南京市2021届高三年级学情调研(数学)-参考答案
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案
金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。
2021届江苏省南京市中华中学高三上学期暑期学情调研数学试题(含解析)
2021届江苏省南京市中华中学高三上学期暑期学情调研数学试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}3,5B ．()3,5C ．{}3,4,5D ．[]3,5【答案】A【分析】利用交集的概念及运算，即可得到结果. 【详解】解：∵{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤， ∴{}3,5AB =，故选：A【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题. 2．设121iz i i+=--，则||z = A ．0 B ．1CD ．3【答案】B【分析】先将z 分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．3．已知向量()3,1a =，(),2b m m =+，(),3c m =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．12- B ．6-C ．6D ．3【答案】C【分析】根据//a b ，有360m m +-=，解得m ，得到b ，再利用数量积公式求解. 【详解】因为//a b ， 所以360m m +-=，解得3m =-，()3,1b =--，又()3,3c =-， 所以936b c ⋅=-=.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V，2V，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S、2S，则“1S、2S不总相等”是“1V，2V不相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先得到命题：如果“1S、2S不总相等”，那么“1V，2V不相等”的等价命题：命题：如果“1V，2V相等”，那么“1S、2S总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断.【详解】命题：如果“1S、2S不总相等”，那么“1V，2V不相等”的等价命题是：命题：如果“1V，2V相等”，那么“1S、2S总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S、2S总相等时，这两个几何体的体积1V，2V相等，所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分，所以“1S、2S不总相等”是“1V，2V不相等”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5．若3sin()45πα+=且(,)44ππα∈-，则cos α的值为（ ）A ．10 B ．10C D 【答案】D【分析】由已知条件求出4cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将α记为αππ+-44，利用两角差的余弦公式展开计算. 【详解】因为(,)44ππα∈-，所以0,42ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin si n 10ααααππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪444444⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查已知正弦求余弦、两角差的余弦公式，属于基础题.6．若函数3()32f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（ ）A ．4b ≤B ．4b <C ．4b ≥D ．4b >【答案】A【分析】将问题转化为导函数()2'330f x x b =-≥在()2,3恒成立问题，再用独立参数法求解即可.【详解】3()32f x x bx =-+，2()33f x x b '=-， ∵函数3()32f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增， ∴导函数2'()330f x x b =-≥在()2,3恒成立， 则2,(2,3)b x x ≤∈恒成立， 故4b ≤. 故选：A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数在区间上单调时的参数问题，是中档题.7．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，的C 的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】C【分析】由双曲线的方程可得渐近线的直线方程，根据直线和圆相交弦长可得圆心到直线的距离，进而可得223a b =，结合222+a b c =，可得离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，所以圆心(2,0)=，∴==d 223a b =，2===c e a 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目. 8．已知奇函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足：对一切x ∈R ，f （1+x ）＝f （1﹣x ）且x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （2020）＝（ ） A ．1 B ．1﹣eC ．0D ．e ﹣1【答案】C【分析】根据题设条件，求得函数()y f x =为周期为4的周期函数，得到(2020)(0)f f =，结合题设中函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，对一切x ∈R 都有()()11f x f x +=-，则函数()y f x =关于1x =对称，又由函数()y f x =为奇函数，则函数()y f x =的图象关于原点对称， 则有()2[1(1)][1(1)]()f x f x f x f x +=++=-+=-， 所以()4[(2)2](2)()f x f x f x f x +=++=-+=，即函数()y f x =为周期为4的周期函数，则(2020)(0)f f =，又因为[0,1]x ∈时，函数()1xf x e =-，则0(2020)(0)10f f e ==-=.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，以及函数值的计算，其中解答中求得函数的周期是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、多选题9．已知0a >，0b >且1a ≠，1b ≠，若log 1a b >，则下列不等式可能正确的是（ ）． A ．(1)()0b b a --> B ．(1)()0a a b --> C ．(1)(1)0a b --< D ．(1)()0a b a -->【答案】AD【分析】由于log 1log a a b a >=，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：∵log 1log a a b a >=， ∴若1a >，则b a >，即1b a >>． ∴(1)()0b b a -->，故A 正确．(1)()0a b a -->，故D 正确．若01a <<，则01b a <<<，∴(1)()0a a b --<，(1)(1)0a b -->，故BC 错误， 故选：AD【点睛】此题考查了对数函数的性质，属于基础题. 10．函数2()xf x x a=+的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】通过对a 取值，判断函数的图象，推出结果即可.【详解】由题可知，函数2()xf x x a=+， 若0a =时，则21()x f x x x==，定义域为：1x ≠，选项C 可能； 若0a >，取1a =时，2()1xf x x =+则函数定义域为R ，且是奇函数；0x ≠时函数可化为1()1f x x x=+ 选项B 可能； 若0a <时，如取1a =-，2()1xf x x =-，定义域为：1x ≠±且是奇函数，选项A 可能，故不可能是选项D ， 故选：ABC【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.11．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ） A ．2π是()f x 的一个周期 B ．()f x 在0,2π上有3个零点 C ．()f xD ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数【答案】ABC【分析】①分别计算sin y x =和1sin 22y x =的周期,再求其最小公倍数即可得到()f x 的周期.②令0f x即可求得零点.③对()f x 求导,令()'0f x =,判断单调性即可求得极值.④对()f x 求导,令()'0f x >,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：()1sin sin 22f x x x =+ ①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=, 所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确. ②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=, 所以()f x 在0,2π上有3个零点,故B 正确. ③()1sin sin 22f x x x =+()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-, 因为()f x 在11,2 单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin 2x =()max 12f x =+=,故C 正确. ④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-, 要求增区间则()'0f x >, 即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤, 所以0223k x k +≤<+πππ所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误. 故选：ABC【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便. 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对两个不相等的正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则()121ln 42+>+f x x . 【答案】BD【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数； ③利用参数分离法，构造函数()22ln x g x x x=+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；④设1202x x <<< ，则142x ->，构造函数并结合函数的单调性，可证明()()1211(4)(4)0f x f x f x f x --=--<，再结合()f x 的单调性，可得到124x x -<，即可得到124x x +>，从而可得证.【详解】A .函数的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212x f x x x x-'=-+=，∴在()0,2上，()0f x '<，函数单调递减，()2,+∞上，()0f x '>，函数单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点，即A 错误；B .()2ln y f x x x x x =-=+-，∴22221210x x y x x x-+-'=-+-=<，函数在()0,∞+上单调递减，且()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即B 正确； C .若()f x kx >，可得22ln x k x x <+，令()22ln +=xg x x x ，则()34ln x x x g x x -+-'=，令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，∴在()0,1x ∈上，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上函数()h x 单调递减，∴()()10h x h ≤<，∴()0g x '<，∴()22ln xg x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即C 不正确； D .令()0,2t ∈，则()20,2t -∈，22t +>，令()()()()2222ln 222=+--=++--+-g t f t f t t t t ()242ln 2ln 42+-=+--t tt t t，则()()()()()222222222448222416424244----++--'=+⋅=+=+----t t t t t t g t t t t tt ()222804-<-t t ，∴()g t 在()0,2上单调递减，则()()00g t g <=，令12x t =-，由()()12f x f x =，得22x t >+，则12224x x t t +>-++=，当24x ≥时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>，所以()()1214ln 42+>=+f x x f .故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C ，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D ，解题的关键是判断124x x +>.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．三、填空题13．命题“2000(1,)2x x x ∃∈+∞+≤，”的否定为__________.【答案】(1,)x ∀∈+∞，22x x +>.【分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()20001,,2x x x ∃∈+∞+≤”的否定为“2(1,)2x x x ∀∈+∞+>，”.故答案为：(1,)x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.14．已知55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++，且12345244a a a a a +=+++，则实数k 的值为_____.【答案】4【分析】分别取0x =和1x =代入计算得到答案. 【详解】取0x =得到01a =-；取1x =得到()012345524411243a a a k a a a =-=+++++-=，解得4k =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题，书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”，请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第______天相逢？（天数取整数） 【答案】5【分析】设需要n 天时间才能打通相逢，则有11121221812112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭+≥--，即121802n n--≥，解不等式即可得出. 【详解】设需要n 天时间才能打通相逢，则有11121221812112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭+≥--，即121802n n--≥， 令2n t =，则21810t t --≥，解得：9t ≤（舍去）或9t ≥295,n n n ∴≥+∴≥的最小整数为5.故答案为：5【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 16．已知函数()2ln 1f x x =-，()g x a x m =-，若存在实数0a >使()()y f x g x =-在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，则m 的取值范围为________．【答案】,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】将函数的零点问题转化为()y f x =与()y g x =的图象交点问题，利用数形结合分为m ≥和m <m 的取值范围，其中后者需在存在性问题中进一步研究a 的范围．【详解】已知实数0a >使()()y f x g x =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，等价于()y f x =与()y g x =的函数图象在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个交点，显然()2ln 1f x x =-与x 轴的交点为(),0e ，()g x a x m =-的图象关于x m =对称， 当m e ≥时，若要有2个交点，由数形结合知m 一定小于e ，即),m e e ⎡∈⎣；当m e <2个交点，须存在a 使得()2ln 1x a x m -=-在),e e 有两解，所以()f e a f e ''<<，因为()2f x x '=，即()22,0e f e f e a e''==>，显然存在这样的a 使上述不等式成立；由数形结合知m 须大于()f x 在x e =处的切线21y x e=-与x 轴交点的横坐标2e，即2e m e ⎛∈ ⎝综上所述，m 的范围为,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数取值范围问题，属于难题．四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，ABC 的面积32S =.在下面两个条件中选择一个条件，求ABC 的周长. 条件①：2b =；条件②：3C π=.【答案】选择条件①7333；选择条件②71+.【分析】选择条件①：根据三角形的面积公式，结合同角的三角函数关系式、余弦定理进行求解即可；选择条件②：根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】选择条件①，因为3S =2b =，1c =，所以1312sin 2⨯⨯=A ，所以3sin A =， 所以221cos 1sin 4=-=A A ，所以1cos 2A =±， 所以1cos 2A =时，由余弦定理得， 222212cos 2122132=+-=+-⨯⨯⨯a b c bc A1cos 2A =-时，同理可得a =所以ABC 33.选择条件②，因为S =1sin 2ab C =2ab =，由余弦定理得，222222cos13c a b ab a b ab π=+-⋅⇒+-=，所以()231+-=a b ab ，所以()27+=a b ，所以+=a b ，所以ABC 1.18．已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【分析】（1）通过等数列中项的性质求出25a =，等比数列中项性质求出2d =，然后分别求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则{}n n a b 前n 项和n T 则可以考虑用错位相减的方法求和。
江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测数学试题(解析版)
江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --≤，B ＝{x y =，则AB ＝A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥2．已知复数满足1z =-+，则z z＝A ．122-+ B ．1i 22- C ．122+ D ．122-- 3．若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，3log 2c =，则A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a 4．已知函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕπ≤)的图像如图所示，则 A ．ω＝2，ϕ＝π B ．ω＝2，ϕ＝2πC ．ω＝12，ϕ＝4πD ．ω＝12，ϕ＝34π- 5．函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图像大致为A B C D6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，2σ)，(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 A ．150 B ．200 C ．300 D ．4007．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?A ．90B ．120C ．140D ．1508．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝23π，AP ＝3，AB ＝Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π第4题 第10题二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当0≤x ≤2时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图像关于直线x ＝2对称 C ．当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2 D ．当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为12-10．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9811．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则 A ．实轴为2B．渐近线为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为312．已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记M ＝221212()()x x y y -+-，则A ．M 的最小值为165B ．当M 最小时，2145x =C ．M 的最小值为45 D ．当M 最小时，2125x = 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(12，2-)，若a ⊥b ，则m ＝ ．14．72()x x-的展开式中x 的系数为 ．15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种．16．已知函数22, (), x x af x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，①若a ＝1，则不等式()1f x ≤的解集为 ；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）若a ＝2，B ＝4π，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）给出下列三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于N n *∀∈，点(n ，n S )均在函数2xy a =-的图像上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为q (q ＞0，q ≠1)的等比数列， ，且它的首项11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22log 1n n b a =+(N n *∈)，证明11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12nT <．19．（本小题满分12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图2．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E —A 1B —C 的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F 到直线的距离为5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直 线的斜率． 21．（本小题满分12分）南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃（310人， 连同m (m N *∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m ＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m 的最小值． 附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，2()(ln )ag x x x x=+-，其中a ∈R ，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求实数0x 和a 的值； （3）证明11ln(21)2nk n =>+(N n *∈)．江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --≤，B＝{x y =，则AB ＝A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥ 答案：C解析：∵集合A ＝{}220x x x --≤，∴集合A ＝{}11x x -≤≤， ∵集合B＝{x y =，∴集合B ＝{}0x x ≥，∴AB ＝{}1x x ≥-，故选C ．2．已知复数满足1z =-+，则z z＝ A．122-+ B．1i 22- C．122+ D．122-- 答案：D解析：∵1z =-+，∴1z =-，2z =，∴11222z z -==--，故选D ． 3．若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，3log 2c =，则A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a 答案：A解析：由23a=，知1＜a ＜2，由22log 5log 42b =>=，33log 2log 31c =<=，∴c ＜a ＜b ，故选A ．4．已知函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕπ≤)的图像如图所示，则A ．ω＝2，ϕ＝πB ．ω＝2，ϕ＝2πC ．ω＝12，ϕ＝4πD ．ω＝12，ϕ＝34π- 答案：D解析：7()422T πππ=--=，2142πωπ==，13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，324k πϕπ=-+， ∵ϕπ≤，∴ϕ＝34π-，故选D ． 5．函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图像大致为A B C D 答案：C解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次x ＞0时，()f x ＞0，故选C ．6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，2σ)，(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 A ．150 B ．200 C ．300 D ．400 答案：C解析：111000()30025⨯-=，故选C ．7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?A ．90B ．120C ．140D ．150 答案：B 解析：130()30(71)3012022n a a S ++⨯===．故选B ．8．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝23π，AP ＝3，AB ＝Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π 答案：C 解析：三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示；则，且的最大值是， ，的最小值是，即到的距离为，，，在中可得，即可得；取的外接圆圆心为，作，，解得；，取为的中点，，，由勾股定理得，三棱锥的外接球的表面积是．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当0≤x ≤2时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图像关于直线x ＝2对称 C ．当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2 D ．当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为12- 答案：ABC解析：由(1)(3)f x f x +=-知()f x 的最小正周期为4，故A 正确； 由(1)(3)f x f x +=-知()f x 的图像关于直线x ＝2对称，故B 正确；当0≤x ≤4时，函数()f x 的最大值为2，故C 正确； 当6≤x ≤8时，函数()f x 的最小值为14-，故D 错误．故选ABC ． 10．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案：BD 解析：取中点，则为在平面上的射影，与不垂直，与不垂直，故错； 取中点，连接，，可得平面平面，故正确；把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D 正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故C 错．故选：BD ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则 A ．实轴为2B ．渐近线为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3 答案：BC解析：由双曲线 的方程可得，，，，所以，，，所以不正确，所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离为，所以不正确．故选：．12．已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记M ＝221212()()x x y y -+-，则A ．M 的最小值为165B ．当M 最小时，2145x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，2125x = 答案：AB 解析：由，得，的最小值可转化为函数图象上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由得，因为与直线22ln 260x y +--=平行的直线斜率为，所以，解得，则切点坐标为，所以到直线22ln 260x y +--=上的距离d ==， 即函数上的点到直线22ln 260x y +--=上的点的距离最小值为455， 所以的最小值为165， 又过且与22ln 260x y +--=垂直的直线为，即，联立22ln 2602ln 240x y x y +--=⎧⎨-+-=⎩，解得，即当最小时，145x =． 故选：AB ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(12，-，若a ⊥b ，则m ＝ ．答案：2解析：10222m m -=⇒=． 14．72()x x-的展开式中x 的系数为 ． 答案：﹣280解析：由于的展开式的通项公式为，则令721r -=，求得3r =，可得展开式中x 的系数为337(2)280C -=-．15．某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种． 答案：20解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮黑色”与“星河银”之一，满足题意的购买方案有1122228C C A ⨯⨯=(种)；第二类，甲实际购买的手机颜色不是“亮黑色”，也不是“星河银”，满足题意的购买方案有132312C A ⨯=(种)，由分类加法计数原理可知，满足题意的购买方案有8＋12＝20(种)．16．已知函数22, (), xx af x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，①若a ＝1，则不等式()1f x ≤的解集为 ；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）解析：①当时，，则令()1f x ≤，即有21x ≤或21x ≤，解得x ≤0或∅，故()1f x ≤的解集为（－∞，0]； ②由函数只有一个零点时，时，或，当时，，此时只有一个零点；当时，有2个零点；同理当时，，只有一个零点当a ＞4时，有2个零点， 故可得a 的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足(b ﹣a )(sinB ＋sinA)＝csinB ﹣sinC)．（1）求A 的大小；（2）若a ＝2，B ＝4π，求△ABC 的面积． 解：（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-， 因为0A π<<，所以6A π=．（2）由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A == 由余弦定理2222cos b ac ac B =+-，得222222cos 4c c π=+-⨯，解得c =．所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯⨯⨯=．18．（本小题满分12分）给出下列三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于N n *∀∈，点(n ，n S )均在函数2xy a =-的图像上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为q (q ＞0，q ≠1)的等比数列， ，且它的首项11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22log 1n n b a =+(N n *∈)，证明11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12nT <． 解：若选○1：因为3454,3,2a a a 成等差数列，所以43523=42a a a ⨯+. 又因为数列{}n a 是等比数列，即2320q q -+=解得 2q =或1q =-（舍去）……3分又11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -若选○2：点(,)nn S 均在函数2xy a =-的图像上，所以2nn S a =-，又因为112a S a ==-，所以1a =，所以21n n S =-，所以23S =，所以22,2a q ==.所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -若选○3：37S =，因为{}na 是公比为(0,1)q q q >≠的等比数列， 所以31(1)71a q q-=-，即260q q +-=解得2q =或3q =-（舍去） 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式1=2n n a -（2）证明：因为1=2n n a -，所以22log 1=2n-1n n b a =+所以111111=[](21)(21)2(21)(21)n n b b n n n n +=--+-+ 所以12231111=111111=(1)22232121111(1)2212n n n T b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+--+=-<+ 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图2．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E —A 1B —C 的余弦值．解：（1）∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ，∴DE ⊥DC ．又∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE =D ，∴DC ⊥平面A 1DE ，∴DC ⊥A 1E ． 又∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE =D ，∴A 1E ⊥平面BCDE ． （2）∵A 1E ⊥平面BCDE ，DE ⊥BE ，∴以EB ，ED ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．易知DE =2，则A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (4，2，0)，D (0，2，0)，∴1BA =(−2，0，2)，BC =(2，2，0)，易知平面A 1BE 的一个法向量为n =(0，1，0)． 设平面A 1BC 的法向量为m =(x ，y ，z )， 由1BA ·m =0，BC ·m =0，得令y =1，得m =(−，1，−)，∴cos 〈m ，n 〉===．由图得二面角E −A 1B −C 为钝二面角，∴二面角E −A 1B −C 的余弦值为−．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直 线的斜率．解：（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，220x y a --=，∴右焦点F 5=1a c ∴-=， 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF 的方程1)y x =-，联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8(,)55P -， ∴直线的斜0(58225k --==-. 其他方法：方法二: 由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：k =k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <2k =. 方法三：由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243Pk y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即222124386143kk k k --+=-+，解得2k =或2k =-，又由题意知，0y =>得0k >或k <2k =. 21．（本小题满分12分）南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃（310人， 连同m (m N *∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m ＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m 的最小值． 附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为130＋110＋90＋110＋100＋601000＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6；（2）由题意得列联表如下：K 2＝1000×（250×270－330×150）2400×600×420×580≈5.542因为 5.542＞3.841，所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人 随机变量ξ的所以可能取值为0，1，2，3，其中P （ξ＝0）＝C 0m +6C 34C 3m +10，P （ξ＝1）＝C 1m +6C 24C 3m +10，P （ξ＝2）＝C 2m +6C 14C 3m +10，P （ξ＝3）＝C 3m +6C 04C 3m +10，所以随机变量ξ的分布列为：E （ξ）＝C 0m +6C 34C 3m +10×0＋C 1m +6C 24C 3m +10×1＋C 2m +6C 14C 3m +10×2＋C 3m +6C 04C 3m +10×3≥2解得m ≥2，所以m 的最小值为2法二：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布H （3，m ＋6，m ＋10）， 则E （ξ）＝3（m ＋6）m ＋10，由E （ξ）≥2 得m ≥2，所以m 的最小值为2 22．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，2()(ln )ag x x x x=+-，其中a ∈R ，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论函数()f x 的单调性； （3） 求实数0x 和a 的值；（3）证明11ln(21)2nk n =>+(N n *∈)． 解：（1）函数f (x )的定义域为（0，＋∞），且f '(x )＝2x－2ln x －2，令h (x )＝f '(x )， 则有h '(x )＝2（x －1）x，由h '(x )＝0可得x ＝1，如下表：所以h (x )≥h (1)＝0 ，即f '(x )≥0，f (x )在（0，＋∞）上单调递增（2）函数g (x )的定义域为（0，＋∞），且g '(x )＝1－a x2－2ln xx由已知，得g '(x 0)＝0，即 x 02－2x 0ln x 0－a ＝0 ① 由 g (x 0)＝2可得x 02－x 0（ln x 0）2－2x 0＋a ＝0 ② 联立①②消去a 可得2x 0－（ln x 0）2 －2ln x 0－2＝0 ③令 t (x )＝2x －（ln x ）2 －2ln x －2，则t ' (x )＝2－2ln x x －2x ＝2（x －ln x －1）x由 ①知 x －ln x －1≥0，故t ' (x )≥0，所以t (x )在（0，＋∞）上单调递增t (1)＝0，所以方程③有唯一解x 0＝1，代入①，可得a ＝1.（3）由（1）知f (x )＝x 2－2x ln x 在（0，＋∞）上单调递增，故当x ∈（1，＋∞），f (x )＞f (1)＝1，所以g '(x )＝1－a x 2－2ln x x ＝f (x )－1x 2＞0，可得g (x )在（1，＋∞）上单调递增。
2020年9月江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班学情调研考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班上学期学情调研考试数学试题(解析版)2020年9月注意事项：1．本试卷共6页,包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时,选出每小题的答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内,在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0},B＝{x|1＜x＜3 },则A∩B＝A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}解析：集合A＝{x|x2－x－2＜0}={x|-1<x<2},A∩B＝{x|1＜x＜2} ,答案选C. 2．已知(3－4i)z＝1＋i,其中i为虚数单位,则在复平面内z对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：z=()()()()25714343431431iiiiiii+-=+-++=-+,z对应的点位于第二象限,答案选B.3．已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝2,且|a ＋b |＝ 3,则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3解析：|a ＋b |2=|a |2+2a ·b +|b |2＝5+4cos θ=3,解得[]πθθ，，021cos ∈-=,所以32πθ=,答案选D. 4．在平面直角坐标系xOy 中,若点P (43,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4C ． 2D ． 3解析：双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐进线方程为3x ±ay=0,则点P 到该渐进线方程的距离为6333422=+⋅=a d ,解得a 2=3,所以椭圆的离心率为2393=+==a c e ,故答案选A.5．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若2b cos C ≤2a －c ,则角B 的取值范围是A ．(0,π3]B ．(0,2π3]C ．[π3,π) D．[2π3,π) 解析：因为2b cos C ≤2a －c ,所以由余弦定理可得abc b a b 22222-+⋅≤2a －c ,化简得ac ≤a 2+c 2－b 2,即21cos ≥B ,因为()π，0∈B ,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈30π，B ,答案选A. 6．设a ＝log 4 9,b ＝2－1.2,c ＝(827)－13,则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 解析：由题意b ＝2－1.2<02=1,a ＝log 4 9=log 2 3=log 2 9＞23log 222=,c ＝(827)－13＝。
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题(解析版)
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =-->，{}ln 0B x x =>，则()RA B =（ ）A ．∅B ．(]0,4C ．(]1,4 D ．()4,+∞【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求解出集合A 的补集，根据集合交集的运算即可求解. 【详解】由题意得{1A x x =<-或}4x > ，{}1B x x =>，所以{}14RA x x =-≤≤，()(]1,4RA B =.故选：C 【点睛】本题主要考查了集合补集、交集的运算，属于简单题，计算中可以借助数轴法求解集合的补集和集合间的交集.2．设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】0ab =即,a b 中至少有一个是零；复数ba a bi i+=-为纯虚数，故0,0a b =≠为小范围，故为必要不充分条件.3．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b< D ．若a b >，c d >，则a b c d> 【答案】C【解析】分析：根据不等式性质逐一排除即可.详解：A. 若a b >，则ac bc >,当c 取负值时就不成立，故错误；B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-，例如a=3，b=1，c=2，d=-2显然此时a c b d -<-,故错误；D ，若a b >，c d >，则a b c d >，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此时a bc d<,故错误，所以综合得选C.点睛：考查不等式的简单性质，此类题型举例子排除法比较适合，属于基础题. 4．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若43113,84a S a =-=，则S 5＝（ ） A ．3132B ．3116C ．318D ．314【答案】B【解析】利用正项等比数列{a n }的前n 项和公式，通项公式列出方程组，求出a 1＝1，q ＝12，由此能求出S 5的值． 【详解】解：正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，43113,84a S a =-=， ∴()31311181314a q a q a q ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪-⎩，解得a 1＝1，q ＝12， ∴S 5＝()5111a q q --＝1132112--＝3116．故选：B ． 【点评】本题考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．5．()101(21)x x -+的展开式中10x 的系数为（ ）A ．512-B ．1024C ．4096D ．5120【答案】C【解析】先将二项式变形为1010(21)(21)x x x +-+，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令x 的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案． 【详解】()1010101(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+，二项展开式10(21)x x +的通项为1010111010(2)2rrrr r xC x C x ---⋅=⋅⋅，二项展开式10(21)x +的通项为1010101010(2)2k kk k k C x C x ---⋅=⋅⋅，则111011010r r k -=⎧=⎨-=⎩，解得，0k =，所以，展开式中10x 的系数为19010101022512010244096C C ⋅-⋅=-=．故选C ． 【点睛】本题考查了利用二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ． 【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．7．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =【答案】B【解析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．8．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：430x y -=与椭圆C 相交于A ，B 两点.若6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．50,9⎛⎤⎥⎝⎦B ．3⎛ ⎝⎦C ．5⎛ ⎝⎦D ．133⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，根据双曲线的定义，求得3a =，再由点P 到直线l 的距离不小于65，求得2b ≥，得到213b a≤<，进而求得离心率的范围，得到答案. 【详解】设椭圆的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得AF BF '=，BF AF '=， 所以62AF AF BF AF a '+=+==，解得3a =，因为点P 到直线l 的距离不小于65，所以()226543≥+-，解得2b ≥， 又由b a <，所以23b ≤<，故213ba≤<， 所以离心率22510,c b e a a ⎛⎤==-∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、多选题9．若函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与()cos 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间(),a b （0a b π<<<）上单调递减，则b a -的可能取值为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．512π 【答案】AB【解析】先求()f x 在()0,π上的单调递减区间，再求()g x 在()0,π上的单调递减区间，再求交集即可得()f x 和()g x 两个函数的递减区间，可得b a -的最大值，进而可得b a -的可能取值.【详解】当()0,x π∈时，52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以当32,322x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 单调递减，即函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()0,x π∈时，,44x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减， 因为30,451153,,1212124πππππ⎛⎫= ⎪⎝⎛⎭⎫⎛⎫⋂⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，53124a b ππ≤<≤ 所以354123b a πππ-≤-=，所以b a -可能为6π或3π， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了三角函数的单调性，属于中档题. 10．下列说法中正确的是（ ） A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<= C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD【解析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．下列四个命题中，是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，且0x ≠，12x x+≥B ．若0x >，0y >，则2xyx y≥+C ．函数()f x x =值域为⎡⎤⎣⎦D ．已知函数()9f x x a a x=++-在区间[]1,9上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[)8,-+∞ 【答案】BCD【解析】结合基本不等式的条件及基本不等式可以判断A ，B ，结合三角换元及三角函数的性质可判断C ，结合含绝对值函数的图像变换可检验D ，即可判断． 【详解】对于A ，x ∀∈R ，且0x ≠，12x x+≥对0x <时不成立； 对于B ，若0x >，0y >，则()()22222248x yx y xy xy x y ++≥⋅=，化为2xyx y≥+，当且仅当0x y =>时取等号，故B 正确； 对于C，令x θ=，[]0,θπ∈，则()2sin 4f x x πθθθ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，由[]0,θπ∈，得5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2sin 24f x πθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭；对于D ，当[]1,9x ∈，[]96,10x x +∈，令[]96,10x t x+=∈，转化为y t a a =+-在[]6,10t ∈有最大值是10.①10a -≥，当6t =时，max 62610y a a a =+-=--=，得8a =-（舍去）. ②6a -≤时，当10t =时，max 1010y a a =+-=恒成立.③610a <-<，{}max max 26,10y a =--，此时只需2610a --≤，得86a -≤<-. 综上，8a ≥-，故D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题以判断命题真假为载体，主要考查了函数，不等式的综合应用，属于中档题． 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【答案】ABCD【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =- 2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.三、填空题13．已知向量()2,6a =-，()3,b m =，若a b a b +=-，则m =______. 【答案】1【解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值. 【详解】向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()1a b -=-=因为a b a b +=-=化简可得12611237m m -+=+ 解得1m = 故答案为: 1 【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加A 、B 、C 三个志愿点的活动.每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去A 活动点，则不同的安排方法有_____种.（用数字作答） 【答案】40【解析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可. 【详解】若高三学生单独去志愿点，则有1222228C A A =种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有11214222C A C C =32种，则共有83240+=种安排方法. 故答案为：40. 【点睛】本题考查分类计数原理的运用，以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法，再逐级安排，考查乘法原理，属于中档题.15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与各个面均相切的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，则1AA 的长度为______.【答案】4【解析】求出△ABC 内切圆的半径，根据球是三棱柱的内切球，求出其半径，从而求出AA 1的长度即可． 【详解】由AB BC ⊥，6AB =，8BC =，得10AC =. 设底面Rt ABC △的内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=⨯++⋅，得2r .因为球与三个侧面相切，所以内切球的半径也为2.又该球也与直三棱柱的上、下底面相切，所以124AA r ==. 故答案为：4 【点睛】本题考查了三棱柱的内切球，考查三角形内切圆以及直三棱柱问题，是一道常规题．16．已知函数22(1),0()2,0k x f x x x k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩,若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是_______． 【答案】()27,+∞【解析】根据题意可求得222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,再分0,0,0k k k =<>三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可. 【详解】由题, ()22212,0()22,0221,0k x k x x g x k k x x k k x x ⎧⎛⎫++-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=--=⎨⎪⎛⎫⎪--+-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,当k ＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k ≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(),0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点, 当k ＜0,函数()g x 在(0,+∞)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；当k ＞0,322()(),0x k g x x x-'=>, 令()0g x '=有13x k =,故要使()g x 在(0,+∞)有且仅有两个不同的零点, 则1233min 132()()0k g x g k k k k==+-<,因为0k >,故213333k k k <⇒<,解得k ＞27,综上所述,实数k 的取值范围是(27,+∞)．故答案为：(27,+∞) 【点睛】本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.四、解答题17．现给出两个条件：①22cos c a B =，②()2cos cos b A C =，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，______.（1）求A ；（2）若31a ，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）6π；（2）1. 【解析】若选条件①，（1）由余弦定理对2c =2a cos B ，化简可得c 2+b 2﹣a2=，再利用余弦定理可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc用基本不等式可得b c +≤△ABC周长的最大值；若选条件②，（1）由(2b)cos A =cos C ，结合正弦定理化简可得2sin B cos A=B，从而可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc 用基本不等式可得b c +≤△ABC 周长的最大值； 【详解】若选择条件①22cos c a B =.（1）由余弦定理可得22222cos 22a c b c a B a ac +-==⋅，整理得222c b a +-=，可得222cos 222b c A bc bc a +===-. 因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)222122b c bc =+-⋅，即()(22242b c b c bc -=+=+-+，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC 周长的最大值为1若选择条件②()2cos cos b A C =.（1）由条件得2cos cos cos b A C A =+， 由正弦定理得)()2sin cos sin cos sin cos B A A C C A A C B =+=+=.因为sin 0B ≠，所以cos A = 因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得)22212b c bc =+-，即()(22242b c b c bc -=+=+-+，亦即(()(224bc b c =+--，因为()24b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，所以()((()22424b c b c ++--≤⨯，解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤，即ABC周长的最大值为1 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题18．已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求n S 的表达式； （2）设21nn S b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）121n S n =-；（2）111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．【解析】（1）运用()12n n n a S S n -=-≥，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；（2）求得21nn S b n =+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和． 【详解】解：（1）∵212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()12n n n a S S n -=-≥, ()2112n n n n S S S S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，112n n n nS S S S --=-①，由题意10n n S S -≠，将①式两边同除以1n n S S -得，()11122n n n S S --=≥∴数列1nS⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a==，公差为2的等差数列．可得()112121nn nS=+-=-，得121nSn=-；（2）21nnSbn=+＝1(21)(21)n n-+＝11122121n n⎛⎫-⎪-+⎝⎭，111111111++=123352121221nTn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【点睛】本题考查数列中()12n n na S S n-=-≥的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）8525．【解析】【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点T，连接，由为中点知，. 又，故=TN AM∥，四边形AMNT为平行四边形，于是MN AT∥.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A为坐标原点，AE的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM=-，5(,1,2)PN=-，5(,1,2)AN=.设(,,)x y z=n为平面PMN的一个法向量，则0,{0,n PMn PN⋅=⋅=即240,{520,y zx y z-=+-=可取(0,2,1)n=.于是85cos,n ANn ANn AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．20．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[]30,100范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200（1）补全上面的22⨯列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．P （20K k ≥） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）表格见解析，有超过95%的把握；（2）分布列见解析，数学期望为45． 【解析】（1）拥有驾驶证的有80人，具有很强安全意识的有40人，由此可得列联表，再计算得2K 后与3.841比较大小即可得出结论； （2）由题意可知X 可以取0，1，2，3，4，且14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可求出分布列及数学期望．【详解】解：（1）200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人， 具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人， 补全的22⨯列联表如表所示：计算得()2220022102185875 4.6875 3.841408016012016K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，∴有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关；（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15， ∴X 可能取0，1，2，3，4，且14,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 于是()4241455kkP X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（0k =，1，2，3，4），X 的分布列为∴()14455E X =⨯=． 【点睛】本题主要考查独立性检验与二项分布的应用，属于基础题．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，点()3,0A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P t 使得PM PN ⋅为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由点在椭圆上代入可得a ，b 的关系，再由点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF =可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标，分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在P 满足条件，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积PM PN 的表达式，要使数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，且可求出定值． 【详解】解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ，2AB BF ⊥，所以：221914a b +=，20AB BF =，即(3c ，)(b c ，)0b -=即223b c =，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0)，假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：22(43)690m y my ++-=，122643my y m -∴+=+，122943y y m -=+， 121228()243x x m y y m ∴+=++=+，222212121222296412()11434343m m m x x m y y m y y m m m ---=+++=++=+++，因为()()1122,,PM PN x t y x t y =--2222222221212122222241289(43)12853(4)(48()4343434343m t t m m t m t t x x t x x t y y t m m m m m -+----+-=-+++=-+-==+++++，要使PM PN 为定值，则22448514t t t ---=，解得：118t =，这时13564PM PN =为定值，)ii 当直线MN 的斜率为0时，则(2,0)M -，(2,0)N ，P 为11(8，0)，则11(28PM PN =--，110)(28-，2111350)()4864=-=，综上所述：所以存在11(8P ，0)，使PM PN 为定值．【点睛】考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，属于中档题． 22．已知()3231f x ax x =-+（0a >），定义()()(){}()()()()()(),,max ,,.f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩（1）求函数()f x 的极小值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x （0x >）的零点个数. 【答案】（1）241a-；（2）(],2-∞；（3）答案见解析. 【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式3132a x x≤+在x ∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可． 【详解】（1）求导得()()23632'=-=-f x ax x x ax ，令()0f x '=，得10x =或22x a=. 因为0a >，所以12x x <，列表如下：所以()f x 的极小值为2222812411f a a aa ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭. （2）()()3236g x xf x ax x '==-. 因为存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，所以()()f x g x ≥在[]1,2x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2x ∈上有解，即不等式3132a x x≤+在[]1,2x ∈上有解 设2331331x y x x x+=+=，[]1,2x ∈. 因为24330x y x--'=<对[]1,2x ∈恒成立，所以313y x x =+在[]1,2上递减，故当1x =时，max 4y =.所以24a ≤，即2a ≤，故a 的取值范围为(],2-∞.（3）由（1）知，()f x 在()0,∞+上的最小值为2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ①当2410a->，即2a >时，()0f x >在()0,∞+上恒成立，所以()()(){}()max ,0h x f x g x f x =≥>，因此()h x 在()0,∞+上无零点. ②当2410a-=，即2a =时，()()min 10f x f ==，又()10g =，所以()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有且仅有一个零点. ③当2410a-<，即02a <<时，设()()()3231ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-，01x <<.因为()()21136610x ax x x x x xϕ'=--<--<，所以()x ϕ在()0,1上单调递减. 又()120a ϕ=-<，2321230a e e ee ϕ-⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=.（i ）当00x x <≤时，因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-≥=，所以()()h x f x =且()h x 为减函数.又()()()0000ln ln10h x f x g x x ===<=，()010f =>，所以()h x 在()00,x 上有一个零点.（ii ）当01x x <<时，因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-<=，所以()()h x g x =且()h x 为增函数.因为()10g =，又()()(){}()max ,ln 0h x f x g x g x x =≥=>在1x >上恒成立，所以()h x 在()0,x +∞上有且仅有一个零点.从而()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有两个零点.综上，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 无零点.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
江苏省南京市玄武高级中学2021届高三上学期第一次学情检测数学试题含答案
（3）设
x1，x（2 x1
x2）是函数
g(x)
的两个极值点，且
b
7 2
，试求
g ( x1 )
g ( x2
)
的最小
值.
4
2020-2021 学年度第一学期高三学情检测试卷 数学参考答案
1-5 DBBDA 6-8 DC 9.AD 10.BCD 11. BC 12. ABC
13. （2,5） 14.
15.m= 16．
15． 已知平面向量 a ＝(1,2)， b ＝(4,2)， c ＝ a ＋m b (m∈R)，且 c 与 a 的夹角等
于 c 与 b 的夹角，则 m＝________.
16 ． 已 知 a, b, c 分 别 为 ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ， a=1 ， 且
(b 1)(sin A sin B) （c b) sin C, 则 ABC 面积的最大值为____________．
5
（Ⅱ）解：∵△ABC 的面积 S=， ∴bcsinA=， ∴2bcsinA=a2， ∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB， ∴B+C=90°，或 C=B+90°， ∴A=90°或 A=45°．
19．(1)证明见解析.(2) . 详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图， 可得 由为棱的中点，得 （1）向量
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填写在题中的横线上。
13．函数
的单调递增区间是____________________
14．已知函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且满足 f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）
江苏省南京市第二十九中学2021届新高三数学学情调研
南京市第二十九中学新高三学情调研数学试题一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈N|－2＜x ＜3}，B ＝{x|－3＜x ＜1}，则A ∩B 等于_____________.A.{x|－2＜x ＜1}B.{x|－3＜x ＜3}C.{－1，0}D.{0}2.已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |，则|b|等于_____________.A.5B.4C.3D.13.过点()2,3−作圆224x y +=的切线，则切线的方程为_____________． A ．5x+12y-26=0 B ．5x-12y+46=0C ．5x+12y-26=0或x=-2D ．5x+12y-26=0或y=34．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知450,10S a ==，则_____________．A ．515n a n =−B ．35n a n =−C ．228n S n n =−D ．24n S n n =−5．下列说法正确的是_____________．A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l ∥平面α，平面α∥平面β，那么直线l ∥平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α∥平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α∥平面β6．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________． A.2218y x −= B. 2218x y −= C. ()22118y x x −=≥ D. 2218y x −=(x ≤－1) 7．在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为_____________．A C 8．设a>0，b>0，且2a+b=1，则1a a b++_____________．A ．有最小值为221+B ．有最小值为21+C ．有最小值为143D ．有最小值为4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有 ．A.若sinA ＞sinB ，则A ＞B ；B.若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；C.若222cos cos cos 1A B C +−=，则△ABC 为直角三角形；D.若△ABC 为锐角三角形，则sinA<cosB ．10.如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论正确的是 .A.FM ∥A 1C 1;B.BM ⊥平面CC 1F;C.存在点E ，使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D;D.三棱锥B-CEF 的体积为定值.11.下列结论正确的是A.过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x ＋y ＝－5;B.已知直线kx-y-k-1＝0和以M （-3，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k −≤≤; C.已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P(a ，b)是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，直线m 的方程是ax ＋by ＝r 2，则m 与圆相交;D.若圆()()()222:440M x y r r −+−=>上恰有两点到点N （1,0）的距离为１，则r 的取值范围是(4,6). 12．已知P 是双曲线C ：2214x y m−=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|+|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是 .A ．双曲线的方程为2214x y −= B ．双曲线的离心率为5C ．函数(log 1a y x =++(a ＞0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2，则∠PF 1F 2=3π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)的右焦点为，0)，过点F 作圆：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，切点为T ，延长FT 交椭圆C 于点A.若T 为线段AF 的中点，则椭圆C 的方程为 .15.设函数f(x)＝1＋|x|－211x +，则使得()212log 2log 1f x f x ⎛⎫>−− ⎪⎝⎭成立的实数x 的取值范围是________．16.的三棱锥P-ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC,PA=2,∠ABC=120°,则球O 的体积最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本题满分10分)在四边形ABCD 中，|AC |＝4，BA BC ⋅＝12，E 为AC 的中点．(1)若cos ∠ABC ＝1213，求△ABC 的面积S △ABC ； (2)若2BE ED =,求DA DC ⋅的值．18.(本题满分12分)已知向量m =(cosx,sinx),n =(cosx,-sinx)，函数()12f x m n =⋅+． （1）若()1,0,2x f x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求tan(4x π+)的值；（2）若()13,,,sin 0,10242fπππααββ⎛⎫⎛⎫=−∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2αβ+的值．19．（本题满分12分）四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E 为AD 的中点．⑴求证：平面PCE ⊥平面PAD ；⑵求PC 与平面PAD 所成的角的正切值；⑶求二面角A-PD-C 的正弦值．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足123n n S a a =−，且12333a a a −+=．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使得492985n T ≤成立的n 的最大值．21.(本题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的四个顶点围成的四边形的面积为215,原点到直线1x y a b +=的距离为304. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知定点P(0,2),是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A,B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点?若存在,求出l 的方程；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x(x ∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅− ⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（k ∈[0.5,1]）．A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．（1）将A 公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的x ∈[0,10](万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.。
2021届江苏省南京市秦淮中学高三下学期期初学情调研数学试题(解析版)
2021届江苏省南京市秦淮中学高三下学期期初学情调研数学试题一、单选题1．已知集合{}2430A x x x =-+<，{}B x x m =>，若{}1A B x x ⋃=>，则（ ） A ．m 1≥ B ．13m ≤<C ．13m <<D ．13m ≤≤【答案】B【分析】解不等式求出集合A ，再由并集的性质求解即可.【详解】解不等式2430x x -+<可得13x <<，所以{}13A x x =<<，因为{}B x x m =>，{}1A B x x ⋃=>，所以13m ≤<.故选：B.2．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是（ ）A ．69B ．70C ．74D ．84【答案】A【分析】先计算能构成三角形的个数的总数，再减去不符合条件的可得答案, 【详解】三角形边上的9个点中任取3个，共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯个，当三点在一条线上时构不成三角形，有33533415C C C ++=个，所以符合条件的个数84-15=69， 故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查组合的应用，常见组合数的求法有直接法和间接法. 3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C【分析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线的距离为b ，所以 ||AF b =，进而||OA a =，四边形面积为ab ，由()2212ab a b =+可化简得1ba=，写出渐近线方程即可.【详解】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线by x a=±的距b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题. 5．在ABC 中，0,4,5,AB AC AB BC D ⋅===为线段BC 的中点，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则AE CB ⋅=（ ） A ．72B ．74C ．74-D ．7【答案】A【分析】利用勾股定理求得3AC =，利用向量垂直的性质可得0DE CB ⋅=，利用平面向量运算的平行四边形法则与三角形法则，可得AE CB ⋅()()()221122AB AC AB AC AB AC =+⋅-=-，从而可得结果.【详解】由0AB AC ⋅=，得AB AC ⊥，4,5AB BC ==，由勾股定理，得3AC =，因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点， 所以0DE CB ⋅=，可得()AE CB AD DE CB AD CB DE CB AD CB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅()()()22117222AB AC AB AC AB AC =+⋅-=-=，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算及数量积公式、向量的夹角，属于中档题．向量的几何运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．6．已知511ax x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的系数和为32，则该展开式中的常数项为（ ）.A ．40-B ．81C ．80D ．121【答案】B【分析】利用赋值法求得a ，利用乘法分配律求得展开式中的常数项.【详解】依题意，由511ax x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭令1x =得5322a a =⇒=，则展开式可化为()5522551221211x x x xx x x x +-⎛⎫+-== ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，所以，求5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，即求()2521x x +-展开式的5x 的系数， 根据乘法分配律可知()2521x x +-展开式中含5x 的为：()()()()()()2122212123315553254152121C x C x C C x C x C C x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅⋅-+⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦55551204081x x x x =-+=.所以5x 的系数为81，即5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为81. 故选：B【点睛】本小题主要考查赋值法求参数，考查展开式中指定项的系数的计算，属于中档题.7．已知直线()():20l y k x k =->与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若2AF BF =，则k 的值是（ ）A ．13B．3C．D．4【答案】C【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12222x x ，联立直线方程和抛物线方程，消去y 利用韦达定理可求k 的值.【详解】由抛物线2:8C y x =，知()2,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 过()2,0且其斜率大于零，故,A B 在x 轴两侧. 又2AF BF =，知12x x >，且12222x x ，即1222x x =+.由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩可得()22228440k x kx k-++=,由韦达定理得12212844x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，代入1222x x =+，可得122418x x k =⎧⎪=⎨⎪=⎩又0k >，故k =故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，此类问题一般需要联立直线方程和抛物线的方程，消元后借助韦达定理构建未知变量的方程，注意所消变量的合理选择，考查学生的运算能力，属于一般题.8．已知,,a b c 均为正实数，若122log aa -=，122log bb -=，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得102a <<，112b <<，12c <<，由此可得答案.【详解】因为0a >，所以21a >，所以122log 1log 2a ->=，所以12a ->，所以102a <<； 因为0b >，所以021b -<<，所以120log 1b <<，所以112b <<； 因为0c >，所以1012c⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以20log 1c <<，所以12c <<， 所以c b a >>. 故选：C .【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =【答案】AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确；对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.10．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD △折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）A ．AB AC ⊥ B ．AB DC ⊥C ．BD AC ⊥ D ．平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直 【答案】BC【分析】以D 为坐标原点，,,DB DC DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量的数量积为0，分别判断A ，B ，C 选项；求出平面ABC 的法向量n ，由1BD n ⋅=-得出D 错误．【详解】以D 为坐标原点，,,DB DC DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设折叠前的等腰直角三角形ABC 的斜边2BC =，则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)D B C A ，则(1,0,1)AB =-，(0,1,1)AC =-，(0,1,0)DC =，(1,0,0)BD =-.从而有0011AB AC ⋅=++=，故A 错误；0AB DC ⋅=，故B 正确；0BD AC ⋅=，故C 正确；易知平面ADC 的一个法向量为(1,0,0)BD =-，设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1y =，则1,1x z ==，故(1,1,1)n =，1BD n ⋅=-，故D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，考查空间向量的应用，属于中档题．11．已知函数()()sin 034f x x πωω⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为直线8x π=，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线8x π=是函数()g x 图象的一条对称轴 B ．()g x 的最小正周期为πC ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 D ．()g x 【答案】BD【分析】根据题意可得842k πππωπ+=+，再结合03ω<≤，可求出2ω=，从而得出函数()f x 的解析式为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而得到()sin 22cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)x ϕ=+，即可判断各选项的真假．【详解】因为()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为直线8x π=， 所以842k πππωπ+=+，k Z ∈，所以82k ω=+，k Z ∈，又03ω<≤，所以2ω=，所以()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2cos 24f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以()sin 22cos 22244g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1)tan 3x ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可取02πϕ<<，显然4πϕ≠，8g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭且8g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭08g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，易知()g x π，故A 、C 错误，B 、D 正确. 故选：BD ．【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，利用解析式研究函数的性质，以及复合函数的导数公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 12．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n n a a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n na a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、填空题13．请写出一个使“函数22()f x x a x a=+++的最小值为2”为假命题的a 的值____．【答案】2（答案不唯一）【分析】先由题中条件，得到22()f x x a x a=+++的最小值为2时，a 的范围，取其补集，即可得出结果.【详解】因为22221()22f x x a x a x ax a=++≥+⋅=++，当且仅当22x a x a+=+，即21a x =-时，等号成立，因此只需1a ≤，都能使函数22()f x x a x a=+++的最小值为2，为使“函数22()f x x a x a=+++的最小值为2”为假命题，只需满足1a >即可，不妨取2a =.故答案为：2（答案不唯一）14．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________. 【答案】183【分析】求出等边ABC 的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可. 【详解】ABC 为等边三角形且其面积为93，则23934ABCSAB ==，6AB ∴= 如图所示，设点M 为ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==，Rt OMB ∴中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值163D ABC V -=⨯=故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要DM ⊥底面ABC ，再利用内接球，求出高DM ，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.15．设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9p ξ≥=，则(2)p η≥的值为__________． 【答案】1127【分析】由()519p ξ≥=可得13p =，从而可得222344443412211(2)C C C 333112733p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【详解】∵随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9p ξ≥=， ∴022(C 9151p --=）， ∴13p =， ∴1~4,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222344443412211(2)C C C 333112733p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为1127. 【点睛】本题主要考查二项分布、独立重复试验概率公式、对立事件的概率公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力以及计算能力，属于中档题.四、双空题16．若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为___________，___________.【答案】853-+ 853--【分析】设该角平分线的倾斜角为α，可得出与该角平分线相邻的两条边所在直线的倾斜角分别为30α-、30α+，利用两角和与差的正切公式可求得结果. 【详解】设该角平分线的倾斜角为α，则tan 20α=>， 所以，α为锐角，且tan 23α=>，6090α∴<<，与该角平分线相邻的两条边所在直线的倾斜角分别为30α-、30α+，())()()3223123tan tan 302313tan 308531tan tan 30232323231ααα------=====-++++-+，())()()3223123tan tan 302313tan 308531tan tan 30233232231ααα++++++=====-----+-.因此，这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为853-+、853--.故答案为：853-+；853--.【点睛】关键点点睛：本题考查直线斜率的计算，解题的关键就是确定直线倾斜角之间的关系，结合两角和与差的正切公式求解.五、解答题17．某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23BCD CDE BAE π∠=∠=∠=，DE =4km ，3BC CD km ==.（1）求服务通道BE 的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？【答案】（1）5（2）见解析【分析】（1）连接BD ，在BCD ∆中应用余弦定理求得BD ，进而在Rt BDE ∆应用勾股定理求得BE ．（2）在BAE ∆中，应用余弦定理表达出AB 与AE 的等量关系，再结合不等式求得AB AE +的最大值即可．【详解】（1）连接BD ， 在BCD ∆中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC =+-cos 9CD BCD ⋅∠=，3BD ∴=.BC CD =，6CBD CDB π∴∠=∠=，又23CDE π∠=，2BDE π∴∠=， 在Rt BDE ∆中，225BE BD DE =+=.（2）在BAE ∆中，23π∠=BAE ，5BE =. 由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE =+-⋅BAE ∠， 即2225AB AE AB AE =++⋅，故()225AB AE +-=22AB AE AB AE +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()23254AB AE +≤，即103AB AE +≤， 当且仅当AB AE =时，等号成立，即设计为AB AE =时，折线段赛道BAE 最长.【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题． 18．已知f (x )＝142x + (x ∈R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P 的横坐标是12.（1）求证：点P 的纵坐标是定值； （2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*m N ,n 1,2,3,,m n f m ⎛⎫∈=⋯ ⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m .【答案】（1）证明见解析；（2）S m ＝3112m - 【分析】（1）先根据中点坐标公式得x 1＋x 2＝1，再代入化简求得y 1＋y 2＝12，即证得结果；（2）先求()1f ，再利用倒序相加法求121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两者相加得结果.【详解】（1）证明：∵P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∵P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x ， ∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x ＝12124442444()++++x x x x ＝12， ∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值. （2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m＝()12121=1m m f f f f f f f m m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）知k f m ⎛⎫⎪⎝⎭＋m k f m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12.(k ＝1，2，3，…，m －1) ∴倒序相加得∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14(m －1). 又f （1）＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f （1）＝14 (m －1)＋16＝3112m -.【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.19．某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩. （1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μδ，其中64μ=，2169δ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<<+=，()220.9544P X μδμδ-<<+=，()330.9974P X μδμδ-<<+=．【答案】（1）114人；（2）分布列见解析，10712. 【分析】（1）通过分析得64μ=，13δ=，26421390μδ+=+⨯=，初试成绩不低于90分的概率为()90P X ≥求得人数；（2）由题得Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解. 【详解】（1）∵学生笔试成绩X 服从正态分布()2,Nμδ，其中64μ=，2169δ=，26421390μδ+=+⨯=∴()()()190210.95440.02282P X P X μδ≥=≥+=-= ∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.022********⨯=人 （2）Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则()23210(1)(1)4336P Y ==-⨯-=()232313(1)433612P Y ==⨯-==()1232215(1)(1)4339P Y C ==-⨯⨯⨯-=()12322318(1)43393P Y C ==⨯⨯⨯-==()232110(1)()439P Y ==-⨯=()2323113()4393P Y==⨯==Y 的分布为故ξ的分布列为：Y0 3 5 8 10 13P136 112 19 13 19 13()03581013361293933612E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()001;()PX x P X x -≥=<(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．20．如图所示为一个半圆柱，E 为半圆弧CD 上一点，5CD =.（1）若5AD =，求四棱锥E ABCD -的体积的最大值；（2）有三个条件：①4DE DC EC DC ⋅=⋅；②直线AD 与BE 所成角的正弦值为23；③sin sin 2EAB EBA ∠=∠.请你从中选择两个作为条件，求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值.【答案】（1；（2）答案见解析. 【分析】（1）在平面EDC 内作EF CD ⊥于点F ，可得EF 为四棱锥E ABCD -的高，易知CE ED ⊥，2225CE ED CD +==，可得13E ABCD ABCD V S EF CE ED -=⋅⋅=⋅矩形，再根据重要不等式可得222CE ED CE ED +⋅≤，进而求出体积的最大值即可； （2）首先依次对三个条件进行分析计算可得出：从①②③任选两个作为条件，都可以得到AD BC ==D 到平面EAB 的距离为h ，AD 与平面EAB 所成角为θ，由D EAB E DAB V V --=得EABh S =△，再作FG AB ⊥于点G ，连接EG ，易知EG AB ⊥，然后可求出sin hADθ=，最后求出cos θ的值. 【详解】（1）在平面EDC 内作EF CD ⊥于点F ， 因为平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD平面EDC DC =，所以EF ⊥平面ABCD ，即EF 为四棱锥E ABCD -的高， 因为E 为半圆弧CD 上一点，所以CE ED ⊥，所以1133E ABCD ABCD CE ED V S EF CE ED CD -⋅=⋅⋅==⋅矩形， 因为2225CE ED CD +==，22522E ABCDCE ED V -+∴≤==当且仅当2CE ED ==时等号成立，所以四棱锥E ABCD -的体积的最大值为3；（2）由条件①得：4os cos c CDE CE DC DCE DE DC ∠=∠， 即224DE CE =，所以2DE CE =，又因为225DE CE +=，所以1DE =，2CE =， 由条件②得：因为//AD BC ，BC ⊥平面DCE ， 所以CBE ∠为直线AD 与BE 所成角，且sin 23CE CBE BE∠==5tan C C EBC BE ∠==， 由条件③得：sin 6sin E E B B E EA B A A ==∠∠， 设AD x =，222232x CE x DE +=+， 若选条件①②，则1DE =，2CE =，且5tan C C E BC BE ∠==， 所以5AD BC ==若选条件①③，则1DE =，2CE =，且222232x CE x DE +=+，所以5AD BC x === 若选条件②③，则5tan CE x CBE =∠=，且222232x CE x DE +=+，225DE CE +=， 所以5AD BC x ===即从①②③任选两个作为条件，都可以得到5AD BC == 下面求AD 与平EAB 所成角的正弦值：设点D 到平面EAB 的距离为h ，AD 与平面EAB 所成角为θ，则由D EAB E DAB V V --=得：15525EAB DAB h S EF S ⋅=⋅=△△所以5EABh =△ 作FG AB ⊥于点G ，连接EG ，则由EF ⊥平面ABCD 知：FG 是EG 在平面ABCD 内的射影，所以EG AB ⊥，()22221112295552225EABS AB EG EF FG ⎛⎫∴=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅+=⎪⎝⎭△， 52529EABh ∴==△，sin 29h AD θ∴==，2529cos 1cos θθ∴=-=， 所以AD 与平面EAB 所成角的余弦值为529. 【点睛】方法点睛：求解空间中的线面角的方法通常用几何法和向量法. ①利用几何法的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.②利用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21．如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，一条准线为直线2x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动. 【答案】（1）2221x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件可得2c e a ==，22a c =（2）设直线CD 的方程为y mx n =+，直线EF 的方程为y kx =，设点()11,C x mx n +，点()22,D x mx n +，点()00,P x y ，首先表示出E x 、F x ，然后利用0E F x x +=可得()12122()(2)2()0m k m x x mk nk mn x x n k n -++-++-=，联立2221y mx n x y =+⎧⎨+=⎩消元得出122421mn x x m -+=+，21222121n x x m -=-+，代入可得0n m k +-=，然后联立y mx ny kx =+⎧⎨=⎩得到0()k m x n -=即可. 【详解】（1）设圆的焦距为2c .因为椭圆的离心率为2，一条准线为直线x =所以c e a ==，2a c =从而21a =，212c =，从而22212b ac =-=. 所以椭圆的标准方程为2221x y +=.（2）因为点P 不在坐标轴上，所以直线OP 的斜率存在且不为0. 设直线CD 的方程为y mx n =+，直线EF 的方程为y kx =， 设点()11,C x mx n +，点()22,D x mx n +，点()00,P x y ， 由题设知()1,0A -.因为点A 、C 不重合，所以直线AC 的方程为11(1)1mx ny x x +=++. 联立11(1)1mx n y x x y kx+⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，可得点E 的横坐标11()E mx n x k m x k n +=-+-. 同理可得点F 的横坐标22()F mx nx k m x k n+=-+-.因为OE OF =，所以0E F x x +=，整理得()12122()(2)2()0m k m x x mk nk mn x x n k n -++-++-=（）联立2221y mx n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222214210m x mnx n +++-=. 所以()2242210m n ∆=-+>，122421mn x x m -+=+，21222121n x x m -=-+， 代入（）式，有()()222()21(2)4221()0m k m n mk nk mn mn n m k n ---+-⋅++-=， 整理得()()0n m n m k -+-=.因为直线CD 不过点A ，所以0n m -≠，因而0n m k +-=.联立y mx ny kx =+⎧⎨=⎩，可得0()k m x n -=.因为直线CD 不过原点，所以0n ≠，因而0k m -≠. 所以01nx k m==-，因而点P 在直线1x =上运动 【点睛】关键点睛：解答本题的关键有：①由OE OF =得到0E F x x +=，②熟练掌握解析几何中的设而不求法，③计算能力. 22．已知函数()2121ln 2f x x ax x =-++． （1）当0a =时，若函数()f x 在其图象上任意一点A 处的切线斜率为k ，求k 的最小值，并求此时的切线方程；（2）若函数()f x 的极大值点为1x ，2111ln >x x ax m -恒成立，求m 的范围【答案】（1）k 的最小值为2，4210x y --=；（2）1m ≤-. 【分析】（1）利用导数得出()1f x x x'=+，然后利用对勾函数的性质和切线方程的公式进行求解即可（2）求导得出()221x ax f x x-+'=，然后对a 进行分类讨论，得出当1a >或1a <-时才符合题意，然后利用导函数的性质，得到21112x a x +=，进而得到2211111111ln ln 22x x x ax x x x -=--+，()10,1x ∈，得到211111ln 22x x x x m --+>，然后，设()21ln 22x h x x x x =--+，()0,1x ∈，进而求出m 的范围 【详解】解：（1）∵0a =，∴()()211ln >02f x x x x =++， ∴()12f x x x '=+≥，当仅当1x x=时，即1x =时，()f x 的最小值为2， ∴斜率k 的最小值为2，切点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴切线方程为()3212y x -=-，即4210x y --=． （2）∵()()21212>0x ax f x x a x x x-+'=-+=， ①当11a -≤≤时，()f x 单调递增无极值点，不符合题意；②当1a >或1a <-时，令()0f x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ， 因为1x 为函数()f x 的极大值点，所以120x x <<，又121=x x ，122>0x x a +=，∴1a >，101x <<，∴()10f x '=，2111120x ax x -+=，则21112x a x +=， ∵2211111111ln ln 22x x x ax x x x -=--+，()10,1x ∈， 令()21ln 22x h x x x x =--+，()0,1x ∈， ∴()231ln 22x h x x '=--+， ∴()21133x h x x x x-'=-+=，()0,1x ∈，当0x <<时，()0h x '>1x <<时，()0h x '<， ∴()h x '在⎛⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减， ∴()<03h x h ⎛'≤'=- ⎝⎭，∴()h x 在()0,1上单调递减．∴()()11h x h >=-，∴1m ≤-．【点睛】关键点睛：（1）的解题关键在于利用对勾函数的性质和切线方程的公式；（2）的解题关键在于通过分类讨论，得到利用导函数的性质，得到21112x a x +=，进而得到211111ln 22x x x x m --+>，()10,1x ∈，最后构造函数求解，本题的难度属于困难。
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南京市2021届高三年级学情调研数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．ABD 10．ACD 11．ABC12．AC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．214． 64315．4；22016．(-∞，-1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：因为 m =(2cos x ，-1)，n =(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )=m ·n +1=23sin x cos x -2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x =2sin (2x - π6)． ……………………… 4分(1)T = 2π2=π． ……………………… 5分(2)由f (α)= 85，得sin (2α- π6)= 45．由α∈[ π3， 7π12]，得 π2≤2α- π6≤π，所以cos (2α- π6)=- π6=- 45=- 35，……………… 7分从而 cos2α=cos [(2α- π6)+ π6]=cos (2α- π6)cos π6-sin (2α- π6)sinπ6=- 35× 32- 45× 12= -4-3 310． …………………… 10分18．(本小题满分12分)解：(1)选①， 因为S 1+S 3=2S 2+2，所以S 3-S 2=S 2-S 1+2，即a 3=a 2+2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以4a 1=2a 1+2，解得a 1=1，因此a n =1×2n -1=2n -1．…………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n =2m -1·2n -1=2m +n -2，由于m +n -1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m +n -1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分选②，因为S 3= 73，即a 1+a 2+a 3= 73，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1+2a 1+4a 1= 73，解得a 1= 13，因此a n = 13×2n -1． ………………………………… 4分此时a 1a 2= 29<a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3=4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1=4×8a 1，又a 1≠0，故a 1=4， 因此a n =4×2n -1=2n +1．…………………………………4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n =2m +1·2n +1=2m +n +2，由于m +n +1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m +n +1项，因此数列{a n }满足条件P ．……………………………………7分(2)因为数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以 a n ＋1a n=2，因此b n =n ×2n -1．所以T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1，则2T n =1×21+2×22+…+(n -1)×2n -1+n ×2n，两式相减得-T n =1+21+22+…+2n -1-n ×2n………………………10分= 1-2n1-2-n ×2n=(1-n )2n-1，所以T n =(n -1)2n+1．……………………………………12分19．(本小题满分12分)解：(1)假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2= 100×(36×30-24×10)2(36+24)×(10+30)×(36+10)×(24+30)= 2450207≈11.836>6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分(2)记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )= 2460= 25，P (B )= 3040= 34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．P (X =0)=(1- 25)2×(1- 34)= 9100，P (X =1)=C 12× 25×(1- 25)×(1- 34)+ 34×(1- 25)2= 39100，P (X =2)=( 25)2×(1- 34)+C 12× 25×(1- 25)× 34= 25，P (X =3)=( 25)2× 34= 325．所以随机变量X 的分布列为：X 0123P91003910025325………………………… 10分期望E (X )=0× 9100+1×39100+2× 25+3× 325=1.55． ………………………… 12分20．(本小题满分12分)(1)证明：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PA 平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ．………………………… 2分又CD 平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB =90°，所以∠ABC =90°，又AB =BC =1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC =∠CAD =45°，AC =2．在△CAD 中，∠CAD =45°，AC =2，AD =2，所以CD = AC 2+AD 2-2×AC ×AD ×cos ∠CAD =2，从而AC 2+CD 2=4=AD 2．所以CD ⊥AC ．………………………… 4分又AC ∩PA =A ，AC ，PA 平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE 平面PAC ，所以CD ⊥AE ．………………………… 6分(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{ AB ， AD ，AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB =BC =PA =1，AD =2，所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，则 CD =(-1，1，0)， AD =(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE =λCP ，所以 CE =λ CP ，设E (x ，y ，z )，则(x -1，y -1，z )=λ(-1，-1，1)，故E (1-λ，1-λ，λ)，所以AE =(1-λ，1-λ，λ)． 由(1)知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n =CD =(-1，1，0)．设平面AED 的法向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由 AE AD 得 (1-λ)x 1+(1-λ)y 1+λz 1=0，y 1=0，令z 1=1-λ，所以平面AED 的一个法向量为m =(-λ，0，1-λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|=|cos <m ，n >|=| m ·n|m ||n ||=| 222|= 10，化简得3λ2-8λ+4=0，解得λ= 23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ= 23．所以当|cos θ|= 10时，实数λ的值为 23． ………………………… 12分21．(本小题满分12分)解：(1)因为椭圆C ： x 24+y 2=1，所以F 1(- 3，0)，F 2( 3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1⋅ TF 2=(- 3-x 0，-y 0)·( 3-x 0，-y 0)=x 02+y 02-3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即 x 024+y 02=1，所以 TF 1⋅ TF 2= 34x 02-2，且x 02∈[0，4]，所以 TF 1⋅TF 2的取值范围是[-2，1]． ………………………… 4分(2)因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y =kx +m (m ≠-1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由 x 24得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=- 8km 1+4k 2，x 1x 2= 4(m 2-1)1+4k2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB ·AD =0，因此 (y 1+1)( y 2+1)+x 1x 2=0，即(kx 1+m +1)( kx 2+m +1)+x 1x 2=0，从而 (1+k 2) x 1x 2+k (m +1)( x 1+x 2)+(m +1)2=0，即 (1+k 2)× 4(m 2-1)1+4k 2-k (m +1)× 8km 1+4k2+(m +1)2=0，也即 4(1+k 2)( m -1)-8k 2m +(1+4k 2) (m +1)=0，解得m = 35．………………………… 9分又线段BD 的中点M (- 4km 1+4k 2， m1+4k 2)，且AM ⊥BD ，所以 m 1+4k 2 4km 1+4k 2=- 1k ，即3m =1+4k 2，解得k =± 5．又当k =± 5，m = 35时，△=64k 2m 2-4(1+4k 2)( 4m 2-4)=57625>0，所以满足条件的直线l 的方程为y =± 5x + 35. ……………………… 12分22．(本小题满分12分)解：(1)当k =2时，f (x )=2x -x ln x ，f ′(x )=1-ln x ，由f ′(x )>0，解得0<x <e ；由f ′(x )<0，解得x >e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e )，单调递减区间为(e ，+∞)．……… 2分(2)f (x )=kx -x ln x ，故f ′(x )=k -1-ln x ．当k ≥1时，因为0<x ≤1，所以k -1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增， 所以f (x )≤f (1)=k 恒成立．…………………………… 4分当k <1时，令f ′(x )=0，解得x =e k -1∈(0，1)．当x ∈(0，e k -1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e k -1，1)，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 于是f (e k -1)>f (1)=k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1，+∞)．…………………………… 7分(3)由(2)知，当0<x ≤1时，x -x ln x ≤1．令x = 1n 2(n ∈N *)，则 1n 2+ 2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2-1， 因此 ln n n +1≤ n -12． ……………………………………10分 所以 ln12+ ln23+…+ ln n n +1≤ 02+ 12+…+ n -12= n (n -1)4． …………………12分。