12 第八章 函数
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（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
离散数学-第八章函数
例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函 数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满 射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是 满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3， f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7
(2) A=[0,1]，B=[1/4,1/2]
令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4. (3) A=Z，B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。 解：F1是函数，F2不是函数。
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
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一、第一章函数
1. 基本概念
2. 函数的表示法
3. 函数的图象
4. 函数的性质
二、第二章曲线
1. 曲线的表示法
2. 曲线的切线
3. 兰联形曲线
4. 椭圆曲线
5. 双曲线
三、第三章相关与回归
1. 相关系数
2. 线性回归与回归直线
四、第四章初等函数
1. 指定法求方程的根
2. 二次函数及加减乘除法
3. 牛顿迭代法求方程的根
五、第五章指数函数
1. 指数函数的基本性质
2. 常用指数函数
3. 对数函数及其应用
六、第六章对数函数及其应用
1. 对数函数的基本性质
2. 对数函数及其应用
七、第七章几何极限
1. 无穷小分析法
2. 无穷量极限
3. 二元函数极限
4. 级数的极限
八、第八章函数的微分
1. 导数的概念
2. 定义型微分
3. 导数的性质及应用
九、第九章函数的积分
1. 定积分及其应用问题
2. 微积分的应用ii
3. 曲线的积分性质。
第八章-狄拉克函数
若 f (x)为任意连续函数，如果
性质来定义。
数学物理方法
性质 2.（对称性）： (x x0 ) (x0 x) 函数是偶函数
证明：设 f (x)为定义在( )的连续函数，则
x0 x
f (x) (x0 x)dx f (x0 ) ( )(d )
数学物理方法
二、 函数的性质
性质 1：若 f (x)是定义在区间(,)的任一连续函数，则
f (x) (x x0)dx f (x0)
—将 (x x0 )乘上 f (x)进行积分，其值为将 f (x)的 x换为 x0或
者说： 函数具有挑选性（把 f (x)在 x x0的值挑选出来）
(x x0)
0
(x x0 ) (x x0 )
(x x0 )dx 1
（5） （6）
数学物理方法
(x x0)
0
(x (x
x0 ) x0 )
（5）
(x x0 )dx 1（6）
根据（5）式，在 x x0时， (x x0 ) 0，所以（6）式左边
——根限形式
证明：（1）当 x 0时,令v xu，且有lim sin v 1 v0 v
sin2 (ux)
lim
v0
x2u
lim u [lim sin(xu)]2
u x0 xu
lim u
u
（2）当 x 为不等于 0 的常数时：
lim
u
sin2 (ux)
数学物理方法
说明：
1. 函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数：
第八章二元函数的定义
P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
微积分
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
微积分
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
微积分
第八章 二元函数的定义
微积分
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y) 的全体，称为点 P0的 邻域，记为U(P0 , )，
U(P0, ) P | PP0 |
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立．
微积分
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
sin( x2 y)
第八章 Γ函数
1 0 ∞ 1 ∞
e t
−t z −1
()³õ 'h Re z > 0 !ö÷ø!Fùú½ûih Ed 7 i!ü h y (z = 0, −1, −2, · · ·) copq 7b h Ed (z = 0, −1, −2, · · ·) F(ý i7ú½i!ü kþ ½ l 'ûi 01kþ ½h y !Edÿ F
8.1 ( 7mu ! N ( N > x ) 701 ∞ tx −N −1dt l pq 7x ∞ e−ttz−1 dt h z 0 1 ! t cz{| 9copq 7b }h EdF 1 uh i4 c 1 ! 01 h Ed 7 ' h ie !copqFb3
Γ (z ) = 1 Γ (z + 1) . z
•
Q × Γ (z) Ø qr Re z > 1 Ã ÇÊË7w × Γ ÈÉ Çé 7res Γ (0) = 1 F Ã 7 ë è Γ ÈÉ áâã qr Re z > −2 7
Γ (z ) = z=0 z = −1
e−t tz−1 dt.
et =
strstuvw
N
7
et > tN , N!
tn , n! n=0 e −t < N! . tN Re z < x0
∞
xrs z yt cz{| (}{| ~! tu c 7
7 ( 8.1)
e − t tz − 1 < N ! · tx 0 − N − 1 .
Γ (1) = 1 F îï h Γ !%& 9j z = 1 Àf ()³õ F
∞
Γ (z + 1) =
e t
−t z −1
()³õ 'h Re z > 0 !ö÷ø!Fùú½ûih Ed 7 i!ü h y (z = 0, −1, −2, · · ·) copq 7b h Ed (z = 0, −1, −2, · · ·) F(ý i7ú½i!ü kþ ½ l 'ûi 01kþ ½h y !Edÿ F
8.1 ( 7mu ! N ( N > x ) 701 ∞ tx −N −1dt l pq 7x ∞ e−ttz−1 dt h z 0 1 ! t cz{| 9copq 7b }h EdF 1 uh i4 c 1 ! 01 h Ed 7 ' h ie !copqFb3
Γ (z ) = 1 Γ (z + 1) . z
•
Q × Γ (z) Ø qr Re z > 1 Ã ÇÊË7w × Γ ÈÉ Çé 7res Γ (0) = 1 F Ã 7 ë è Γ ÈÉ áâã qr Re z > −2 7
Γ (z ) = z=0 z = −1
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et =
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N
7
et > tN , N!
tn , n! n=0 e −t < N! . tN Re z < x0
∞
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7 ( 8.1)
e − t tz − 1 < N ! · tx 0 − N − 1 .
Γ (1) = 1 F îï h Γ !%& 9j z = 1 Àf ()³õ F
∞
Γ (z + 1) =
函数的定义与性质
27
8.2 函数的复合与反函数
推论2：设f:A→B, g:B→C, 则fg：A→C, 且 x∈A都有fg(x)=g(f(x))
证明：由性质1，fg是函数，由性质2易证 dom(fg)=A, ran(fg)C 由性质3，fg(x)=g(f(x))
28
8.2 函数的复合与反函数
定理：设函数f:A→B, g:B→C 则:
fff={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 2
=IA
3
g 1
1
22
33
f 1
1
22
33
26
8.2 函数的复合与反函数
例：A上的三个函数 f(a)=3-a, g(a)=2a+1, h(a)=a/3
我们有：
❖(fg)(a)=g(f(a))=g(3-a) =2(3-a)+1=7-2a
❖(gf)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2a ❖h(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3
b2
c
2
f(d)=1
c2
d1
d
3
8
8.1 函数的定义与性质
皮亚诺后继函数
❖f: N→N, f(n)=n+1
投影函数
❖X和Y是非空集合，f: X×Y→X, f(x,y)=x
9
8.1 函数的定义与性质
A到B的函数集合BA (B上A)
❖ BA ={f | f: A → B}
例：设A={1, 2, 3}, B={a,b}，求BA 解：BA={f0,f1,…,f7}
32
8.2 函数的复合与反函数
给定函数F，F-1不一定是函数 例：A={a,b,c},B={1,2,3}
8.2 函数的复合与反函数
推论2：设f:A→B, g:B→C, 则fg：A→C, 且 x∈A都有fg(x)=g(f(x))
证明：由性质1，fg是函数，由性质2易证 dom(fg)=A, ran(fg)C 由性质3，fg(x)=g(f(x))
28
8.2 函数的复合与反函数
定理：设函数f:A→B, g:B→C 则:
fff={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 2
=IA
3
g 1
1
22
33
f 1
1
22
33
26
8.2 函数的复合与反函数
例：A上的三个函数 f(a)=3-a, g(a)=2a+1, h(a)=a/3
我们有：
❖(fg)(a)=g(f(a))=g(3-a) =2(3-a)+1=7-2a
❖(gf)(a)=f(g(a))=f(2a+1)=2-2a ❖h(g(f(a)))=h(7-2a)=(7-2a)/3
b2
c
2
f(d)=1
c2
d1
d
3
8
8.1 函数的定义与性质
皮亚诺后继函数
❖f: N→N, f(n)=n+1
投影函数
❖X和Y是非空集合，f: X×Y→X, f(x,y)=x
9
8.1 函数的定义与性质
A到B的函数集合BA (B上A)
❖ BA ={f | f: A → B}
例：设A={1, 2, 3}, B={a,b}，求BA 解：BA={f0,f1,…,f7}
32
8.2 函数的复合与反函数
给定函数F，F-1不一定是函数 例：A={a,b,c},B={1,2,3}
高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导
x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
上页 下页 返回 结束
推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性
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练习：试写出集合 A={1,2,3,…,8}上模 3 等价关系的自然
映射.
例 （1）偏序集<P({a,b}),R⊆>, <{0,1},≤>, R⊆为包含关系, ≤为一般的 小于等于关系. 令 f：P({a,b})→{0,1}, f(∅)=f({a})=f({b})=0, f({a,b})=1, f P({a,b})→{0,1}, f 是单调递增的, 但不是严格单调递增的. （2）A 的每一个子集 A'都对应于一个特征函数, 不同的子集对 应于不同的特征函数. 例如 A={a,b,c}, 则有 χ∅={<a,0>,<b,0>,<c,0>}，χ{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}
任取 x, x∈dom(FοG) ⇒ ∃t∃y(<x,t>∈F∧<t,y>∈G) ⇒ ∃t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG) ⇒ x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}
任取 x, x∈domF∧F(x)∈domG ⇒ <x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G ⇒ <x,G(F(x))>∈FοG ⇒ x∈dom(FοG)∧FοG(x)＝G(F(x)) 所以（1）和（2）得证.
第八章 函数
主要内容 函数的定义 函数的性质 函数的逆 函数的合成 与后面各章的关系 是代数系统的基础
第一节 函数的定义与性质
主要内容 一、函数定义与相关概念 函数定义 函数相等 从 A 到 B 的函数 f:A→B BA 函数的像与完全原像 二、函数的性质 单射、满射、双射函数的定义与实例 构造双射函数 三、某些重要的函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A'⊆A, A'的特征函数 χA'：A→{0,1}定义为 χA'(a)=1, a∈A' χA'(a)=0, a∈A−A' (5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a)=[a], ∀a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
二、函数的复合运算与函数的性质 定理 8.2 设 f：A→B, g：B→C. （1）如果 f：A→B, g：B→C 都是满射的, 则 fοg：A→C 也是满射的. （2）如果 f：A→B, g：B→C 都是单射的, 则 fοg：A→C 也是单射的. （3）如果 f：A→B, g：B→C 都是双射的, 则 fοg：A→C 也是双射的. 证 （1）任取 c∈C, 由 g：B→C 的满射性, ∃b∈B 使得 g(b)=c. 对于这个 b, 由 f：A→B 的满射性，∃a∈A 使得 f(a)=b. 由定理 8.1 有 fοg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了 fοg：A→C 是满射的.
（2）令 f：[0,1]→[1/4,1/2], f(x)=(x+1)/4. （3）将 Z 中元素以下列顺序排列并与 N 中元素对应： Z：0−11 −22−33 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ N：0 12 34 5 6 … 则这种对应所表示的函数是：
≥0 2x f： → N, f (x) = Z − 2x −1 x < 0
（4）令 f：[π/2,3π/2]→[−1,1] f(x)=sinx
三、某些重要函数
定义 8.7 （1）设 f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的 x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f：A→B 是常函数. （2）称 A 上的恒等关系 IA 为 A 上的恒等函数, 对所有的 x∈A 都有 IA(x)=x. （3）设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f：A→B，如果对任意 的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1)≼f(x2), 则称 f 为单调递 增的；如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定 义单调递减和严格单调递减的函数.
例 8.3
设 f：N→N, 且
x / 2 若x为偶数 f (x) = 若x x +1 若x为奇数
令 A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2} f −1(B)= f −1({2})={1,4}
例 8.2
设 A={1,2,3}, B={a,b}, 求 BA. 解BA={f0,f1,…,f7}, 其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
解（1）f：R→R, f(x)=−x2+2x−1 在 x=1 取得极大值 0. 既不是单射也不是满射的. （2）f：Z+→R, f(x)=lnx 是单调上升的, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}. （3）f：R→Z, f(x)= x 是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. （4）f：R→R, f(x)=2x+1 是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且 ranf=R. （5）f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的.
思考：函数的表示方法有哪几种？
二．函数的性质 定义 8.6 设 f：A→B, （1）若 ranf=B, 则称 f：A→B 是满射的. （2）若∀y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f：A→B 是单射的. （3）若 f：A→B 既是满射又是单射的, 则称 f：A→B 是双射的 例 8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? （1）f：R→R, f(x)= −x2+2x−1 （2）f：Z+→R, f(x)=lnx, Z+为正整数集 （3）f：R→Z, f(x)=x （4）f：R→R, f(x)=2x+1 （5）f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中 R+为正实数集.
（2）假设存在 x1, x2∈A 使得 fοg(x1)=fοg(x2) 由定理 8.1 有 g(f(x1))=g(f(x2)) 因为 g：B→C 是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于 f：A→B 也是单射的, 所以 x1=x2. 从而证明 fog：A→C 是单射的. （3）由（1）和（2）得证. 注意：该定理说明函数的复合能够保持函数单射、满射、双射的性质. 但 定理的逆命题不为真, 即如果 fog：A→C 是单射（或满射、双射） 的, 不一定有 f：A→B 和 g：B→C 都是单射（或满射、双射）的.
一、函数的定义与相关概念 1．函数定义 定义 8.1 设 F 为二元关系, 若∀x∈domF 都存在唯一的 y∈ranF , 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数 F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值. 例 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} F1 是函数, F2 不是函数
例
对于给定的集合 A 和 B 构造双射函数 f：A→B.
（1）A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} （2）A=[0,1], B=[1/4,1/2] （3）A=Z, B=N （4）A=[π/2,3π/2], B=[−1,1]
解（1）A={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. B={f0,f1,…,f7}, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}. 令 f：A→B, f(∅)=f0, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3, f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件：
5．函数的像和完全原像 定义 8.5 设函数 f：A→B, A1⊆A, B1⊆B. （1）A1 在 f 下的像 f(A1)={f(x)|x∈A1} A1＝A 时称 f(A)为函数的像 （2）B1 在 f 下的完全原像 f −1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1} 注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1)⊆B. 一般说来 f −1(f(A1))≠A1, 但是 A1⊆f −1(f(A1)).