初三全章专题训练(15套)(华东师大版初三下)《函数》基础测试doc初中数学
初三全章专题训练（15套）（华东师大版初三下）《函
数》基础测试doc 初中数学
〔一〕选择题〔每题4分，共32分〕
1．以下各点中，在第一象限内的点是………………………………………………〔 〕 〔A 〕〔－5，－3〕 〔B 〕〔－5，3〕 〔C 〕〔5，－3〕 〔D 〕〔5，3〕
【提示】第一象限内的点，横坐标、纵坐标均为正数．【答案】D ．
2．点P 〔－3，4〕关于原点对称的点的坐标是……………………………………〔 〕 〔A 〕〔3，4〕 〔B 〕〔－3，－4〕 〔C 〕〔－4，3〕 〔D 〕〔3，－4〕
【提示】关于原点对称的两个点的横、纵坐标分不互为相反数．【答案】D ．
3．假设点P 〔a ，b 〕在第四象限，那么点Q 〔－a ，b －4〕在象限是………………〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限
【提示】由题意得a ＞0，b ＜0，故－a ＜0，b －4＜0．【答案】C ．
4．函数y ＝x -2＋3
1-x 中自变量x 的取值范畴是……………………………〔 〕 〔A 〕x ≤2 〔B 〕x ＝3 〔C 〕x ＜2且x ≠3 〔D 〕x ≤2且x ≠3
【提示】由2－x ≥0且x －3≠0，得x ≤2．
【答案】A ．
【点评】注意：D 的错误是因为x ≤2时x 已不可能为3．
5．设y ＝y 1＋y 2，且y 1与x 2成正比例，y 2与x
1成反比例，那么y 与x 的函数关系是〔 〕 〔A 〕正比例函数 〔B 〕一次函数 〔C 〕二次函数 〔D 〕反比例函数 【提示】设y 1＝k 1x 2〔k 1≠0〕，y 2＝x k 1
2
＝k 2x 〔k 2≠0〕，那么y ＝k 1x 2＋k 2x 〔k 1≠0，k 2≠0〕．
【答案】C ．
6．假设点〔－m ，n 〕在反比例函数y ＝x k 的图象上，那么以下各点中一定也在此图象上的点是……………………………………………………………………………………〔 〕 〔A 〕〔m ，n 〕 〔B 〕〔－m ，－n 〕 〔C 〕〔m ，－n 〕 〔D 〕〔－n ，－m 〕
【提示】由得k ＝－mn ，故C 中坐标合题意．
【答案】C ．
7．二次函数式y ＝x 2－2 x ＋3配方后，结果正确的选项是………………………………〔 〕
〔A 〕y ＝〔x ＋1〕2－2 〔B 〕y ＝〔x －1〕2＋2
〔C 〕y ＝〔x ＋2〕2＋3 〔D 〕y ＝〔x －1〕2＋4
【提示】y ＝x 2－2 x ＋3＝x 2－2 x ＋1＋2＝〔x －1〕2＋2．
【答案】B ．
8．假设二次函数y ＝2 x 2－2 mx ＋2 m 2－2的图象的顶点在x 轴上，那么m 的值是〔 〕
〔A 〕0 〔B 〕±1 〔C 〕±2 〔D 〕±
2 【提示】由题意知∆ ＝0，即4 m 2－8 m 2＋8＝0，故m ＝±
2．
【答案】D ．
【点评】抛物线的顶点在x 轴上，讲明抛物线与x 轴只有一个交点，现在 ∆ ＝0． 〔二〕填空题〔每题4分，共28分〕 9．函数y ＝3)1(0
--x x 中自变量x 的取值范畴是___________．
【提示】由题意，得x －1≠0，x －3≠0．
【答案】x ≠1，且x ≠3．
【点评】注意零指数的底数不为0以及结论中的〝且〞字．
10．假设反比例函数的图象过点〔－1，2〕，那么它的解析式为__________．
【提示】设反比例函数解析式为y ＝x
k ，那么k ＝－2．
【答案】y ＝－x 2． 11．当m ＝_________时，函数〔m 2－m 〕m m x
22是一次函数． 【提示】2 m 2－m ＝1，解得m 1＝－
21，m 2＝1〔舍去〕． 【答案】m ＝－2
1． 【点评】依照一次函数的定义，得2 m 2－m ＝1，且m 2－m ≠0．
12．一次函数y ＝kx ＋b 〔k ≠0〕，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝2．那么函数解析式为________，
函数不通过第_____象限，y 随x 增大而________．
【提示】设一次函数为y ＝kx ＋b ，把值代入求出k ，b ．
【答案】y ＝x ＋2，四，增大．
【点评】此题考查一次函数的性质与解析式的求法．
13．二次函数y ＝－x 2＋mx ＋2的最大值是4
9，那么常数m ＝_________． 【提示】可应用顶点坐标公式求出顶点纵坐标．
【答案】±1．
【点评】此题考查二次函数最大〔小〕值的求法．此题还可用配方法求解．
14．假如二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点是〔－2，4〕，且过点〔－3，0〕，那么a 为_____________．
【提示】用顶点式求出二次函数解析式．
【答案】－4．
15．假设直线y ＝3 x ＋b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，那么b ＝_________．
【提示】直线与y 轴交点坐标为〔0，b 〕，与x 轴交点坐标为〔－
3b ，0〕，故 24＝21·|b |·|－3
b |． 【答案】±12．
【点评】依照直线与x 轴、y 轴交点坐标的求法．求面积时对含b 的式子要加绝对值符号． 〔三〕解答题
16．〔6分〕正比例函数的图象通过点〔1，－2〕，求此函数的解析式，并在坐标系中画出此函数的图
象．
【解】设正比例函数解析式为y ＝kx 〔k ≠0〕．
∵ 图象过〔1，－2〕，
∴ －2＝k ．
∴ 函数解析式为y ＝－2 x ．
其图象如右图所示．
17．〔8分〕按以下条件，求二次函数的解析式：
〔1〕图象通过A 〔0，1〕，B 〔1，3〕，C 〔－1，1〕；
〔2〕图象通过〔3，1〕，且当x ＝2时有最大值为3．
【答案】〔1〕y ＝x 2＋x ＋1；〔2〕y ＝－2 x 2＋8 x －5．
【点评】要会用待定系数法求抛物线的解析式，〔2〕中隐含顶点坐标为〔2，3〕．
18．〔8分〕二次函数y ＝2 x 2－4 x －6．
〔1〕求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图．
〔2〕求图象与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标．
〔3〕当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
〔4〕x 为何值时y ≥0？
【解】〔1〕图象开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为〔1，－8〕；
〔2〕与x 轴交于〔－1，0〕，〔3，0〕两点，与y 轴交于〔0，－6〕；
〔3〕当x ＞1时，y 随x 增大而增大；
〔4〕当x ≤－1或x ≥3时，y ≥0．
19．〔8分〕某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽
快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发觉，假设每件衬衫每降价1元，商场平均每天能够多售出2件．〔1〕假设每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．〔2〕假设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？〔3〕每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？
【解】〔1〕y ＝〔40－x 〕〔2 x ＋20〕＝－2 x 2＋60 x ＋800．
〔2〕当y ＝1200时，
－2 x 2＋60 x ＋800＝1200，
∴ x 1＝10，x 2＝20．
∵ 要尽快减小库存，
∴ x ＝20．
〔3〕y ＝－2〔x －15〕2＋1250，故每件降价15元时，最多盈利可达1250元．
【点评】要注意尽量减少库存的隐含条件．
20．〔10分〕x 轴上有两点A 〔x 1，0〕，B 〔x 2，0〕，在y 轴上有一点C ，x 1，x 2 是方程x 2－m 2x －5＝0
的两个根，且22
21x x +＝26，△ABC 的面积是9．〔1〕求A ，B ，C 三点的坐标；〔2〕求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式． 【解】〔1〕∵ x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－5， ∴ 2221
x x +＝〔x 1＋x 2 〕2－2 x 1x 2＝m 4＋10＝26． ∴ m 2＝4，那么方程为x 2－4 x －5＝0．
故x 1＝5，x 2＝－1．
∴ A 〔－1，0〕，B 〔5，0〕或A 〔5，0〕，B 〔－1，0〕．
设C 点坐标为〔0，c 〕．
∵ AB ＝||a ∆＝6，S △ABC ＝2
1AB ·|h |＝9， ∴ h ＝±3．
∴ C 〔0，3〕或〔0，－3〕．
〔2〕抛物线的解析式为
y ＝－253x ＋512x ＋3或y ＝253x －5
12x －3．。
华师大版九年级下册二次函数单元测试及答案
（时间90分钟，满分100）、精心选一选（每题 4分，共16分）1 .抛物线y=lx 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式2为（）A .y= 1x 2+2x — 2B. y= 1x 2+2x+12 2 C. y= 1x2— 2x — 12 2. 已知二次函数y=ax的图象不经过（ A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 直线y=ax+b 与抛物线 y=ax 2+bx+c 中，a 、b 异号，b c<0,那么它们在同一坐标系中的图象大致为（）h=1gt 2 （g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 （）2二、耐心填一填（每题 4分，共40分）5. 函数y=（m+3）x m2*4，当m=时，它的图象是抛物线.6. 抛物线 y=1（x-3）2-1开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .27. 已知以x 为自变量的二次函数 y=（m — 2）x 2+m 2— m — 2的图象经过原点，贝U m=,当x 时y 随x 增大而减小. 8 .函数y=2x2~ 7x+3顶点坐标为.9. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A （— 1, 0）、B （3, 0）两点，则这条抛物线的解析式为 , 它的对称轴为.10. 抛物线 y=x 2+bx+c 的顶点为（2, 3），贝U b=, c=.11. 如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x= — 2,且开口方向，形状与抛物线y= — | x 2相同，且过原点，US 么 a=, b=, c=.12. 直线y= — 3x+2与抛物线y=x 2- x+3的交点有 个，交点坐标为13. 抛物线的顶点是 C （2, J3）,它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程 x 2— 4x+3=0D .y= lx 2-2x+1*y 2+bx+c 的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc \:/ B.第二象限C.第三象限D.第四象限*4 .已知h 关于t 函数关系式为(时间90分钟，满分100)、精心选一选(每题 4分，共16分)1. 抛物线y= 1x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式2为( )1 21 2A ,y= x +2x-2 B. y= x +2x+122C. y= ' x 2— 2x — 1 D .y= ' x 2— 2x+1 2 2o2. 已知二次函数y=ax +bx+c 的图象如右图所示, 的图象不经过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 直线y=ax+b 与抛物线 y=ax +bx+c 中，a 、b 异号，b c<0,那么 它们在同一坐标系中的图象大致为()4. 已知h 关于t 函数关系式为h='gf(g 为正常数,2二、耐心填一填(每题 4分，共40分)2.5. 函数y=(m +3) x m "4 ,当m= 时，它的图象是抛物线.6. 抛物线y=*-3厂1开口向，顶点坐标是 ，对称轴是27. 已知以x 为自变量的二次函数 y=(m -2)x 2+m 2-m-2的图象经过原点，贝U m= ，当 x 时y 随x 增大而减小.8. 函数y=2x 2— 7x+3顶点坐标为9. 抛物线y=x +bx+c,经过A(—1, 0)、B(3,0)两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为210. 抛物线y=x +bx+c 的顶点为(2, 3),贝U b= , c= 311.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x= —2,且开口方向，形状与抛物线y=— x 2相同，且过原点，那么 a= , b= , c=12. 直线y= - 3x+2与抛物线y=x 2-x+3的交点有个，交点坐标为13. 抛物线的顶点是 0(2, 3),它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程 X 2-4X +3=0则一次函数y=ax+bct 为时间)如图，则函数图象为(时间90分钟，满分100)、精心选一选(每题 4分，共16分)1. 抛物线y= 1x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式2为( )1 21 2A ,y= x +2x-2 B. y= x +2x+122C. y= ' x 2— 2x — 1 D .y= ' x 2— 2x+1 2 2o2. 已知二次函数y=ax +bx+c 的图象如右图所示, 的图象不经过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 直线y=ax+b 与抛物线 y=ax +bx+c 中，a 、b 异号，b c<0,那么 它们在同一坐标系中的图象大致为()4. 已知h 关于t 函数关系式为h='gf(g 为正常数,2二、耐心填一填(每题 4分，共40分)2.5. 函数y=(m +3) x m "4 ,当m= 时，它的图象是抛物线.6. 抛物线y=*-3厂1开口向，顶点坐标是 ，对称轴是27. 已知以x 为自变量的二次函数 y=(m -2)x 2+m 2-m-2的图象经过原点，贝U m= ，当 x 时y 随x 增大而减小.8. 函数y=2x 2— 7x+3顶点坐标为9. 抛物线y=x +bx+c,经过A(—1, 0)、B(3,0)两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为210. 抛物线y=x +bx+c 的顶点为(2, 3),贝U b= , c= 311.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x= —2,且开口方向，形状与抛物线y=— x 2相同，且过原点，那么 a= , b= , c=12. 直线y= - 3x+2与抛物线y=x 2-x+3的交点有个，交点坐标为13. 抛物线的顶点是 0(2, 3),它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程 X 2-4X +3=0则一次函数y=ax+bct 为时间)如图，则函数图象为(时间90分钟，满分100)、精心选一选(每题 4分，共16分)1. 抛物线y= 1x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式2为( )1 21 2A ,y= x +2x-2 B. y= x +2x+122C. y= ' x 2— 2x — 1 D .y= ' x 2— 2x+1 2 2o2. 已知二次函数y=ax +bx+c 的图象如右图所示, 的图象不经过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 直线y=ax+b 与抛物线 y=ax +bx+c 中，a 、b 异号，b c<0,那么 它们在同一坐标系中的图象大致为()4. 已知h 关于t 函数关系式为h='gf(g 为正常数,2二、耐心填一填(每题 4分，共40分)2.5. 函数y=(m +3) x m "4 ,当m= 时，它的图象是抛物线.6. 抛物线y=*-3厂1开口向，顶点坐标是 ，对称轴是27. 已知以x 为自变量的二次函数 y=(m -2)x 2+m 2-m-2的图象经过原点，贝U m= ，当 x 时y 随x 增大而减小.8. 函数y=2x 2— 7x+3顶点坐标为9. 抛物线y=x +bx+c,经过A(—1, 0)、B(3,0)两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为210. 抛物线y=x +bx+c 的顶点为(2, 3),贝U b= , c= 311.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x= —2,且开口方向，形状与抛物线y=— x 2相同，且过原点，那么 a= , b= , c=12. 直线y= - 3x+2与抛物线y=x 2-x+3的交点有个，交点坐标为13. 抛物线的顶点是 0(2, 3),它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程 X 2-4X +3=0则一次函数y=ax+bct 为时间)如图，则函数图象为。
九年级数学下册 26.1 二次函数练习(含解析)(新版)华东师大版
26.1二次函数同步练习一、选择题1.函数432-+=x x y ( )A ．一次函数B ．二次函数C ．正比例函数D ．反比例函数 答案：B解析：解答：因为函数中二次项的系数03≠，函数形式符合二次函数．故选：B ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．2．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．2x y =B ．21xy = C ．2kx y = D ．x k y 2= 答案：A解析：解答：A.符合二次函数定义形式，是二次函数；B.是分式方程，故B 错误；C.当k =0时，不是函数，故C 错误；D.当k =0是常函数，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数．3.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( )A ．()221x m y -=B ．()221x m y +=C ．()221x m y +=D ．()221x m y -=答案：C解析：解答：A.当m =1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；B.当m =-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C.无论m 取何值，12+m 总大于或等于1，即无论m 取何值，12+m 都不等于0，符合二次函数概念，是二次函数，故正确． 故选：C ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数． 4. 二次函数532+=x y 的二次项系数是( )A.3B.2C.5D.0答案：A解析：解：二次函数532+=x y的二次项系数是3，一次项系数是0．故选：A ．分析：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．22=+xxy B ．0222=+-y x C ．21x y = D ．02=-x y答案：B 解析：解：A.整理为y=22x x x-+不是二次函数，故A 错误； B.0222=+-y x 变形，得1212+=x y ，是二次函数，故B 正确； C.分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D.y 的指数是2，y 不是x 的二次函数，故此选项错误．故选：B ．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．6．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．x y 2=B ．()()312-+=x x yC ．23-=x yD ．xx y 12+= 答案：B解析：解：A.xy 2=是反比例函数，故本选项错误； B.()()6423122--=-+=x x x x y ，是二次函数，故本选项正确；C.23-=x y 是一次函数，故本选项错误；D.xx x x y 112+=+=，不是二次函数，故本选项错误． 故选：B ．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．7．已知函数()5621--+=m m x m y 是二次函数，则m 等于（ ） A ．7B ．-2或7C ．﹣1D ．以上都不对 答案：A解析：解：∵()5621--+=m m x m y 是二次函数， ∴2562=--m m ，∴m =7或m =﹣1（舍去）．故选A ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．8．下列函数是二次函数的是（ ）A ．12+=x yB ．12+-=x yC ．22+=x yD ．221-=x y 答案：C解析：解：A.12+=x y ，是一次函数，故此选项错误；B.12+-=x y ，也是一次函数，故此选项错误；C.22+=x y 是二次函数，故此选项正确； D.221-=x y ，是一次函数，故此选项错误． 故选：C ．分析：直接根据二次函数的定义判定即可．9．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．32-=x yB ．()221x x y -+=C ．x x y 722-= D ．22x y -= 答案：C解析：解：A.函数32-=x y 是一次函数，故本选项错误；B.由原方程化简，得12+=x y ，属于一次函数，故本选项错误；C.函数x xy 722-=符合二次函数的定义；故本选项正确； D.22xy -=不是整式；故本选项错误． 故选:C ．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为c bx ax y ++=2，()0≠a ．10．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．x xy +=21 B ．c bx ax y ++=2 C ．()227+-=x x y D ．()()121-+=x x y 答案：D解析：解答：解：A.x xy +=21中未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B.c bx axy ++=2二次项系数a =0时，c bx ax y ++=2不是二次函数，故本选项错误； C.∵()()4914121--=-+=x x x y ，即4914--=x y ，没有二次项，故本选项错误；D.由原方程得，122--=x xy ，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D ． 分析：根据二次函数的定义解答．11．已知函数①45-=x y ，②x x t 6322-=，③38223+-=x x y ，④1832-=x y ，⑤2132+-=xx y ，其中二次函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：解：①45-=x y ，③38223+-=x x y ，⑤2132+-=xx y 不符合二次函数解析式， ②x x t 6322-=，④1832-=x y 符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可． 12.下列函数关系中，可以看做二次函数c bx ax y ++=2，()0≠a 模型的是（ ）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系答案：C解析：解：A.距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B.设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则()x a y %11+=，是正比例函数；C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D.设半径是r ，则周长r Cπ2=，是一次函数关系．故选C ． 分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．13.若函数()1222--+=m m x m m y 是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.1-答案：C解析：解：∵()1222--+=m m x m m y 是二次函数， ∴2122=--m m ，∴m =3或m =-1． 当m =-1时02=+m m ，所以m =3 故选C ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．14.下列函数中,是二次函数的是( ) A.182+=x y B.18+=x y C.x y 8= D.28x y = 答案：A解析：解答：A 符合二次函数定义形式，是二次函数；B 一次函数，故B 错误；C 是反比例函数，故C 错误；D 不符合二次函数定义形式，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数． 15.若()222--=m x m y 是二次函数,则m 等于( ) A ．2B ．-2C ．±2D ．不能确定 答案：B解析：解答：根据二次函数的定义,得222=-m ,解得m =2或m =-2,又2-m ≠0,即m ≠2,故当m =-2时,这个函数是二次函数.故选：B ．分析：根据二次函数的定义可得答案．二、填空题16. 关于x 的函数()()m x m x m y +-++=112,当m =0时,它是________函数;当m =-1时,它是________函数.答案：二次|一次解析：解答：当m =0时,函数关系式可化为x x y-=2,是一个二次函数;当m =-1时,函数关系式可化为12--=x y ,是一次函数．分析：将m =0和m =1分别代入等式中再进行判断． 17．已知()ax x a y ++=21是二次函数，那么a 的取值范围是_________ 答案：a ≠﹣1解析：解答：根据二次函数的定义可得a +1≠0，即a ≠﹣1．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可．18．已知()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，则常数a 应满足的条件是 _________．答案：a ≠﹣2解析：解答：由()322-++=x x a y是关于x 的二次函数，得02≠+a ． 解得a ≠﹣2，故答案为：a ≠﹣2．分析：根据形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数，可得答案． 19．已知()k k x k y ++=22是二次函数，则k 的值为_________． 答案：1解析：解答：∵()k k x k y ++=22是二次函数， ∴22=+k k 且k +2≠0，解得k =1，故答案为：1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可．20．已知方程02=++cy bx ax （0≠a ，b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是 _________函数． 答案：x cb xc a y --=2|a ≠0，c ≠0|二次． 解析：解答：整理得函数表达式为x cb xc a y --=2，成立的条件是a ≠0，c ≠0，是二次函数． 故答案为：x cb xc a y --=2；a ≠0，c ≠0；二次． 分析：函数通常情况下是用x 表示y ．注意分母不为0，二次项的系数不为0．三、解答题21.已知函数()35112-+-=+x x m y m y 是二次函数，求m 的值．答案：解答：()35112-+-=+x x m y m 是二次函数，得 21012m m ì-?ïïíï+=ïî解得m =﹣1．解析：本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2． 分析：根据二次函数是c bx axy ++=2的形式，可得答案． 22. 已知函数()2222+-+=m m x m m y ． (1)当函数是二次函数时,求m 的值．答案：解答：(1)依题意,得2222=+-m m , 解得m =2或m =0;又02≠+m m ,解得m ≠0且m ≠-1;因此m =2.(2)当函数是一次函数时,求m 的值．答案：解答：依题意,得1222=+-m m , 解得m =1;当m =1时,02≠+m m , 因此m =1.解析：本题考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2，所以令2222=+-m m 且02≠+m m 即可．同理第二问令1222=+-m m 即可求解.分析：根据二次函数是c bx axy ++=2,()0≠a 的形式，可得答案． 23．己知()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．求：（1）m 的值．答案：解答：（1）∵()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，∴22=m ，解得m =， ∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m+1＜0，m =﹣，m =（不符合题意，舍）；（2）求函数的最值．答案：解答：当x =0时，y 最大=m =﹣． 解析：（1）根据()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，可得22=m ，再由当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，可得m +1＜0，从而得出m 的值；（2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．分析：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质．24．已知()()212232m x m x m m y m x +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式． 答案：解答：根据二次函数的定义可得：2122=--m m ，且02≠-m m ， 解得 m =3或m =﹣1；当m =3时，962+=x y ；当m =﹣1时，1422+-=x x y ；综上所述，该二次函数的解析式为：962+=x y 或1422+-=x x y ．解析：本题考查二次函数的定义．一般地，形如c bx ax y ++=2,()0≠a 的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx ax y ++=2,()0≠a 也叫做二次函数的一般形式．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．25．函数()()31--=x kx y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？当k 为何值时，y 是x 的二次函数？答案：解答：∵()()()313333122++-=+--=--=x k kx x kx kx x kx y ，∴k =0时，y 是x 的一次函数，k ≠0时，y 是x 的二次函数．解析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．。
【新课标】最新华东师大版九年级数学下册《二次函数》单元测试题及答案
2017-2018学年（新课标）华东师大版九年级下册二次函数 测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2 C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22．给出下列四个函数：x y 2-=，12-=x y ，32+-=x y （x >0），其中y 随x•的增大而减小的函数有（ ）A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3. 把二次函数2114y x x =+-化为()k h x a y ++=2的形式是（ ）A ．21(1)24y x =++B ．21(2)24y x =+-C ．21(2)24y x =-+D ．21(2)24y x =--4. 下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点5．二次函数227y x x =-＋，当y=8时，对应的x 的值是 （ ）A.3B.5C.－3或 5D.3和－5 6．二次函数24y x x=－的对称轴是（ ）A ．2x =-B ．4x =C ．2x =D ．4x =- 7．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是 （ ）A. 2(1)2y x =-+B. 2(1)2y x =++C. 21y x =+D. 23y x =+ 8. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l9．如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点(-2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线圈成的阴影部分的面积为( )A ．6 B.8 C.10 D.1210．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0； ④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为（ ）A ．1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题4分，共32分）11.已知抛物线 82++=kx x y 过点（2，-8)，则=k . 12.抛物线21(4)52y x =-+的顶点坐标是 .13.已知一圆的周长为xcm ，该圆的面积为ycm 2，则y 与x 函数关系式是 ．14．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小．15．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 3-2-0 13 5 …y…7 08- 9-5- 7…当x=2时，对应的函数值y = ．16．如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是第9题图第10题图17．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋2的图象如图所示，则b = ．18．如图，Rt △OAB 的顶点A （－2，4）在抛物线2y ax =上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为 ．三、解答题（共58分）19．（8分）函数2ax y =（a ≠0）的图象与直线2--=x y 交于点A （2，m ），求a 和m 的值． 20．（8分）已知函数3522+--=x x y 。
华东师大版九年级数学下册 二次函数练习
二次函数练习一、填空题1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
2、抛物线21(4)72y x =+-的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的值最 ，最 值是 。
3、已知y=x 2+x －6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。
4、直线y=2x+4与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
5、抛物线217322y x x =+-与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
6、抛物线y=(x+3)2－25与y 轴交点的坐标为 ，与x 轴交点的坐标为 。
7、当k 的值为 时，关于x 的一元二次方程x 2+kx+k+3=0有两个相等的实数根。
8、将抛物线y=3x 2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 。
9、若抛物线y=ax 2－3ax+a 2－2a 经过的点，则a 的值为 。
10、若抛物线2132y x mx =++的对称轴是直线x=4，则m 的值为 。
11、抛物线与x 轴的公共点是（－1,0），（3,0），则这条抛物线的对称轴是 。
12、若抛物线经过点（－6,5）（2,5），则其对称轴是 。
13、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （－2,7），B （6,7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是 。
二、选择题1、在同一坐标系中，直线y=kx+b 与抛物线y=kx 2+b 的图象大致是 。
三、计算题1、通过配方将下列函数写成y=a(x －h)2+k 的形式：（1）216172y x x =-+- （2）y=4x 2―24x+26 (3)2144y x x =-++ （4) y=(x+2)(1－2x)四、简答题1、已知二次函数y=x 2+4x+c 2－5c －3，当x ＝－4时，y=3，求c 的值。
华东师大版初三下册数学函数及图象练习函数的图象 函数的图象典型例题
函数的图象典型例题例1、在赵庄通向省城的公路上，甲乙二人同时向距赵庄60千米的省城进发.甲从距赵庄10千米处以15千米/小时的速度骑自行车，乙从甲前方30千米处以5千米/小时的速度步行.(1)分别求甲、乙二人与赵庄距离（千米）、（千米）和所用时间（小时）的函数关系式；(2)在同一坐标系下画出这两个函数的图象.这两个函数图象如果相交说明了什么？分析：甲距赵庄的距离 =10+甲走的距离即；同理解：（1）（2）甲走完全程用时为；乙走完全程用时为．又时间所以的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是列表如下：０１２３10 25 40 550 1 2 3 440 45 50 55 60根据表中数据作图．这两个函数的图象相交，说明甲、乙二人相遇，也就是甲从后面追上了乙．说明：（1）画函数图象时，应先确定函数的自变量取值范围；（2）画函数图象时，要标明函数解析式．例2、一函数的图象如下图，根据图象：（1）确定自变量x的取值范围；（2）求当时，y的值；（3）求当时，对应的x的值；（4）当x为何值时，函数值y最大？（5）当x为何值时，函数值y最小？（6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小.解：（1）自变量x的取值范围是（2）当时，y = 3.3, 当时，y = 2的值；（3）当时，与之对应的x的值是和4，当时，与之对应的x的值是；（4）当时，y的值最大，此时；（5）当时，y的值最小，此时，；（6）当y随x的增大而增大时，相应的x值在＜内；（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在内？说明：（1）用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值.（2）当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左上到右下呈“捺”状时，函数y随x的增大而减小.反之也对.（3）从函数图象求函数的某些值、研究函数y随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.例3、若点在函数的图象上，且当时，．(1)求a、c的值；(2)如果点（-1，m）和点（n ，6）也在函数的图象上，求m ，n的值.解：（1）点在函数的图象上，又当时，，即解得（2）函数为点和点在函数图象上说明：应向学生强调：若点在图象上，则点的横坐标，纵坐标满足这个函数的解析式.。
2020—2021年最新华东师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》专题练习及答案.docx
（新课标）华东师大版九年级下册第26章二次函数二次函数及二次函数的图象与性质专题练习题1．若函数y＝(m－6)xm2－9m＋20＋(m＋3)x＋3是二次函数．则图象的开口向____(填“上”或“下”)，顶点坐标是．2．y＝x2＋kx＋1是关于x的二次函数，1≤x≤3时，y在x＝3处取得最大值，则实数k的取值范围是( )A．k≥－4 B．k≤－4 C．k＝－2 D．k＝－63. 函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象大致是( )4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )5. 如图，已知二次函数y1＝23x2－43x的图象与正比例函数y2＝23x的图象交于点A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)，若0＜y1＜y2，则x的取值范围是( )A．0＜x＜2 B．0＜x＜3C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞36. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定7. 如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线y＝x上的A处，则平移后抛物线所对应的函数表达式是( )A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－18. 二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤1时，y的最小值为2m，则m的值为( )A.52B．2 C.32D．－29. 已知函数y＝(m－1)xm2－3m＋2＋mx＋1是关于x的二次函数．(1)m为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？(2)m为何值时，二次函数的图象不经过第四象限？并求该抛物线的顶点坐标，当x 为何值时，y随x的增大而增大？10. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋2都经过点M(1，0)，N(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋2＞x＋m的解集；(直接写出答案)(3)若A(－1，y1)，B(52，y2)，C(25，y3)是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．11. 二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象通过变换得到：①y＝－2x2－2；②y＝2x2－8x＋11；③y＝－2x2－4x＋1，试分别说明变换的方法12. 已知当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，求实数m 的值．答案;1. 下(1，6)2---8 ACACA CD9. 解：(1)∵⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝2，m －1＜0，∴m ＝0，y 最大＝1， 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小(2)∵⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝2，m －1＞0，∴m ＝3时，二次函数图象不经过第四象限， 顶点坐标是(－34，－18)，当x ＞－34时，y 随x 的增大而增大 10. 解：(1)m ＝－1，y ＝x 2－3x ＋2(2)x ＞3或x ＜1(3)y 3＞y 1＞y 211. 解：①向左平移1个单位，再向下平移5个单位得到；②向右平移1个单位，再绕顶点旋转180°得到；③作关于y 轴对称的图象，或向左平移2个单位得到12. 解：当m ＜－2时，由4＝－(－2－m)2＋m 2＋1，解得m ＝－74＞－2(舍去)，当－2＜m ＜1时， 由m 2＋1＝4得m ＝－3或m ＝3(舍去)，当m ＞1时，由4＝－(1－m)2＋m 2＋1得m ＝2，∴m ＝－3或m ＝2。
九年级函数专题试卷及答案
九年级函数专题试卷及答案专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个是正比例函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x 2C. y = x^2 + 1D. y = 1/x2. 如果函数y = kx + b的图像是一条经过原点的直线，那么k和b的关系是？A. k = 0, b ≠ 0B. k ≠ 0, b = 0C. k = 0, b = 0D. k ≠ 0, b ≠ 03. 下列函数中，哪个是反比例函数？A. y = 2/xB. y = x^2C. y = 3x + 1D. y = 1/x^24. 如果函数y = kx的图像是一条经过原点的直线，那么k的值是？A. k = 0B. k > 0C. k < 0D. k ≠ 05. 下列函数中，哪个是一次函数？A. y = x^2B. y = 2/xC. y = 3x + 1D. y = 1/x^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
（）2. 反比例函数的图像是一条经过原点的直线。
（）3. 一次函数的图像是一条直线。
（）4. 二次函数的图像是一条抛物线。
（）5. 函数y = kx + b是一次函数当且仅当b = 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 如果函数y = kx的图像是一条经过原点的直线，那么k的值是______。
2. 如果函数y = kx + b的图像是一条经过原点的直线，那么b的值是______。
3. 反比例函数的一般形式是______。
4. 二次函数的一般形式是______。
5. 一次函数的图像是一条______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述正比例函数的定义。
2. 请简述反比例函数的定义。
3. 请简述一次函数的定义。
4. 请简述二次函数的定义。
5. 请简述函数图像的斜率是什么。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 如果函数y = 2x的图像是一条经过原点的直线，那么当x = 3时，y的值是多少？2. 如果函数y = 3/x的图像是一条经过原点的直线，那么当x = 2时，y的值是多少？3. 如果函数y = kx + b的图像是一条经过原点的直线，那么当x = 1时，y的值是多少？4. 如果函数y = x^2的图像是一条抛物线，那么当x = 2时，y的值是多少？5. 如果函数y = 1/x^2的图像是一条经过原点的直线，那么当x = 3时，y的值是多少？六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析一次函数和二次函数的图像有什么不同。
华东师大数学九年级下《第26章二次函数》单元测试题含答案
华东师大版数学九年级下册第26章二次函数单元测试题一、选择题1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋22．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为( )A．y＝－(x＋1)2＋3 B．y＝－(x＋1)2－3C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x－1)2－33. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：x …－5 －4 －3 －2 －1 0 …y … 4 0 －2 －2 0 4 …下列说法正确的是()A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是x＝－5 24．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y1)，B(5，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )A．－1＜x＜5 B．x＜－1且x＞5 C．x＜－1或x＞5 D．x＞56．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( )A．5元 B．10元 C．15元 D．20元7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )A．－3 B．3 C．－9 D．08．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0.其中正确的是( )A．①② B．只有① C．③④ D．①④9. 如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k值为何？()A．1 B. 12 C.43 D.4510．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )二、填空题11．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋4x－3是二次函数，则该二次函数图象的顶点是______________．12．用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形中，面积最大为_________．13．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________．14．某学习小组为了探究函数y＝x2－|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列x…－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y… 2 0.75 0 －0.25 0 －0.25 0 m 2 …15.如图，二次函数y＝23x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)，直线AB与y轴交于点C，则△AOB的面积是____．16．如图，隧道的截面是抛物线，且抛物线的表达式为y＝－18x2＋3.5，一辆车高 2.5m，宽4 m，该车____通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图．其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏AB之间，按相同的间距0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m，则一段栅栏所需立柱的总长度是______．(精确到0.1 m)18. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，当x＜－1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③若点A(－3，y1)，点B(3，y2)都在抛物线上，则y1＜y2；④a(m－1)＋b＝0；⑤若c≤－1，则b2－4ac≤4a.其中结论错误的是________．(只填写序号)三、解答题19．已知抛物线y＝x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积．20．抛物线y＝x2－2x＋c经过点(2，1)．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)将抛物线y＝x2－2x＋c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A，B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．21．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；(3)请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．22. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.如图，矩形EFGH的边GH在BC 边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S.求S与x的函数表达式，并求S的最大值．24．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面的宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)在如图的直角坐标系中，求出该抛物线所对应的二次函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时桥下水面的宽度为d(m)，试求d与h之间的函数关系式；(3)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m．问：水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？25. 已知，m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的表达式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．答案:一、1---10 DADCC ABDDC二、11. (1，－1)12. 9cm213. k≤414. 0.7515. 216. 能17. 2.3m18. ③⑤点拨：易得①的结论正确；∵抛物线过点(－1，0)和(m，0)，且1＜m＜2，∴0＜－b2a＜1 2，∴12＋b2a＝a＋b2a＞0，∴a＋b＞0，所以②的结论正确；∵点A(－3，y1)到对称轴的距离比点B(3，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点(－1，0)，(m，0)，∴a－b＋c＝0，am2＋bm＋c＝0，∴am2－a＋bm＋b＝0，a(m＋1)(m－1)＋b(m＋1)＝0，∴a(m－1)＋b＝0，所以④的结论正确；∵4ac－b24a＜c，而c≤－1，∴4ac－b24a＜－1，∴b2－4ac＞4a，所以⑤的结论错误三、19. 解：(1)y＝x2－5x＋6 (2)∵抛物线的表达式y＝x2－5x＋6，∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，∴S△ABC ＝12×1×6＝320. 解：(1)把(2，1)代入y＝x2－2x＋c得4－4＋c＝1，解得c＝1，所以抛物线表达式为y＝x2－2x＋1，顶点坐标为(1，0) (2)y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，抛物线的对称轴为直线x＝1，而新抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝2，所以A(0，0)，B(2，0)，所以新抛物线的表达式为y＝x(x－2)，即y＝x2－2x21. 解：(1)m＝－1，y2＝x2－2x－3 (2)C(1，－4)，当x≤1时，y随x 的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大(3)－1＜x＜222. 解：(1)根据题意得y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1200 (2)令y＝－20x2－80x＋1200中y＝960，则有960＝－20x2－80x＋1200，即x2＋4x－12＝0，解得x＝－6(舍去)或x＝2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元23. 解：(1)EFAK＝BCAD＝32(2)由(1)知EF8－x＝32，∴EF＝12－32x，∴S＝EH·EF＝12x－32x2＝－32(x－4)2＋24，当x＝4时，Smax＝2424. 解：(1)设抛物线所对应的表达式为y＝ax2，把(－10，－4)代入得y＝－125x2(2)由(1)得y＝－125x2，将(d2，－4＋h)代入得－4＋h＝－125(d2)2，求得d＝104－h (3)当x＝9时，y＝－125×92＝－8125，∴4＋2－8125＝6925，即当水深超过6925m时，就会影响船只在桥下顺利航行25. 解：(1)∵m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m＝－1，n ＝－3，∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(m ，0)，B(0，n)．∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3，∴⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3 (2)令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标D(1，－4)，过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°，∴△BCD 是直角三角形(3)如图，∵B(0，－3)，C(3，0)，∴直线BC 表达式为y ＝x －3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P(t ，t －3)，M(t ，t 2－2t －3)，过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ ＝2，QF ＝1，当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝12PM ·QF ＝12(－t 2＋3t)＝－12t 2＋32t ；当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，∴S ＝12PM ·QF ＝12(t 2－3t)＝12t 2－32t。
华东师大版初中数学九年级下册习题合集(含答案)
华东师大版初中数学九年级下册习题合集（含答案）第26章二次函数专训1二次函数的图象与系数的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．a与图象的关系1．如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为() A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c(第1题)(第3题)2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．b与图象的关系3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是()A．－5B．0C．3D．44．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)c与图象的关系5．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是()6．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示，则c＝________．(第6题)(第7题)a，b与图象的关系7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＜0C ．3a ＋b ＞0D ．b ＞－2a8．如果抛物线y ＝m 2x 2＋(n ＋2)x －5的对称轴是直线x ＝－32，则(3m －2n)2－2n ＋43m 的值为________．a ，c 与图象的关系9．二次函数y ＝(3－m)x 2－x ＋n ＋5的图象如图所示，试求（m －3）2＋n 2－|m ＋n|的值．(第9题)a ，b ，c 与图象的关系10．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，则符合条件的图象是( )(第11题)11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝－12，下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．a ＋c ＝0C ．b ＝2aD ．4a ＋c ＝2b专训2 求二次函数表达式的常见类型求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以给解题过程带来简便．一、由函数的基本形式求表达式 方法1：利用一般式求二次函数表达式1．已知一个二次函数的图象经过点A(1，0)，点B(0，6)和点C(4，6)，则这个二次函数的表达式为____________________．2．一个二次函数，当自变量x ＝－1时，函数值y ＝2；当x ＝0时，y ＝－1；当x ＝1时，y ＝－2.那么这个二次函数的表达式为______________．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式；(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求OM ＋AM 的最小值．(第3题)方法2：利用顶点式求二次函数表达式4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋65．已知某二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3：利用交点式求二次函数表达式6．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．方法4：利用平移法求二次函数表达式7．(中考·绥化)把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．方法5：利用对称轴法求二次函数表达式(第9题)9．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．10．如图所示，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．(第10题)方法6：灵活运用方法求二次函数的表达式11．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．二、由函数图象中的信息求表达式12．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()(第12题) A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x 2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋213．(中考·南京)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？(第13题)三、由表格信息求表达式14．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋815．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：则该二次函数的表达式为______________．四、几何应用中求二次函数的表达式16．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．(第16题)五、实际问题中求二次函数表达式17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第17题)答案专训11．A点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2的图象中，|a|越大，图象的开口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故选A.2．y ＝nx 2；y ＝nx 23．C 点拨：∵二次函数y ＝3x 2＋(b －3)x －4的图象关于y 轴对称，∴b －3＝0，b ＝3.4．＝；＜；＞ 5.D 6.1 7.D8．15 点拨：由题意得－n ＋2m ＝－32，∴3m －2n ＝4，3m ＝2n＋4，∴(3m －2n)2－2n ＋43m ＝42－1＝15. 9．解：由图象知⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，n ＋5＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3，n ＜－5.∴m －3＜0，m ＋n ＜－2.∴（m －3）2＋n 2－|m ＋n|＝3－m －n ＋m ＋n ＝3.10．D11．D 点拨：由二次函数图象知a ＞0，c ＜0，由对称轴为直线x ＝－12，得－b 2a ＝－12，∴b ＝a ＞0，∴abc ＜0，∴A 选项不正确；∵抛物线经过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ＜0，故B 选项不正确；由b ＝a 知C 选项不正确；由对称轴为直线x ＝－12，且二次函数图象与x 轴一个交点为(1，0)，知另一交点为(－2，0)，∴4a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ，故D 选项正确．专训21．y ＝2x 2－8x ＋62．y ＝x 2－2x －13．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x.(2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ， 连接AB ，交直线x ＝1于M 点，∴OM ＝BM.∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ＝AB ，即为OM ＋AM 的最小值．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此OM ＋AM 的最小值为4 2.4．D5．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x ，2)，则2＝x ＋1，所以x ＝1，所以图象的顶点为(1，2)．设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a ＝－2.所以该函数的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x.6．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB ＝5，OB ＝4.又∵BC ＝AB ，∴BC ＝5.在Rt △BCO 中，OC ＝BC 2－OB 2＝52－42＝3，∴C 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝－34；将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝34.∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝－34(x －1)(x ＋4)或y ＝34(x －1)(x ＋4)，即y ＝－34x 2－94x ＋3或y ＝34x 2＋94x －3.点拨：若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x 轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．7．y ＝2x 2＋4x8．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1.∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原图象的顶点为(－1，－1)，新图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13.9．y ＝－x 2＋2x ＋310．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋k. 把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧254a ＋k ＝0，14a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝258.∴y ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258，即y ＝－12x 2－12x ＋3. (2)由y ＝0，得－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO ＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 处时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC ＝BM 时，在Rt △BOC 中，BO ＝CO ＝3，由勾股定理得BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∴BM ＝32，∴M 点坐标为(32－3，0)．综上所述，点M 坐标为(0，0)或(32－3，0)．点拨：本题求点M 坐标时运用了分类讨论思想．11．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－2，4ac －b 24a ＝4，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－49，b ＝－169，c ＝209.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49x 2－169x ＋209.方法二：设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x ＋2)2＋4，即y ＝－49x 2－169x ＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x －1)(x ＋5)，即y ＝－49x 2－169x ＋209.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．12．D13．解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1. 因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.2，b 1＝60. 这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－0.6，b 2＝120. 这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ＜90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250.所以当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90≤x ≤130时，W ≤2 160.因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．14．A 15. y ＝x 2＋x －216．解：∵直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴A(－2，0)，B(0，2)，∴△ABO 为等腰直角三角形．又∵AB ⊥BC ，∴△BCO 也为等腰直角三角形．∴OC ＝OB ＝OA.∴C(2，0)． 设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －2)2，将B(0，2)的坐标代入得2＝a(0－2)2，解得a ＝12，∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x－2)2，即y ＝12x 2－2x ＋2. 17．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(28－x) m .于是易得S ＝AB·BC ＝x(28－x)＝－x 2＋28x.即S ＝－x 2＋28x(0＜x ＜28)．(2)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13. 由(1)知，S ＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196.易知当6≤x ≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m 2.专训3 二次函数与几何的应用二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．一、二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二、二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)三、二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，则菱形A n－1B n A n C n 的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E 在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第4题)专训4探究二次函数中存在性问题存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．一、探索与相似有关的存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2＋bx－2经过A(4，0)，B(1，0)两点．(1)求出抛物线对应的函数表达式；(2)若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第1题)二、探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标．(2)求经过A、O、B三点的抛物线对应的函数表达式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)三、探索与面积有关的存在性问题3．阅读材料：如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h)．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝12ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图②，抛物线顶点为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y 轴于点B.(1)求抛物线和直线AB对应的函数表达式．(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB.(3)抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝98S△CAB？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)4.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式．(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(第4题)四、探索与平行四边形有关的存在性问题5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(第5题)6．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．(第6题)7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC对应的函数表达式．(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．(第7题)专训5几种常见的热门考点二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力．一、二次函数的图象与性质1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是() A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点2．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是()A．(－3，－6)B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)3．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(第3题)(第5题)4．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．二、用待定系数法求二次函数的表达式6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数表达式为()A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋27．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________________．8．(中考·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为______℃.9．将抛物线y＝－x2＋x－3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式．10．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线的表达式．(第10题)三、二次函数与一元二次方程或不等式的关系11．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是()A．3B．2C．1D．012．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是()A.x＜0或x＞2B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜313．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是()(第13题)A．a－b＋c＝0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＞0D．当x＜1时，y随x的增大而减小14．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．四、二次函数的实际应用15．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．五、二次函数的综合应用16．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.(1)求点B的坐标．(2)求抛物线的表达式．(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第17题)答案专训1(第1题)1．解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°.又∠BAC ＝90°，∴∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD.又∵AB ＝AC ，∠AOB ＝∠CDA ＝90°，∴△AOB ≌△CDA(AAS )，∴AO ＝CD ＝1，BO ＝AD ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1＝12×32＋3b －2，解得b ＝－12.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝12x 2－12x －2.2．解：(1)根据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)．∵A 点在抛物线上，∴c ＝－2.∵12a ＋5c ＝0，∴a ＝56.由AB ＝2知抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a ＝1.∴b ＝－53.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝56x 2－53x －2.(2)①由题意知：PB ＝(2－2t) cm ，BQ ＝t cm ，∴S ＝PQ 2＝PB 2＋BQ 2＝(2－2t)2＋t 2，即S ＝5t 2－8t ＋4(0≤t ≤1)． ②假设存在点R ，可构成以P ，B ，R ，Q 为顶点的平行四边形．∵S ＝5t 2－8t ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋45(0≤t ≤1)， ∴当t ＝45时，S 取得最小值45，这时PB ＝0.4 cm ，BQ ＝0.8 cm ，易知P(1.6，－2)，Q(2，－1.2)． 分情况讨论：(ⅰ)若R 在BQ 的右边，这时QR 綊PB ，则点R 的横坐标为2.4，纵坐标为－1.2，即R(2.4，－1.2)．将x＝2.4代入y＝56x2－53x－2，得y＝－1.2，∴点R在抛物线上，即这时存在R(2.4，－1.2)满足题意．(ⅱ)若R在BQ的左边，PB的上方，这时PR綊QB，则点R的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，即R(1.6，－1.2)．易验证点R不在抛物线y＝56x2－53x－2上．(ⅲ)若R在BQ的左边，PB的下方，这时PR綊QB，则R(1.6，－2.8)．易验证点R不在抛物线y＝56x2－53x－2上．综上所述，存在点R(2.4，－1.2)满足题意．3．4n4．解：(1)如图①，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF 全等．(第4题)(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．证明：如图②，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图②，过点F作FH⊥x轴于点H.易知FH＝BE＝CH.设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，∴a＝2或－2(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝2－1.∴点F的坐标为(2，2－1)．专训21．解：(1)将A(4，0)，B(1，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －2得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52.∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋52x －2.(2)存在．设点P 的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为－12m 2＋52m －2，AM＝4－m ，PM ＝－12m 2＋52m －2.又∵∠COA ＝∠PMA ＝90°，∴①当AM PM ＝AO OC ＝21时，△APM ∽△ACO.即4－m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋52m －2，解得m 1＝2，m 2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当AM PM ＝OC OA ＝12时，△APM ∽△CAO.即2(4－m)＝－12m 2＋52m －2.解得m 1＝4，m 2＝5(均不合题意，舍去)．∴符合条件的点P 的坐标为P(2，1)．(第2题)2．解：(1)过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，则∠BOD ＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA ＝2，∴OB ＝2.于是在Rt △BOD 中，易得BD ＝1，OD ＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax(x ＋2)，将点B(1，3)的坐标代入，得a ＝33，因此所求抛物线对应的函数表达式为y ＝33x 2＋233x.(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x ＝－1，当点C 是抛物线的对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝233， ∴y ＝33x ＋233.当x ＝－1时，y ＝33，因此点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，33. 3．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为：y 1＝a(x －1)2＋4， 把A(3，0)的坐标代入求得a ＝－1.所以y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.设直线AB 对应的函数表达式为：y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入y 2＝kx ＋b 中解得：k ＝－1，b ＝3，所以y 2＝－x ＋3.(2)因为C 点坐标为(1，4)，所以当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2.所以CD ＝4－2＝2，S △CAB ＝12×3×2＝3.(3)存在．设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，若P 在直线AB 上方，则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x 2＋3x.由S △PAB ＝98S △CAB 得：12×3×(－x 2＋3x)＝98×3.化简得：4x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝32.将x ＝32代入y 1＝－x 2＋2x ＋3中，解得y 1＝154.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154. 若P 在直线AB 下方，则h ＝y 2－y 1＝x 2－3x.由S △PAB ＝98S △CAB 得：12×3×(x 2－3x)＝98×3.化简得：4x 2－12x －9＝0，解得x ＝3±322.易求得P 点坐标为(3＋322，－3－624)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322，－3＋624. 综上，符合条件的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154或(3＋322，－3－624)或⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322，－3＋624. 4．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(0，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋2.(2)当x ＝3时，由y ＝x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋1.(3)存在．假设存在点N ，则点N 在抛物线y ＝x 2－3x ＋1上，可设N 点坐标为(x 0，x 02－3x 0＋1)．由(2)知，BB 1＝DD 1＝1.将y ＝x 2－3x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝32.当x 0<0时，易知点N 不存在．当0<x 0<32时，如图①，∵S △NBB 1＝2S △NDD 1，∴12×1×x 0＝2×12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 0， ∴x 0＝1，此时x 02－3x 0＋1＝－1，∴点N 的坐标为(1，－1)；当x 0>32时，如图②，同理可得12×1×x 0＝2×12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32， ∴x 0＝3，此时x 02－3x 0＋1＝1，∴点N 的坐标为(3，1)．综上，符合条件的点N 的坐标为(1，－1)或(3，1)．(第4题)(第5(2)题)5．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋4)(x －2)，把B(0，－4)的坐标代入，得－4＝a ×(0＋4)(0－2)，解得a ＝12，∴抛物线对应的函数表达式为：y ＝12(x ＋4)(x －2)，即y ＝12x 2＋x－4.(2)如图，过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为(m ，n)，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4，∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO＝12(m ＋4)(－n)＋12(－n ＋4)(－m)－12×4×4＝－2n －2m －8＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋m －4－2m －8 ＝－m 2－4m＝－(m ＋2)2＋4(－4<m<0)，∴S 最大值＝4.(第5(3)题)(3)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2＋x －4. ①如图①，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ， ∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵点Q 在直线y ＝－x 上，∴Q(x ，－x)．由PQ ＝OB ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x －4＝4， 解得x ＝0或x ＝－4或x ＝－2±2 5.x ＝0不合题意，舍去． 由此可得Q 点的坐标为(－4，4)或(－2＋25，2－25)或(－2－25，2＋25)；②如图②，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP ＝4，四边形PBQO 为平行四边形，则BQ ＝OP ＝4，∴Q 点的横坐标为4，代入y ＝－x 得出Q 的坐标为(4，－4)．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是(－4，4)，(4，－4)，(－2＋25，2－25)，(－2－25，2＋25)．6．解：(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝1；(2)①设直线BC 对应的函数表达式为：y ＝kx ＋b ，把B(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，所以直线BC 对应的函数表达式为：y ＝－x ＋3，当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴E(1，2)．当x ＝m 时，y ＝－m ＋3，∴P(m ，－m ＋3)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，当x ＝1时，y ＝4，∴D(1，4)，当x ＝m 时，y ＝－m 2＋2m ＋3，∴F(m ，－m 2＋2m ＋3)，∴线段DE ＝4－2＝2，线段PF ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m.∵PF ∥DE ，∴当PF ＝DE 时，四边形PEDF 为平行四边形． 由－m 2＋3m ＝2，解得：m 1＝2，m 2＝1(不合题意，舍去)，因此，当m ＝2时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由B(3，0)，O(0，0)，可得：OB ＝OM ＋MB ＝3，∵S ＝S △BPF ＋S △CPF ，即S ＝12PF·BM ＋12PF·OM ＝12PF·(BM ＋OM)＝12PF·OB ，∴S ＝12×3(－m 2＋3m)＝－32m 2＋92m(0<m<3)．7．解：(1)由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)及C(2，3)得，⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－4＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3， 故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.设直线AC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋n ，由直线过点A(－1，0)及C(2，3)得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝0，2k ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，n ＝1. 故直线AC 对应的函数表达式为y ＝x ＋1.(2)作N 点关于直线x ＝3的对称点N′，易知N(0，3)，则N′(6，3)，由(1)得D(1，4)，故直线DN′对应的函数表达式为y ＝－15x ＋215，当M(3，m)在直线DN′上时，MN ＋MD 的值最小，则m ＝－15×3＋215＝185.(3)能．由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)．∵点E 在直线AC 上，设E(x ，x ＋1)，①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，则F(x ，x ＋3)．∵F 在抛物线上，∴x ＋3＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝0或x ＝1(舍去)∴E(0，1)；②当点E 在线段AC(或CA)延长线上时，点F 在点E 下方， 则F(x ，x －1)．∵F 在抛物线上，∴x －1＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝1－172或x ＝1＋172.∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－172，3－172或(1＋172，3＋172) 综上，满足条件的点E 为E(0，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1－172，3－172或(1＋172，3＋172)．(4)方法一：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图①.设Q(a ，a ＋1)，则P(a ，－a 2＋2a ＋3)．∴PQ ＝(－a 2＋2a ＋3)－(a ＋1)＝－a 2＋a ＋2.又∵S △APC ＝S △APQ ＋S △CPQ ＝12PQ·AG＝12(－a 2＋a ＋2)×3＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋278， ∴△APC 的面积的最大值为278.方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图②，设Q(a ，a ＋1)，则P(a ，－a 2＋2a ＋3)．又∵S △APC ＝S △APH ＋S 直角梯形PHGC －S △AGC ＝12(a ＋1)(－a 2＋2a ＋3)＋12(－a 2＋2a ＋3＋3)(2－a)－12×3×3 ＝－32a 2＋32a ＋3＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋278， ∴△APC 的面积的最大值为278.(第7题)专训31．C 2.C3．C 点拨：根据函数图象开口向下可得a ＜0，所以①错误；因为抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以其对称轴为直线x ＝1，所以－b 2a ＝1，因此2a ＋b ＝0，所以②正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＞0，所以③正确；当－1＜x ＜3时，y ＞0, 所以④正确．所以②③④正确．4.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，78；x ＞14 5.12(答案不唯一) 6.D7．y ＝－18x 2＋2x ＋1 8.－19．解：∵y ＝－x 2＋x －3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－114，∴抛物线的对称轴为直线x ＝12.∵将此抛物线向上平移，∴抛物线的开口大小、方向及对称轴不变．∴可设平移后抛物线的解析式为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a. 将(0，2)代入得2＝－⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋a.解得a ＝94. ∴平移后抛物线的解析式为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，即y ＝－x 2＋x ＋2.10．解：∵对称轴x ＝－－5a 2a ＝52，且BC ∥x 轴，∴BC ＝AC ＝5.易知OC ＝4，∴OA ＝3，即A(－3，0)．∴9a ＋15a ＋4＝0，a ＝－16.∴抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋56x ＋4.11．A 12.D 13.D14．解：(1)令y ＝0，得x 2－(2m －1)x ＋m 2＋3m ＋4＝0，Δ＝(2m －1)2－4(m 2＋3m ＋4)＝－16m －15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m －15＞0，∴m ＜－1516，此时二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m －15＝0，∴m ＝－1516，此时二次函数的图象与x 轴只有一个交点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m －15＜0，∴m ＞－1516，此时二次函数的图象与x 轴没有交点．(2)由一元二次方程根与系数的关系得x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝m 2＋3m ＋4，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2m －1)2－2(m 2＋3m ＋4)＝2m 2－10m －7.∵x 12＋x 22＝5，∴2m 2－10m －7＝5.∴m 2－5m －6＝0.解得m 1＝6，m 2＝－1.∵m ＜－1516，∴m ＝－1.∴y ＝x 2＋3x ＋2.令x ＝0，得y ＝2，∴二次函数的图象与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．又∵y ＝x 2＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，∴顶点M 的坐标为(－32，－14)． 设过点C(0，2)与M(－32，－14)的直线的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧2＝b ，－14＝－32k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝32，b ＝2.∴直线CM 的函数解析式为y ＝32x ＋2.15．解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x 2＋1 300x －36 000(60≤x ≤90)．。
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华师大版九年级数学下册单元测试题及答案全套第26章二次函数单元检测试题考试总分：120 分考试时间：120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.若函数是二次函数，则的值为（）A. B.或 C. D.或2.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（）A. B.C. D.3.用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（）A. B.C. D.4.若抛物线与的形状相同，开向相反，则的值为（）A.B.C.D.5.二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，同号；②当和时，函数数值相等；③；④当时，的值只能取．其中正确的个数是（）A.个B.个C.个D.个6.如图是二次函数的图象，下列结论：①；②；③．其中正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.抛物线的顶点是（）A. B. C. D.8.已知、、都是抛物线图象上的点，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.9.如果将抛物线向右平移个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A. B.C. D.10.二次函数、、为常数且中的与的部分对应值如二次函数有最小值，最小值为；当时，；二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.抛物线与轴的交点坐标是________．12.已知点在抛物线的图象上，则________．13.将一个抛物线沿轴的正方向平移个单位后能与抛物线重合，则这个抛物线的解析式是________．14.若抛物线的顶点在轴上，则________．15.已知，是整数，且，，则二次函数的最小值的最大值为________．16.某抛物线型拱桥的示意图如图，已知该抛物线的函数表达式为，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点、处要安装两盏警示灯（点、关于轴对称），这两盏灯的水平距离是米，则警示灯距水面的高度是________米．17.若抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数表达式是________．18.把化成的形式后为________，其一次项系数与常数项的和为________．19.抛物线与轴的交点是________，解析式写成的形式是________，顶点坐标是________．20.如图，年里约奥运会上，某运动员在米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为________米．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.抛物线与直线交于、两点，且满足，．试证明：；试比较与的大小；若，，试确定抛物线的解析式．22.如图，抛物线与轴交于，（，分别在轴的左右两侧）两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，已知．求点，的坐标．判断的形状并说明理由．23.利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线________和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解．24.新年在即，某超市为满足市场需求，购进一种品牌年糕，每盒进价是元，超市规定每盒售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒．试求出每天的销售量（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种年糕的每盒售价不得高于元．如果超市想要每天获得不低于元的利润，那么超市每天至少销售年糕多少盒？25.已知二次函数当时，求这个二次函数的顶点坐标；求证：关于的一元次方程有两个不相等的实数根；如图，该二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，是轴负半轴上一点，且，直线交于点，求证：．26.如图，在平行四边形中，，，．一动点从出发，以每秒的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使．当点运动秒时，设直线与相交于点，求的面积；当点运动秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒的速度匀速运动．过作直线，使．设点运动的时间为秒，直线与截平行四边形所得图形的面积为．①求关于的函数关系式；②（附加题）求的最大值．答案1.A2.C3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.C10.B11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.证明：将代入，得，整理得，∵抛物线与直线交于、两点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；解：∵，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；解：∵，∴，∵，、，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴或，∵，，∴，∴，∴，∴抛物线的解析式是．22.解：∵抛物线与轴交于点，∴，则抛物线为：，∴，；∵抛物线的顶点为，即，∴，，，∴，∴为直角三角形．23.解：；图象如图所示：由图象可得，方程的近似解为：，．24.解：由题意可得，，即每天的销售量（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式是；由题意可得，，∴当时，取得最大值，此时，即当每盒售价定为元时，每天销售的利润（元）最大，最大利润是元；由题意可得，，解得，，∵，，∴当时，销售利润不低于元，∴当时，销售的盒数最少，此时盒数为：（盒），即如果超市想要每天获得不低于元的利润，那么超市每天至少销售年糕盒．25.解：将代入二次函数可求得，，故抛物线的顶点坐标为：；∵一元次方程，∴，∴关于的一元次方程有两个不相等的实数根；由题意可得：点的坐标为，则，故，，当，则，故则，，可得，，当，解得：，则代入原式可得：，则点坐标为运用距离公式得：，则，，故，则．26.解：当点运动秒时，，由，知，．∴；①当时，点与点都在上运动，如图所示：设与交于点，与交于点，则，，，，，．∴此时两平行线截平行四边形的面积为；②当时，点在上运动，点仍在上运动．如图所示：设与交于点，与交于点，则，，，，，，，而，故此时两平行线截平行四边形的面积为，③当时，点和点都在上运动．如图所示：设与交于点，与交于点，则，，，．∴此时两平行线截平行四边形的面积为．故关于的函数关系式为；②（附加题）当时，的最大值为，当时，的最大值为，（舍去），当时，的最大值为，所以当时，有最大值为．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给分）第27章圆单元检测试题考试总分：120 分考试时间：120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共9 小题，每小题 3 分，共27 分）1.如图，为外一点，，分别切于，，切于点，分别交，于点，．若，则的周长和分别为（）A.，B.，C.，D.，2.下列说法正确的是（）A.三点确定一个圆B.圆心角的度数等于圆周角的两倍C.与半径垂直的直线是圆的切线D.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦、弧分别相等3.的弦的长为，弦的弦心距为，则的半径为（）A. B. C. D.4.如图，是的切线，为切点，过点引的割线，依次交于点和点，若，，则等于（）A.B.C.D.5.直角三角形两直角边长分别为和，那么它的外接圆的直径是（）A. B. C. D.6.已知的直径是，点是直线上的一动点，且点到点的最短距离为，则直线与的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法判断7.下列命题中，真命题的个数为（）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为，，圆心距为，那么两圆内切．A. B. C. D.8.如图，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接，若的度数为，则的大小为（）A. B. C. D.9.已知是的直径，点是延长线上的一个动点，过作的切线，切点为，的平分线交于点，则等于（）A. B. C. D.二、填空题（共11 小题，每小题 3 分，共33 分）10.和的半径分别为和，它们相交于，两点，线段，则两圆的圆心距________．11.如图，已知是的直径，、是半圆的弦，，，若，则的长为________．12.圆内相交两弦，一弦被分为和的两段，另一段被分为的两段，则被分为两段的这条弦长是________．13.如图，将弧长为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（粘连部分忽略不计），则圆锥形纸帽的底面半径是________．14.一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点，与相交于点，则的长为________．15.如图，数轴上半径为的从原点开始以每秒个单位的速度向右运动，同时，距原点右边个单位有一点以每秒个单位的速度向左运动，经过________秒后，点在上．16.如图，、切于、两点，若，的半径为，则阴影部分的面积为________．17.已知圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为________．18.已知点是的内心，，则________；若是的外心，，则________．19.如图，在中，是的内心，若，则________．20.如图，已知是的直径，是的切线，为切点，且，则________．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图内接八边形中，已知，．扇形与扇形是否互余共轭扇形？请推理说明．求的半径；求阴影部分的面积．22.如图，在中，，，以为直径的分别交，于点，，过点作的切线，交的延长线于点．求证：；求的度数；若，求的长．23.如图，为的直径，点是上一点，平分交于点，过点作于点．求证：是的切线；若，，求的长．24.如图，是的直径，和是它的两条切线，平分．求证：是的切线；若，，求的长．25.如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧的中点，交于点．求证：；若，，求的长．26.如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，，连接，过点作，交的延长线于点．求的半径；求证：是的切线；若弦与直径相交于点，当时，求图中阴影部分的面积．答案1.C2.D3.B4.B5.B6.B7.C8.C9.C10.或11.12.13.14.15.或16.17.18.或19.20.21.解：∵，，∴；∴，∴扇形与扇形为互余共轭扇形．如图所示，的延长线于，由知∴；∴，∴是等腰直角三角形∴；，在中：，∵；，∴是等腰直角三角形，∴；即的半径为；如图所示，分别作于；于，∴，，∴；，，扇形．∴阴影扇形22.证明：连接，∵是直径，∴，即，∵，∴．解：∵，，∴，∵是切线，∴，∴．解：连接，∵，，∴，∵，∴，∴弧的长是．23.证明：连接，∵为的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，则为圆的切线；∵为圆的切线，为圆的割线，∴，∵，，∴，即，即，解得：，则，在中，，，根据勾股定理得：．24.证明：过点作，垂足为，∵是的切线，∴，∵平分，，∴，∴是的切线．解：过点作，垂足为，∵，，都是的切线，∴，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，在中，，∴．25.证明：由是劣弧的中点，得，又∵，∴，∴，∴；解：由是劣弧的中点，得，则∵是直径，∴是直角三角形．∴由得，，解得．26.解：连接．∵垂直平分半径，∴∵，∴，，∴，∴；证明：由知：，，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴是的切线；解：连接．∵，∵，∴，∴，∴．阴影扇形第28章样本与总体单元检测试题考试总分：120 分考试时间：120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（）A.调查市场上某灯泡的质量情况B.调查某市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率C.调查某品牌圆珠笔的使用寿命D.调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品2.在绘制频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的（）A.组距B.频数C.频率D.平均数3.在此处键入公式。