大学物理实验误差理论
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大学物理：物理实验误差理论
仪器误差（Error of Instrument）
注明 或 最小分度值的一半
单次测量 结果的误差可以取仪器误差； 多次测量 比较其误差和仪器误差，取两者
中较大的为结果的误差。
相对误差（Relative Uncertainty）
平均绝对误差、标准偏差、极限误差、仪器误差等，都是
有单位的，都是绝对误差，现在用 代x 表。
大学物理：物理实验误差理论
实验一 关于测量的基本理论
Exp.1 Basic Knowledge about Measurement
课程任务（Goal of Experiment）
➢培养实践、理论两方面的科学素养
➢培养和提高科学实验能力：准备实验， 使用仪器设备，观察分析判断，记录、 处理、报告实验过程和结果
Standard Deviation，Limited Error
标准偏差：
x
n
2
(xi x)
i 1
n 1
n
(xi )2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：
x
n
n
2
(xi x)
i 1
n(n 1)
n
(xi )2
i 1
n(n 1)
根据例1的数据，计算标准偏差
科学计数法：形式 a 10n 1 a 10
有效数字由 a 确定，单位的变化只是引起 n 的变化。 例如：地球的半径可表示为：
r 6.371103km 6.371106m
如何确定测量结果的有效数字?
误差本身也是有效数字，记录测量数据的有效数字的 最后一位应该到误差发生的一位。
L (15.3 0.5)mm
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
大学物理实验-误差理论与数据处理综述
误差理论与数据处理
②依据测量的条件进行分类
※等精度测量:
就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量．即测量的一切条 件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是 等精度测量．
不等精度测量 :
③依据测量可重复性进行分类
单次测量： ※多次测量：
误差理论与数据处理
①误差的绝对值有界 有界性 ②小误差出现的概率大于大误差出现 单峰性 的概率 对称性 ③n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等 ④n很大时，由于正负误差相互抵消， 抵偿性 各误差的代数和趋于零。 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数
误差理论与数据处理
或者
一般难以控制，往往不可抗拒。
如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。
误差理论与数据处理
•服从的规律： 服从数理统计规律。 •处理方法：
多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。
③过失误差
由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值不属于正常测量范围，在处理数据时 应予以剔除。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
《大学物理实验》课程安排
本学期（8次课16学时）
（1）误差理论与数据处理 （2）实验项目7个 14学时 2学时
误差理论与数据处理
本次课程内容：
一、基本概念 二、随机误差的正态分布率 三、数据处理 *（重点）
四、实验常用的数据处理 方法 *（重点） 五、物理实验课的基本程 序和要求
准确度高 精密度低
准确度高 精密度高
精 确 度 高
误差理论与数据处理
4）误差的表示方法：
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
大学物理实验理论课2
机噪气压的变 化，光照强度、电磁场 变化等。 瞄准、读数不稳定，人 为操作不当等。
③ 人为方面的因素
二、正态分布 例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量 值出现的次数列表如下。
测量值xi
次 数 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1 1 2 8 8 5 2 2 1.09 1.10 1 0
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因 测量者工作责任感不强、工作过于
疲劳、缺乏经验操作不当，或在测 量时不小心、不耐心、不仔细等， 造成错误的读书或记录。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、 外界振动、电磁干扰等）。
二、判别粗大误差的准则
算术平均值的标准差
标准差的估值
x
Sx
n
(li x ) 2
i 1 n
n( n 1)
x
n
即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为 单次测量标准差的 1 / n ，当n愈大，算术平均值越接近被测量 的真值，测量精度也愈高。 增加测量次数，可以提高测量 精度，但测量精度是与n的平方根成 反比，因此要显著提高测量精度， 必须付出较大的劳动。由图2-3可知, σ一定时，当n>10以后， x 的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测 量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。
算术平均值是真值的最佳估值
下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l 2 l n ) nLo
③ 人为方面的因素
二、正态分布 例如：用秒表测单摆的周期T，将各测量 值出现的次数列表如下。
测量值xi
次 数 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1 1 2 8 8 5 2 2 1.09 1.10 1 0
一、粗大误差产生的原因
产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为： ① 测量人员的主观原因 测量者工作责任感不强、工作过于
疲劳、缺乏经验操作不当，或在测 量时不小心、不耐心、不仔细等， 造成错误的读书或记录。
② 客观外界条件的原因
测量条件意外地改变（如机械冲击、 外界振动、电磁干扰等）。
二、判别粗大误差的准则
算术平均值的标准差
标准差的估值
x
Sx
n
(li x ) 2
i 1 n
n( n 1)
x
n
即在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为 单次测量标准差的 1 / n ，当n愈大，算术平均值越接近被测量 的真值，测量精度也愈高。 增加测量次数，可以提高测量 精度，但测量精度是与n的平方根成 反比，因此要显著提高测量精度， 必须付出较大的劳动。由图2-3可知, σ一定时，当n>10以后， x 的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测 量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。
算术平均值是真值的最佳估值
下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。
i li Lo
1 2 n (l1 l 2 l n ) nLo
大学物理实验误差理论(改)
２．实验中，应该精心操作、仔细观察、认 真记录、随时注意到测量结果是否合理。
３．实验完毕应将实验数据交给教师检查， 实验合格者，教师以签字通过。
7 2019/8/31
三、实验报告
（三）数据处理与计算
此部分在实验后进行，包括：作图、计算结果 与误差估算。
图解法要求使用正式的坐标纸并按作图规则进 行。
大学物理实验误差理论
1 2019/8/31
绪论
一、物理实验课的目的和要求
物理实验是一门独立的必修基础课，是大 学生接受系统实验方法和实验技能训练的开端。
在物理实验中，我们可以学到很多直接有 用的知识和技能，学到一些处理和解决实际问 题的途径和方法。
有关数据处理、误差分析、结果表述等方 面的知识也是从事任何实际工作所不能欠缺的， 在物理实验中，我们将在这方面得到初步训练。
例如，在对某一物理量进行测量时，选用的仪 器不同，或测量方法不同，或测量人员不同等都 属于不等精度测量。 绝大多数实验都采用等精度测量，本教材主要讨论 等精度测量。
14 2019/8/31
2．测量误差
（1）真值与误差
测量值 x：通过直接测量或间接测量得到
的物理量的值。
真测值量所x0用：的一理个论物方理法量及客实观验存仪在器的无量关值。，与
实验时间若要更动，须经教师同意签字。
进入实验室后，应主动将预习报告放在桌 上由教师检查，并回答教师的提问，经过 教师检查认为合格后，才可以进行实验。
10 2019/8/31
四、实验室规则
实验完毕，学生应切断电源开关，将仪 器、桌椅放置整齐，并在学生实验记录 本上签字、记录。
有损坏仪器，应及时报告教师或实验室 工作人员，填写损坏单或书面报告，说 明损坏原因，并根据学校赔偿规定处理。
３．实验完毕应将实验数据交给教师检查， 实验合格者，教师以签字通过。
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三、实验报告
（三）数据处理与计算
此部分在实验后进行，包括：作图、计算结果 与误差估算。
图解法要求使用正式的坐标纸并按作图规则进 行。
大学物理实验误差理论
1 2019/8/31
绪论
一、物理实验课的目的和要求
物理实验是一门独立的必修基础课，是大 学生接受系统实验方法和实验技能训练的开端。
在物理实验中，我们可以学到很多直接有 用的知识和技能，学到一些处理和解决实际问 题的途径和方法。
有关数据处理、误差分析、结果表述等方 面的知识也是从事任何实际工作所不能欠缺的， 在物理实验中，我们将在这方面得到初步训练。
例如，在对某一物理量进行测量时，选用的仪 器不同，或测量方法不同，或测量人员不同等都 属于不等精度测量。 绝大多数实验都采用等精度测量，本教材主要讨论 等精度测量。
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2．测量误差
（1）真值与误差
测量值 x：通过直接测量或间接测量得到
的物理量的值。
真测值量所x0用：的一理个论物方理法量及客实观验存仪在器的无量关值。，与
实验时间若要更动，须经教师同意签字。
进入实验室后，应主动将预习报告放在桌 上由教师检查，并回答教师的提问，经过 教师检查认为合格后，才可以进行实验。
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四、实验室规则
实验完毕，学生应切断电源开关，将仪 器、桌椅放置整齐，并在学生实验记录 本上签字、记录。
有损坏仪器，应及时报告教师或实验室 工作人员，填写损坏单或书面报告，说 明损坏原因，并根据学校赔偿规定处理。
大学物理实验的误差理论四阶段教学法探讨
・
的数据就是错的 ， 整个实验就是 失败 的。但我们的生源 现状 和 具体 的教学实 践让我们深 刻体会 到我们 的学生整体 的实 验 素质 偏低 。如果我们前期不 多加指 导，学生的实验操 作是 极其不 规范的。基于 以上三个 因素 ， 我们考虑在具 体的实验 教 学中采取 基于“ 角色转换 ” 理念的 四阶段误差理论教学法 ， 教学效果 良好。 第一 阶段 ：创设简单生活情境 引入误差理论 不确 定度理 论对刚进 入大学的学生而言 ， 由于数学工具 和物理 实验知识 的限制，是 比较难懂 的。 那么我们在讲解不 确定理论 时，就要考虑学生现有 的知识结构 ， 尽量不要在高 等数学公式 的推 导上 过多纠缠 ， 我们应在实 际应用过程 中让 学 生体 会它 的含义 。这 就是我们 必须要创 设一 定的物理情 境 ， 学生理解 不确定度是表示 由于测量误差 的存在而对被 让
引言
一
、
大学 物理实验 课是理 工科 院校对 学生进行 实验技 能训 练的专业基础必修课程 ， 是本科生接受系统 的实验 方法和实 验技能训练 的开端 。 它的主要 目的是通过大 学物 理实验的教 学使学生具备学 习各 自专业 实践课程的基本科学素质 。 让学 生学会 用不确定 度对直接 测量和 间接测量 的结 果进行评 估 是大学物理实验教 学的基本教育职 能之 一。２ ０ ０ ４年 ，教育 部高等 学校非物 理类专业 物理基 础课程教 学指 导分委 员会 在《 非物理类理工学科大学物理 实验课程教学基本要求 》中 强调大学 物理实验 教学要 让学 生逐 步学会 用不确 定度对 直 接测 量和间接测量的结果进行评估 。现在 ， 不少 高校在物 理 实验 教学 中对 不确定度 的评 定有 明确要 求 。 ，并得到较 好 的贯彻执 行。然而 ， 多新升本科 院校 由于在大学物理实验 许 的师 资队伍、 科研 水平、 生源质量和教学设施 等方 面的制约 ， 并未在大 学物 理实验教学 中真正执行 。 如何立足我们新建本 科 院校大 学物 理实验教学所存在 的诸 多现状 ， 在大学物理 实 验教学 中执行 这一国际通用评估方法 ， 使大学物理实验教 学 与各专业 实践课的教学接轨 ， 是一个值得探 讨的课题 。 我们 探索 了 “ 简单 引入 、角色转换 ”的引入 方式。我们发现它 的 实施 ，既可提高我们的大学物理实验 的教 学质 量，又可提 高 我们教师 的专业素质 ， 比较适合我们这类 生源底子薄 的新升
大物实验误差理论2
2．不确定度与误差
不确定度是在误差理论的基础上发展起来的，不确定度A类分量的
估算用到了标准误差计算的公式。 误差用于定性描述实验测量的有关理论和概念，不确定度用于实验 结果的定量分析和运算等。用测量不确定度代替误差评定测量结果，具 有方便性、合理性和实用性。 误差可正可负，而不确定度永远是正的。 误差是不确定度的基础，不确定度是对经典误差理论的一个补充， 是现代误差理论的内容之一，它还有待于进一步的研究、完善和发展。
3、怎样写实验报告 第一部分：预习报告 ： 做实验之前认真阅读实验讲义，写好以下内容： 实验目的、实验原理、实验仪器、实验步骤及注意事项、数据记录表： （预习中完成表格的设计） 第二部分：数据处理与计算。 此部分在实验后进行，包括： 作图、计算结果与误差估算：图解法要求使用正式的坐标纸并按作图规 则进行。计算时，先将文字公式化简，再代入数值进行运算。误差估算 要预先写出误差公式，并把数据代入。 结果：按标准形式写出实验的结果。在必要时，注明结果的实验条件。 讨论：对实验中出现的问题进行说明和讨论，或写出实验心得和建议等。 作业题：完成教师指定的作业题，思考题选做。 实验报告要求同学努力做到书写清晰，字迹端正，数据记录整洁，图表 合格，文理通顺，内容简明扼要。 实验报告一律用专用的物理实验报告册书写。 4、遵守实验规则 准备充分、礼仪得当、严肃认真、接受检查、善始善终
位使用更精密的仪器，经过检定比较后给出，其符号可正可负，用△仪表 示。 ★根据仪器的级别计算仪器误差为 △仪=量程×级别％ ★如果没有注明仪器级别，在物理实验教学中，对于一些连续刻度（可 估读）的仪器，一般用仪器的最小刻度的一半作为△仪；而非连续刻度 （不可估读）的仪器，一般用仪器的最小刻度作为△仪。 ★服从均匀分布的仪器的最大误差所对应的标准误差为：
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当误差总向一确定方向偏离时，就是B类评定，用 表示，主要是针对系误差。
主要根据说明书，分度值，准确度等级等确定
（3）合成不确定度
例1：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表： i di /mm 1 8.345 2 8.348 3 8.344 4 8.343 5 8.347 6 8.344
●
根据所用仪器得 由A、 B合成总不确定度u : u ΔA 2 ΔB 2
●
x x u ● 给出直接测量的最后结果： u E 100% x
8.间接测量的数据处理
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数
y f ( x1 , x2 ,, xm )
7.直接测量不确定度
• 不确定度u是评估测量结果可靠性的指标 任何一个物理量的测量结果都应表示为 X=最佳估计值±u(p%) 在没有修正值时,最佳估计值=算术平均值 用标准偏差表示的不确定度,称为标准不确 定度
(1)标准不确定度的Ａ类评定
用统计方法评定偶然误差的可靠性．就是Ａ类评定，用 表示
(2)标准不确定度的B类评定
§1.数据处理
1.测量与仪器
• 测量的概念:将待测物体的某物理量与相应的标
准做定量比较
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果
精确程度的评价,可分为直接测量与间接测量. 测量结果=数值+误差+单位+精确程度评价
仪器的准确度等级:以最小分度值表示,电表以 级数表示. 准确度等级的选用:在满足测量要求的前提下, 选用准确低的仪器.
2.测量与误差
• 测量总有误差,误差永远存在 • 误差 其中x--测量值,a--真值 • 误差的来源: (1)理论(2)仪器(3)实验装置(4)实验条件 (5)观测者 误差分为二类: 偶然误差(随机误差)和系统误差
3.系统误差
• 在多次重复等精度测量下,误差不变或误差 的方向不变. • 来源:测量系统本身固有的,与操作者的行 为习惯无关. • 研究系统误差的目的: (1)探索其来源并消除或减小它们 (2)估计残存系统误差的范围
0.005 100% 0.06% 8.348
d 8.348 0.005mm (5)测量结果为 Er 0.06%
仪器误差Δ 仪 举例：
电流表（量程30mA, 0.5级）
Δ 仪 30 0.5% / 1.732 0.12(mA )
单次直接测量结果的误差估算
仪器误差
d (d ) (2)计算A类不确定度
d
n 1
i
d
2
(n 1)n
0.0021 mm
(.002
(4)合成不确定度
A B 0.0022 2 0.002 2 0.0045 0.005 mm
2 2
Er
特点：
(1). 分布的平均值是 x0 ，即真值 x
σ大
f(x)
σ小
x
2
xf ( x)dx f ( x)dx
x x0
x0 x
2
(2).
是方差 ( x x0 )
( x x0 ) 2 f ( x)dx
2
f ( x)dx
ins
仪器误差满足平均分布
ins s 3
可以方便得计算
ins s 2
直接测量的数据处理步骤
●
求测量数据的平均值
1 x n
x
i 1
n
i
●
修正已定系统误差 (例如初读数x0），得 用贝塞耳公式求标准偏差
x xa
●
x
x
n 1 ( xi x) 2 n(n 1) i 1
称为标准差，反映测量值的离散程度
置信区间 ( x0 k , x0 k ) 置信概率 p （置信水平） 关系：
p
x0 x0 x0 1.96 x0 1.96 x0 3 x0 3
x0 k x0 k
f ( x)dx
f(x)
p p p
螺旋测微计的初读数为：- 0.003mm， 螺旋测微计的仪器误差为Δ仪= 0.004mm，求测量结果。
解: (1)求直径 d 的算术平均值、对已定系统误差进行修正 d (8.345 8.348 8.344 8.343 8.347 8.344)/6 8.3451mm
d 8.3451 - (-0.003) 8.3481mm
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm 则
y f ( x1 , x2 , , xm )
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x2 xm
意指X的值在 为P=68%
到
之间的概率
• 算术平均值的标准偏差
• 用算术平均值表示的测量结果
• 如有系统误差,则要进行修正,比如修正量为 则有
6. 格拉布斯判据
测量次数n，测量值x1 ~ xn
x Gn S xi x Gn S 格拉布斯判据为
其中Gn为格拉布斯判据系数， S为实验标准偏差。 xi为保留数据。 格拉布斯判据或者写成 ： xk x Gn S xk 为剔除数据。 或 xk x Gn S
4.偶然误差
• 在多次重复等精度测量下,误差的大小和方 向不可预知而随机出现. • 特点: (1)每次测量的误差大小和方向不确定 (2)出现正误差和负误差的概率相近 (3)绝对值小的偶然误差出现的概率大
偶然误差(随机误差)的分布
正态分布：随机误差一般服从正态分布
1 x x0 2 f ( x) exp( ( ) ) 2 2 1
f ( x)dx 0.683 f ( x)dx 0.95
x x0-kσ x0 x0+ kσ
f ( x)dx 0.997
5.多次重复等精度测量的结果表示
• 算术平均值 • 设
…
• 标准误差 • 标准偏差
• 上面的s是指这一组测量列的标准偏差,反映 这组测量列的测量结果的离散性(精密度) • 对于测量列中的任一测量值 ,其测量结果均 可表为
主要根据说明书，分度值，准确度等级等确定
（3）合成不确定度
例1：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表： i di /mm 1 8.345 2 8.348 3 8.344 4 8.343 5 8.347 6 8.344
●
根据所用仪器得 由A、 B合成总不确定度u : u ΔA 2 ΔB 2
●
x x u ● 给出直接测量的最后结果： u E 100% x
8.间接测量的数据处理
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数
y f ( x1 , x2 ,, xm )
7.直接测量不确定度
• 不确定度u是评估测量结果可靠性的指标 任何一个物理量的测量结果都应表示为 X=最佳估计值±u(p%) 在没有修正值时,最佳估计值=算术平均值 用标准偏差表示的不确定度,称为标准不确 定度
(1)标准不确定度的Ａ类评定
用统计方法评定偶然误差的可靠性．就是Ａ类评定，用 表示
(2)标准不确定度的B类评定
§1.数据处理
1.测量与仪器
• 测量的概念:将待测物体的某物理量与相应的标
准做定量比较
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果
精确程度的评价,可分为直接测量与间接测量. 测量结果=数值+误差+单位+精确程度评价
仪器的准确度等级:以最小分度值表示,电表以 级数表示. 准确度等级的选用:在满足测量要求的前提下, 选用准确低的仪器.
2.测量与误差
• 测量总有误差,误差永远存在 • 误差 其中x--测量值,a--真值 • 误差的来源: (1)理论(2)仪器(3)实验装置(4)实验条件 (5)观测者 误差分为二类: 偶然误差(随机误差)和系统误差
3.系统误差
• 在多次重复等精度测量下,误差不变或误差 的方向不变. • 来源:测量系统本身固有的,与操作者的行 为习惯无关. • 研究系统误差的目的: (1)探索其来源并消除或减小它们 (2)估计残存系统误差的范围
0.005 100% 0.06% 8.348
d 8.348 0.005mm (5)测量结果为 Er 0.06%
仪器误差Δ 仪 举例：
电流表（量程30mA, 0.5级）
Δ 仪 30 0.5% / 1.732 0.12(mA )
单次直接测量结果的误差估算
仪器误差
d (d ) (2)计算A类不确定度
d
n 1
i
d
2
(n 1)n
0.0021 mm
(.002
(4)合成不确定度
A B 0.0022 2 0.002 2 0.0045 0.005 mm
2 2
Er
特点：
(1). 分布的平均值是 x0 ，即真值 x
σ大
f(x)
σ小
x
2
xf ( x)dx f ( x)dx
x x0
x0 x
2
(2).
是方差 ( x x0 )
( x x0 ) 2 f ( x)dx
2
f ( x)dx
ins
仪器误差满足平均分布
ins s 3
可以方便得计算
ins s 2
直接测量的数据处理步骤
●
求测量数据的平均值
1 x n
x
i 1
n
i
●
修正已定系统误差 (例如初读数x0），得 用贝塞耳公式求标准偏差
x xa
●
x
x
n 1 ( xi x) 2 n(n 1) i 1
称为标准差，反映测量值的离散程度
置信区间 ( x0 k , x0 k ) 置信概率 p （置信水平） 关系：
p
x0 x0 x0 1.96 x0 1.96 x0 3 x0 3
x0 k x0 k
f ( x)dx
f(x)
p p p
螺旋测微计的初读数为：- 0.003mm， 螺旋测微计的仪器误差为Δ仪= 0.004mm，求测量结果。
解: (1)求直径 d 的算术平均值、对已定系统误差进行修正 d (8.345 8.348 8.344 8.343 8.347 8.344)/6 8.3451mm
d 8.3451 - (-0.003) 8.3481mm
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm 则
y f ( x1 , x2 , , xm )
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x2 xm
意指X的值在 为P=68%
到
之间的概率
• 算术平均值的标准偏差
• 用算术平均值表示的测量结果
• 如有系统误差,则要进行修正,比如修正量为 则有
6. 格拉布斯判据
测量次数n，测量值x1 ~ xn
x Gn S xi x Gn S 格拉布斯判据为
其中Gn为格拉布斯判据系数， S为实验标准偏差。 xi为保留数据。 格拉布斯判据或者写成 ： xk x Gn S xk 为剔除数据。 或 xk x Gn S
4.偶然误差
• 在多次重复等精度测量下,误差的大小和方 向不可预知而随机出现. • 特点: (1)每次测量的误差大小和方向不确定 (2)出现正误差和负误差的概率相近 (3)绝对值小的偶然误差出现的概率大
偶然误差(随机误差)的分布
正态分布：随机误差一般服从正态分布
1 x x0 2 f ( x) exp( ( ) ) 2 2 1
f ( x)dx 0.683 f ( x)dx 0.95
x x0-kσ x0 x0+ kσ
f ( x)dx 0.997
5.多次重复等精度测量的结果表示
• 算术平均值 • 设
…
• 标准误差 • 标准偏差
• 上面的s是指这一组测量列的标准偏差,反映 这组测量列的测量结果的离散性(精密度) • 对于测量列中的任一测量值 ,其测量结果均 可表为