连续时间系统傅里叶变换的性质
信号与系统中的连续时间信号分析
信号与系统中的连续时间信号分析在信号与系统学科中，连续时间信号分析是一项重要的研究领域。
它涉及到对连续时间信号的特性和行为进行深入的研究与分析。
通过对连续时间信号的理解，我们可以更好地理解和应用于实际系统中。
连续时间信号是一种在时间上是连续的信号，与离散信号相对应。
通过对连续时间信号的分析，我们可以研究信号的频谱特性、系统响应以及信号处理等方面的问题。
下面将介绍一些连续时间信号分析的重要概念和方法。
一、连续时间信号的分类在连续时间信号的分析中，我们将信号分为不同的类型，以便更好地理解和处理它们。
常见的连续时间信号类型包括周期信号、非周期信号、能量信号和功率信号。
1. 周期信号周期信号是指信号在时间上具有重复性质的信号。
在数学上，周期信号可以表示为f(t) = f(t ± T)，其中T是信号的周期。
周期信号在通信系统中经常出现，例如正弦信号、方波信号等。
2. 非周期信号非周期信号是指无法用周期性来描述的信号。
非周期信号在实际应用中也非常常见，例如脉冲信号、指数信号等。
3. 能量信号能量信号是指信号的总能量有限，即信号在无穷远处的能量为零。
能量信号通常在短时间内集中能量，如方波信号、冲激信号等。
4. 功率信号功率信号是指信号的功率在无穷远处有限，即信号的总功率为有限值。
功率信号通常在长时间内分散能量，如正弦信号等。
二、连续时间信号的频谱分析频谱分析是连续时间信号分析的重要手段，通过对信号的频谱特性进行研究，可以了解信号的频率成分以及频率响应等信息。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具。
通过傅里叶变换，我们可以将连续时间信号表示为不同频率分量的叠加。
2. 频谱密度函数频谱密度函数是描述信号功率随频率变化的函数。
通过计算信号的频谱密度函数，我们可以了解信号的频率特性和功率分布等信息。
三、连续时间系统的分析连续时间信号的分析还涉及到对系统的研究和分析。
连续时间系统是通过输入信号产生输出信号的物理系统，例如滤波器、放大器等。
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质
R()＝ g(t)sin (t)dt －
X ()＝ g(t) cos (t)dt －
在这种情况下，R()为奇函数，X()为偶函数，即满足： R()＝－R(－) X()＝X(－)
而 F() 仍是偶函数，()是奇函数。
第3章 傅里叶变换
此外，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质
所以
[F(t)]=2 f(－)
若f(t)是偶函数，式(3 50)变成
[F(t)]=2 f()
(3 50) (3 51)
第3章 傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
（二） 线性（叠加性）
若 [fi (t)]＝Fi () （i＝1，2，...，n），则
n
n
[ aifi (t)]＝ aiFi ()
i＝1
f(at)e dt
令x=at
当a 0
[f(at)]＝ 1
f(x)e
j x a
dx=
1
F(
)
a
aa
第3章 傅里叶变换
当a 0
[f(at)]＝ 1
－
f(x)e
j
x a
dx
a ＋
＝－ 1
f(x)e
j
x
a dx＝－ 1
F(
)
a
aa
综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为
[f(at)]＝ 1 F( )
－
－
在这种情况下，显然
R
X
()＝ －
()＝－
f(t) cos (t)dt
f(t) sin (t)dt
－
(3－54)
第3章 傅里叶变换
信号与系统课件第4章 连续时间傅里叶变换
j 0t
e
jt
1 dt e j ( j ( 0 )
0 ) t
However, this integral does not converge. Consider the Fourier transform pair δ(t) and 1.
可知，F ( ) 量纲是单位频带的复振幅。 即把 F ( ) 理解成各频率分量沿频率轴的分布， 具有密度的量纲和概念，故称为频率密度函数 。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱 。（注意与周期信号的频谱概念上不一样）
F ( )一般为复 与周期信号的傅里叶级数类似， 函数。为 F ( ) F ( ) e j ( ) F ( ) ~ 称为幅频特性； 总称频率特性 ( ) ~ 称为相频特性。
当信号为实函数时: F F * j j F F e F e
幅频特性为频率的偶函数；相频特性为频率的奇 函数。且均为频率的连续函数。
Convergence of Fourier Transforms
1 (t ) 2
jt 1 e d
2 (t ) 1 e jt d
This equation says that the Fourier transform of unit dc is 2 ( ) .
4.1 REPRESENTATION OF APERIODIC SIGNALS: THE CONTINUOUS-TIME FOURIER TRANSFORM
4.1.1 Development of the Fourier transform representation of the continuous time Fourier transform
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
信号与系统-公式总结
信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。
信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。
1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。
4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。
5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。
何子述信号与系统习题解答第4章连续时间傅里叶分析(2012新)
2 2 3j 1
F δ t 1 δ
n
j t
F
n
再由傅里叶变换的线性，可得 h t 为
h t 2 t 3¢ t t
（c）同理可得
j Y 6Y j F 2 j F 3F
何子述
高等教育出版社
h t
题 4.8 解：
sin 1t πt
δ t
sin 2 t πt
该题中的单边带通滤波器的频率响应可看成是一个截止频率为 c 的低通滤波器的 频率响应在频谱上的一个搬移，搬移量为 3c ，由第三章傅里叶变化的频移特性知，信 号在时域乘以一个复指数信号 e j0t 后，其傅里叶变换在频域上平移 0 。 由主教材式（4.2.2）知，低通滤波器的冲激响应为
h t
由上可知，一定存在一个信号 g t ，使得
sin c t t
h t
且 g t 为
sin c t πt
g t
g t e j3c t
题 4.9 解： 由主教材式（4.2.1）知，理想低通滤波器的频率响应为
1, H 0,
由主教材式（4.2.2）知，其冲激响应为
c c
h t
sin c t πt
由主教材式（4.1.3）知，系统频率响应 H 可表示为
H H e jH
（a）由上式知，该滤波器对应的频率响应为
H1 H e
0 c c 0 其他
上式可看成截止频率为 c / 2 的低通滤波器被频移至 c / 2 和 c / 2 ，并分别乘上幅度 j 和 j ，且截止频率为 c / 2 的低通滤波器可表示为 H 2 ，所以 H 3 可表示为
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4.9 连续时间傅立叶变换的性质与应用
1、线性性质
若：x1 (t ) X 1 ( ), x2 (t ) X 2 ( )
a1 为两个任意常数，则： 和 a2
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X 1 ( ) a2 X 2 ( )
j t
dt
si nt jt e dt t
积分较难 这里可用对称性来求解.
sinc(t ) G2 ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
7. 函数下的面积
(1)函数x(t)与t轴围成的面积等于X(w)在w=0时的值X(0)
(2)函数X(w) 与w轴围成的面积等于2πx(0)
两边取共轭： X ( w ) x(t )e dt x(t )e j ( w )t dt X ( w )
jwt
推论1：实时间函数的频谱函数的实部是频率的偶函数， 虚部是频率的奇函数。 X ( w ) X ( w) 证明：
Re {X ( w )} Re {X ( w )} Im{X ( w )} Im{X ( w )}
则：
-
sinc( wc t )dt
wc
G2 wc ( w )
wc
1
wc
w 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
dw 例4 17 : 求 a jw
1 解 ： e u( t ) a jw
at
dw 2 e -at u( t ) t 0 a jw 1 1 又 u(0) [u(0 ) u(0 )] 2 2 dw dt a jw 思考 : 求 a jt
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
实偶函数
f (t ) e
t
( t )
2 F ( ) 2 2
( ) 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
实奇函数
e at f (t ) at e (t 0) (t 0)
2 j F ( ) 2 2
即：(1)若信号乘以常数a，则其频谱函数也乘以a。
(2)几个信号的频谱函数等于各个信号频谱函数的和。
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 9 :求f ( t )的傅立叶变换。
2 1
f (t )
2
2
t
f (t ) [u(t ) u ( t 2 2 )] [u( t ) u( t )]
t t
证明： X ( w) x(t )e dt
jwt
x(t )e jwt dt
x( t ) x( t )
x( t ) x( t )
x(t )e - jwt dt X( w ) X ( w )
x(t )e - jwt dt X( w ) X ( w )
X 2 ( w) Sa ( w / 2)e
1 2
t
Bf 1 1
时移不影响带宽
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
8. 时域微分特性
若：x( t ) X ( ) 证明见P142 dx( t ) 则： jX ( ) dt n d x( t ) n 及： n ( j ) X ( )
1 t 1 e 2 2 1
1 1 2 2 e e t 1 2
1 例4 15 : 试求: x( t ) a 1, t 0的傅立叶变换 a jt
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
x( t ) e
部 分 对 称
at
FT
1 X ( ) a j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
等效脉宽与等效频宽
X ( w ) x( t )e
jwt
dt
1 x( t ) 2
X ( w )e jwt dw
x( t )dt X (0)
2
X ( w )dw 2 x(0)
等效频宽
x ( 0) X ( 0) X (0) Bw 2 x(0) Bw
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
c Sa(
c t
2
)
c
x( t )
2
c 0
2
2 0
2
c
c
t
c
2
wc sinc( wc t ) G2wc ( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1 例4 14 : 试求: x( t ) 2 的傅立叶变换 t 1
解：考虑双边指数信号：
e
a t
2a 2 2 a
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1 则 x(at) X ( ) a a 当a=-1时： x( t ) X ( ) x( t )
等效脉宽
Bf
1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4-18:求下列时域函数的频谱的带宽
x1 ( t )
1 1
X1 ( w) T1 Sa ( wT1 / 2)
2
Sa ( w / 2)
2
1
t
1
X1 (0)B f x1 (0)
2
Bf 1 1
jw
x2 (t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
2 F ( ) 2 2
π 2 ( ) π 2 ( 0) ( 0)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
推论4：分解特性：实函数可分解为一个偶函数和一个奇函
数之和。其偶部的傅立叶变换为X(w)的实部，奇部的傅立
叶变换为X(w)的虚部。
x ( t ) xe ( t ) xo ( t )
x(t )dt x(t )e
jwt
dt w 0 X (0)
例4 16 : 求抽样函数sin c(wc t )下的面积
X ( w )dw X ( w )e jwt dw t 0 2 x(0)
解： sinc(wc t ) w G ( w ) 2 w c c
F { x(t )} F { xe (t )} F { xo (t )}
X ( w ) Re {X ( w )} Im{X ( w )}
F { xe ( t )} Re{X ( w )} F { xo (t )} Im{ X ( w )}
例4 10 :分解特性的应用举例。
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
5. 频移性－－调制 若： x( t ) X ( )
则： x(t )e
j0 t
X ( 0 )
由 w w w0 实际上是将频谱向高频搬移，常用的方 法是将x(t)乘以高频余弦或正弦信号 1 jw0 t x( t ) cos( 0 t ) x( t ) (e e jw0 t ) 2 1 x( t ) cos( 0 t ) [ X ( w0 ) X ( w0 )] 2 频谱向高频分量w0附近搬移，这个过程称为调制
试求下列单边指数信号的频谱函数
第4章 连续时间信号的傅立叶变换 x( t ) 2
x(t ) 2e u(t )
at
a0
2
x( t )
1
xe ( t )
xo ( t )
1 xe ( t ) [ x( t ) x( t )] 2 1 xo ( t ) [ x( t ) x( t )] 2 2 F { xe ( )} 2 2 2 j F { xo ( )} 2 2