人教版高中数学《“等可能性事件的概率》教学

提出问题—分析问题—解决问题—理性归纳——“等可能性事件的概率”教学【教学课题】等可能性事件的概率（高中数学第二册（下A）10.5.2)【教学目标】知识目标：通过实例，理解等可能性事件及其概率计算公式，用求一些简单的随机事件的基本事件数及事件发生的概率；能力目标：培养学生自主探索能力，通过思考、探索和交流等活动加深对数学知识的理解，进一步培养学生知识的迁移的能力以及数学知识的应用意识；情感目标：结合随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想,进一步体会数学的科学价值和应用价值，激发学生学习数学兴趣．【教学重点】等可能性事件概率的意义．【教学难点】等可能性事件概率的求法．.【教学过程】一、复习知识，引入新课师对于一个事件A，如何寻求它的概率P(A)是概率论的一个基本课题．随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值．例如在抛掷硬币试验中，要计算正面向上的概率，要进行大量重复试验，历史上有很多数学家做过这师同学们是否已感到计算随机事件概率的繁琐？大量重复的试验是否可以避免？答案是肯定的，对于有些事件的概率还是有巧门的．（提到了上节课求事件概率的主要方法用统计的方法，起到复习的作用，同时创设疑问，让学生积极思考、讨论，同时也引起学生的兴趣）二、创设情景，探索概念师考察下列不同的试验，会产生哪些不同的结果？（１）掷一枚均匀的硬币到平坦的地面上，……（２）掷一枚骰子，其向上面的点数……（３）本班有45名学生，现任选一个，……（４）一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1~10 .，从中任取一球，球的号码为……师上面的这四种试验各有多少种结果？（试验的结果及结果分析）生试验（1）结果有2种：正面向上，反面向上；试验（2）的结果有6种：1,2,3,4,5,6；试验（3）的结果有45种：45个不同的人；试验（4）的结果有10种：1到10这10个号码．三、启发引导，引入概念师很好！分析得非常具体，但我们不能停留在表面，我们应深入到实质中去：上面每一次试验所产生的结果有何特点？生对于上述每次试验来说，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．师很好，把最主要的特征描述出来了，还有其他吗？……师的确比较困难，提示一下，相对于下面的这个试验：随机取一个自然数，其结果有多少种？有什么特点？生对于每次随机试验来说，试验之前并不知道结果会是什么，但不管怎样，其可能出现的结果只有有限个．师太棒了！常常把这样的试验结果称为“等可能的”．今天这一节课我们就来探讨这种特殊的随机事件的概率——等可能性事件的概率．这种试验有两个特点：（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；（2）对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．（由学生对试验的讨论分析，并由学生来概括，目的是体现学生的主体作用．培养学生语言表达能力和分析问题的能力和归纳能力，并正式提出课题：等可能性事件的概率．）四、实践出发，巩固概念师现实中并非所有情况都是等可能的．像考试得分、电话传呼、打靶中环等不均等的例子，比比皆是；那么怎样判断一次试验的结果是等可能的呢？生直觉．师对，直觉很重要，当然我们也可利用机会均等原理，由对称性和均衡性．如我们来看下面这个问题：问题：考察下列试验中的结果是否是等可能的？（1）掷二枚均匀的硬币，出现结果：{两个正面，一正一反，两个反面}；（2）掷二枚骰子，其点数之和：{2，3，…，12}；（3）本班有45名学生，其中女生有15人，现任选一个，出现结果：{女生，男生}；（4）一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1~10 .，从中任取一球，其号码为：奇数，偶数．生（1）中的两个正面和两个反面是等可能的，但与一正一反不是等可能的；（2）（3）中的结果不是等可能的．（4）中的结果还是等可能的．师 以上出现的结果显然与刚开始讲的结果是不同的．仔细分析一下，我们可以发现这里的每一种结果同时又可以用更小的结果所组成．如：第一个试验中假如对两个硬币编号，则有四种结果：“正正，正反，反正，反反”，这四种结果是等可能性，则结果“一正一反”由“正反”“反正”两种更小的结果组成，那么出现“一正一反”这一事件的概率为多少？生 2142=．（“等可能”的判断，这一环节很重要） 师 类似的，分析下列事件的组成，以及这些事件的概率．（1）掷一枚均匀的硬币，出现“正面向上”的概率．（2）掷一枚骰子，出现“正面是3”的概率是多少？（3）出现“正面是3的倍数”的概率是多少？（4）本班有45名学生，其中女生有15人，现任选一个，则被选中的是女生的概率是多少？（5）一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1~10 .，从中任取一球，球的号码为奇数．其概率为多少？生 试验（1）的概率为12；试验（2）的概率为16；试验（3）的事件有“正面是3”和“正面为6”这两个结果，因此概率为13； 生 试验（4）的概率为151453=；试验（5）的事件有5个结果组成：号码分别为1，3，5，7，9，因此其概率为51102=． （这些概率的计算对学生来说问题不是太大，一方面是有生活的经验，另一方面初中也曾接触到过）师 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件；而某些事件往往由其中的一个或多个基本事件组成．师 定义：如果一次试验可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等．（1）那么每一个基本事件的概率都是1/n ；（2）如果某个事件A 包含的基本事件有m 个，则事件A 的概率为：A ()m P A n ==事件中包含的基本事件数基本事件的总数． （这里大家一起总结事件A 的概率公式）师 不需要大量的重复试验，而只要通过一次试验中可能出理的结果进行分析，这样就把求概率问题转化为计数问题．这种概率问题占有很重要的地位，一方面它比较简单，另一方面它概括子许多实际问题，有广泛的应用．也称为古典概型．师我们可以从集合观点来理解：（１）等可能出现的n个结果组成集合I，称为样本空间，这n个结果就是集合I 的n个元素；（２）各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集；（３）包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A；（４）P（A）=()() Card A Card I．五、实例讲解，深化概念师下面我们通过一个实例来求等可能性事件的概率．例一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 其中6个为红球，其余为蓝球，将球编号为1－10，把球搅匀，蒙上眼睛，从中一次取2球.（不同编号视为不同的球）．（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出两个红球有多少种不同的结果？（3）摸出2个红球的概率为多少？（4）摸出2个球上号码之和为8的结果有多少种？（5）摸出2个球上号码之和为8的概率为多少？（6）摸出的2个球中恰有1个红球的概率为多少？生（1）共有C102=45种不同的结果．生（2）摸出2个红球有C62=15种不同的结果；生（3）按照前面的概率公式，摸出2个红球的概率为151 453=．生（4）有7种．师哪7种？生应为6种．设2个球的号码分别为x,y，则x+y=8，所以x=1,2,3,4,5,6,7对应y=7,6,5,4,3,2,1，但x=4,y=4时不可能．生不对，应为3种，因为x=1,y=7和x=7,y=1只能算一种．（这里确实很容易搞混）师很好．在这里有一个关键的语句：从中一次取2球．两个球没有次序．因此只能算3种．因此（5）的答案应为31 4515=．师如果题目条件变为分两次取球，每次不放回．则这里的情形又该如何？生这时所有结果种数应为A102=90，摸出2个球上号码之和为8的结果有6种，摸出2个球上号码之和为8的概率为61 9015=．师因此仔细审题很重要．第6小题呢？生摸出2个球，恰有1个红球的情形有C41C61=24种，因此所求概率为2484515=．师大家觉得这样可以吗？会不会出现一红一蓝或一蓝一红的情形？生……？（看似简单的问题，有些同学真的被迷惑了）师如果这里也是分两次取，且每次取后不放回，则又该如何？生哦！明白了．当一次取两个球，摸出2个球，恰有1个红球的情形有C41C61=24种，因此所求概率为2484515=．当取球是分两次取时，则应考虑一红一蓝和一蓝一红这两种情形，共有2 C41C61=48种情形，此时所有的结果有90种，因此概率仍为488 9015=．师从上面的求法可以看出在求等可能性事件的概率时，所有结果的集合I 和所求事件的结果组成的集合A的确定是十分关键的．六、小结复习，总结概念师这一节课主要讲了四个问题：（1）试验的结果；（2）结果的特点；（3）事件的组成；（4）事件的概率师对照上面的四个问题，请同学们小结一下求等可能性事件的概率的解题步骤．生分为四个步骤：（1）求所有结果组成的集合I；（2）判断是否是等可能性事件；（3）求出所求事件由哪些结果组成，即求出集合A；（4）计算概率P（A）=()() Card A Card I．师很好．有两点再强调一下：（1）在应用这个概率模型时必须注意“等可能性”的条件；（2）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏．（学生概括，老师补充，共同完成小结，体现师生互动）七、课外作业，掌握概念1、在上述例子中，若分两次取球且每次取1球，取后马上放回．则各小题的结论又该如何？2、思考题（抽签有先有后，对各人公平吗？）袋中装有9个黑球和1个白球，从袋中一个一个随机地将球摸出，求:（1）事件A：第1次将白球摸出的概率；（2）事件B：第2次将白球摸出的概率；（3）事件C：第3次将白球摸出的概率．你能从中得到一个一般的结论吗？（课后及时复习可以温故知新；作业分层对学有余力的同学能起到开阔思维）【教学后记】在教学设计过程中，笔者主要是做了以下几点：1、认真贯彻新课程理念，正确把握新课程中的目标要求教学中不要把重点放在“如何计数”上．通过“提出问题--分析问题--解决问题--理性归纳”这一流程，让学生归纳出古典概型的两大特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性．在这一过程中培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度，从而不仅使学生在认知领域取得发展，掌握了相应的知识和技能，达到了预定的教学目标的同时，而且在情感领域、动作技能领域也取得了长足的进步．2、“授人以鱼，不如授人以渔．”我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，就是要让他们“会学习”，这也是真正体现学生的主体作用．通过“提出问题--分析问题--解决问题--理性归纳”这一流程，结合大量的正面、反面的例题，努力揭示了“等可能性事件”这一概念的形成过程和本质真谛，让学生从中体验了做数学的乐趣，经历、感悟和体会了由特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和归纳类比、抽象概括等数学思想方法的综合运用，学生从中受到了数学文化的熏陶，学会了求知与做事的能力．3、以问题为线索，使内容结构化，到达良好的教学效果“提出问题--分析问题--解决问题--理性归纳”这一流程在整个教学过程和每一个环节中循环使用，使学生对古典概型的特征和“等可能事件”概率的计算公式有了深入的理解，从而使学生的知识不断地得到重组与内化，从而使学生自我构建，拓展了有关知识的网络，形成了完整的知识体系和良好的认知结构．【参考文献】1 蒋亮.论新课程标准下数学评课的三大切口.中学教研，2004，122 丁亿.点评：让数学课堂动起来.中学数学教学参考，2004，53 徐颖.课堂点评：一节在新的课程理念下的创新课.中学数学教学参考，2004，1-2。