ACM基础算法入门讲述
ACM竞赛中的数学方法初步(二)
ACM竞赛中的数学方法初步(二)1. 引言ACM竞赛中的数学方法是竞赛中必不可少的一部分。
在竞赛中，数学方法可以帮助选手快速解决问题，提高竞赛成绩。
本文将介绍一些ACM竞赛中常用的数学方法。
2. 组合数学组合数学是ACM竞赛中最常用的数学方法之一。
组合数学包括排列组合、二项式定理、卡特兰数等。
在竞赛中，选手可以通过组合数学来求解排列组合问题，计算概率等。
例如，求解一个n个元素的集合中，取出m个元素的所有组合数，可以使用组合数公式C(n,m)=n!/m!(n-m)!来计算。
3. 数论数论是ACM竞赛中另一个重要的数学方法。
数论包括质数、最大公约数、最小公倍数、欧拉函数等。
在竞赛中，选手可以使用数论来解决一些特殊的问题，例如求解最大公约数、最小公倍数等。
例如，求解两个数a和b的最大公约数，可以使用辗转相除法来计算。
4. 矩阵矩阵是ACM竞赛中常用的数学工具。
在竞赛中，选手可以使用矩阵来解决一些复杂的问题，例如线性方程组、矩阵乘法等。
例如，求解一个n阶线性方程组Ax=b，可以使用矩阵的逆来计算。
5. 微积分微积分是ACM竞赛中较为高级的数学方法。
在竞赛中，选手可以使用微积分来解决一些复杂的问题，例如极值、最优化等。
例如，求解一个函数的最大值或最小值，可以使用微积分的极值定理来计算。
6. 几何几何是ACM竞赛中常用的数学方法之一。
在竞赛中，选手可以使用几何来解决一些几何问题，例如计算面积、周长等。
例如，求解一个三角形的面积，可以使用海伦公式来计算。
7. 结论ACM竞赛中的数学方法是竞赛中必不可少的一部分。
在竞赛中，选手可以使用组合数学、数论、矩阵、微积分、几何等数学方法来解决问题。
选手需要熟练掌握这些数学方法，才能在竞赛中取得好成绩。
ACM入门
输入输出
• 读一个非空白字符， • 方法一:
– char str[2]; scanf(“%1s”, str); – // %1s扫描前导空白，并且只读一个字符 – char c = str[0];
• 方法二:
– 强制扫描空白 – 在%前面加上一个空格表示“强制扫描前导空白” – scanf(“ %c”, &ch); – 前面那个读人物信息的完整scanf语句：
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• 一个月4次左右，有rating • 分两个版(Div I, Div II) • 参加人数众多 • 每次比赛后有详细的解题报告、代码 • 比赛结束后有Practice Room可以继续做 • 可以查看每一个人的代码 • Forum很热闹，乐于助人 • 有$
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– 全英文（可以带字典） • 时间：持续5个小时；
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• 支持语言：c/c++, java, pascal
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Input • The input will consist of a series of pairs of integers a and b, separated by a space, one pair of integers per line. Output • For each pair of input integers a and b you should output the sum of a and b in one line, and with one line of output for each line in input. Sample Input • 15 • 10 20 Sample Output • 6 30 • 30
第2讲 ACM入门
#include <stdio.h> void main() { int a,b; scanf("%d %d",&a,&b); printf("%d",a+b); } #include <stdio.h> void main() { int a,b,c,d; scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d); printf("%d\n%d\n",a+b,c+d); }
关于输入的说明：
scanf("%s%s",str1,str2)，在多个字符串之间用一个或 多个空格分隔； 若使用gets函数，应为gets(str1); gets(str2); 字符串之 间用回车符作分隔。 通常情况下，接受短字符串用scanf函数，接受长字符串 用gets函数。 而getchar函数每次只接受一个字符，经常c=getchar( ) 这样来使用。
HDOJ_1091源代码：
#include <stdio.h> int main() { int a,b; while(scanf("%d%d",&a,&b) && (a!=0&&b!=0)) printf("%d\n",a+b); return(0); }
程序对吗？
HDOJ_1091源代码：
#include <stdio.h> int main() { int a,b; while(1) { scanf("%d%d",&a,&b); if (a==0&&b==0) break; printf("%d\n",a+b); } return(0); }
ACM程序设计算法讲解
目录1.河内之塔 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 费式数列 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
3.巴斯卡三角形 .................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 三色棋.................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 老鼠走迷官（一）........................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 老鼠走迷官（二）........................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 骑士走棋盘.............................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 八皇后.................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 八枚银币................................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 生命游戏................................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 字串核对................................................ 错误!未定义书签。
ACM竞赛中的数学方法初步(一)
ACM竞赛中的数学方法初步(一)ACM竞赛是一个从数字、数据结构到计算机原理的广泛内容的竞赛，也是一个需要创造性思维、快速计算和应用数学知识的竞赛。
数学概念和算法在ACM竞赛中起着重要的作用。
以下是一些ACM竞赛中基本的数学方法。
1.组合：组合即是从给定的数或对象中选择出若干个数或者对象并成一组的所有方案的总数，组合数常表示为C(n,m)。
在ACM竞赛中，组合数有很多应用，如背包问题、统计问题等。
2.排列：排列是指从n个不同的元素当中选取m个不同的元素进行排列，则有n!/(n-m)!种排列；如果选取的元素不相同，则每一个排列都是不同的，称为有序排列；反之，如果选取的元素相同，则每一个排列的不同之处只在于元素的排列顺序不同，称为无序排列。
3.数学运算：在ACM中，基本的数学运算有加减乘除，还包括取余操作（%），取模操作（mod）等。
如果这些操作未能掌握，通常需要进行一些练习，理解其计算过程。
4.递推公式：递推公式也称为递归公式。
在ACM竞赛中，很多算法都运用了递推公式，如斐波那契数列、卡特兰数等。
因此，了解这些递推公式的通项表达式和递推表达式有助于学习和掌握这些算法。
5.数论：数论是研究整数和整数间相互关系的一门数学学科。
在ACM竞赛中，数论经常出现在解决一些经典问题，如质数判定、最大公约数、最小公倍数等。
掌握数论知识可以帮助选手快速解决这些问题。
综上所述，ACM竞赛中的数学方法多种多样，从组合到数论，但所有的方法都是为了解决计算机科学中的问题。
因此，在考试之前，希望选手们能够了解这些基本的数学方法，不断提升自己的解题能力并勇攀高峰。
ACM基础算法入门教程
ACM基础算法入门教程ACM（ACM International Collegiate Programming Contest）是国际大学生程序设计竞赛的缩写，被认为是计算机领域最有权威和最具挑战性的竞赛之一、ACM竞赛要求参赛者在规定的时间内，根据给出的问题，编写出能在规定时间内运行并给出正确答案的程序。
参加ACM竞赛不仅可以锻炼算法思维，提高编程实力，还可以拓宽知识领域和增加竞争力。
在这个ACM基础算法入门教程中，我们将介绍一些常用的基础算法和数据结构，帮助初学者更好地理解和掌握ACM竞赛所需的算法知识。
一、排序算法排序算法是ACM竞赛中最常用的算法之一，能够帮助我们按照一定的规则将数据进行排序，从而解决一些需要有序数据的问题。
1.冒泡排序：通过多次比较和交换来实现，每次迭代将最大的值沉到最底部。
2.快速排序：选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分都小于基准元素，一部分都大于基准元素，递归排序子数组。
3.归并排序：将数组不断二分，将相邻两个子数组排序后再合并成一个有序数组。
4.插入排序：从第二个元素开始，依次将元素插入已排序的子数组中。
二、查找算法查找算法可以帮助我们在一组数据中找到目标元素，从而解决一些需要查找特定数据的问题。
1.顺序查找：逐个扫描数据，直到找到目标元素或扫描结束为止。
2.二分查找：对已排序的数组进行查找，不断将数组二分直到找到目标元素的位置。
3.哈希查找：通过计算数据的哈希值找到对应的存储位置，实现快速查找。
三、字符串匹配算法字符串匹配算法可以帮助我们在一组字符串中寻找特定模式的子字符串，从而解决一些需要在字符串中查找其中一种规律的问题。
1.暴力匹配算法：对目标字符串的每个位置，逐个将模式串进行匹配，直到找到或匹配结束为止。
2.KMP算法：通过已匹配的部分信息，尽量减少字符比较的次数。
3. Boyer-Moore算法：通过预先计算模式串中每个字符最后出现位置的表格，以及坏字符规则和好后缀规则，来实现快速匹配。
【精品】ACM中数论基础知识的运用.doc
数论初步：一，整除与因式分解：1,算术基本定理：n =al A rl*a2A r2*a3A r3 ........2,求素数:(试除法，筛选法)：素数测试费马小定理:若p为素数，则对于任意小于P 的正整数a,有a(p-l)=l(mod p)证明:用欧拉定理直接得出二次探测定理:若p为素数,a2=l(mod p)小于p的正整数解只有1和p・l满足费马小定理和二次探测定理的数可以确定是素数Miller-Rabin 算法算法步骤：判定n是否为素数令n-l=m*2j,m为奇数随机在2到(n-1)之间取一个整数b令v=bm,之后每次对v平方，当v=l时，若上一次的v既不是1也不是(n-1),由二次探测定理,n不是素数,退出；不断循环直到计算出b(n-l)v=l,满足费马小定理，通过测试;否则n 一定不是素数选取儿个不同的b多次测试Miller-Rabin只能算一种测试，因为通过测试的数不一定是素数，非素数通过测试的概率是1/4虽然一次测试的结果不一定令人满意,但五六次随机测试基木可以保证正确率超过99.9%For (int i = 2; i < n ;i++){For (int j = 2,flay = 1; j < sqrt (n); j++)If (I %j == 0){PrintfCi不是素数”)；flay = 0;)PrintfCI 是素数”);}3,int m = sqrt (n+0.5);int c = 0;memset (vis,0,sizeof (vis));for (int i = 2; i < = m; i++) if (!vis[i])prime[c++] = i;for (int j = i*i; j <= n; j+= i) vis[j] = 1;)4,int isprime[N];int ent;int isok (int x){fbr(int i = 0; i < ent && isprime[ij * isprime[ij <= x; i++)if (x % isprime[ij == 0) return 0;return 1;}void getpri me (){isprime[0] = 2;isprime[l] = 3;ent = 2;fbr (int i = 5; i < maxn; i++)if (isok ⑴)isprime[cnt++] = i;}5,因式分解：int Factor (int num){int m = 0;for (int i = 0; i < ent && isprime[i]*isprime[i] <= num; i++) ( if (num%isprime[i] == 0){arr[++m] = isprime[i];r[m] = 0;while (num % isprime[i] == 0 && num){r[m]++;nuin/= isprime[i];if (num > 1)arr[++m] = num;r[m] = 1;return m;)6,求约数：void dfs (int now.int q,int mjnt a,int b){if (flay) return ;if (q > a) return ;if (now == m+1){q就是约数return ;}for (int i = 0,t = l;i <= r[now] ;i++,t*=arr[now]){dfs (now+l,q*t,m,a,b);})例题分析：Fzu 上的题:(www.acm.fzu・edu・cn)求一个数的真因子个数(不包括本身)。
ACM常用算法
ACM常用算法1）递推求解：首先，确认：能否容易的得到简单情况的解；然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决；最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。
例题1在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。
分析F(1)=2;F(n) = F(n-1)+n;化简后为F(n) = n(n+1)/2 +1;例题2 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?分析把折线当作两天直线相交然后再减去交集延伸部分。
F= 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n;2）贪心算法：在对问题求解时，总是作出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体上加以考虑，它所作出的仅仅是在某种意义上的局部最优解（是否是全局最优，需要证明）。
贪心算法的基本步骤包括1、从问题的某个初始解出发。
2、采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。
3、将所有部分解综合起来，得到问题的最终解。
例题1已知N个事件的发生时刻和结束时刻（见下表，表中事件已按结束时刻升序排序）。
一些在时间上没有重叠的事件，可以构成一个事件序列，如事件{2，8，10}。
事件序列包含的事件数目，称为该事件序列的长度。
请编程找出一个最长的事件序列。
分析不妨用Begin[i]和End[i]表示事件i的开始时刻和结束时刻。
则原题的要求就是找一个最长的序列a1<a2<…<an，满足：Begin[a1]<End[a1]<=…<=Begin[an]<End[an]；可以证明，如果在可能的事件a1<a2<…<an中选取在时间上不重叠的最长序列，那么一定存在一个包含a1（结束最早）的最长序列。
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会场安排问题
先对n个区间按照bi从小到大的顺序排序，如果 bi相同，则ai按照从大到小的顺序排序。然后从前往后 扫描每个区间，找出所有的符合条件的区间。
注意：排序后第一个区间一定会选，因为它的bi 最小， 它不影响后面区间的选取，而且如果不选此区间，最 终 求出的区间数目会变少。
区间选点问题
0 1 0 0 1
解题过程
本题是简单的搜索问题，采用深度优先 遍历可以解决，根据题目要求，假设从 任意一点值为'1'的出发，将这点的坐标 上下左右全部用'0'替换，1次DFS后与初 始动这个'1'连接的'1'全部被替换成'0'， 因此，直到图中不再存在'1'为至，总共 进行的DFS的次数就是最后的结果咯！那 么，根据题目要求，有4个方向，时间复 杂度为O(4*n*m)。
如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子 序列是1 9 10 11 13，长度为5。
解题思路
定义状态 dp【i】以i为结束节点最长单调子序列长度 阶段 每一个点选择过程即阶段 转移方程： Dp【i】= max（dp【1~（i-1）】） + 1 想想有没有更好的方法？？？
dp总结
例题：
水池数目 南阳理工学院校园里有一些小河和一些湖泊，现在，我们把它们通一看成水池， 假设有一张我们学校的某处的地图，这个地图上仅标识了此处是否是水池，现在， 你的任务来了，请用计算机算出该地图中共有几个水池。 输入m行每行输入n个数，表示此处有水还是没水 （1表示此处是水池，0表示此处是地面） 0<m<100 0<n<100 输入： 34 1000 0011 1110 输出： 2 输入： 55 1111 0010 0000 1110 0011 输出： 3
总结
算法竞赛是展示大学生创新能力、团队 精神和在压力下编写程序、分析和解决 问题能力的竞赛。
在此送上楼教主一句名言： 虽然我不会这道题，但是AC还是没有问 题的~！
谢谢
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
解题过程
i=0 sum=0
+1
i=1 sum=0 i=1 sum=1
+2
i=2 sum=0 i=2 sum=2
+4
i=3 sum=2 i=3 sum=6
从a1开始按 顺序决定每 个数加或不 加，在全部 n个数决定 后在判断他 们的和是不 是k即可。
宽度优先搜索
宽度优先搜索（BFS，Breadth-First Search）也是搜索的手段之一。与深 度优先搜索类似，从某个状态出发探索所有可以到达的状态。 与深度优先搜索的不同在于搜索的顺序，宽度优先搜索总是先搜索距离 初始状态近的状态，也就是说它是按照开始状态--->只需1次转移就可到 达的所有状态--->只需2次转移就可到达的状态--->......，这样的顺序进 行搜索。对于同一状态，宽度优先搜索只经过一次，因此复杂度为O （状态数*转移的方式）。 根据宽度优先搜索的特点，采用队列进行实现。
V [ i-1 ] [ j ] += V [ I ] [ j ] > v [ I ] [ j + 1 ] ? V [ I ] [ j ] : v [ I ] [ j + 1 ];
单调递增非降子序列
给定一整型数列{a1,a2...,an} （0<n<=100000），找出单调递增最长 子序列，并求出其长度。
输入： 4,11 输出： 3001
解题过程
这个问题用数学语言表述就是：“求整数 x 和 y 使得 ax + by =1”。 可以发现如果gcd(a,b)!=1,无解。反之，则可以通过扩展辗转相除法来求 解。 设 a>b。 1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； 2，ab!=0 时 设 ax1+by1=gcd(a,b); bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
例题
给定整数 a1,a2,a3,......,an, 判断是否可以从中选出若干个数，使 他们的和恰好为k。 限制条件： 1<=n<20 -10^8<=ai<=10^8 -10^8<=k<=10^8
输入： 4 1,2,4,7 13 输出： Yes 输入： 4 1,2,4,7 15 输出： No
解题思路
根据刚才的讨论，所有需要考虑的区间的a也是递增的， 我们把它画成上图的形式。如果第一个区间不选最后一个点， 而是去中间的，如灰色点，那么把它移动到最后一个点后， 被满足的区间增加了，而且原先被满足的区间现在一定被满 足。这样才能保证选取的点最少。
区间覆盖问题
数轴上有n个闭区间[ai, bi]，选择尽量少的区间覆盖 一条指定线段[s, t]。
模型匹配法 三要素法 先确定阶段（数塔问题） 先确定状态（一般题目都是） 先确定决策（背包问题）
贪心的三种区间问题
选择不相交区间
区间选点 区间覆盖
选择不相交区间
数轴上有n个开区间（ai,bi），选择尽量多个区间， 使得这些区间两两没有公共点。
【分析】 首先明确一个问题：假设有两个区间x,y,区间x完全 包含y。那么，选x是不划算的，因为x和y最多只能选一个， 选x不如选y，这样不仅区间数目不会减少，而且给其他区 间留出了更多的位置。接下来，按照bi从小到大的顺序对 所有区间排序。
ACM基础算法入门
.基础动态规划 .基础的“穷竭搜索” .贪心的三种区间问题 .数论那些事 .二分的另类法
引言
算法简单但思想及其重要 介绍的算法都堪称为经典中的经典
基础动态规划
多阶段决策过程最优化的数学方法 三要素： -阶段 -决策 -状态
动态规划的适用范围
最优子结构（最优化原理） 当前状态依赖于前面的状态得到，是前面 状态的完美总结
把各区间按照a从小到大顺序。如果区间1的起点不是s， 则无解，即[s,t]无法被完全覆盖（因为其他区间的起点更大， 不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间。选择此 区间[ai,bi]后，新的起点应该被设置为bi,并且忽略所有区间在 bi之前的部分，就像预处理一样。虽然贪心策略比上面的题 复杂，但是仍然只需要一次扫描。如下图5所示。s为当前有 效起点（此前部分已被覆盖），则应该选择区间2。
无后效性（不成环）
经典模型
数塔模型 背包问题 区间最大和模型 最长非降子序列模型 最长公共子序列 数字归并（区间dp） 旅行商问题（状态压缩）
求解从顶到下经过节点的最大值是多少
解题思路
列状态 v [ I ] [ j ]表示走到第i层的第j个节点的最大值 分阶段 每一个层就是一个阶段 状态转移方程（决策）
【分析】 本题的突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过要先 进行一次预处理。每个区间在[s,t]外的部分都应该预先被切 掉，因为它们的存在是毫无意义的。例如要覆盖线段[3,5]， 闭区间[0,1]的存在无意义。在预处理后，在相互包含的情况 下，小区间显然不应该被考虑。
解题思路
埃氏筛法
给定整数n，请问n以内多少个素数 n<=10^6 输入 25 输出 9
解题思路
要枚举n以内素数，可以用埃氏筛法 列出2以后的所有序列： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 将剩下序列中，划摽2的倍数，序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 （划出的数） 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是 素数，否则回到第二步。 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步： 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划出，主序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 （划出的数） 我们得到的素数有：2，3 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步： 现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 （划出的数） 我们得到的素数有：2 3 5 。 因为25等于5的平方，跳出循环. 结论：去掉数字，2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。