新人教A版数学选修1-1《3.1.1变化率问题》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题学案

新人教A 版选修1-1

【学习目标】

1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

【重点难点】

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.

【学习内容】

一、学习背景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课学习

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为

可以看出：

思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2

++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

探究: 计算运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子1

212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.

2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x

x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212

思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率

=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?

三、典例分析

例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及

临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则

=∆∆x

y . 解: h t o

例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.

解:

四、课堂练习

1.质点运动规律为32

+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .

2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.

3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率.

五．【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】

1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0

C ()x x f ∆⋅0

D ()()00x f x x f -∆+

2． 一质点运动的方程为2

21t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －6

3． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ）

A R R ∆π8

B ()2

48R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()2

4R ∆π 4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则x

y ∆∆为（ ） A 21+∆+

∆x x B 21-∆-∆x

x C 2+∆x D x x ∆-∆+12 5． 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）

的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ）

A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1

B 在49

650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C 运动员在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢 D 运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小

6．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的

7．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的

8．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变

化率是