高职专升本第二章导数及其应用习题及答案
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
高职专升本第二章导数及其应用习题及答案
应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。
A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。
2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。
(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。
3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。
A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。
5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。
A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。
6．||ln x y =，则y’=（ B ）。
A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。
7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。
A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。
(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。
A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。
10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
湖南专升本导数的几何应用例题
湖南专升本数学导数的几何应用例题一、导数的定义导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
在几何上，导数可以被解释为函数图像上某一点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以用如下极限来表示：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)]/h二、切线方程考虑以下函数f(x) = x^2，我们来计算在点x0=1处的切线斜率。
首先求出函数在x0处的导数：f'(1) = lim(h->0) [f(1+h) - f(1)]/h= lim(h->0) [ (1+h)^2 - 1^2 ]/h= lim(h->0) [ 1 + 2h + h^2 - 1 ]/h= lim(h->0) [ 2 + 2h ]/h= 2得到切线斜率为2，接着我们来求出切线方程。
由于切线斜率为2，而且经过点(1,1)，所以切线方程为：y - 1 = 2(x - 1)即 y = 2x - 1三、拐点函数的拐点是指函数图像上的一个点，该点处的二阶导数发生了变号。
如果函数在拐点处的二阶导数为正，那么该点是一个极小值点；如果函数在拐点处的二阶导数为负，那么该点是一个极大值点。
考虑以下函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，我们来求出它的拐点。
首先求出函数的一阶导数和二阶导数：f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1f'(x) = 3x^2 - 6x + 3f''(x) = 6x - 6令f''(x) = 0，得到x = 1。
将x = 1代入二阶导数得到f''(1) = 6*1 - 6 = 0。
所以函数在x = 1处的二阶导数为0，该点是一个拐点。
四、曲线的凹凸性函数图像上的凹凸性可以由函数的二阶导数来描述。
如果函数在某点处的二阶导数为正，那么函数在该点处的图像是凹的；如果函数在某点处的二阶导数为负，那么函数在该点处的图像是凸的。
(完整版)第二章导数与微分(答案)
x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。
x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。
专升本高数导数练习题
专升本高数导数练习题一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 4x + 3 \)B. \( x^3 - 2x^2 \)C. \( 2x^2 - 3x + 1 \)D. \( 3x^2 - 4x + 3 \)2. 若 \( y = \ln(x) \)，其导数 \( y' \) 为：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( x^2 \)3. 函数 \( g(t) = \sin(t) + \cos(t) \) 的导数是：A. \( \cos(t) - \sin(t) \)B. \( \sin(t) + \cos(t) \)C. \( \sin(t) - \cos(t) \)D. \( \cos(t) + \sin(t) \)二、填空题4. 函数 \( h(x) = e^x \) 的导数是 __________。
5. 若 \( f(x) = \sqrt{x} \)，则 \( f'(x) = __________ \)。
三、计算题6. 求函数 \( F(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
7. 已知 \( G(x) = \ln(x^2 + 1) \)，求 \( G'(x) \)。
四、证明题8. 证明函数 \( H(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数为 \( 4 \)。
五、应用题9. 某工厂生产函数为 \( P(t) = 100t^2 - 50t + 5 \)，求该工厂在\( t = 3 \) 时的生产率。
六、综合题10. 假设 \( Q(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( Q'(x) \) 并讨论\( Q(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
专升本《高等数学》易错题解析-第二章：导数与微分
第二章 导数与微分导数与微分这一章的基本思想是用极限理论来研究函数。
这一章内容是高等数学微积分部分的基础，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。
在研究生入学考试中，本章是所有《高等数学》课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。
通过这一章的学习，我们认为同学们应达到如下要求：1、熟练掌握导数的定义，特别是左导数、右导数概念。
知道导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度等）以及经济意义（如边际成本、边际收入等）。
2、熟练掌握求导数的方法。
3、掌握高阶导数的定义，计算方法。
4、了解微分定义，可导与可微的关系，一阶微分不变性。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧可微一定可导可导一定可微导数与微分的关系几何意义定义微分计算方法基本公式导数定义）数定义、右导数定义、定义（一般定义、左导导数Dini 注：Dini 导数在控制理论与应用中有广泛的应用。
虽然高等数学教材上没有介绍，但计算机专业、电子专业的后继课程中有所涉及，因此我们认为还是有必要让学生知道。
定义：函数)(x f 在定义域D 内连续，)(x f 的四种Dini 导数定义为（1）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=+→+， （2）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-， （3）hx f h x f x f D h )()(inf lim )(0-+=+→+， （4）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-。
二、典型错误分析例1．设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求)(a f '。
[错解] 因为)()()(x g a x x f -=，则)()()()(x g a x x g x f '-+='。
导数及其应用练习及答案详解
导数及其应用一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.下列求导运算正确的是()A．′＝x B．(x e x)′＝e x＋1 C．(x2cos x)′＝－2x sin x D．′＝1－2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有()A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<03.已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是() A．B．C．D．4.函数f(x)＝x－sin x在区间[0，π]上的最大、最小值分别为()A．π，0 B．－，0 C．π，－1 D．0，－15.ʃ(e x＋e－x)d x的值为()A．e＋B．2e C．D．e－6.已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2] D．[1，e2] 7.若函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]8.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是()A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2] C．(－∞，1) D．(－∞，1]10.曲线y＝x2－2ln x的单调增区间是()A ． (0,1]B ． [1，＋∞)C ． (－∞，－1]和(0,1]D ． [－1,0)和[1，＋∞) 11.由曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．12.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车走过的路程为( )A ． 405B ． 540C ． 810D ． 94513.已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ． (2,3) B ． (3，＋∞) C ． (2，＋∞) D ． (－∞，3)14.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ． －4B ． 3C ． －2D ． 115.函数f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2的值为( ) A ． π＋6 B ． π－2 C ． 2π D ． 8二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高分别为__________时，其体积最大．17.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为，则m ＝________.18.如图，已知点A ，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.19.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．20.已知函数f (x )＝－x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．21.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－处取得极大值；④函数f (x )在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．二、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分)22.已知定义在R上的函数f(x)＝ax3－2ax2＋b(a>0)在区间[－2,1]上的最大值是5，最小值是－11.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若t∈[－1,1]时，f′(x)＋tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．23.已知函数f(x)＝x－ln x－2.(1)求函数f(x)的最小值；(2)如果不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值．24.已知函数g(x)＝，f(x)＝g(x)－ax.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值．25.已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．26.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)26.设函数f(x)＝2−ax2＋ax－2ln x(a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)当a>4时，2求函数f(x)的单调区间；(3)若对任意a∈(4,6)及任意x1，x2∈[1,2]，ma＋2ln 2>|f(x1)－f(x2)|恒成立，求实数m的取值范围．导数及其应用答案解析1.【答案】D【解析】A项，′＝－；B项，(x·e x)′＝e x＋x·e x；C项，(x2cos x)′＝2x cos x －x2·sin x；D正确，故选D.2.【答案】B【解析】由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1，x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，∴a<0.又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，∴b<0.3.【答案】A 【解析】由于f(x)＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B和D，又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，故选A.4.【答案】C【解析】函数f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x，令f′(x)＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝，∴x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又f＝－sin＝－1，f(0)＝0，f(π)＝π，∴函数f(x)在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π，－1.5.【答案】D 【解析】ʃ(e x＋e－x)d x＝(e x－e－x)|＝e－.6.【答案】A【解析】若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，由f′(x)<0得－<x<，此时函数单调递减，若函数f(x)在(1，e)上为增函数，则≤1，即0<b≤1，若函数f(x)在(1，e)上为减函数，则≥e，即b≥e2，综上b≤1或b≥e2，故选A.【解析】由题意知，f′(x)＝x－＝(x>0)，∵f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≤x2在区间(1，＋∞)上恒成立，∵x>1时，x2>1，∴a≤1，故选D.8.【答案】C【解析】由题意得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；令f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．9.【答案】B【解析】由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e)．即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.10.【答案】B【解析】求解函数的导数可得y′＝2x－，令2x－≥0，结合x>0，解得x≥1.所以单调增区间为[1，＋∞)．11.【答案】D【解析】联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组解得联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为S＝ʃd x－＝＝＋－＝.12.【答案】A【解析】停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴所求路程s＝ʃv(t)d t＝ʃ(27－0.9t)d t＝(27t－0.45t2)＝405.【解析】因为f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，即24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15，所以f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )>0，得x <2或x >3.14.【答案】D【解析】由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 15.【答案】A【解析】∵f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2＝∫(2−x)dx 0−2＋∫√4−x 2dx 20＝(2x －12x 2)|0−2＋∫√4−x 220dx ＝6＋∫√4−x 2dx 20，设y ＝2(y ≥0,0<x ≤2)，则x 2＋y 2＝4(y ≥0,0<x ≤2)对应的曲线为半径为2的圆位于第一象限内的部分，对应的面积S ＝14π×22＝π，根据积分的几何意义可得∫√4−x 2dx 20＝π，故∫f(x)dx 2−2＝6＋∫√4−x 2dx 20＝π＋6. 16.【答案】2 cm,1 cm ，cm【解析】设长、宽、高分别2x ，x ，h ，则4(2x ＋x ＋h )＝18，h ＝－3x ，∴V ＝2x ·x ·h ＝2x 2＝－6x 3＋9x 2，求导得，V ′＝－18x 2＋18x ，由V ′＝0得x ＝1或x ＝0(舍去)．∴x ＝1是函数V 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm ，1cm ，cm 时，体积最大．17.【答案】2【解析】f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1.又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋，f (1)＝m ＋，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋，∴m ＋＝，∴m ＝2.18.【答案】【解析】由题意知×x0×＝ʃx2d x，即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.∵x0>0，∴x0＝.19.【答案】【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)．令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝.当x∈时，V′>0；当x∈时，V′<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为.20.【答案】15x－3y－2＝0【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.21.【答案】①④【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．22.【答案】解(1)∵f(x)＝ax3－2ax2＋b，∴f′(x)＝3ax2－4ax＝ax(3x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝∉[－2,1]，∵a>0，∴可得下表：因此f(0)必为最大值，∴f(0)＝5，因此b＝5，∵f(－2)＝－16a＋5，f(1)＝－a＋5，∴f(1)>f(－2)，即f(－2)＝－16a＋5＝－11，∴a＝1，∴f(x)＝x3－2x2＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－4x，∴f′(x)＋tx≤0等价于3x2－4x＋tx≤0，令g(t)＝xt＋3x2－4x，则问题就是g(t)≤0在t∈[－1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需即解得0≤x≤1，∴所求实数x的取值范围是[0,1]．23.【答案】解(1)求函数的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．因此，函数f(x)的最小值为f(1)＝－1.(2)不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立等价k<(x>1)．令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝＝，由于x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增且f(1)＝－1<0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个零点x0，因为f(3)＝1－ln 3<0，f(4)＝2－ln 4>0，所以x0∈(3,4)，因此，当x∈(1，x0)时，f(x)<0，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f(x)>0，g′(x)>0，从而函数g(x)在(1，x0)，(x0，＋∞)上分别是减函数、增函数．因此g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，所以，由k<(x>1)得k<x0，又因为k∈Z，且x0∈(3,4)，所以k max＝3.24.【答案】解(1)由已知得函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，g′(x)＝＝.当x>e时，g′(x)>0，所以函数g(x)的单调递增区间是(e，＋∞)；当0<x<e且x≠1时，g′(x)<0，所以函数g(x)的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．(2)因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，且f(x)＝－ax，所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.又f′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a.故当＝，则x＝e2时，f′(x)max＝－a，所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.25.【答案】解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0，设g(x)＝ln x－，则g′(x)＝－＝，且g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g′(x)＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．26.【答案】解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3 240×＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．第 11 页 共 11 页 所以当x ＝时，f (x )取极大值，f ＝20 000.因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元． 27.【答案】(1)函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x+1)(x−1)x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.∴f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．(2)f ′(x )＝(2－a )x ＋a －2x＝(2−a )x 2+ax−2x ＝(2−a)(x−2a−2)(x−1)x ，∵a >4，∴2a−2<1，令f ′(x )<0，得0<x <2a−2或x >1，函数单调递减，令f ′(x )>0，得2a−2<x <1，函数单调递增，故当a >4时，f (x )在 (0，2a−2)和(1，＋∞)上单调递减，在(2a−2，1)上单调递增．(3)由(2)知，当a ∈(4,6)时，f (x )在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )有最大值，当x ＝2时，f (x )有最小值， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－3＋2ln 2，∴ma ＋2ln 2>a 2－3＋2ln 2，∵a >0，∴m >12－3a ，∵4<a <6，∴－14<12－3a <0，∴m ≥0，故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用
专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用(总分：94.53，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：5.00)1.在下列函数中，以x=0为极值点的函数是______．∙ A.y=-x3∙ B.y=cosx∙ C.y=tanx-x∙ D.y=arcsinx-x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：2.下列命题正确的是______．∙ A.在(a，b)内，f'(x)＞0是y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件∙ B.可导函数的驻点一定是极值点∙ C.连续函数在[a，b]上的极大值必大于极小值∙ D.函数y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：3.已知y=f(x)在x0处有极大值，下列结论正确的是______．∙ A.f'(x0)=0，且f"(x0)＜0∙ B.f'(x0)=0，或f'(x0)不存在∙ C.f'(x0)=0∙ D.f"(x0)＜0（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：4.下列命题正确的是______．∙ A.若(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0∙ B.若f"(x0)=0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点∙ C.若f"(x0)=0，或f"(x0)不存在，则(x0，f(x0))可能为曲线y=f(x)的拐点∙ D.以上命题都不对（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：5.已知(0，1)是曲线y=ax3+bx+1上的拐点，则a，b的值是______．∙ A.a=1，b=-3∙ B.a≠0，b∈R∙ C.a=1，b=0∙ D.a∈R，b∈R（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：2，分数：2.00)6.曲线f(x)=x3-2x在点x=1的切线方程是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=x-2．）解析：7.曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，-1)．）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：87.50)证明下列等式或不等式．（分数：22.50）2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为0；第二步，再用特殊点求常数．设y=arcsinx+arccosx，由于[*]，得知函数y为常数函数．取x=0，得y=arcsin 0+arccos 0=[*]，所以 arcsinx+arccosx=[*])解析：＞1)．（分数：2.50）正确答案：(设[*]，由于[*]，在x＞1时恒有y'＞0，所以函数[*]在x＞1上是单调递增的函数．而y(1)=0，从而y(x)＞y(1)=0，即lnx-[*]，也即 [*])解析：(3).[0，3]上的最大值和最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，令y'=0，得驻点x=1，不可导点x=0，x=2．由于y(0)=0，y(2)=0，y(3)=[*]，所以最大值为y(3)=[*]，最小值为y(0)=0，y(2)=0．)解析：(4). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为方便求导，把函数改写成指数对数形式：[*]，由于 [*] 令y'=0，得x=e．当x＜e时，y'＞0；当x＞e时，y'＜0．说明函数在x=e处取得极大值，且[*]．)解析：(5).求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．由y'=3ax2+2bx+C一0及已知得知：3a(-2)2+2b(-2)+c=0，44=a(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d．由y"=6ax+2b=0及已知得知：6a+2b=0，-10=a+b+c+d．联立解得：[*])解析：(6). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(描绘函数[*]的图形．(1)函数y=f(x)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．x=-1为间断点．[*](2)f'(x)=0的根为x=1；f"(x)=0的根为x=2．点x=1和x=2把定义域划分成四个区间：(-∞，-1)，(-1，1]，[1，2]，[2，+∞)．(3)在各部分区间内f'(x)，f"(x)的符号、相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等如下表所示．x (-∞，-1) (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞)f'(x) - + 0 - - -f"(x) - - - - 0 +f(x) [*] [*] 极大值点[*] 拐点[*](4)由于[*]．所以图形有一条水平渐近线y=2和一条铅直渐近线x=-1．(5)补充几个点，如算出x=1，x=2处的函数值．[*]从而得图形上的两个点[*]．又由于f(0)=2，[*]，f(-2)=-4，f(-4)=[*]，从而得图形上的4个点．M3(0，2)，[*]，M5(-2，-4)，[*]函数[*]的图形如下图所示．[*])解析：(7).欲用围墙围成面积为216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）正确答案：(设s为围墙总长，长为x，宽为y．则x·y=216所以[*]．因为s=2x+3y=2x+[*]，所以令[*]，得x=18(为x=-18舍去)．且x=18是函数的唯一驻点．由结论知x=18是极小值点，也是最小值点．所以当x=18m，[*]时，所用材料最省．)解析：(8).y=x的交点处的切线方程．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由[*]得交点(1，1)．再由[*]，得切线方程为 [*])解析：(9). 2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(定义域为x≠-1．由[*]，得x=0，x=-2．列表讨论(见下表)．x (-∞，-2) (-2.-1) (-1，0) (0，+∞)f'(x) + - - +f(x) [*] [*] [*] [*]所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)和(0，+∞)；单调递减区间为(-2，-1)和(-1，0)．)解析：求下列函数的极值．（分数：35.00）(1).y=e x cosx（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e x cosx-e x sinx=e x(cosx-sinx)，令y'=0得x=kπ+[*]．又y"=-2e x sinx，当[*]时，[*]，函数有极大值[*]当[*]时，[*]，函数有极小值[*])解析：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]，令f'(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．x (-∞，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)f’(z)+ - 0 +l厂(z) [*] 极大值点[*] 极小值点[*]故极大值f(0)=0，极小值[*]．)解析：(3).试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac＜0，那么这个函数没有极值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：因y'=3ax2+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使y'=0恒不成立．即使3ax2+2bx+c=0没有实数解，从而必须使一元二次方程的判别式Δ=(26)2-4·3ac＜0即b2-3ac＜0．) 解析：(4).试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x?它是极大值还是极小值?并求此极值．（分数：2.50）正确答案：(f'(x)=acosx+cos3x，当[*]时，f'(x)=0，得acos[*]+cosπ=0，从而a=2．又f"(x)=-asinx-3sin3x，[*]，所以有极大值[*][*])解析：(5).问函数y=x2＜0)在何处取得最小值?并求出最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]，令y'=0得x=-3．又[*]．所以在x=-3时y有最小值，其值为27．)解析：(6).求函数-3，3]的最大值和最小值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由[*]得驻点x=-2，不可导点x=-5，x=1．而f(-3)=4，f(-2)=[*]，f(1)=0，f(3)=[*]．所以最大值是f(3)=[*]，最小值是f(1)=0．)解析：(7).求函数y=x2e-x的凹凸区间和拐点．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(因为y'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2)y"=e-x(2x-x2)+e-x(2-2x)=e-x(x2-4x+2)令y"=0解得[*]．易判定[*]都是拐点．凹区间是(-∞，2-[*])∪(2+[*]，+∞)，凸区间是(2-[*]，2+[*])．)解析：(8).描绘函数y=e-x2的图形．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(对于[*](1)定义域为R．(2)易知其为偶函数，图像关于y轴对称，且有y'=-2xe-x2，y"=(4x2-2)e-x2令y'=0，得x1=0；令y"=0，得[*]．因此没有使y'，y"不存在的点．(3)讨论函数的性质，如下表所示．x [*] [*] [*] 0 [*] [*] [*]f'(x) + + + 0 - - -f"(x) + 0 - - - 0 +f(x) [*] 拐点[*] 极大值点[*] 拐点[*]可见，有两个拐点[*]≈(-0.7，0.6)，[*]≈(0.7，0.6)．一个极大值点(0，1)．(4)因[*]，所以有水平渐近线y=0．)解析：(9). 2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*])解析：(10).某工厂每天生产x支产品的总成本为元)．该产品独家经营，市场需求规律为x=75-3P，其中P为每支售价，问每天生产多少支时获利润最大?此时的每支售价为多少?（分数：2.50）正确答案：(设利润为L(x)，[*]，则L(x)=px-C(x)=[*]x2+32x-75求导得L'(x)=[*]+32，令L'(x)=0，得[*]+32=0，x=36，从而[*]．又L"(x)=[*]＜0，所以当每天生产36支时，获利润最大，此时每支售价为13元．)解析：(11).设计一个容积为Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小?（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________正确答案：(在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为1个单位．则y=πr2+2πrh·1.5由于V=πr2h，得[*]，代入上式得y=πr2+[*]．求导得y'=2πr-[*]，令y'=0，解得3V=2πr3．联立V=πr2h。
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应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。
A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。
2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。
(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。
3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。
A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。
5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。
A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。
6．||ln x y =，则y’=（ B ）。
A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。
7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。
A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。
(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。
A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。
10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
A ab a f b f f --=ξ)()()('； B 0=ξ)('f ；C ))((')()(a b f a f b f +ξ+=；D 2-=ξ)()()('a f b f f 。
11．0)('0=x f ，则x 0是函数)(x f 的（ D ）。
(02-03电大试题)A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。
12．x 0是连续函数)(x f 在(a,b)内的极小值点，则（ C ）。
A 必有0)('0=x f ；B )('0x f 必不存在；C 0)('0=x f 或)('0x f 不存在；D x ∈(a,b)时，必有)()(0x f x f ≥。
13．y=arctane x ，则dy=（ C ）。
A x x e e 21+；B x e 211+；C x x e dx e 21+；D xedx 21+。
14．设2cos )(x x x f +=，则)('x f =（ C ）。
A 1-sinx 2；B 1+sinx 2；C 1-sinx 2·2x ；D (1-sinx 2)·2x 。
15．设1)(2-=t tt f ，则)('t f =（ B ）。
A t 21； B 222)1(1-+-t t ； C 222)1(13--t t ； D 1122-+-t t 。
16．)0(lim >--→a ax x a ax a x 的值是（ D ）。
A 0；B 1；C ∞；D )1ln (-a a a。
17．若x 1与x 2分别是函数)(x f 在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（ D ）必成立。
A )()(21x f x f >； B 0)(')('21==x f x f ；C 对∀x ∈(a,b)，)()(1x f x f ≤，)()(2x f x f ≥；D )('1x f 、)('2x f 可能为0，也可能不存在。
18 若1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ，则)(0x f 一定是)(x f 的（ D ）。
A 最大值；B 极小值；C 最小值；D 极大值。
二.填空题：1．已知)(x f =lnx ，则0lim→∆x x x x x ∆-∆+ln )ln(=x1。
2．若函数3ln =y ，则y’= 0 。
3．曲线y=x 3+4在点 (0,4) 处的切线平行于x 轴。
4．抛物线y=x 2在点 (1/2,1/4) 处的切线的倾斜角是45°。
5．已知)(x f =x·sinx ，则)("0f = 2 。
6．方程xy exy=所确定的隐函数的导数dx dy =xy-。
7．若函数)(x f 在x=0处可微，则)(lim 0x f x →=)0(f 。
8．)ln(sin x d =xdx cot 。
9．)ln(cos x d =xdx tan -。
10．=)(sin xe d dx e e x x cos 。
11．半径为x 的金属圆片，面积为S(x)。
加热后半径伸长了△x ，应用微分方法求出△S ≈ S ’(x)△x 。
12．=+∞→xx e xln lim0 。
13．函数y=arctan(x 2+1)的递增区间是),0(∞+。
14．函数y=ln(2x 4+8)的递减区间是)0,(-∞。
15．函数y=sinx-x 在其定义域内的单调性是 单调减少 。
16．极值存在的必要条件：如果)(x f 在点x 0处取得极值且在点x 0处可导，则0)(=x f 。
17．若函数)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内0)('<x f ，则函数的最小值为)(b f 。
18．设函数)(x f y =二阶可导，若0)('0=x f 、0)("0<x f ，则)(0x f 是)(x f 的 极大值 。
19．已知生产某种产品的成本函数为q q C 280)(+=，则产量50=q 时，该产品的平均成本为 3.6 。
20．微分近似计算函数值公式x x f x f x x f ∆+≈∆+)(')()(。
三、解答题：1．求函数xx y -++=1111的导数。
解：因为xxxy -=-++=121111，所以22)1(2)1()1(2'x x y -=---=。
2．求函数xxy sin ln =的导数。
解：xx xx x x x xx x x x x x x x y 222sin cos ln sin sin cos ln sin 1sin )'(sin ln sin )'(ln '-=-=-=。
3．求函数x e x y xcos ⋅⋅=的导数。
解：)sin cos (cos sin cos cos 'x x x x x e x xe x xe x e y xx x x -+=-+=。
4．求方程2x y =在点)9,3(处的切线方程。
解：曲线2x y =在点)9,3(处的切线的斜率为2x y =在点)9,3(处的导数 因为6|2|'33====x x x y ，所以切线的方程为)3(69-=-x y即 096=--y x5．求函数x x y 2cos sin 2=的导数。
解：2)2sin (sin 2cos )'(sin sin 2'2⋅-+⋅=x x x x x yx x x x x 2sin sin 22cos cos sin 22-=x x x x x x x x 3cos sin 2)2sin sin 2cos (cos sin 2=-=。
6．求函数2tanln xy =的导数。
解：x x x x x y sin 12cos 2sin 21212sec 2tan 1'2==⋅⋅=。
7．求函数xy n cos 1=的导数。
解：xxn x x n x y n n n 11cos sin )'(cos cos )'(cos '+---=-==。
8．利用对数求导法求函数xx y sin )(cos =的导数。
解：两边取自然对数，得x x y cos ln sin ln =两边对x 求导，得xx x x x y y cos sin sin cos ln cos '-⋅+= )tan sin cos ln (cos )(cos )tan sin cos ln (cos 'sin x x x x x x x x x y y x -=-=。
9．利用对数求导法求函数xx y ln )(sin =的导数。
解：两边取自然对数，得x x y sin ln ln ln =两边对x 求导，得xx x x x y y sin cos ln sin ln 1'⋅+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x x x x y y x cot ln sin ln 1)(sin cot ln sin ln 1'ln10．求方程xyy x =所确定的隐函数的导数dxdy。
解：两边取自然对数，得y x x y ln ln =两边对x 求导，得yy x y x y x y 'ln 1ln '⋅+=⋅+ 整理，得)ln ()ln (x x y x y y x y dx dy --=。
11．求方程22ln arctany x x y +=所确定的隐函数的导数dxdy。
解：两边对x 求导，得2222222'221'11yx yy x yx xyx y x y ++⋅+=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+整理，得yx y x dx dy -+=。
12．求方程xyye xe =所确定的隐函数的导数dxdy 。
解：两边对x 求导，得x x y y ye e y y xe e +=+''整理，得 y x xy xee ye e dx dy --= 13．己知函数xxe y =，求y (n)。
解：因为)1('+=+=x e xe e y xxx，)2()1(''+=++=x e e x e y x x x ， )3()2('''+=++=x e e x e y x x x ，……………………………………所以， )()(n x e yx n +=14．已知xx y n ln )2(=-，求)(n y 。
解：x x x x x x y n 22)1(ln 1ln ln 1ln -=⋅-=+， xx x x x x x x xy n 342)(ln ln 2ln 1ln 2)1ln (ln 1-=⋅--⋅=。