中考数学一轮复习 二次函数

中考一轮复习之二次函数（二）
知识考点：
1、掌握抛物线解析式的三种常用形式，并会根据题目条件灵活运用，使问题简捷获解；
2、会利用图像的对称性求解有关顶点、与x 轴交点、三角形等问题。

精典例题：
【例1】已知抛物线c bx ax y ++=2
与抛物线732
+--=x x y 的形状相同，顶点在直线
1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为 。

解析：1±=a ，顶点（1，5）或（1，－5）。

因此5)1(2
+-=x y 或5)1(2
--=x y 或
5)1(2+--=x y 或5)1(2---=x y 展开即可。

评注：此题两抛物线形状相同，有1-=a ，一般地，已知抛物线上三个点的坐标，选用一般式；已知抛物线的顶点坐标（或对称轴和最值），选顶点式；已知抛物线与x 轴两交点的坐标，选交点式。

【例2】如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽64米，水位上升3米就达到警戒水位线CD ，这时水面宽34米，若洪水到来时，水位以每小时米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶
解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M 在y 轴上，且A （62-，0），B （62，0），C （32-，3），D （32，3），设抛物线的解析式为)62)(62(-+=x x a y ，代入D 点得64
12
+-
=x y ，顶点M （0，6），所以1225.0)36(=÷-（小时）
例2图
问题图
评注：本题是函数知识的实际应用问题，解决的关键是学会“数学模型”，并合理建立直角坐标系来解决实际问题。

探索与创新：
【问题】如图，开口向上的抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交于A （1x ，0）和B （2x ，0）两点，1x 和2x 是方程0322
=-+x x 的两个根（21x x <），而且抛物线交y 轴于点C ，∠ACB 不小于900。

（1）求点A 、点B 的坐标和抛物线的对称轴； （2）求系数a 的取值范围；
（3）在a 的取值范围内，当y 取到最小值时，抛物线上有点P ，使32=∆APB S ，求所有满足条件的点P 的坐标。

解析：（1）A （－3，0）B （1，0），对称轴1-=x
（2）⎩⎨
⎧=++=+-0039c b a c b a 化简得⎩⎨⎧-==a
c a
b 32 OC ＝a 3。

若∠ACB ＝900，则OB OA OC ⋅=2
，3=
OC ，3
3=
a ； 若∠ACB ＞900，则3<OC ，3
3
<
a ；所以330≤<a
（3）由（2）有a ax ax y 322
-+=，当a 在取值范围内，y 取到最小值时，3
3
=
a ，33
32332-+=
x x y ，由AB ＝413=--，32=∆APB S 得：3±=P y 。

当3=P y 时，711+=x ，712-=x ，∴1P （71＋-，3），2P （71--，3）；当3-=P y 时，
03=x ，24-=x ，∴3P （0，3-），4P （－2，3-）。

评注：本问题是一道函数与几何的综合题，后两问需准确把握图形的变化，灵活运用函数知识求解。

跟踪训练： 一、选择题：
1、已知二次函数的图像与y 轴的交点坐标为（0，a ），与x 轴的交点坐标为（b ，0）和（b -，0），若a ＞0，则函数解析式为（ ） A 、a x b a y +=
22 B 、a x b a y +-=2
2
C 、a x b a y --=22
D 、a x b
a y -=2
2
2、形状与抛物线22
--=x y 相同，对称轴是2-=x ，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A 、342
++=x x y B 、342
+--=x x y
C 、342
++-=x x y D 、342
++=x x y 或342
+--=x x y 3、已知一次函数32+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，二次函数c bx x y ++=2
的图像过点C 且与一次函数图像在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB ＝1∶2，则二次函数图像
的顶点坐标为（ ） A 、（－1，3） B 、（41-
，411） C 、（21-，411） D 、（21-，8
11） 4、已知二次函数a x ax y 532
+-=的最大值是2，它的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，
则ABC S ∆＝ 。

二、填空题：
1、已抛物线过点A （－1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，且BC ＝23，则这条抛物线的解析式为 。

2、已知二次函数的图像交x 轴于A 、B
AB ＝6，且此二次函数的最大值为5为。

3度为8米，两侧距地面4铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。

（精确到米）
4、已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线1272
+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x ，且顶
点到x 轴的距离为3，则此抛物线的解析式为 。

三、解答题：
1、已知抛物线c bx ax y ++=2
交x 轴于A 、B 两点，点A 在y 轴左侧，该图像对称轴为1-=x ，最高点的纵坐标为4，且a
OA 12-
=。

（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M 在x 轴上方的抛物线上，且6=∆MAB S ，求点M 的坐标。

2、如图，直线343
+=
x k
y )0(>k 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线c bx x y ++-=2
38经过点A 、P 、O （原点）。

（1）求过A 、P 、O 的抛物线解析式；
（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q ，使∠QAO ＝450，如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理
由。

3、设抛物线c bx ax y ++=2
经过A （－1，2），B （2，－1）两
点，且与y 轴相交于点M 。

（1）求b 和c （用含a 的代数式表示）；
（2）求抛物线12-+-=c bx ax y 上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线c bx ax y ++=2
上，试判断直线AM 和x 轴的位置关系，并说明理由。

参考答案
一、选择题：BDCA 二、填空题
1、322
++-=x x y 或322
--=x x y ；
题图
第3题图 第2题图
2、9
25920952++-=x x y ； 3、米；
4、3)1(2+--=x y 或3)1(2---=x y 或3)1(2
+-=x y
或3)1(2
--=x y
三、解答题：
1、（1）322
+--=x x y ；（2）M （0，3）或（－2，3）
2、（1）x x y 4382--
=；（2）Q （38-，89），（83，8
15-） 3、（1）1--=a b ，a c 21-=-；（2）（1，1），（－2，－2）；
（3）点（1，1）在抛物线c bx ax y ++=2
时，直线AM ∥x 轴；点（－2，－2）在抛物线
c bx ax y ++=2时，直线AM 与x 轴相交。