人教版高中数学高二 变化率问题 名师导学案
5.1.1变化率问题教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.1变化率问题（高中数学（人教A版（2019）选择性必修二）第五章一元函数的导数及其应用一、内容和内容解析1．内容平均变化率及其求法2．内容解析本节内容通过分析研究2018年天猫双十一成交额在单位时间内增长快慢问题、运动员跑步问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：函数平均变化率的概念。
二、目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
1．目标（1）理解平均变化率的概念及内涵；（2）掌握求平均变化率的一般步骤及几何意义.2．目标解析达成目标（1）的标志是：经历从生活中变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.达成目标（2）的标志是：通过例题的解析，让学生归纳求平均变化率的一般步骤，从而进一步理解平均变化率的概念，通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.三、教学问题诊断分析天猫双十一购物狂欢节是每年很多人的生活体验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。
从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象共同的数学问题的本质是本节课的教学关键.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.四、教学过程设计1．观察实例归纳出函数平均变化率的概念问题情景1先从学生比较熟悉的天猫双十一购物狂欢节，在不同时段内成交额快慢的视频引入课题。
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案
§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高中数学3.1变化率与导数导学案
§3.1 变化率与导数导学案编号：1.3.1 编制人：陈洪平 二次备课人： 备课组组长：白银仓 年级组长：钟青波 上课时间： 班级： 学习小组： 学生姓名： 教师评价： 二次备课时间：一、学习目标：1理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 2.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；3会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．4.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.二、重点难点：1、用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度2、理解导数的概念并会运用概念求导数三、使用说明及学法指导：（读教材P72~ P78，找出疑惑之处）完成下列问题：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率：吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆1、设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆存在，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.2、 物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做 .瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的3、导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为 ，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的 .4、当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C在点P 处的 割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k =5函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 四、自学提纲任务1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=任务2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]；五、课堂讨论及展示 课堂学生活动组织： 复备批注探究1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.探究2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度探究3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)六、学习小结：1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 3、利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx yf x x∆→∆'=∆.4函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 其切线方程为七．当堂检测：1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.3.56.58.6 11 W(kg)2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.3. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．04. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-5. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆6.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是___ ____7. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是__ __8. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 9. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．110 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 11、.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 12、. 若0()2f x '=-，则0001[]()2limk f x k f x k→--等于13. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 214. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ． 47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+15. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关16. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为17. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆=八：课外作业：课本79页习题3.1A组1、2、3、4、5、6 B组1、2 九：课后反思：。
人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题
1. 1.1变化率问题课前预习学案。
知道平均变化率的定义。
，课本中的问题1,2预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水h与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案1.学习目标理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;.会求函数在某点处附近的平均变化率3.学习重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点： .平均变化率的概念学习过程一：问题提出率问题：1气球膨胀问题dmrVL__________. 之间的函数关系是)(气球的体积单位(单位::)与半径 ___________.,那么r表示为体积V的函数如果将半径___________. 气球半径增加了增加到1时,⑴当V从0___________.气球的平均膨胀率为___________. 气球半径增加了增加到2时,⑵当V从1___________.气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．VV? 气球的平均膨胀率是多少时,思考：当空气容量从增加到h 21___________.问题2 高台跳水问题：）与起跳后的h（单位：m在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：s）存在怎样的函数关系？时间t mh与起跳后的时)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度单位：(st___________.间）存在函数关系（单位：1.82，.5，1≤t≤）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０ot.≤2≤t2.2，时间段里的平均速度≤t≤2，v2?.51?t0?t?0的平均速度思考计算：和5.?00?t在__________.；这段时间里，_2t?1?___________. 这段时间里，在65?t0?：计算运动员在探究这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65)0?hh(()2thtt+10+6.5，探究过程：如图是函数(的图像，结合图形可知，)= -4.94965??t0)/m0(s但实际情况是___________.所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为，49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1）计算和思考，展开讨论；（.）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运3（②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动状态.:二平均变化率概念)xf)?(xf(12xxxf的平均变化．1上述问题中的变化率可用式子)从到, 表示称为函数 (21x?x12．率?x?x?x?f?f(x)?f(x)?x x的一个“增量”可用 (．若设这里看作是对于, 211122?f??y?f(x)?f(x)x?xx) ,代替+同样2112?y?f??___________. 则平均变化率为3．?x?xfx)的图象( 思考：观察函数?f)f(xf(x)?12?? 表示什么平均变化率x?xx?12（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x-x；②求函数的增量Δf=f(x)-f(x)；③求平1122f(x)?f(x)?f12?. 均变化率?xx?x12注意：①Δx是一个整体符，而不是Δ与x相乘；②x= x+Δx；12③Δf=Δy=y-y；12三．典例分析2xx??)?2?1,A(xf点)=近一及象的(图上的一点1例．已知函数临?y?)?y?x,?2?B(?1?． ,则?x解：2x?xx?y附近的平均变化率。
5.1.1变化率问题教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（第1课时）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册主备人备课成员课程基本信息1. 课程名称：变化率问题2. 教学年级和班级：2023-2024学年高二（1）班3. 授课时间：2023年9月15日，上午第2节4. 教学时数：45分钟5. 教材版本：人教A版（2019）选择性必修第二册教学目标1. 理解变化率的定义，能够描述变化率的概念。
例如，在研究物体运动速度时，变化率可以表示物体位置的变化与时间变化的比值。
通过实例，让学生理解变化率是描述变量变化快慢的量，它反映了变量变化的绝对量与变化所用时间的比值。
2. 能够运用变化率的定义，解决实际问题。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念计算物体在某一时间段内的平均速度。
通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
3. 能够运用变化率的概念，分析实际问题中的变化规律。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。
通过实际问题，让学生学会运用变化率的概念分析实际问题中的变化规律，提高学生的分析能力。
4. 能够理解变化率的性质，如变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。
通过实际问题，让学生理解变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系，提高学生的理解能力。
5. 能够运用变化率的概念，解决实际问题中的优化问题。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念求解物体在某一时间段内的最快速度。
通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识。
在学习变化率这一节之前，学生已经学习了函数的概念和性质，包括函数的定义、图像、单调性等。
此外，学生还学习了极限的概念，这为理解变化率提供了基础。
人教A版选修2-2 变化率问题及导数的概念导学案 .docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作变化率问题及导数的概念导学案一、 学习目标：1. 会说出平均变化率的概念和几何意义、物理意义；2. 会求函数在某点处附近的平均变化率；3. 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念。
二、掌握以下概念和原理： 问题1 气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.（1）当V 从0增加到1时,气球半径增加了__________.气球的平均膨胀率为___________. （2）当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，________.；在21≤≤t 这段时间里，_________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ______.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=__________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f _________,于是，平均变化率可以表示为_____________思考：观察函数f (x )的图象说出平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? 总结计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y 2-y 1； 问题4 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为________。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【合作探究】类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．类型二 求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝a ，则f ′(x 0)＝________.(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．32．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.【小结作业】小结：作业：对应限时练。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-1 变化率问题
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：随着气球体积的增大，当气球体积_____________时，相应半径的_______越来越小.
________________________________________________________
探究任务二：
例1已知f(x)=2x2+1
(1)求:其从x1到x2的平均变化率；
(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx= 时的平均变化率。
探究任务三：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 的几何意义是什么？
结论：连接函数图象上对应两点的割线的_________
【达标训练巩固提升】
1. 在 内的平均变化率为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 为（）
A． B．
C． D．
3.质点运动动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度为（）
A． B．
C． D．
4.已知 ，从 到 的1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
学习过程：
【学情调查情境导入】
球的体积公式：V球=____________
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
5、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。
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变化率问题
课前预习学案
一、
预习目标
了解平均变化率的定义。
二、预习内容
[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )
与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________
[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，
分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题4] 平均变化率=
∆∆x f
12)()(x x x f x f --表示什么?
三、提出疑惑
x 2
A
课内探究学案
一、学习目标
知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程
学习探究
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
新知：平均变化率：21
21
()()
f x f x f
x x x
-∆
=
-∆
试试：设()
y f x
=，
1
x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点
2
x，
1
x与
2
x的差记为x∆，即
x∆= 或者
2
x= ，x∆就表示从
1
x到
2
x的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y
∆，即y
∆= ；如果它们的比值
y
x
∆
∆
，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
典型例题
例1 过曲线3
()
y f x x
==上两点(1,1)
P和(1,1)
Q x y
+∆+∆作曲线的割线，求出当0.1
x∆=时割线的斜率.
例2 已知函数2
()
f x x
=，分别计算()
f x在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.
反思总结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
当堂检测
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
T(月)
6
3
9
12
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆
C ．3t +∆
D ．9t +∆
4.已知21
2s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 2
23y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
6、已知函数12)(2
-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆
课后练习与提高
1、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），
试求此一次函数的表达式。
2. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器 甲中水的体积0.1()52t
V t -=⨯（单位：3
cm ），
计算第一个10s 内V 的平均变
化率.
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林
3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程： 情景导入：
展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.
例2 已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 反思总结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
当堂检测
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆
C ．3t +∆
D ．9t +∆
4.已知21
2
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
6、已知函数12)(2
-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆ 【板书设计】：略 【作业布置】：略
T(月)
6
3
9
12。