第七章 力矩分配法
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力矩分配法
C M AB = CM BA = −28.6
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A 2 ql / 12
B
u MB
C
M
C CB
=0
A
B
C
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 M CB = 0
B
d M BC
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
令
µ BA µ BC
S BA = S BA + S BC S BC = S BA + S BC
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
---传递系数 ---传递系数 1 1
A
i i i
B
2i C=1/2
传递弯矩
B
C=0 C=C=-1 与远端支承 情况有关
3i A 1
远端定向时: 远端定向时: i A
B
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0 放松状态: 放松状态 d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
EI
B
EI
C
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A 2 ql / 12
B
u MB
C
M
C CB
=0
A
B
C
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 M CB = 0
B
d M BC
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
令
µ BA µ BC
S BA = S BA + S BC S BC = S BA + S BC
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
---传递系数 ---传递系数 1 1
A
i i i
B
2i C=1/2
传递弯矩
B
C=0 C=C=-1 与远端支承 情况有关
3i A 1
远端定向时: 远端定向时: i A
B
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0 放松状态: 放松状态 d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
EI
B
EI
C
力矩分配法doc
第七章力矩分配法学习目的和要求力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。
它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩。
运算简单，方法机械，便于掌握。
本章的基本要求：1.熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。
2.掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。
3.了解超静结构影响线的绘制和内力包络图的绘制。
学习内容转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。
力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。
无剪力分配法的概念及计算。
超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。
利用对称性简化力矩分配法计算。
§7.1基本概念1、力矩分配法概述：理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：增量调整修正的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
2、杆端弯矩正负号规定：在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正号。
作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。
3、转动刚度S：转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力, 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
AB 杆A 端的转动刚度S AB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如右图：如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度S AB的数值不变。
4、传递系数C：(例子102)传递系数指的是杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
即：利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：M BA=C AB M AB等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：§7.2单结点力矩分配法——基本运算力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算。
1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算：如下图所示结构，在结点集中力偶m作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩。
《力矩分配法 》课件
05
力矩分配法的未来发展与展 望
力矩分配法在新型结构中的应用
新型材料结构
随着新型材料的不断涌现，力矩分配法在复合材料、智能材料等新型结构中的应 用将更加广泛，为复杂结构的分析和设计提供有力支持。
新型连接方式
针对新型连接方式如焊接、胶接等，力矩分配法将进一步完善其理论体系，以适 应不同连接方式的特性，提高结构的安全性和可靠性。
通过将结构划分为若干个独立的杆件或单元，并假定每个杆件的一端为固定端 ，另一端为自由端，然后根据力的平衡条件和变形协调条件，逐个求解各杆件 的内力和变形。
适用范围与限制
适用范围
适用于分析具有连续梁和刚架结构形 式的问题，如桥梁、房屋、塔架等。
限制
对于具有复杂结构形式或非线性性质 的问题，力矩分配法可能无法得到准 确的结果，需要采用其他数值方法或 实验方法进行分析。
根据杆件长度和截面特性，将杆件力 矩分配至杆件两端。
分配过程中要考虑杆件的弯曲变形和 剪切变形。
计算杆件内力
根据杆件力矩和截面特性，计算杆件的内力（弯矩和剪力） 。
内力的计算要考虑材料的力学性能，如弹性模量、泊松比等 。
03
力矩分配法的应用实例
桥梁工程中的应用
1 2
3
桥梁设计
力矩分配法可以用于计算桥梁的弯矩、剪力和轴力等，为桥 梁设计提供依据。
与其他方法的比较
与有限元法比较
力矩分配法适用于分析具有连续梁和刚架结构形式的问题，计算过程相对简单，但无法处理复杂的结 构形式和非线性问题。有限元法则可以处理各种复杂的结构形式和非线性问题，但计算过程相对复杂 。
与实验方法比较
实验方法可以获得较为准确的结果，但需要耗费大量的人力和物力资源，且实验过程可能存在风险。 力矩分配法虽然可能存在一定的误差，但可以在一定程度上替代实验方法，节省资源和时间。
第07章力矩分配法09选编
4m
4m
解： 1.利用对称性取半结构
CD部分是静定的，荷载 静力等效移至C点。
2.计算线刚度
EI iAB iBC 41 1
4m
4m 2m
6kN/m
10kN
A
B
CD
4m
4m 2m
6kN/m 10kN 20kN m
A
B
C
4m
4m 2m
7.2 力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架
3.确定分配系数、传递系数
作剪力图
A
MA 0
FQ1A 10 140 12 10 5 0 FQ1A 74
Fy 0
FQA1 46
46
140
q 12kN / m
1
A FQA1
69.97
40.3 B
2
M
140 FQ11 A
4.03
求支座反力
74
50.03 FQ
Fy 0
74 1 69.97
m
10kN 6kN/m
20kN m
A
B
C
4m
4m 2m
6kN/m 10kN 20kN m
B
C
ql 2 12 8
6kN/m
B
C
20
B
20kN m
10
C
7.2 力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架
5.力矩分配、传递，计算杆端弯矩
6kN/m
A
B
10kN 20kN m
C
杆端 AB 0.5 BA BC 0 CB
4/7 3/7
M F 8
8 2
20
分配传递 1.72 3.43 2.57 0
第七章 力矩分配法
第七章 渐近法计算超静定结构
1、多跨连续梁
内 蒙 古 农 业 大 学
分配系数 固端弯矩 0.0 45.0
0.4 0.0
0.6
0.5
0.5
-225.0
+225.0 -135.0
+67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
0.0 0.0 0.0
B点一次分、传
-16
+7.53 -0.67 -0.06 -9.2 +8.47 +1.43 -0.76 +0.12 -0.06 +9.2 +4.24 +2.86 -0.38 +0.23 -0.03 +0.02 +6.94 -131.2 -30.5
-9
+1.90 +0.15 +0.01 -6.94 +30.5
-9
+0.95 +0.08
号的不平衡力矩，使结点上的不平衡力矩被消除而获得平衡。这个反号的不 平衡力矩按分配系数的大小分配到各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时 各自按传递系数大小向远端传递，于是各远端得到传递弯矩。 3、计算各杆端弯矩 各 近端弯矩等于分配弯矩加固端弯矩；各远端弯矩等 于传递弯矩加固端弯矩。
四、计算示例
例1：试绘制图示连续梁的弯矩图
2、用力矩分配法计算 首先采用力矩分配法计算出杆端弯矩，然后利用
静力平衡条件，计算系数和自由项；
3、解典型方程 求基本未知量的值； 4、用叠加法绘制弯矩图 二、算例
M M 1Z1 M P
例：试计算图（a）所示的刚架，并绘制弯矩图。
土木工程力学-第7章-力矩分配法
7.2 力矩分配法的基本概念
7.2 力矩分配法的基本概念
7.3.1 单结点的力矩分配法
在前面的基础上，主要解决节间荷载的问题。如下图所示，单 结点、无侧移结构上作用了节间荷载。在荷载作用下，结点A 会发生转角，为此用一个附加刚臂把A 结点固定起来（A 状态 所示）。在结点上加了附加刚臂相当于加了一个力矩，为了保 持与原结构相同，我们在A 结点处要加一个大小相等方向相反 的力矩（B 状态所示），显然原结构等于A 状态加B 状态。
7.3.1 单结点的力矩分配法
A 状态的内力——固端弯矩（因为附加刚臂把结构变成了一 个个单跨的超静定梁），可查表计算。 B 状态的内力——可用力矩分配法计算（因为结构满足要求， 荷载也变成了结点上的集中力矩）。
7.3.1 单结点的力矩分配法
7.3.1 单结点的力矩分配法
7.3.1 单结点的力矩分配法
7.4 无剪力分配法
2）无剪力分配法的应用条件 （1）两种杆件的概念 无侧移杆件——杆件两端没有相对线位移（即没有垂直杆轴线 的相对位移）的杆件； 剪力静定杆件——杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可 根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件。
7.4 无剪力分配法
（2）应用条件 ——此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件（无侧移杆） 外，其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架。 可以求解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应与柱平行 的问题（如上图所示）。但也可以推广到单跨多层对称刚架等 问题。例如下图所示的刚架。
7.2 力矩分配法的基本概念
2）名词介绍 为了搞清楚以上问题，我们先对以下几个名词进行以下讨论。 （1）转动刚度S ——表示杆端抵抗转动的能力，既要使杆端产生单位转角，需在 杆端所施加的力矩，它在数值上也等于杆端产生单位转角时， 在杆端产生的力矩。 各种单元的转动刚度S 如下：
结构力学——力矩分配法分解课件
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复杂结构的力矩分配法分析
总结词
需要对复杂结构进行精细的力矩分配
详细描述
对于复杂结构，如桥梁、高层建筑等，力矩分配法需要更加精细的分析。这需要对结构的各种参数进 行详细的计算和调整，包括转动刚度、分配系数、传递系数等。通过合理的简化模型和精细的计算， 可以获得结构的整体性能和局部细节，满足工程设计的需要。
应用范围
适用于具有刚性转动 部分的连续梁和框架
适用于具有弹性支撑 的连续梁和框架
适用于具有弹性转动 部分的连续梁和框架
适用条件
结构体系为连续梁或框架 结构具有刚性转动部分，且转动部分在分配力矩后不会出现弹性变形
结构具有弹性支撑，且弹性支撑在分配力矩后不会出现弹性变形
计算复杂度与精度要求
力矩分配法的计算复杂度取决于梁和框 架的自由度数量，自由度越多，计算越
。
误差传递
由于传递系数和分配系数的近似 计算，可能会引入一定的误差，
影响分析结果的准确性。
计算复杂度
对于大型复杂结构，力矩分配法 的计算量可能会变得很大，需要
借助计算机辅助分析。
改进与发展方向
01
02
03
04
数值优化
通过改进算法和优化计算方法 ，提高力矩分配法的计算效率
和精度。
考虑非线性因素
将非线性因素纳入力矩分配法 中，以适应更广泛的结构类型
在力矩分配法中，将结构中的结点分为两类：基本结点和附属结点。基本结点是承 受力矩的结点，附属结点则是传递力矩的结点。
力矩分配法的原理是将所有结点的力矩自由度进行分配，通过调整传递系数来使各 结点的力矩平衡，从而求解出各个结点的位移。
刚度系数与传递系数
刚度系数是指单位力矩作用下结 点的位移，它反映了结点的刚度
力矩分配法
基于位移法的力矩分配法，直接求得杆端弯矩，精度满足工程 要求，应用广泛。适合于手算，与电算并存。常见还有无剪力 分配法、迭代法等。
§7-2 力矩分配法的基本概念
1.正负号的规定
力矩分配法中对杆端弯矩、固端弯矩的正负号规
﹑ 定，与位移法相同，即假设对杆端顺时针转为
正，反之为负；对结点则以逆时针转为正，反之 为负。
MB B MFBC=0
MB
M
F BA
M
F BC
M BFA
（顺时针为正）
A M’AB
MB 放松约束
C
B
(c)
M’BA M’BC
②放松B点的约束，使之由MB到零（原结构没有这
个约束）。
方法：在B点施加力矩-MB
-MB单独作用： 分配力矩： M'BA , M'BC
传递力矩：
M
' AB
③叠加: (b)、 (c)相加后与原结构受力相同。
i AC
1 3
iCE
1 3
AG
4/3 4/3 41/3
0.5
AC
41/ 3 4/3 41/3
0.5
20kN/m A 2I G
I
CI H
I
E
基本结构
CA
41/
3
41/ 3 2/ 3
41/
3
4/3 10 / 3
0.4
CH
2/3 10 / 3
0.2 ,
CE
4/3 10 / 3
0.4
(2)固端弯矩
则: M Aj Aj M 即: M AB AB M
M
D
A
B
A
M AC AC M
M AD AD M
§7-2 力矩分配法的基本概念
1.正负号的规定
力矩分配法中对杆端弯矩、固端弯矩的正负号规
﹑ 定，与位移法相同，即假设对杆端顺时针转为
正，反之为负；对结点则以逆时针转为正，反之 为负。
MB B MFBC=0
MB
M
F BA
M
F BC
M BFA
（顺时针为正）
A M’AB
MB 放松约束
C
B
(c)
M’BA M’BC
②放松B点的约束，使之由MB到零（原结构没有这
个约束）。
方法：在B点施加力矩-MB
-MB单独作用： 分配力矩： M'BA , M'BC
传递力矩：
M
' AB
③叠加: (b)、 (c)相加后与原结构受力相同。
i AC
1 3
iCE
1 3
AG
4/3 4/3 41/3
0.5
AC
41/ 3 4/3 41/3
0.5
20kN/m A 2I G
I
CI H
I
E
基本结构
CA
41/
3
41/ 3 2/ 3
41/
3
4/3 10 / 3
0.4
CH
2/3 10 / 3
0.2 ,
CE
4/3 10 / 3
0.4
(2)固端弯矩
则: M Aj Aj M 即: M AB AB M
M
D
A
B
A
M AC AC M
M AD AD M
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INNER
MONGOLIA AGRICULTURAL UNIVERSITY
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
制作人：周海龙
2010年3月
第七章 渐近法计算超静定结构
力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法，但需要建立并求解联立
内 蒙 古 农 业 大 学
方程，当结构复杂时，手算求解这项工作十分繁重。为了避免求解联立方程，
F1 k11 Z1 F1P 0
系数和自由项的计算需知道 M 1和M P 这两项通过力矩分配法计算。 2）固端弯矩的计算
基本结构由于 Z1 1 的作用，这相当于无侧移刚架发生已知支座位移的 情况，则有
F F M AB M BA
F F M CD M DC
6i AB 6EI 6EI EI 2 2 16 l AB 216 l AB 9 6i 6EI 6EI EI CD 2 2 9 lCD 216 lCD 12
F BA
3）列表进行弯矩的分配 与传递
结点 杆端 点
分配系数 端 固端弯矩 分配传递
AB 0.39 -86.4 +57.6
B BA
A AC 0.39 0.0
AD 0.22 -40.0
D DA 0.0 0.0
C CA 0.0
89.8 3 B
50.7 最后弯矩 43.8 40 144 4 8 D A 6.86
S12 M S S13 M S S14 M S S15 M S
12 M 13 M 14 M 15 M
1j
1
第七章 渐近法计算超静定结构
当杆件上有荷载作用时，则各杆的杆端弯矩表达式可以写为
内 蒙 古 农 业 大 学
近端弯矩
M 12 M 13 M 14 M 15
第七章 渐近法计算超静定结构
二、基本概念
内 蒙 古 农 业 大 学
1、转动刚度
表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关， 而与近端支承情况无关。
0
A
A B
-iA
CAB=-iA/ iA=-1
第七章 渐近法计算超静定结构
3、分配系数
内 蒙 古 农 业 大 学
杆 ij 的转动刚度与汇交于 i 结点的所有杆件转动刚度之和的比值。
S ij ij S
(i )
(1)杆端力:
3
1
1
2
1
1
M 1
4
5
M 12 M 13 M 14 M 15
B点二次分、传 B点三次分、传 C点第三次分配 最后弯矩
7.9
0.6
+90.0 +135.0 -39.4 +15.8 +23.6 -3.0 +1.2 +1.8 +107.0 -107.0
0.0
53.5
+220.0 -220.0
0.0
表中弯矩单位为kN.m
第七章 渐近法计算超静定结构
107
135
220
-3.43 -6.86 -6.86 -3.83 -89.83 +50.7 -6.86 -43.88 4
0.
-3.43 -3.43 – 3.
M图(kn.m) 3.43
C
第七章 渐近法计算超静定结构
§7-2用力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架
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本节介绍的连续梁是具有两个或两个以上结点角位移；本节介绍的刚架 是具有多个结点角位移但无侧移的结构。研究它们如何利用力矩分配法去解。
2）计算各杆端的固端弯矩
第七章 渐近法计算超静定结构
内 蒙 古 农 业 大 学
pab2 120 2 32 M 2 86.4kN .m l 52 pa2b 120 2 2 3 F M AB 2 57.6kN .m l 52 ql 2 20 4 2 F M AD 40kN .m 8 8
第七章 渐近法计算超静定结构
注意：
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本章的杆端弯矩及杆端位移，固端弯矩的正负规定同位移法。 2、传递系数 杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩之比。
M ji C ij M ij
A 4iA
A B
2iA
A 3iA iA
A
l B
CAB=2iA/ 4iA=1/2 CAB=0/ 4iA=0
M M 12 M 13 M 14 M 15 0 M ( S12 S13 S14 S15 ) 1 M (b) S1
M15
(3) 代(b)入(a) , 得:
M 12 M 13 M 14 M 15
第七章 渐近法计算超静定结构
内 蒙 古 农 业 大 学
表7-1 杆端弯矩的计算 结点 A B C D
杆端
分配系数 固端弯矩
AB
BA
0.471
BC
0.529 +53.4
CB
0.6 +106.7 -14.1 +8.5 -1.1 +0.7 +100.7
CD
0.4 -177.8 +71.1 +5.6 +0.4 -100.7
F 12 M M 12 F 13 M M 13 F 14 M M 14 F 15 M M 15
结论：近端弯矩＝分配弯矩+固端弯矩
M 21 M 31 M 41 M 51
F C12 12 M M 21 F C13 13 M M 31 F C14 14 M M 41 F C15 15 M M 51
135
内 蒙 古 农 业 大 学
A
53.5
B
M图(kN.m)
C
D
2、无线位移的刚架
q = 2 0 k N /m 解： 1) 计算分配系数：设 EI/6=1 B
结点B单元：SBA=4 SBC=8
C
BC 2 3 BA 1 3 E
结点C单元：SCB=8 SCE=8 SCD=4
CB CE 2 5
人们提出许多适用的计算方法，在工程实践中，常用的有以下三种：
（1）力矩分配法
（2）无剪力分配法 （3）迭代法 由于这些方法的共同特点是避免建立和解算联立方程，而以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，所以它是一种近似解法，故名：渐近法。
§7-1 力矩分配法
一、特点 （1）理论基础：位移法； （3）计算方法：增量调整修正的方法； （2）计算对象：杆端弯矩； （4）适用范围：连续梁和无侧移刚架。
4.29
C
M 图（kN.m）
E
A
D
第七章 渐近法计算超静定结构
§7-3 力矩分配法和位移法的联合应用
内 蒙 古 农 业 大 学
对于力矩分配法，其只能用于计算无结点线位移的刚架，对于有结点线位
移的刚架，就不能计算，为此，可以将力矩分配法与位移法联合起来应用。 用力矩分配法考虑角位移的影响；用位移法考虑线位移的影响。 一、计算步骤 1、 用位移法求解 选取基本未知的线位移未知量，加链杆得到基本体系，建 立典型方程；
第七章 渐近法计算超静定结构
1、多跨连续梁
内 蒙 古 农 业 大 学
分配系数 固端弯矩 0.0 45.0
0.4 0.0
0.6
0.5
0.5
-225.0
+225.0 -135.0
+67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
0.0 0.0 0.0
B点一次分、传
（2）放松结点B，即加-60进行分配
0.571 (60) 34.3 M BA
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
=
设i =EI/l 计算转动刚度： SBC=3i S =4i
BA
分配系数：
BA
BC
4i 0.571 4i 3i 3i 0.429 7i
4i121 S121 3i131 S131 i141 S141 4i151 S151 (a)
(2)由结点1的平衡条件:
第七章 渐近法计算超静定结构
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M
即: 得:
1
1
0
M12
M M13
1 1
第七章 渐近法计算超静定结构
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例2：试计算图示刚架，并绘制弯矩图 解：1）计算各杆端分配系数
AB AC AB
S AB 42 0.39 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AC 42 0.39 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AD 3 1.5 0.22 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5
远端弯矩
结论：远端弯矩＝传递弯矩+固端弯矩
第七章 渐近法计算超静定结构
三、计算步骤
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1、固定结点
即加入刚臂，此时各杆端产生固端弯矩，结点上有不平衡
力矩，它暂时由刚臂承担，该结点的不平衡力矩等于汇交于该结点的各杆 端固端弯矩的代数和。同时可得到各杆端的分配系数。 2、放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反
MONGOLIA AGRICULTURAL UNIVERSITY
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
制作人：周海龙
2010年3月
第七章 渐近法计算超静定结构
力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法，但需要建立并求解联立
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方程，当结构复杂时，手算求解这项工作十分繁重。为了避免求解联立方程，
F1 k11 Z1 F1P 0
系数和自由项的计算需知道 M 1和M P 这两项通过力矩分配法计算。 2）固端弯矩的计算
基本结构由于 Z1 1 的作用，这相当于无侧移刚架发生已知支座位移的 情况，则有
F F M AB M BA
F F M CD M DC
6i AB 6EI 6EI EI 2 2 16 l AB 216 l AB 9 6i 6EI 6EI EI CD 2 2 9 lCD 216 lCD 12
F BA
3）列表进行弯矩的分配 与传递
结点 杆端 点
分配系数 端 固端弯矩 分配传递
AB 0.39 -86.4 +57.6
B BA
A AC 0.39 0.0
AD 0.22 -40.0
D DA 0.0 0.0
C CA 0.0
89.8 3 B
50.7 最后弯矩 43.8 40 144 4 8 D A 6.86
S12 M S S13 M S S14 M S S15 M S
12 M 13 M 14 M 15 M
1j
1
第七章 渐近法计算超静定结构
当杆件上有荷载作用时，则各杆的杆端弯矩表达式可以写为
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近端弯矩
M 12 M 13 M 14 M 15
第七章 渐近法计算超静定结构
二、基本概念
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1、转动刚度
表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关， 而与近端支承情况无关。
0
A
A B
-iA
CAB=-iA/ iA=-1
第七章 渐近法计算超静定结构
3、分配系数
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杆 ij 的转动刚度与汇交于 i 结点的所有杆件转动刚度之和的比值。
S ij ij S
(i )
(1)杆端力:
3
1
1
2
1
1
M 1
4
5
M 12 M 13 M 14 M 15
B点二次分、传 B点三次分、传 C点第三次分配 最后弯矩
7.9
0.6
+90.0 +135.0 -39.4 +15.8 +23.6 -3.0 +1.2 +1.8 +107.0 -107.0
0.0
53.5
+220.0 -220.0
0.0
表中弯矩单位为kN.m
第七章 渐近法计算超静定结构
107
135
220
-3.43 -6.86 -6.86 -3.83 -89.83 +50.7 -6.86 -43.88 4
0.
-3.43 -3.43 – 3.
M图(kn.m) 3.43
C
第七章 渐近法计算超静定结构
§7-2用力矩分配法计算连续梁与无侧移刚架
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本节介绍的连续梁是具有两个或两个以上结点角位移；本节介绍的刚架 是具有多个结点角位移但无侧移的结构。研究它们如何利用力矩分配法去解。
2）计算各杆端的固端弯矩
第七章 渐近法计算超静定结构
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pab2 120 2 32 M 2 86.4kN .m l 52 pa2b 120 2 2 3 F M AB 2 57.6kN .m l 52 ql 2 20 4 2 F M AD 40kN .m 8 8
第七章 渐近法计算超静定结构
注意：
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本章的杆端弯矩及杆端位移，固端弯矩的正负规定同位移法。 2、传递系数 杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩之比。
M ji C ij M ij
A 4iA
A B
2iA
A 3iA iA
A
l B
CAB=2iA/ 4iA=1/2 CAB=0/ 4iA=0
M M 12 M 13 M 14 M 15 0 M ( S12 S13 S14 S15 ) 1 M (b) S1
M15
(3) 代(b)入(a) , 得:
M 12 M 13 M 14 M 15
第七章 渐近法计算超静定结构
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表7-1 杆端弯矩的计算 结点 A B C D
杆端
分配系数 固端弯矩
AB
BA
0.471
BC
0.529 +53.4
CB
0.6 +106.7 -14.1 +8.5 -1.1 +0.7 +100.7
CD
0.4 -177.8 +71.1 +5.6 +0.4 -100.7
F 12 M M 12 F 13 M M 13 F 14 M M 14 F 15 M M 15
结论：近端弯矩＝分配弯矩+固端弯矩
M 21 M 31 M 41 M 51
F C12 12 M M 21 F C13 13 M M 31 F C14 14 M M 41 F C15 15 M M 51
135
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A
53.5
B
M图(kN.m)
C
D
2、无线位移的刚架
q = 2 0 k N /m 解： 1) 计算分配系数：设 EI/6=1 B
结点B单元：SBA=4 SBC=8
C
BC 2 3 BA 1 3 E
结点C单元：SCB=8 SCE=8 SCD=4
CB CE 2 5
人们提出许多适用的计算方法，在工程实践中，常用的有以下三种：
（1）力矩分配法
（2）无剪力分配法 （3）迭代法 由于这些方法的共同特点是避免建立和解算联立方程，而以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，所以它是一种近似解法，故名：渐近法。
§7-1 力矩分配法
一、特点 （1）理论基础：位移法； （3）计算方法：增量调整修正的方法； （2）计算对象：杆端弯矩； （4）适用范围：连续梁和无侧移刚架。
4.29
C
M 图（kN.m）
E
A
D
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§7-3 力矩分配法和位移法的联合应用
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对于力矩分配法，其只能用于计算无结点线位移的刚架，对于有结点线位
移的刚架，就不能计算，为此，可以将力矩分配法与位移法联合起来应用。 用力矩分配法考虑角位移的影响；用位移法考虑线位移的影响。 一、计算步骤 1、 用位移法求解 选取基本未知的线位移未知量，加链杆得到基本体系，建 立典型方程；
第七章 渐近法计算超静定结构
1、多跨连续梁
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分配系数 固端弯矩 0.0 45.0
0.4 0.0
0.6
0.5
0.5
-225.0
+225.0 -135.0
+67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
0.0 0.0 0.0
B点一次分、传
（2）放松结点B，即加-60进行分配
0.571 (60) 34.3 M BA
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
=
设i =EI/l 计算转动刚度： SBC=3i S =4i
BA
分配系数：
BA
BC
4i 0.571 4i 3i 3i 0.429 7i
4i121 S121 3i131 S131 i141 S141 4i151 S151 (a)
(2)由结点1的平衡条件:
第七章 渐近法计算超静定结构
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M
即: 得:
1
1
0
M12
M M13
1 1
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例2：试计算图示刚架，并绘制弯矩图 解：1）计算各杆端分配系数
AB AC AB
S AB 42 0.39 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AC 42 0.39 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AD 3 1.5 0.22 S AB S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5
远端弯矩
结论：远端弯矩＝传递弯矩+固端弯矩
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三、计算步骤
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1、固定结点
即加入刚臂，此时各杆端产生固端弯矩，结点上有不平衡
力矩，它暂时由刚臂承担，该结点的不平衡力矩等于汇交于该结点的各杆 端固端弯矩的代数和。同时可得到各杆端的分配系数。 2、放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反