(1)f ′(x )＝a －sin x .(2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1， 所以2πa ≤. 令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)， 则g ′(x )＝cos x －2π. 当x ∈(0，arccos2π)时，g ′(x )＞0， 当x ∈(arccos2π，π2)时，g ′(x )＜0. 又g (0)＝g (π2)＝0， 所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)． 当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x . ①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1， 所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]． 5. 【2010全国2，理22】设函数f (x )＝1－e －x. (1)证明当x ＞－1时，f (x )≥1xx +； (2)设当x ≥0时，f (x )≤1xax +，求a 的取值范围．(2)由题设x ≥0，此时f (x )≥0. 当a ＜0时，若x ＞－1a ，则1x ax +＜0，f (x )≤1x ax +不成立； 当a ≥0时，令h (x )＝axf (x )＋f (x )－x ，则f (x )≤1xax +当且仅当h (x )≤0， h ′(x )＝af (x )＋axf ′(x )＋f ′(x )－1＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )． (ⅰ)当0≤a ≤12时，由(1)知x ≤(x ＋1)f (x )， h ′(x )≤af (x )－axf (x )＋a (x ＋1)f (x )－f (x )＝(2a －1)·f (x )≤0， h (x )在0，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤1xax +. (ⅱ)当a ＞12时，由(ⅰ)知x ≥f (x )， h ′(x )＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )≥af (x )－axf (x )＋af (x )－f (x )＝(2a －1－ax )f (x )， 当0＜x ＜21a a -时，h ′(x )＞0，所以h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞1xax +，综上，a 的取值范围是0，12]． 6. 【2006全国2，理20】设函数f (x )=(x +1)ln(x +1),若对所有的x ≥0,都有f (x )≥ax 成立,求实数a 的取值范围.7. 【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U 【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质． 8. 【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．9. 【2016高考新课标2理数】（I ）讨论函数()2e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当>0时，(2)e 20x x x -++>；（II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21e (,].24（II ）33(2)e (2)2()(()),x x a x x g x f x a x x-+++'==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=，【考点】函数的单调性、极值与最值【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．10. 【2017课标II ，理21】（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e()2f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--． 设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增． 又()2e 0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e 2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。
专题03 二次求导函数处理(二阶导数)(原卷版)2021学年高三导数满分突破
专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。
利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。
本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。
二、经验分享方法 二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4【变式训练1】若不等式()ln 120x x x k k +-+>对任意的()2,x ∈+∞都恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6【变式训练2】【2019浙江22】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）【变式训练3】【浙江省温州市2019—2020学年11月高三一模数学，21题】 已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-．（e 2.71828=为自然对数的底数）（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212af x x ≥+，求a 的取值范围．(二) 利用二次求导证明不等式例2.【全国卷Ⅰ第20题】 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f . （1）若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2）证明：0)()1(≥-x f x .【变式训练1】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．【变式训练2】已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥． (1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．(三) 利用二次求导求函数的单调性例3【高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．【变式训练1】已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 71828.2=e 是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '是()f x 的导数．【变式训练2】【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】 （1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+； （2）证明：当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (2)39a g x x x x x x -=++≥有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.四、迁移应用1.【2020河北衡水中学一调】已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．211,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,14⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．221,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ 2.已知函数()lg(31)xf x =+，则(4)(3)(4)(3)f f f f +----=（ ） A. 0 B. 1 C. lg 4 D. lg 33.已知函数(x),(x)xlnx xf xeg ==,若12(x )g(x )t f ==，其中0t >，则12ln tx x 的取值范围 4. 设a ∈R ，函数1()2x f x e -=（21ax a ++），其中e 是自然对数的底数． （Ⅰ） 判断函数()f x 在R 上的单调性；（Ⅱ） 当10a -<<时，求函数)(x f 在[1，2]上的最小值．4. 已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围．5. 已知函数2()()xf x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。
导数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则()
A． B． C． D．
17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数 ，则()
A． 有两个极值点B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知 和 分别是函数 ( 且 )的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题03导数选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当 时，函数 取得最大值 ，则 ()
A B． C． D．1
2．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则()
A． B． C． D．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点 可以作曲线 的两条切线，则()
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为__________．
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为．
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数 ，下列结论中错误的是()
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是()
2019年高考数学(理)真题汇编：专题03 导数及其应用
专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．e,1a b ==-B ．e,1a b ==C ．1e 1,a b -==D ．1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈，函数3()f x ax x =-，若存在R t ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f （x ）=e x+a e −x（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；2.设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性；2.是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间；2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时，证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭；3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点，其中N n ∈，证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数．1.若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；2.若,a b b c ≠=，且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；3.若0,01,1a b c =<≤=，且()f x 的极大值为M ，求证:427M ≤． 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：详解：'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2答案及解析： 答案：D解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．3答案及解析： 答案：C解析：首先(0)0f ≥，即0a ≥， 当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x =，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点， 故max()()g x g e e ==，所以a e ≤。
2023年上海市高考数学总复习：导数及其应用(附答案解析)
2023年上海市高考数学总复习：导数及其应用1．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f （x ）＞0且f （e ）＝1，若xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立，则关于x 的不等式1f(x)＞lnx 的解集为（ ）A ．（e ，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，e ）D ．（0，1）2．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)3．设实数λ＞0，若对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln （λx ）≥0恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．0＜λ≤1eB ．0＜λ≤e ﹣1C ．0＜λ≤eD ．0＜λ≤e 24．下列关于求导叙述正确的是（ ） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1xC ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4xD ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝15．由y =√x(2−x)与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ） A ．4π3B ．π2C ．πD ．2π6．y ＝e x +a 的图象与直线y ＝2x 相切，则a ＝（ ） A ．1B ．ln 2C ．1﹣ln 2D ．ln 2﹣17．R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1，f （2）＝0，则不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（0，2）B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，2）8．若x ＝1是函数f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1的极值点，则f （x ）的极大值为（ ） A ．12B ．32C ．1D ．29．定义在R 上的偶函数f （x ）存在导数f ′（x ），且当x ＞0时，有f ′（x ）＞2x 恒成立，若f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（13，+∞）B ．（﹣∞，﹣3）C ．（﹣3，13）D ．（﹣∞，﹣3）∪（13，+∞）10．设奇函数f （x ）的定义域为(−π2，π2)，且f （x ）的图象是连续不间断，∀x ∈(−π2，0)，有f '（x ）cos x ﹣f （x ）sin x ＜0，若f(t)cost ＜12f(π3)，则t 的取值范围是（ ） A ．(−π2，π3)B ．(0，π3)C ．(−π2，−π3)D ．(π3，π2)11．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b （t ）＝105+104t ﹣103t 2，则细菌数量在t ＝5时的瞬时变化率为（ ） A ．﹣2B ．0C ．5D ．1012．已知函数f （x ）的导函数f '（x ）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）A ．x ＝1是f （x ）的极值点B ．导函数f '（x ）在x ＝﹣1处取得极小值C ．函数f （x ）在区间（﹣2，3）上单调递减D ．导函数f '（x ）在x ＝0处的切线斜率大于零13．若函数f （x ）＝ln （2x ）+ax 在区间[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−12]B ．(−∞，−13]C ．[−13，+∞)D ．[−12，−13]14．已知a ，b 为正数，ln 2ab ＞3b −9a +12，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a ＜2bB ．b ＜2aC ．a ＜b 2D ．b ＜a 215．已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝6﹣f （2+x ），若函数y =3x−2x−1与y ＝f （x ）（x ∈R ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x m ，y m ），则∑ m i=1(x i+yi )的值为（）A ．4mB ．3mC ．2mD ．m16．若函数f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（0，52]C ．[2，52）D ．[52，+∞）17．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为f ′（x ），当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，若f （1）＝﹣2，则不等式xf （x ）−2x ＞0的解集是（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）18．设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，则b k的最小值是（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．−12D ．−1419．已知函数f （x ）＝cos x +2xf ′（π2），则f ′（π2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．π220．由曲线y =1x，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为（ ） A ．13B ．ln 3C ．1D ．3ln 321．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（ ）A ．（100，+∞）B ．（﹣∞，100）C ．（2000，+∞）D ．（﹣∞，2000）22．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)23．已知函数f （x ）＝（a +2）lnx +a2x 2，对任意x 1，x 2∈（1，+∞），不等式|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立，则正数a 的最小值为（ ） A ．√2−1B ．1C ．2D ．e 2−1224．下列关于求导叙述正确的是（ ） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1xC ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4xD ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝125．由直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1B ．43C ．83D ．426．函数f （x ）＝xe x﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．2x +y ﹣3＝0D ．x +2y ﹣3＝027．设函数f （x ）在R 上存在导函数f '（x ），∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，且在（0，+∞）上f '（x ）＞1，若f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，3）28．已知函数f(x)=xe x +12x 2−x +1，则f （x ）的极大值为（ ） A ．0B ．1e+12C ．eD ．129．已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足：函数y ＝f （x ）﹣2021为奇函数，且对x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）恒成立（f '（x ）是函数f （x ）的导函数），则不等式f(x2)＜2021e x 的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2021） C ．（1，2021）D ．（﹣2021，2021）30．已知f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，4]C ．（﹣∞，5）D ．（﹣∞，5]31．定义在R 上的函数f （x ）满足f ′（x ）＞2，f ′（x ）为f （x ）的导函数，且f （1）＝3，则不等式f （x ）＞2x +1的解集为（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）32．函数f （x ）的定义域为R ，f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且f '（x ）＞0，则不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（1，+∞） C ．（0，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）33．函数f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．23π34．曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为（ ）A ．4x +y +2＝0B ．2x ﹣y +3＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．x +4y +2＝035．已知函数f （x ）＝xe x 与g （x ）＝x 2+ax （a ∈R ）的图象在A （0，0）处有相同的切线，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣1或136．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝f （x ）的图像如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0B ．f '（1）＞f '（2）＞f '（3）＞0C ．f '（3）＜f '（2）＜f '（1）＜0D ．f '（3）＞f '（2）＞f '（1）＞037．已知函数f(x)=lnx+1x与函数g （x ）＝mx 的图象相交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），则实数m 的最小值是（ ） A ．0B ．ln2e 4C ．ln3e 9D ．138．函数f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，2]B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，2）39．若函数f （x ）＝xe x ﹣2mx +m 有且只有一个零点，实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．{e }∪（﹣∞，0）C ．{4√ee}∪(−∞，0] D ．{4√e}∪(−∞，0) 40．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，f '（x ）是f （x ）的导函数，若f （x ）+1+x [f '（x ）+1]＝e x ，则f （x ）在（0，+∞）上（ ） A ．恒为正值B ．恒为负值C ．单调递增D ．单调递减41．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（ ）A ．（﹣∞，100）B ．（100，+∞）C ．（﹣∞，2020）D ．（2020，+∞）42．设f(x)=e √x +ln2的导函数为f '（x ），则f '（1）的值为（ ）A ．0B ．eC ．e+12D ．e243．已知函数f （x ）＝x +1+lnx ，g （x ）＝x （e 2x +a ），若存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，﹣e ）D ．（﹣∞，e ）44．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f′(x)=e x −f(x)x ，且f′(2)=e 24，则f （x ）的最小值为（ ） A ．e2B ．eC ．√eD ．2e45．已知函数f （x ）在x ＝x 0处的导数为f '（x 0），则lim Δx→0f(x 0+2Δx)−f(x 0)Δx =（ ）A ．2f '（x 0）B ．﹣2f '（x 0）C ．−12f′(x 0)D ．12f′(x 0)46．函数f （x ）＝4x 2+1x 的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．(−∞，−12)C ．（0，+∞）D ．(12，+∞)47．函数f （x ）的图象如图所示，其导函数为f '（x ），则不等式（x +2）f '（x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）48．已知函数f （x ）＝﹣x 2+bx +c （b ，c ∈R ）的图象在x ＝0处的切线斜率为k ，在x ＝1处的切线斜率为m ，则km 的最小值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣149．已知函数f t (x)=lnxx t(t ∈R ，t ≠0)，则下列判断正确的是（ ） A ．直线y ＝ex ﹣1与曲线y ＝f t （x ）相切 B ．函数f t （x ）只有极大值，无极小值C ．若t 1与t 2互为相反数，则f t 1(x)的极值与f t 2(x)的极值互为相反数D ．若t 1与t 2互为倒数，则f t 1(x)的极值与f t 2(x)的极值互为倒数50．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且y ＝f '（x ）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）A ．f （a ）＝0B ．f （x ）没有极大值C ．x ＝b 时，f （x ）有极大值D ．x ＝c 时，f （x ）有极小值51．函数f （x ）＝1﹣x （x ＜0），g （x ）=e xx+x 2−3x +1(x ＞0)．若f （x 1）＝g （x 2），则x 2﹣x 1的最小值为（ ） A ．e2−1B ．e−12C ．e ﹣1D ．e52．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足xf （x ）﹣e x＝a （a 为常数）且f′(2)=e 24，若f （m 2+1）＞f （5），则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣2，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）53．若函数f(x)=2x +12sin2x −acosx 没有极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[−32，32]C ．[−12，12]D ．[12，1]54．f （x ）是定义在R 上的可导函数，且f '（x ）＞f （x ），对任意正实数a ，则下列式子成立的是（ ） A ．f （a ）＞f(0)e a B ．f （a ）＜f(0)e aC ．f （a ）＜e a f （0）D ．f （a ）＞e a f （0）55．已知函数f(x)=e x−1−ax −1e (a ＞0)的图像与x 轴有唯一的公共点，则a 的值为（ ） A ．1e2B ．1eC ．eD ．156．已知函数f （x ）=e 2xkx 2−（1x+lnx ），若函数f （x ）有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，4e ]B ．（﹣∞，4e ）C ．（4e ，+∞）D ．[4e ，+∞）57．对任意x ∈(0，π2)，不等式sin x •f （x ）＜cos x •f '（x ）恒成立，则下列不等式成立的是（ ） A ．f(π3)＜√2f(π4) B ．f(π4)＜√62f(π6) C ．f(π4)＜√2cos1⋅f(1)D ．f(π3)＜2cos1⋅f(1)58．已知e 为自然对数的底数，f （x ）是可导函数．对于任意的x ∈R ，f ′（x ）﹣f （x ）＜0恒成立且f （0）＝1，则（ ） A ．f （2）＞e 2，f （2021）＜e 2020f （1） B ．f （2）＜e 2，f （2021）＞e 2020f （1） C ．f （2）＞e 2，f （2021）＞e 2020f （1）D ．f （2）＜e 2，f （2021）＜e 2020f （1）59．已知a ，b ，c ＞0，且a ≠2，b ≠3，c ≠5．若aln 2＝2lna ，bln 3＝3lnb ，cln 5＝5lnc ，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c60．设函数f （x ）＝ax 2﹣x +4，若当x ＞0时，曲线y ＝f （x ）上一点与原点连线斜率的最小值为0，则实数a ＝（ ） A ．14B ．−14C ．116D ．−1162023年上海市高考数学总复习：导数及其应用参考答案与试题解析1．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f （x ）＞0且f （e ）＝1，若xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立，则关于x 的不等式1f(x)＞lnx 的解集为（ ）A ．（e ，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，e ）D ．（0，1）【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）lnx ，x ∈（0，+∞），依题意，可得g ′（x ）=xf′(x)lnx+f(x)x＞0⇒g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又g （e ）＝f （e ）lne ＝1，1f(x)＞lnx⇔f （x ）lnx ＜1，即g （x ）＜g （e ），从而可得答案． 【解答】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ，x ∈（0，+∞），∵f （x ）＞0，xf '（x ）lnx +f （x ）＞0对任意x ∈（0，+∞）恒成立， ∴g ′（x ）＝f '（x ）lnx +f(x)x =xf′(x)lnx+f(x)x＞0， ∴g （x ）＝f （x ）lnx ，在区间（0，+∞）上单调递增，① 又f （e ）＝1，∴g （e ）＝f （e ）lne ＝1， ∴1f(x)＞lnx⇔f （x ）lnx ＜1，即g （x ）＜g （e ），②由①②得：0＜x ＜e ， 即不等式1f(x)＞lnx 的解集为（0，e ），故选：C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学运算能力，属于中档题． 2．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)【分析】令g （x ）=f(x)cosx ，依题意知g （x ）为偶函数，且在区间[0，π2)上是减函数，再由g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），结合条件分别判断四个选项即可．【解答】解：偶函数y ＝f （x ）对于任意的x ∈[0，π2）满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，令g （x ）=f(x)cosx ，则g （﹣x ）=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx =g （x ），即g （x ）为偶函数 又g ′（x ）=f′(x)cosx+f(x)sinx cos 2x＜0，故g （x ）在区间[0，π2)上是减函数， 所以g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），即f （0）=f(0)cos0＞f(π4)cos π4=√2f （π4）=√2f （−π4），故B 正确； f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3⇒√3f(π3)＜f(π6)，故A 错误；f(π4)cos π4＞f(−π3)cos(−π3)=f(π3)cosπ3⇒f(π4)＞√2f(−π3)，故C 错误；f(−π6)cos(−π6)=f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3=f(−π3)cos(−π3)⇒−√3f(−π3)＜f(−π6)，故D 错误；故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 3．设实数λ＞0，若对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln （λx ）≥0恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．0＜λ≤1eB ．0＜λ≤e ﹣1C ．0＜λ≤eD ．0＜λ≤e 2【分析】将等式恒成立问题转化为研究函数e x λ−ln(λx)≥0的单调性与最值问题，利用导数进行分析求解，求出f （x ）的最值点，即可得到答案． 【解答】解：对任意x ∈（0，+∞），不等式e x λ−ln(λx)≥0恒成立，令e x λ−ln(λx)≥0，则问题转化为任意x ∈（0，+∞），f （x ）min ≥0，令f′(x)=e x λ−1x =0，解得e x =λx ，函数y ＝e x 与函数y =λx 在第一象限有且只有一个交点，设为（m ，n ）， 当x ＞m 时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当0＜x ＜m 时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，所以当x ＝m 时，函数f （x ）取得极小值，即最小值f （m ），因为e m =λm，两边同时取对数可得，m ＝ln λ﹣lnm ，解得m ＝1，λ＝e ， 所以当λ≤e 时，不等式e x λ−ln(λx)≥0恒成立，则λ的取值范围是0＜λ≤e ． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求解不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题． 4．下列关于求导叙述正确的是（ ） A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos x B ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1x C ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4x D ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝1【分析】根据题意，分别求出各选项对应函数的导数，再判断即可． 【解答】解：对于A ，若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝cos x ，A 错误； 对于B ，若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）＝1+1x=x+1x，B 正确； 对于C ，若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝8x ，C 错误；对于D ，若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，则f ′（0）＝e 0﹣1＝0，D 错误， 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．5．由y =√x(2−x)与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ） A ．4π3B ．π2C ．πD ．2π【分析】将y =√x(2−x)变形可知，其图象为半径为1的半圆，从而可得所得的旋转体为半径为1的球，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．【解答】解：由y =√x(2−x)变形可知：（x ﹣1）2+y 2＝1（y ≥0），此方程为半径为1的半圆．所以旋转一周得到的几何体为半径为1的球体， 故V =43⋅π⋅13=4π3． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．y ＝e x +a 的图象与直线y ＝2x 相切，则a ＝（ ） A ．1B ．ln 2C ．1﹣ln 2D ．ln 2﹣1【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标（m ，n ），由题意可得关于m ，a 的方程组，求解得答案．【解答】解：由y ＝e x +a ，得y ′＝e x +a ， 设直线y ＝2x 与y ＝e x +a 的切点为（m ，n ），则{em+a=22m =e m+a，解得m ＝1，a ＝ln 2﹣1． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．7．R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1，f （2）＝0，则不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（0，2）B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，2）【分析】构造函数g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ，利用函数g （x ）的单调性即可解出不等式． 【解答】解：∵R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴f （x ）+f ′（x ）﹣1＞0， 构造函数g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ，∴g '（x ）＝e x f （x ）+e x f '（x ）﹣e x ＝e x [f （x ）+f '（x ）﹣1]＞0， ∴函数g （x ）在R 上单调递增，且g （2）＝e 2f （2）﹣e 2＝﹣e 2，原不等式e x f （x ）＜e x ﹣e 2，可化为e x f （x ）﹣e x ＜﹣e 2，即g （x ）＜g （2）， 又∵函数g （x ）在R 上单调递增， ∴x ＜2． 故选：D ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数解不等式，是中档题．8．若x ＝1是函数f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1的极值点，则f （x ）的极大值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．2【分析】求出函数的导数，根据f ′（1）＝0，求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．【解答】解：f （x ）＝lnx −a2x 2﹣（a ﹣1）x +1，函数的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）=1x −ax ﹣（a ﹣1）=−(x+1)(ax−1)x ，且x ＝1是函数f （x ）的极值点， 故f ′（1）＝0，即﹣2（a ﹣1）＝0，解得：a ＝1， 故f （x ）＝lnx −12x 2+1，f ′（x ）=−(x+1)(x−1)x， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故f （x ）极大值＝f （1）=12， 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 9．定义在R 上的偶函数f （x ）存在导数f ′（x ），且当x ＞0时，有f ′（x ）＞2x 恒成立，若f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（13，+∞）B ．（﹣∞，﹣3）C ．（﹣3，13）D ．（﹣∞，﹣3）∪（13，+∞）【分析】令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，可得偶函数y ＝g （x ）在（0，+∞）上单调递增，将f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），转化为g （2m +1）＞g （m ﹣2），脱“g “即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）是R 上的偶函数，令g （x ）＝f （x ）﹣x 2，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）2＝f （x ）﹣x 2＝g （x ）， ∴g （x ）为偶函数，∴当x ＞0时，g ′（x ）＝f ′（x ）﹣2x ＞0， ∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增，① ∵f （m ﹣2）+3m 2+8m ﹣3＜f （2m +1），∴f （2m +1）﹣（2m +1）2﹣[f （m ﹣2）﹣（m ﹣2）2]＝f （2m +1）﹣f （m ﹣2）﹣（3m 2+8m ﹣3）＞0，∴f （2m +1）﹣（2m +1）2＞f （m ﹣2）﹣（m ﹣2）2，即g（2m+1）＞g（m﹣2），∴由①得|2m+1|＞|m﹣2|，展开得3m2+8m﹣3＞0，解得，m＞13或m＜﹣3，故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．设奇函数f（x）的定义域为(−π2，π2)，且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈(−π2，0)，有f'（x）cos x﹣f（x）sin x＜0，若f(t)cost＜12f(π3)，则t的取值范围是（）A．(−π2，π3)B．(0，π3)C．(−π2，−π3)D．(π3，π2)【分析】构造函数g（x）＝f（x）cos x，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，然后将f(t)cost＜12f(π3)转化为f(t)cost＜f(π3)cosπ3，即g(t)＜g(π3)，最后求出t的取值范围即可．【解答】解：令g(x)=f(x)cosx，x∈(−π2，π2)，因为f（x）为奇函数，所以g（﹣x）＝f（﹣x）cos（﹣x）＝﹣f（x）cos x＝﹣g（x），则函数g（x）是定义在(−π2，π2)上的奇函数，则g′（x）＝f′（x）cos x﹣f（x）sin x，因为当x∈(−π2，0)时，f′（x）cos x﹣f（x）sin x＜0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在(−π2，0)上单调递减，则函数g（x）在(−π2，π2)上是奇函数且单调递减，又因为f(t)cost＜12f(π3)等价于f(t)cost＜f(π3)cosπ3，即g(t)＜g(π3 )，所以t＞π3，且−π2＜t＜π2，所以t∈(π3，π2)，故选：D．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，解题关键是正确构造函数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于中档题．11．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b（t）＝105+104t﹣103t2，则细菌数量在t＝5时的瞬时变化率为（）A．﹣2B．0C．5D．10【解答】解：由b（t）＝105+104t﹣103t2，得b'（t）＝104﹣2×103t，所以b'（5）＝104﹣2×103×5＝0，所以在t＝5时的瞬时变化率为0．故选：B．12．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A．x＝1是f（x）的极值点B．导函数f'（x）在x＝﹣1处取得极小值C．函数f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减D．导函数f'（x）在x＝0处的切线斜率大于零【解答】解：对于A：由图象可知：当x∈（0，2）时，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，2）上单调递减，所以x＝1不是f（x）的极值点，故A错误；对于B：图象可知：f′（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增，所以f′（x）在x＝﹣1处取得极小值，故B正确；对于C：对于C由图象可知当x∈（﹣2，3）时，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（﹣2，3）上单调递减，故C正确；对于D：因为f′（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以f″（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，由图象可知f′（x）在x＝0处的切线的斜率不等于零，即f″（0）≠0，所以f′（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，故D正确．故选：A．13．若函数f（x）＝ln（2x）+ax在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(−∞，−12]B．(−∞，−13]C．[−13，+∞)D．[−12，−13]【解答】解：f′（x）=12x•2+a=1x+a，若函数f（x）＝ln（2x）+ax在区间[2，3]上单调递增，则1x+a≥0 在区间[2，3]上恒成立，所以a≥（−1x）max=−13，故选：C．14．已知a，b为正数，ln 2ab＞3b−9a+12，则下列不等式一定成立的是（）A．a＜2b B．b＜2a C．a＜b2D．b＜a2【解答】解：因为ln 2ab=ln(2a)−lnb＞3b−32a+12，则ln(2a)+32a＞lnb+3b+1 2，所以ln（2a）+32a＞lnb+3b，令f（x）＝lnx+3x，因为函数y＝lnx，y＝3x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2a）＞f（b），所以2a＞b．故选：B．15．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝6﹣f（2+x），若函数y=3x−2x−1与y＝f（x）（x∈R）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x m，y m），则∑m i=1(x i+y i)的值为（）A．4m B．3m C．2m D．m【解答】解：函数y＝f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝6﹣f（2+x），即f（2+x）+f（﹣x）＝6，故f（x）的图象关于点（1，3）对称，∵函数y=3x−2x−1=3x−3+1x−1=3+1x−1，故y的图象也关于点（1，3）对称．∵函数y=3x−2x−1与y＝f（x）（x∈R）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x m，y m），∴x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝x 3+m ﹣2＝••＝2，y 1+y m ＝y 2+y m ﹣1＝y 3+y m ﹣2＝••＝6． 令M ＝x 1+x 2+•+x m ，则2M ＝2m ，M ＝m ， 令N ＝y 1+y 2+•+y m ，则2N ＝6m ，N ＝3n ， 则∑ m i=1(x i+yi )=∑ m i=1x i +∑ m i=1y i =M +N ＝4m ，故选：A ．16．若函数f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（0，52]C ．[2，52）D ．[52，+∞）【解答】解：∵f （x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）在区间（2，3）上单调递增，∴当x ∈（2，3）时，f ′（x ）＝e x （x 2﹣2ax +2a ）+e x （2x ﹣2a ）＝e x [x 2﹣2（a ﹣1）x ]≥0恒成立，即当x ∈（2，3）时，x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0恒成立，由x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0（2＜x ＜3）得：x 2﹣2（a ﹣1）x ≥0恒成立⇔2（a ﹣1）≤x 恒成立， ∴2（a ﹣1）≤2， 解得a ≤2， 故选：A ．17．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为f ′（x ），当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，若f （1）＝﹣2，则不等式xf （x ）−2x ＞0的解集是（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：设g （x ）＝x 2f （x ）﹣2，则g ′（x ）＝x 2f ′（x ）+2xf （x ）＝x [xf '（x ）+2f （x ）]．因为当x ＞0时，恒有xf ′（x ）+2f （x ）＜0，即当x ＞0时，g '（x ）＜0， 所以函数g （x ）在（0，+∞）单调递减；① 当x ＜0时g '（x ）＞0，所以函数y ＝g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，又f （x ）为奇函数，f （1）＝﹣2，故f （﹣1）＝2，g （﹣1）＝（﹣1）2f （﹣1）﹣2＝0，（*）不等式xf （x ）−2x ＞0⇔x 2f(x)−2x＞0，当x ＞0时，g （x ）＞0，②又由①知，当x ＞0时，g （x ）＜g （0）＝﹣2，③，②③矛盾，即x ＞0时，不等式无解； 由（*）可知，当x ＜0时，有g （x ）＜0＝g （﹣1），g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增， 所以，x ＜﹣1， 故选：B ．18．设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，则bk 的最小值是（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．−12D ．−14【解答】解：kx +b ≥lnx 在（0，+∞）上恒成立，即为lnx ﹣kx ≤b 在（0，+∞）上恒成立， 令f （x ）＝lnx ﹣kx ，f′(x)=1x−k ． 若k ≤0，则f '（x ）＞0，可得f '（x ）在（0，+∞）递增，当x →+∞时，f （x ）→+∞，不等式lnx ﹣kx ≤b 在（0，+∞）上不恒成立，故k ＞0． 由f′(x)=1x −k ，可得f （x ）在(0，1k )上单调递增，在(1k，+∞)上单调递减， 所以当1x=k 时，f （x ）取得最大值f(x)max =f(1k )=ln 1k −1=−lnk −1，则﹣lnk ﹣1≤b ，则b k≥−1k−lnk k．令g(k)=−1k−lnk k ，k ＞0，g′(k)=1k 2−1−lnk k 2=lnk k2， 可得g （k ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以当k ＝1时，g （k ）min ＝g （1）＝﹣1，则bk 的最小值是﹣1．故选：B ．19．已知函数f （x ）＝cos x +2xf ′（π2），则f ′（π2）＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．π2【解答】解：∵f （x ）＝cos x +2xf ′（π2）， ∴f ′（x ）＝﹣sin x +2f ′（π2），令x =π2，则f ′（π2）＝﹣1+2f ′（π2），∴f ′（π2）＝1，故选：C ．20．由曲线y =1x，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为（ ） A ．13B ．ln 3C ．1D ．3ln 3【解答】解：依题意，由曲线y =1x ，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成平面图形的面积为：S =∫ 311xdx =(lnx)|13=ln3−ln1=ln3．故选：B ．21．已知函数y ＝f （x ）是R 上的可导函数，f '（x ）+f （x ）＞1且f （100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（ ）A ．（100，+∞）B ．（﹣∞，100）C ．（2000，+∞）D ．（﹣∞，2000）【解答】解：令g （x ）＝[f （x ）﹣1]e x ， ∵f '（x ）+f （x ）＞1，∴g ′（x ）＝e x （f '（x ）+f （x ）﹣1）＞0， ∴g （x ）为R 上的增函数； ∵f （100）＝2021，∴f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x ⇔[f （x ）﹣1]e x ＞2020e 100＝[f （100）﹣1]e 100，即g （x ）＞g （100）， ∴x ＞100， 故选：A ．22．已知函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，π2)满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√3f(π3)＞f(π6) B ．f(0)＞√2f(−π4) C ．f(π4)＜√2f(−π3)D ．−√3f(−π3)＞f(−π6)【解答】解：偶函数y ＝f （x ）对于任意的x ∈[0，π2）满足f ′（x ）cos x +f （x ）sin x ＜0， 令g （x ）=f(x)cosx ，则g （﹣x ）=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx =g （x ），即g （x ）为偶函数 又g ′（x ）=f′(x)cosx+f(x)sinx cos 2x＜0，故g （x ）在区间[0，π2)上是减函数， 所以g （0）＞g （π6）＞g （π4）＝g （−π4）＞g （π3）＝g （−π3），即f （0）=f(0)cos0＞f(π4)cos π4=√2f （π4）=√2f （−π4），故B 正确； f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3⇒√3f(π3)＜f(π6)，故A 错误；f(π4)cos π4＞f(−π3)cos(−π3)=f(π3)cosπ3⇒f(π4)＞√2f(−π3)，故C 错误；f(−π6)cos(−π6)=f(π6)cos π6＞f(π3)cosπ3=f(−π3)cos(−π3)⇒−√3f(−π3)＜f(−π6)，故D 错误；故选：B ．23．已知函数f （x ）＝（a +2）lnx +a 2x 2，对任意x 1，x 2∈（1，+∞），不等式|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立，则正数a 的最小值为（ ） A ．√2−1B ．1C ．2D ．e 2−12【解答】解：因为f （x ）＝（a +2）lnx +a2x 2， 则f′(x)=a+2x +ax ＞0，所以f （x ）在（1，+∞）单调递增， 不妨取x 1≥x 2＞1， 则f （x 1）≥f （x 2），又|f （x 1）﹣f （x 2）|≥2|x 1﹣x 2|恒成立， 即f （x 1）﹣2x 1≥f （x 2）﹣2x 2恒成立， 令g （x ）＝f （x ）﹣2x ，则g （x ）在（1，+∞）单调递增， 所以g′(x)=a+2x +ax −2≥0⇒a ≥(2x−2x 2+1)max ， 又2x−2x 2+1=2(x−1)+2x−1+2≤√2−1，当且仅当x −1=2x−1时取等号， 所以a ≥√2−1，则正数a 的最小值为√2−1． 故选：A ．24．下列关于求导叙述正确的是（ ）A ．若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝﹣cos xB ．若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）=x+1x C ．若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝4x D ．若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（0）＝1【解答】解：对于A ，若f （x ）＝sin x ，则f ′（x ）＝cos x ，A 错误； 对于B ，若f （x ）＝lnx +x ，则f ′（x ）＝1+1x =x+1x ，B 正确； 对于C ，若f （x ）＝4x 2，则f ′（x ）＝8x ，C 错误；对于D ，若f （x ）＝e x ﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，则f ′（0）＝e 0﹣1＝0，D 错误， 故选：B ．25．由直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1B ．43C ．83D ．4【解答】解：根据题意，{y =2x y =4x −x 2，解可得{x =0y =0或{x =2y =4， 其图象如图；直线和曲线的交点为（0，0），（2，4），则直线y ＝2x 及曲线y ＝4x ﹣x 2围成的封闭图形的面积S =∫ 20（2x ﹣4+x 2）dx ＝（x 2﹣4x +x 33）|02=43， 故选：B ．26．函数f （x ）＝xe x﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．2x +y ﹣3＝0D ．x +2y ﹣3＝0【解答】解：由f （x ）＝xe x ﹣1，得f ′（x ）＝e x ﹣1+xe x ﹣1， ∴f ′（1）＝e 0+1×e 0＝2，又f （1）＝1，∴函数f （x ）＝xe x ﹣1的图象在x ＝1处的切线方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故选：A ．27．设函数f （x ）在R 上存在导函数f '（x ），∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，且在（0，+∞）上f '（x ）＞1，若f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，3）【解答】解：令g （x ）＝f （x ）﹣x ， ∵∀x ∈R 都有f （x ）+f （﹣x ）＝0， ∴f （x ）为奇函数，∴g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣[f （x ）﹣x ]＝﹣g （x ），即g （x ）为奇函数， 又在（0，+∞）上f '（x ）＞1，∴当x ∈（0，+∞）时，g ′（x ）＝f '（x ）﹣1＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （x ）为奇函数，∴g （x ）在R 上单调递增；∵f （2﹣a ）﹣f （a ）＞2（1﹣a ），即f （2﹣a ）﹣（2﹣a ）＞f （a ）﹣a ，即g （2﹣a ）＞g （a ）， ∴2﹣a ＞a ， ∴a ＜1， 故选：A ．28．已知函数f(x)=xe x +12x 2−x +1，则f （x ）的极大值为（ ） A ．0B ．1e+12C ．eD ．1【解答】解：因为f′(x)=1−x e x +x −1=(x−1)(e x −1)e x， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜0，令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1， 故f （x ）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减， 故f （x ）的极大值为f （0）＝1， 故选：D ．29．已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足：函数y ＝f （x ）﹣2021为奇函数，且对x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）恒成立（f '（x ）是函数f （x ）的导函数），则不等式f(x2)＜2021e x的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2021） C ．（1，2021） D ．（﹣2021，2021）【解答】解：令g(x)=f(x)e 2x， ∵x ∈（﹣∞，+∞），2f （x ）＞f '（x ）， ∴g ′（x ）=f′(x)−2f(x)e x＜0， ∴g （x ）在R 上的减函数， 又y ＝f （x ）﹣2021为奇函数， y |x ＝0＝f （0）﹣2021＝0， ∴f （0）＝2021，∴f(x 2)＜2021e x ⇔g(x 2)=f(x 2)e x ＜2021=f(0)e0=g （0），∴x2＞0，即x ＞0，故选：A ．30．已知f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，4]C ．（﹣∞，5）D ．（﹣∞，5]【解答】解：∵f （x ）＝2x 2﹣ax +lnx 在区间（1，+∞）上单调递增， ∴f '（x ）＝4x ﹣a +1x ≥0在（1，+∞）上恒成立， 即a ≤4x +1x在（1，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝4x +1x （x ≥1），则a ≤g （x ）min ，由对勾函数的性质可知，g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增， ∴g （x ）＞g （1）＝4+1＝5， ∴a ≤5， 故选：D ．31．定义在R 上的函数f （x ）满足f ′（x ）＞2，f ′（x ）为f （x ）的导函数，且f （1）＝3，则不等式f （x ）＞2x +1的解集为（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x ）﹣2x ﹣1，则g ′（x ）＝f ′（x ）﹣2，又由f ′（x ）＞2，则g ′（x ）＞0，则g （x ）在R 上为增函数， 又由f （1）＝3，则g （1）＝f （1）﹣2﹣1＝0，则f （x ）＞2x +1⇒f （x ）﹣2x ﹣1＞0⇒g （x ）＞g （1），分析可得x ＞1， 即不等式f （x ）＞2x +1的解集为（1，+∞）； 故选：C ．32．函数f （x ）的定义域为R ，f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且f '（x ）＞0，则不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（1，+∞） C ．（0，1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：f ′（x ）＞0，f （x ）在R 单调递增， 又f （1）＝0，x ＜1时，f （x ）＜0，x ＞1时，f （x ）＞0， 对于（x ﹣2）f （x ）＞0， 当x ＞2时，不等式成立，当1＜x ＜2时，x ﹣2＜0，f （x ）＞0，不等式不成立， 当x ＜1时，x ﹣2＜0，且f （x ）＜0，不等式成立， 不等式的解集是（﹣∞，1）∪（2，+∞）， 故选：A ．33．函数f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．23π【解答】解：由f （x ）=√3e x sin x ，得f ′（x ）=√3e x sin x +√3e x cos x ， 则f ′（0）=√3e 0sin0+√3e 0cos0=√3，设f （x ）=√3e x sin x 的图像在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为θ（0≤θ＜π）， 则tan θ=√3，θ=π3． 故选：B ．34．曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为（ ） A ．4x +y +2＝0B ．2x ﹣y +3＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．x +4y +2＝0【解答】解：由y ＝2x 2，得y ′＝4x ， ∴y ′|x ＝﹣1＝﹣4，则曲线y ＝2x 2在点（﹣1，2）处的切线方程为y ﹣2＝﹣4（x +1），即4x +y +2＝0． 故选：A ．35．已知函数f （x ）＝xe x 与g （x ）＝x 2+ax （a ∈R ）的图象在A （0，0）处有相同的切线，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣1或1【解答】解：∵f '（x ）＝e x +xe x ，∴f '（0）＝1． ∵g '（x ）＝2x +a ，∴g '（0）＝a ．∵f （x ）与g （x ）的图象在（0，0）处有相同的切线， ∴f '（0）＝g '（0），即a ＝1． 故选：C ．36．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝f （x ）的图像如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0B ．f '（1）＞f '（2）＞f '（3）＞0C ．f '（3）＜f '（2）＜f '（1）＜0D ．f '（3）＞f '（2）＞f '（1）＞0【解答】解：因为f '（1），f '（2），f ’（3）分别为函数f （x ）在x ＝1，x ＝2，x ＝3处切线的斜率，由f （x ）的图象可知，f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以f '（x ）＜0，则f '（1）＜0，f '（2）＜0，f ’（3）＜0， 又f （x ）递减的速度越来越慢，即切线的斜率越来越大， 所以f '（1）＜f '（2）＜f '（3）＜0． 故选：A ． 37．已知函数f(x)=lnx+1x与函数g （x ）＝mx 的图象相交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），则实数m 的最小值是（ ） A ．0B ．ln2e 4C ．ln3e 9D ．1【解答】解：由lnx+1x=mx 得m =lnx+1x 2， 设ℎ(x)=lnx+1x 2(x ＞0)， 求导ℎ′(x)=x−2x(lnx+1)x 4=1−2(lnx+1)x 3=−(2lnx+1)x 3，令h '（x ）＝0，解得x =e −12，0＜x ＜e−12时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增；当x ＞e −12时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减； 故当x =e−12时，函数取得极大值，且ℎ(e −12)=e 2，又x =1e 时，h （x ）＝0；当x →+∞时，lnx +1＞0，x 2＞0，故h （x ）→0； 作出函数大致图像，如图所示： 又ℎ(1)=1，ℎ(2)=ln2+14=ln2e4， 因为存在唯一的整数x 0∈（x 1，x 2），使得y ＝m 与ℎ(x)=lnx+1x 2的图象有两个交点， 由图可知：h （2）≤m ＜h （1）， 即ln2e 4≤m ＜1，所以m 的最小值为ln2e 4．故选：B ．38．函数f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，2]B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，2）【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣alnx ， 则f '（x ）=2x −ax ，因为f （x ）＝x 2﹣alnx 在[1，+∞）单调递增，所以2x−ax≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x2在[1，+∞）上恒成立，因为y＝2x2在[1，+∞）上单调递增，所以（2x2）min＝2，则a≤2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．39．若函数f（x）＝xe x﹣2mx+m有且只有一个零点，实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．{e}∪（﹣∞，0）C．{4√e e}∪(−∞，0]D．{4√e}∪(−∞，0)【解答】解：根据题意，函数f（x）＝xe x﹣2mx+m有且只有一个零点，即方程xe x﹣2mx+m ＝0有且只有一个零点，设g（x）＝xe x，则函数g（x）直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点，对于g（x）＝xe x，当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，其导数g′（x）＝xe x+e x＝（x+1）e x，在区间（﹣∞，﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，在区间（﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，其大致图像如图，直线y＝2mx﹣m＝2m（x−12），恒过定点（12，0），当m≤0时，易得函数g（x）与直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点，符合题意，当m＞0时，设函数g（x）与直线y＝2mx﹣m相切，且切点的坐标为（t，te t），则切线的斜率k＝g′（t）＝（t+1）e t，则有te tt−12=（t+1）e t，解可得t＝1或−12，当t＝1时，有2m＝（1+1）e，解可得m＝e，当t=−12时，有2m＝（1−12）e−12=2√e，解可得m=4√e，结合图象，m＞0时，除两条切线外，不存在函数g（x）与直线y＝2mx﹣m有且只有一个交点的情况，综合可得：m＝e或m=14√e或m≤0，即m的取值范围为{14√e e}∪(−∞，0]；故选：C．40．已知f（x）是定义在R上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝e x，则f（x）在（0，+∞）上（）A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减【解答】解：由f（x）+1+x[f'（x）+1]＝e x，得f（x）+xf'（x）＝e x﹣x﹣1，设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝e x﹣x﹣1，设h（x）＝e x﹣x﹣1，h'（x）＝e x﹣1，当x＞0时，h'（x）＞0，h（x）递增，x＜0时，h'（x）＜0，h（x）递减，所以h（x）min＝h（0）＝0，所以h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0恒成立，所以g（x）是R上的增函数，又g（0）＝0，所以x＞0时，g（x）＝xf（x）＞0，f（x）＞0，故选：A．41．已知函数y＝f（x）是R上的可导函数，f'（x）+f（x）＞1且f（100）＝2021，则不等式f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x的解集为（ ）A ．（﹣∞，100）B ．（100，+∞）C ．（﹣∞，2020）D ．（2020，+∞）【解答】解：令g （x ）＝f （x ）e x ﹣e x ＝[f （x ）﹣1]e x ， ∵f '（x ）+f （x ）＞1∴g ′（x ）＝[f '（x ）+f （x ）﹣1]e x ＞0， ∴g （x ）为增函数， 又f （100）＝2021，∴f （x ）﹣1＞2020e 100﹣x ⇔[f （x ）﹣1]e x ＞[f （100）﹣1]e 100，即g （x ）＞g （100） ∴x ＞100， 故选：B ．42．设f(x)=e √x +ln2的导函数为f '（x ），则f '（1）的值为（ ） A ．0B ．eC ．e+12D ．e2【解答】解：因为f(x)=e √x +ln2， 则f '（x ）=√x2√x ，所以f '（1）=√12√1=e 2．故选：D ．43．已知函数f （x ）＝x +1+lnx ，g （x ）＝x （e 2x +a ），若存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，﹣e ）D ．（﹣∞，e ）【解答】解：存在x ＞0，使f （x ）＞g （x ）成立，即x +1+lnx ＞x （e 2x +a ）， 由于x ＞0，所以可得1+1x +lnxx ＞e 2x +a当x ＞0时，设m （x ）=1+1x +lnxx ，n （x ）＝e 2x +a ， 由m '（x ）=−lnxx 2，可知m （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 由n '（x ）＝2e 2x ，可知n （x ）在（0，+∞）上递增， 若存在x ＞0时，m （x ）＞n （x ），则临界状态是m （x ）图象与n （x ）相切，且m （x ）图象位于n （x ）上方，如图。
高考数学一轮复习精选试题：导数及其应用(选择与填空)含答案
一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的 )
1．设函数 f ( x)
ax2
c(a
1
0) , 若 f ( x)dx 0
f (x0) 0
x0 1 , 则 x0 的值为 (
)
A． 1 2
【答案】 D
B． 3 4
A．1 【答案】 C
B． e 1
C． e
D． e 1
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10．已知函数 f ( x) , 当自变量由 x0 变化到 x1 时函数值的增量与相应的自变量的增量
比是函数 ( )
A．在 x0 处的变化率
B．在区间 [ x0, x1] 上的平
均变化率
C．在 x1 处的变化率
D．以上结论都不对
C． 3 2
D． 3 3
2．函数 f ( x) (x3 1)( x3 2) ( x3 100) 在 x 1 处的导数值为 ( )
A．0
B．100!
C．3·99！
D． 3· 100！
【答案】 C
3．曲线 y x 2 1 在点（ 1,0 ）处的切线方程为 ( )
A． y x 1
B． y x 1
C． y 2x 2 【答案】 D
【答案】 B
11．已知 f ( x) x 3 ax在[1, ) 上是单调增函数，则 a 的最大值是 ( )
A．0 【答案】 D
B．1
C．2
D． 3
12． 2 e|x|dx 的值等于 ( ) 2
A． e2 e 2
B． 2e2
【答案】 C
C． 2e2 2
高三导数及其应用测试题及答案解析
高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.232．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14 C ．2D ．－125．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤36．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝3x －2C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋310．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( ) A ．在(－2,1)内f (x )是增函数 B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课标 第 一 网 C ．在(4,5)内f (x )是增函数 D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－42712．若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________． ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值； (2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，当x ＝1时，k ＝y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)．当x ＝0时，y ＝－23，当y ＝0时，x ＝13.∴三角形的面积S ＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增. 答案：B3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：D4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，X k b 1 . c o m f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 答案：A5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a ＜3，则f ′(x )＞0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0恒成立． x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3. 答案：D6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)解析：由y ＝xf ′(x )的图像知±2是y ＝f ′(x )的两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)＞0，∴a ＞0.由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知，f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D. 答案：D7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)， 令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1， ∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知，y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1. 答案：C10．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课 标 第 一 网C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数f (x )在(1,3)上也不是单调函数，在x ＝2的左侧，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－32，2上是增函数．在x ＝2的右侧，函数f (x )在(2,4)上是减函数，所以在x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f (x )在这个区间上为增函数. 答案：C11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427C ．－427、0D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13，或x ＝1.从而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图像知f (1)＝3，f ′(1)＝1，故f (1)＋f ′(1)＝ 3＋1＝4. 答案：D第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________． 解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[]－1，3， ∴0≤a ≤2.从而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34. 当a ＝12时，g (a )min ＝34；a ＝2时，g (a )max ＝3. 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，314．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－2ax －a ＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立． 当a ＞0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，或x ＝－12(舍去)．当0＜x ＜1a 时，F ′(x )＞0；当x ＞1a 时，F ′(x )＜0.故F (x )在(0，＋∞)上有最大值F ⎝⎛⎭⎫1a ，由题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0.令φ(a )＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处有极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，∴2a ＝2，得a ＝1.∴a ＋b ＝1＋0＝1. 答案：116．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号) ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f (x )的导函数数值大于零，所以f (x )单调递增；在区间(1,7)内f (x )的导函数值小于零，所以f (x )单调递减；在x ＝－3左右的导函数符号不变，所以x ＝－3不是函数的极大值点；在x ＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f (x )在x ＝7处有极小值．故②④正确． 答案：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，故函数无极值点； 故b 的值为－11.(2)方法一：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，∴得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ， 又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －432＋163≤163， 当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，故b 的最小值为163.方法二：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max . 令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋a 23， ①当a ≥0时，F (x )max ＝0，于是b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，于是b ≥a 23.又∵⎝⎛⎭⎫a 23max ＝163，∴b ≥163. 综上，b 的最小值为163.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或c ＜－1， 所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )．(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又因为f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，则f ′(2)＝－625.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2m (x 2＋1)－2x (2mx －m 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －m )(mx ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1m ，x 2＝m .∵m ＞0，∴－1m＜m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－1m－1m ⎝⎛⎭⎫－1m ，m m (m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )递减极小值递增极大值递减从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，(m ，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1m ，m 内为增函数， 故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1m ，且f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－m 2，函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝12.(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意； ②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12， 由此求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 综上可知，当a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方． 21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．解析：(1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②由①②得，a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －12x ＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x－12≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )；当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 解析：(1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ， 即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0，且a ＋c ＝－23， 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知，两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且(x 12－1)(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 12－1≤0，x 22－1≤0. ∴(x 12－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。
2022届高中数学导数通关练习专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
6．函数 f x 1 x3 ax2 2x 1 在 x 1, 2 内不单调，则（ ）
3
A． 1 a 1
2
2
B． 1 a 1
2
2
C． a 1 或 a 1
2
2
D． a 1 或 a 1
2
2
【解析】由题设， f (x) x2 2ax 2 ，∴ f (1) 2a 1 ， f (2) 2 4a ，∵在 x 1, 2 内不单调，
x
a
1
ln
x
，若对任意
x1
,
x2
(0,
2]
，且
x1
x2 ，都有
f
x2 f x1
x2 x1
1，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A．
,
27 4
B． (, 2]
C．
,
27 2
D． ,8
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二、多选题
9．若函数 f (x) 1 x 2 9 ln x ，在区间m 1,m 1 上单调，则实数 m 的取值范围可以是（
20．已知函数 f (x) 1 x 4 x 3 9 x 2 cx 1 有三个极值点.
4
2
（1）求 c 的取值范围；
（2）若存在 c 27 ，使函数 f (x) 在区间[a, a 2]上单调递减，求 a 的取值范围.
21．已知函数 f x 2ln x 1 ax2 2a 1 x
2
（1）若 f x 在 2, 上单调，求 a 的取值范围； （2）若 f x 在 2, 上有极小值 g a ，求证： g a 4 ln 2 4 ．
f (x) 1 1
1 x
(x
a 1)2